【文档说明】山西省大同市第一中学2020届高三下学期2月月考数学（文）试题【精准解析】.doc，共(28)页，2.487 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()1222Mxyxx==−，11Nxx=−，则MN=（）A.)0,1B.()0,1C.(1,0−D.()1

,0−【答案】A【解析】【分析】根据函数定义域要求和一元二次不等式解法求得集合M，进而由交集定义求得结果.【详解】()12222200,2Mxyxxxxx==−=−=，()11

1,1Nxx=−=−，)0,1MN=.故选：A.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域和一元二次方程的求解问题，属于基础题.2.已知复数z满足()()12zititR+=．若22z=，则

t的值为（）A.1B.2C.D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算求得复数z，根据模长定义构造方程求得结果.【详解】()211tiztiittii==−=++，2222ztt=+=，解得：2t=.故选：D.【点睛】本题考查根据复数的模长求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算

，属于基础题.3.函数()()33ln||xxfxx−=+的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及计算()1(),22ff，可得结果.【详解】由题可知：函数()fx的定义域为()

(),00,x−+()()()()33ln||33ln||xxxxfxxxfx−+−−=+−=+=所以可知函数()fx为偶函数又()()11222211()33ln0,233ln2022ff−−=+=+所以选项D正确故选：D【点睛】本

题主要考查具体函数的图像，这种类型问题，可从以下几个指标判断：（1）函数定义域；（2）函数奇偶性；（3）特殊值：（3）单调性；（4）值域，属基础题.4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，

称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为212121111UkcqRRxxRxRx=+−−+−+−

，其中，kc为静电常量，1x、2x分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121xxRxxRR−+−=+，111xRxRR+=+，221xRxRR−=−，且()1211xxx−+−

+，则U的近似值为（）A.2123kcqxxRB.2123kcqxxR−C.21232kcqxxRD.21232kcqxxR−【答案】D【解析】【分析】将12121xxRxxRR−+−=+，111xRxRR+=+

，221xRxRR−=−代入U，结合()1211xxx−+−+化简计算可得出U的近似值.【详解】221212121211111111111UkcqkcqxxxxRRxxRxRxRRRR

RRR=+−−=+−−−+−+−++−2222121211221111xxxxxxxxkcqRRRRRRR−−=+−+−+

−−−−21232kcqxxR=−.故选：D.【点睛】本题考查U的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5.已知函数()gx是R上的奇函数．当0x时，()()ln1gxx=−−，且()()2,0,0xxfxgxx

−=，若()()22fxfx−，则实数x的取值范围为（）A.()1,2−B.()1,2C.()2,1−−D.()2,1−【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性可求得()gx在0x时的解析式，由此可确定()fx的单调性，利用单调性可将所求不等式化为22xx−，解一元

二次不等式求得结果.【详解】当0x时，0x−，()()ln1gxx−=−+，()gx为R上的奇函数，()()()()ln10gxgxxx=−−=+，()()2,0ln1,0xxfxxx−=+，2yx=−在(,0−上单调

递增，()ln1yx=+在()0,+上单调递增，且当0x=时，()2ln1xx−=+，()fx在R上单调递增，由()()22fxfx−得：22xx−，即220xx+−，解得：21x−，实数x的取值范围为()2,1−.故选：

D.【点睛】本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.6.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A.//m，n

⊥，mn⊥B.//m，n⊥，//mnC.//m，//n，//mnD.m⊥，n⊥，//mn【答案】D【解析】【分析】利用线面位置关系和充分条件的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A，B，若n⊂α，则α⊥β，故A，B错误；对于选项C，若α∩β=l，

m∥n∥l，m，n为α，β外的直线，显然有m∥α，n∥β，故C错误；对于选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故D正确．故选D．【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的判断证明，考查充分条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.函数()()2si

n0,2fxx=+的部分图象如图所示．若对任意xR，()()2fxftx=−恒成立，则实数t的最大负值为（）A.512−B.3−C.4−D.6−【答案】A【解析】【分

析】根据函数图象可确定5544T=，由此确定，利用1252f=−−可求得，从而得到()fx解析式；由()fx的对称轴为xt=，采用整体对应的方式可确定t的取值，进而确定t的最大负值.【详解】由图象可知：555546124T=+=，2T==，解得：2=.5

552sin22sin212126f−=−+=−+=−，()5262kkZ−+=−+，解得：()23kkZ=+，又2，3=，()2sin23fxx

=+.()()2fxftx=−，()fx关于直线xt=对称，()232tkkZ+=+，解得：()122ktkZ=+，则当1k=−时，t取得最大负数，此时512t=−.故选：A.【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解

正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.8.如图所示的程序框图是为了求出满足2228nn−的最小偶数n，那么在空白框中填入及最后输出的n值分别是（）A.1=+nn和6B.2=+nn和6C.1=+nn和8D.2=+nn和8【

答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C6n=时，622664362628−=−=，8n=时，1282282566428−=−所以D选项满足要求．故选D．9.在平面直角坐标系中，()1,2A−，(),1Ba−，(),0Cb−，,abR．当,,A

BC三点共线时，ABBC的最小值是（）A.0B.1C.2D.2【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得12ba=−，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为()211a−+，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：()1,1ABa=−，(),1BCba=−−，,,ABC三点共线，

()()111aba−=−−，即12ba=−，()1,1BCa=−，()2111ABBCa=−+，即ABBC的最小值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础

题.10.已知双曲线()222210,0xyabab−=的右顶点、右焦点分别是,AF，焦距是2c，过点F作x轴的垂线与双曲线相交于,BC两点，过点B作直线AC的垂线交x轴于点D.若点D到直线BC的距离不大于ac+，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.()2,+B.)2

,+C.()1,2D.(1,2【答案】B【解析】【分析】由直线BC方程与双曲线方程联立可得,BC坐标，从而求得ACk；由垂直关系可确定BDk，进而得到直线BD方程，并求得D点坐标；根据D到直线BC距离dac+可构造关于,ac的齐次不等式，进而求得离心率的取

值范围.【详解】由题意得：(),0Aa，(),0Fc，直线BC为xc=，由22221xcxyab=−=得：2bya=，则可设2,bBca，2,bCca−，()22ACbbakcaaac−==−−，则()2BDaackb

−=−，直线BD方程为：()()22aacbyxcab−−=−−，令0y=，解得：()42bxcaac=+−，即()42,0bDcaac+−，D∴到直线BC的距离为()()4422bbdccacaacaac=−+=−+−−，整理可得：4224320c

aca−+，即42320ee−+，解得：21e（舍）或22e，)2,e+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，涉及到两条直线垂直的位置关系的应用；关键是能够利用点到直线的距离构造出关于,ac的齐次不等式，从而配凑出关于离心率e

的不等式，解不等式求得结果.11.谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形．挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖

去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）．向图中第5个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（）A.256B.350C.162D.96【答案】B

【解析】【分析】设第一个三角形的面积为1，通过图形中的比例关系可确定黑色部分面积是首项为1，公比为34的等比数列；通过计算第五个图形中黑色部分面积可确定白色部分面积；根据均匀随机数的思想可求得结果.【详解】设第一个三角形的面积为1，则第二个图中黑

色部分面积为34，第三个图中黑色部分面积为234，第四个图中黑色部分面积为334，第五个图中黑色部分面积为434，则第五个图中白色部分面积为4317514256−=，则落在白色区域的细小颗粒物的数量为：175512350256=.故选：B.【

点睛】本题考查均匀随机数思想的应用，关键是能够通过观察得到黑色部分的面积成等比数列的特点.12.已知等边三角形ABC的边长为23，,MN分别为,ABAC的中点，将AMN沿MN折起得到四棱锥AMNCB−.点P为四棱锥AMNCB−的外接球球面上任意一点，当四棱锥AMNCB−

的体积最大时，点P到平面MNCB距离的最大值为（）A.1312+B.1312+C.13D.1312−【答案】A【解析】【分析】采用数形结合的方法，取等边三角形AMN重心1O，以及BC的中点2O，分别过点1O，2O作平面AMN，平面MNCB的垂线

，可得球心O，计算半径，可得结果.【详解】如图所示当四棱锥AMNCB−的体积最大时则平面AMN⊥平面MNCB由题可知：等边三角形ABC的边长为23，,MN分别为,ABAC的中点所以AMN为等边三角形，且3,23MBNCBC===所以,B

MMCBNNC⊥⊥，取等边三角形AMN重心1O，以及BC的中点2O所以2O为四边形MNCB的外接圆的圆心1O为等边三角形AMN的外接圆的圆心，分别过点1O，2O作平面AMN，平面MNCB的垂线，交于点O，O为四棱锥AMNCB−的外接球的球心13

11sin60,232ADAMODAD====则2112OOOD==，又23OC=所以2222132OCOCOO=+=则四棱锥AMNCB−的外接球半径132r=则点P到平面MNCB距离的最大值为21312rOO++=故选：A【点睛】本题考查几何体外接球

的问题，关键在于找到外接球的球心，考验空间想象能力，属难题.二、填空题13.设函数()2xfxeax=++，'102f=，则曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线斜率为________【答案

】1e−【解析】【分析】根据'102f=可得a，然后根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得结果.【详解】由题可知：'()xfxea=+由'102f=，所以120eaae+==−所以'()xfxee=−则0'(0)1feee=

−=−故答案为：1e−【点睛】本题考查曲线在某点处导数的几何意义，识记概念，属基础题.14.设实数xy，满足2105xyxyy+−…„„，则4zxy=+的最小值为______.【答案】53【解析】【分析】作出可行域,观察可得,当4zxy=+过点C时，z有最小值,再联立方

程组解得最优解C的坐标后,代入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当4zxy=+过点C时，z有最小值；联立210xyxy+=−=解得13xy==即11,33C

，故4zxy=+的最小值为53．【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题.15.已知抛物线24xy=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点．若4PQFQ=，则FQ=uuur_____．【答案】83【解析】【分析】设(),1Pa−，2,4mQm

，根据4PQFQ=可构造方程求得2m，利用抛物线定义可求得结果.【详解】由抛物线方程知：()0,1F，准线:1ly=−.设(),1Pa−，2,4mQm，则2,14mPQma=

−+，2,14mFQm=−，4PQFQ=，22144mm+=−，解得：2203m=，由抛物线定义可得：25811433mQF=+=+=.故答案为：83.【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解问题，关键是能够利用

向量共线的坐标运算构造方程求得抛物线上点的坐标，进而利用焦半径公式求得结果.16.在平面五边形ABCDE中，已知120B=，90C=，120D=，90A=，3BC=，3AB=，当五边形ABCDE的面积[23,33)S，C

D的取值范围为______.【答案】[1,3)【解析】【分析】根据三角形ABC为等腰三角形，计算可得EACACD=，进一步可得四边形ACDE为等腰梯形，然后计算,ABCACDESS，最后计算可得结果.【详解】如图由题可知：3BC=，3AB=，120B=所以三角形ABC为等腰三角形，

则30BACACB==，又90C=，90A=所以60EACACD==，且120D=，则120E=所以四边形ACDE为等腰梯形作DGAC⊥交AC于点G，设CDx=2cos3ACABBAC==，3sin2DGCDACDx==1cos2CGCDACDx==，所以2

3DEACCGx=−=−所以133sin,24ABCSABBCB==()()3624ACDEACDEDGxxS+−==所以()23634ABCACDESSxxS+=−++=又[23,33)S所以()232363334xx−++即2863

12xx−++则22638156312xxxxx−++−++且3x又3CDAC=，所以)1,3CD故答案为：)1,3【点睛】本题考查解三角形的几何应用，熟练三角形中的正弦定理、余弦定理以及面积公式，注意细节，耐心计算，属中档题.三、解

答题：解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.如图，四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面ABCD，四边形AB

CD为平行四边形，3CACD=，120BCD=.（1）若ACBDO=，求证：1BO//平面11ACD；（2）若2CD=，且三棱锥1ACDC−的体积为22，求1CD.【答案】（1）见解析；（2）110CD=【解析

】【分析】（1）连接11BD交11AC于点1O，连接1DO，根据四边形ABCD为平行四边形，可得1BO//1DO，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）利用正弦定理，可得1sin2CAD=，进一步可得ACCD⊥，然后根据1ACDCV−，可得1CC，最后利用勾股定理，可得结果.【

详解】（1）连接11BD交11AC于点1O，连接1DO.如图由四棱柱的性质可知11BD//BD，且11BDBD=，则11BO//DO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴12DOBD=.同理111112BOBD=，∴11DOB

O=，∴四边形11DOBO为平行四边形，∴1BO//1DO.又1DO平面11ACD，1BO平面11ACD，∴1BO//平面11ACD.（2）∵120BCD=，∴60ADC=.又3CACD=，∴23CA=.由正弦定理可得sinsinCACD

ADCCAD=，解得1sin2CAD=，∵0120CAD，∴30=CAD，∴90ACD=∠，即ACCD⊥.又1AA⊥平面ABCD，即1CC⊥平面ABCD，∴1CC，CD，CA两两垂直.∴111112322323ACDCVCDCCCACC−===，∴16C

C=，∴221110CDCCCD=+=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，还考查了锥体体积公式，掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.18.近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13,2万千米，这个数字比1949年

增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位下表截取了2012--2016年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）.年份20122013201420152016年份代码12345高铁密度9.7511.4917.1420.6622

.92已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式byax=（,ab为大于0的常数）若对byax=两边取自然对数，得到lnlnlnybxa=+，可以发现lny与lnx线性相关.（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程（ˆˆln,ab

保留到小数点后一位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年高铁密度会超过30千米/平方千米.参考公式设具有线性相关系的两个变量,xy的一组数据为(),(1,2,,)iixyin=，则回归方程ˆˆˆybxa=+的系数：()()()1

21ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−.参考数据：51lnln5lnln0.92iiixyxy=−，()5221ln5(ln)1.6iixx=−，51ln5iix=，51ln14iiy=，2e7.4，ln303

.4.【答案】（1）2.20.6yex=；（2）2019年【解析】【分析】（1）根据方程lnlnlnybxa=+，计算51522155iiiiivvbvv==−=−，然后代入(),v，可得a，最后可得结果.（2）根据（1）中的结论，根据指数不等式、对数不等式的求

解方法计算x，然后可得结果【详解】（1）对(,0)byaxab=，则lnlnlnybxa=+.令lniivx=，lniiy=，1,2i=，…，n，得lnbva=+，则与v具有线性相关关系，51522150.920.5751.65iiiiivv

bvv==−==−，14ln0.57512.2255abv=−−=，所以0.6b，ln2.2a，故ln0.6ln2.2yx=+.所求回归方程为0.6ln2.22.20.6xyeex+=

=.（2）由（1）可知：0.6ln2.2xye+=由高铁密度超过30千米/万平方千米，所以0.6ln2.230xe+，即0.6ln2.2ln303.4x+，解得ln2x，所以2e7.4x，即8x=时，高铁密度会超

过30千米/万平方千米.所以预测到2019年，高铁密度会超过30千米/万平方千米【点睛】本题考查非线性回归系数的计算，学会等价转化的思想，考验对问题的分析能力以及计算能力，中档题.19.设函数()2fxx=，过点()11,0C作x轴的垂线1

l交函数()fx图象于点1A，以1A为切点作函数()fx图象的切线交x轴于点2C，再过2C作x轴的垂线2l交函数()fx图象于点2A，，以此类推得点nA，记nA的横坐标为na，nN．（1）证明数列na为等比数列并求出通项公式；（2）设直线nl与函数()12loggx

x=的图象相交于点nB，记nnnbOAOB=（其中O为坐标原点），求数列nb的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析，112nna−=；（2）11634994nnnS−+=−．【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求得以点()2111,nnnAaa

−−−为切点的切线方程，代入0y=可求得112nnaa−=，由此可得数列na为等比数列，根据等比数列通项公式求得结果；（2）根据向量数量积的坐标运算可求得114nnbn−=，利用错位相减法可求得结果.【详解

】（1）证明：函数()2fxx=，()2fxx=，以点()2111,nnnAaa−−−为切点的切线方程为：()21112nnnyaaxa−−−−=−，当0y=时，112nxa−=，即112nnaa−=，又11a=，数列na是以1为

首项，12为公比的等比数列,112nna−=.（2）解：由题意得：11,12nnBn−−，()1111111444nnnnnnbOAOBnn−−−==+−=

，()0122111111123144444nnnSnn−−=++++−+…①，则()12311111111231444444nnnSnn−=++++−

+…②，①−②得：11211114431111111144444414nnnnnSnn−−−=−++++=−+

−14113344nn−=−+，11164116349934994nnnnnS−−+=−+=−.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前n项和，涉及到利用导数求解曲线在某点处的切线方程、平面向量数

量积的坐标运算等知识；关键是明确在数列求和时，需要根据通项公式的形式准确选择求和方法，当通项公式为等差等比时，需采用错位相减法求和.20.已知函数22()lnfxaxaxx=++，实数0a.（1）讨论函数()fx在区间(0,10)上的单调性；（2）若

存在(0,)x+，使得关于x的不等式2()2fxax+成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）()0,2(2,)+【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，10,10a与1,10a+，根据导数判断

原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子，并构造函数2()ln2gxaxx=+−，计算min()gx，然后再次构造函数()ln1hxxx=+−，利用导数判断()hx的单调情况，可得结果.【详解】（1）由题知()fx的定义域为(0,)+，2222(2)(1

)()aaxaxfxaxxx+−=−++=.∵0a，20ax+，∴由()0fx=可得1xa=.（i）当10,10a时，110a…，当(0,10)x时，()0,()fxfx单递减；（ii）当1,1

0a+时，110a，当10,xa时，()0fx，()fx单调递减；当1,10xa时，()0fx，()fx单调递增.综上所述，10,10a时

，()fx在区间(0,10)上单调递减；当1,10a+时，()fx在区间10,a上单调递减，在区间1,10a上单调递增.（2）由题意：不等式2()2fxax+在(0,)x+成立即2ln20axx+−在(0,)x+时有解.设2()ln2gxa

xx=+−，(0,)x+，只需min()0gx.则22()axgxx−=，因为0a，所以在20,a上，()0gx，在2,a+上，()0gx.所以()gx在20,a

上单调递减，在2,a+上单调递增.因此min22()ln2gxgaaaa==+−.不等式2()2fxax+在(0,)x+成立，则2ln20aaa+−恒成立.又0a，所以22ln10aa+−恒成立.

令()ln1(0)hxxxx=+−，则'11()1xhxxx−=−=.在(0,1)上，'()0hx，()hx单调递增；在(1,)+上，'()0hx，()hx单调递减.所以()(1)0hxh=„.因此解22ln10aa+−可得

20a且21a，即0a且2a.所以实数a的取值范围是()0,2(2,)+.【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类

讨论的方法，属难题.21.已知过椭圆()2222:10xyCabab+=的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形ABCD（D是第一象限内的点）的面积为83，且过椭圆C的右焦点F的倾斜角为60的直线过点D．（1）求椭圆C的标准方程（2）若射线,OPO

Q与椭圆C的交点分别为,PQ．当它们的斜率之积为22ba−时，试问POQ的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）POQ的面积为定值3．【解析】【分析】（1）根据矩形面积、直线DF斜率和椭

圆,,abc关系可构造方程组求得,,abc，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线PQ斜率存在时，设方程为ykxm=+，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得PQ，点到直线公式求得点O到直线PQ距离d，进而表示出POQS；根据121234OPOQyykkxx==−，代入韦达定理形

式化简可得22234mk=+，代入POQS中化简得到3POQS=；当直线PQ斜率不存在时，可求得,PQ两点坐标，进而求得3POQS=；综合两种情况可知POQS为定值3.【详解】（1）由题意得：(),Dab，(),0Fc，2283ab=，23ab=

.直线DF的斜率0tan603bbkacac−====−−，()3bac=−，由()222233abbacabc==−=+得：231abc===，椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）POQ的面积为定值3，理由如下：设()11,P

xy，()22,Qxy，①当直线PQ斜率存在时，设方程为ykxm=+.由22143ykxmxy=++=得：()2223484120kxkmxm+++−=，则()()()2222226443441248

430kkmkmm=−+−=−+，即2243mk+，122834kmxxk+=−+，212241234mxxk−=+，()()()()2222212122431431434kkmPQkxxxxk+−+=++−=+，又点O到直线PQ的距离21mdk=+，2222343

1234POQmkmSPQdk−+==+.121234OPOQyykkxx==−，()2222221212221228334412434kmmkxxkmxxmkkmxxk−+++++=+=−−+，化简可得：22234mk=+，满足，22222223432323342

POQmkmmmmSkm−+−===+；②当直线PQ斜率不存在时，34OPOQkk=−且OPOQkk=−，可设32OPk=，32OQk=−，则点,PQ的坐标分别为62,2P，62,2Q−，此时12632POQS==；综上所述：POQ的面积

为定值3.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积定值问题的求解；求解定值的关键是能够将所求面积利用变量表示出来，根据变量之间的关系化简可求得定值，属于常考题型.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做

的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy=+=（是参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线2C的极坐标方程为4sin=.（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）若射线=02与曲线1C交于O，A两点，与曲线2C交于O，B两点，求||||OAOB+取最大值时tan的值【

答案】(1)1C的极坐标方程为22cos=.曲线2C的直角坐标方程为2240xyy+−=.(2)2【解析】【分析】(1)先得到1C的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将222xyysin+==代入得224xyy+=，得到曲线2C的直角坐标方程；（2）设点A、B的极

坐标分别为()1,，()2,，将=02分别代入曲线1C、2C极坐标方程得：122cos=，24sin=，22cos4sinOAOB+=+，之后进行化一，可得到最值，

此时2=−，可求解.【详解】（1）由222xcosysin=+=得22220xxy−+=，将222xyxcos+==代入得：22cos=，故曲线1C的极坐标方程为22cos=.由4sin=得24sin=，将222xyysin

+==代入得224xyy+=，故曲线2C的直角坐标方程为2240xyy+−=.（2）设点A、B的极坐标分别为()1,，()2,，将=02分别代入曲线1C、2C极坐标方程得：1

22cos=，24sin=，则22cos4sinOAOB+=+()6326sincos26sin33=+=+，其中为锐角，且满足3sin3=，6cos3=，当2+=时，OAOB+取最大值，此时2

=−，tantan2=−sin2cos2−=−66cos332sinsin33====【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义

，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.23.已知函数()12fxxxa=+++，aR.（1）当0a=时，求不等式()5fx的解集；（2）若()2fx对于xR恒成立

，求a的取值范围.【答案】（1）423−，（2）(),26,−−+.【解析】【分析】（1）分别在1x−，10x−≤≤和0x上得到不等式，求解得到结果；（2）方法一：通过放缩和绝对值三角不等式得到

：()1122aafxxx+++−，则有122a−，进而求得a的范围；方法二：分别在2a，2a=和2a的情况下得到函数的解析式；在每一段上都有()min2fx，从而构造出不等式，求解得到结果.【详解】（1）当0a=时，()125fxxx=++则1315

xx−−−或1015xx−−+或0315xx+分别解得21x−−或10x−≤≤或403x不等式()5fx的解集为423−，（2）方法一：()121122aafxx

xaxx=++++++−当且仅当2ax=−时取等号()min122afx=−，解得2a−或6a即a的取值范围是(),26,−−+方法二：当2a时，()31,1121,1231,2xaxafxxxaxaxaxax

−−−−=+++=−+−−−++−则函数()fx在,2a−−上单调递减，在,2a−+上单调递增()min1222aafxf=−=−，解得2a−；当2a=时

，()31fxx=+，最小值是0，不符合题意；当2a时，()31,2121,1231,1axaxafxxxaxaxxax−−−−=+++=+−−−++−则函数()fx在,2a−−上单调递减，在,

2a−+上单调递增，()min1222aafxf=−=−，解得6a.综上所述，a的取值范围是(),26,−−+【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用不等式中的恒成立求解参数范围的问题；解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为最值与参数的关系；要

注意分类讨论的思想在求解绝对值不等式问题中的应用.