【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第一册》全书课件2.4.1.ppt，共(35)页，1.069 MB，由管理员店铺上传

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2.4.1圆的标准方程[教材要点]要点一圆的标准方程1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．确定圆的要素是________和________

，如图所示．定点定长圆心半径3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是_______________________．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以________为圆心、半径为r的圆．(x－a)2＋(y－b)2＝r2原点状元随笔圆的标准方程(x－a)2＋

(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．要点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，

半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则判断方法位置关系几何法代数法点在圆上|MA|＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内|MA|＜r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－

b)2＜r2点在圆外|MA|＞r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r

2.(a，b，r∈R)表示一个圆．()(2)弦的垂直平分线必过圆心．()(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．()(4)圆心与切点的连线长是半径长．()×√√√2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3

)，2D．(2，－3)，2解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为2.故选D.答案：D3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝2解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2

＋y2＝4.故选B.答案：B4．点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．解析：因为点(1,1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2

＋y2＝10.题型一求圆的标准方程——师生共研例1(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝25解析：(1)∵AB为直径，∴

AB的中点(1,2)为圆心，半径为12|AB|＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选D.答案：(1)D(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．解析：(2)∵圆心坐标为

(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.答案：(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方

程是________________.解析：(3)方法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知(1－a)2＋(－1－b)2＝r2，(－1－a)2＋(1－b)2＝r2，a＋b－2＝0，解此方程组，得a＝1，b＝1，r2＝4.故所求圆

的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法二设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|C

A|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.方法三由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－(－1)－1－1＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0

)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由y＝x，x＋y－2＝0，得x＝1，y＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－

1)2＝4.答案：(3)(x－1)2＋(y－1)＝4方法归纳(1)直接法根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．(2)待定系数法①根据题意，设出标准方程；②根据条件，列关于a，b，r的

方程组；③解出a，b，r，代入标准方程．(3)常见的几何条件与可以转化成的方程①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径．③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半

径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心．④弦的垂直平分线经过圆心．跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)的圆的标准方程是________________．解析：(1)设圆心(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝5，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x

2＋(y＋8)2＝25.答案：(1)x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25(2)与直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)且经过点(9,6)的圆的标准方程是________________．解析：(2)因

为圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6.其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－52＝－57(x－132)，即5

x＋7y－50＝0上，所以由y＝－6x＋23，5x＋7y－50＝0，解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.答案：(2)(x－3)2＋(y

－5)2＝37(3)过A(5,1)，B(1,3)两点圆心在x轴上的圆的标准方程是________________．解析：(3)线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，半径r＝(5－2)2＋(1－0)2＝10，∴圆的标准方程

为(x－2)2＋y2＝10.答案：(3)(x－2)2＋y2＝10题型二点与圆的位置关系的判断及应用——自主完成1．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定解析：∵m2＋25＞24，∴点

P在圆外．故选A.答案：A2．已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为________．解析：由题意，点A在圆C上或圆C的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，∴2a＋5≥0，∴a≥

－52.∵a≠0，∴a的取值范围为[－52，0)∪(0，＋∞)．答案：[－52，0)∪(0，＋∞)方法归纳1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号

，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．题型三与圆有关的最值问题——师生共研例2已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，求x2＋y2的最值．首先观察x，

y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值.解析：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的

距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94和14.变式探究1本例条件不变，求yx的取值范围．解析：设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x，y)与点(0,0)连线的斜率

，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是[－33，33].变式探究2本例条件不变，求x＋y的最值．解析：令y＋x＝b并将其变形为y

＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.方法归纳与圆有关的最值

问题的常见类型及解法1．形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb截距的最值问题．3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为

动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．跟踪训练2已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．解析：设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.∵|

CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.易错辨析利用函数的思想处理问题时忽略了函数的定义域例

3已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为________．解析：设P(a，b)则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(a＋2)2＋(b＋2)2＋(a＋2)2＋(b－6)2＋(a－4)

2＋(b＋2)2＝3a2＋3b2－4b＋68.∵点P在圆x2＋y2＝4上运动∴a2＋b2＝4∴a2＝4－b2≥0，∴－2≤b≤2∴3a2＋3b2－4b＋68＝12－3b2＋3b2－4b＋68＝－4b＋80，因为y＝－4b＋80是[－2,2]上的减函数．所以函数

的最大值为88.∴|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88.答案：88【易错警示】易错原因纠错心得因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以在利用函数的思想处理时，容易忽略求b的范围出错.本题自变量b的范围，可以

像解析中的进行推导，也可以直接观察圆的图象，发现b的取值范围是[－2,2].