【文档说明】广东省深圳中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 含解析.docx,共(18)页,1.236 MB,由管理员店铺上传
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深圳中学2022-2023学年度第一学期期中考试试题高一数学考试时长:120分钟卷面总分:150分注意事项:答案写在等题卡指定的位置上.写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B铅笔.一、单选题(每小题5分,共40分.每个小题仅有一个答案是正确的)1.设全集U=R,
集合25Axx=,13Bxx=,则集合()UAB=ð()A.()2,3B.(2,3C.)3,5D.()3,5【答案】C【解析】【分析】先求出UBð,由交集的定义即可得出答案.【详解】因13
Bxx=,所以UB=ð1xx或3x,所以A()UB=ð)3,5.故选:C.2.已知函数1123fxx+=+.则()2f的值为()A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意,令112x+=可得x的值
,将x的值代入1(1)23fxx+=+,即可得答案.【详解】解:根据题意,函数1(1)23fxx+=+,若112x+=,解可得1x=,将1x=代入1123fxx+=+,可得()25f=,故选:B
.3.“1n=”是“幂函数()()22333nnfxnnx−=−+在()0,+上是减函数”的一个()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A为【解析】【分析】由幂函数()()
22333nnfxnnx−=−+在()0,+上是减函数,可得2233130nnnn−+=−,由充分、必要条件的定义分析即得解【详解】由题意,当1n=时,()2fxx−=在()0,+上是减函数,故充分性成立;若幂函数()()2233
3nnfxnnx−=−+在()0,+上是减函数,则2233130nnnn−+=−,解得1n=或2n=故必要性不成立因此“1n=”是“幂函数()()22333nnfxnnx−=−+在()0,+上是减函数”的一个充分不必要条件故选:A4.已知0x
,0y,且2xyxy+=,则2xy+的最小值为()A.8B.82C.9D.92【答案】C【解析】【分析】由已知等式可得211yx+=,根据()2122xyxyyx+=++,利用基本不等式可求得结果.【详解】由
2xyxy+=,0x,0y得:211yx+=,()212222225529xyxyxyxyyxyxyx+=++=+++=(当且仅当22xyyx=,即3x=,3y=时取等号),2xy+的最小值为9.故选:C.5.已知22loglog0ab+=(0a
且1a,0b且1b),则函数()1()xfxa=与()logbgxx=图像可能是()的AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由对数的运算性质可得ab=1,讨论a,b的范围,结合指数函数和对数函数的图像的单调性
,即可得到答案.【详解】22loglog0ab+=,即为2log0ab=,即有ab=1;当a>1时,0<b<1,函数()1()xfxa=与()logbgxx=均为减函数,四个图像均不满足,当0<a<1时,b>1,函数数()1()xfxa=与()logbg
xx=均为增函数,排除ACD,在同一坐标系中的图像只能是B,故选:B.6.已知函数(),0()23,0xaxfxaxax=−+,满足对任意x1≠x2,都有()()1212fxfxxx−−0成立,则a的取值范围是()A.a∈(0,1)B.a∈[
34,1)C.a∈(0,13]D.a∈[34,2)【答案】C【解析】.【分析】根据条件知()fx在R上单调递减,从而得出012031aaa−,求a的范围即可.【详解】∵()fx满足对任意x1≠x2,都有()()1212fxf
xxx−−0成立,∴()fx在R上是减函数,∴00120(2)03aaaaa−−+,解得103a,∴a的取值范围是10,3.故选:C.7.设()fx是定义域为R的奇函数,且()()1
fxfx+=−.若1133f−=,则53f=()A.53−B.13−C.13D.53【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得:5222
13333ffff=+=−=−,而21111133333ffff=−==−−=−,故5133f=.故选:C.【点睛】关键点点睛:本
题主要考查了函数奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8.我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药,并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c(t)(单位:mg/L)随着
时间t(单位:h)的变化用指数模型()0ektcct−=描述,假定某药物的消除速率常数0.1k=(单位:1h−),刚注射这种新药后的初始血药含量的02000mg/Lc=,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效,现给某新冠病人注射了这种新
药,则该新药对病人有疗效的时长大约为()(参考数据:ln20.693,ln31.099)A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h【答案】C【解析】【分析】利用已知条件()0.100ee200ktttcc−−==
,该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为1t,转化求解即可.【详解】解:由题意得:()0.100ee200ktttcc−−==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为1t()10.112
0001000ettc−=10.12e1t−故0.1ln2t−−,ln26.930.1t故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h故选:C二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,部分选对
的得2分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是()A.若ab,0c,则22acbcB.若ab,0c,则33acbcC.若0ab,则22aabbD.函数2254xyx+=+的最小值是2【答案】BC【解析】【分析】对于A选项,取特殊值即可判断正误;对于B、C选项
,根据不等式的运算性质即可判断正误;对于D选项,将函数化简为22144yxx=+++,)242,xt+=+,然后根据对勾函数的单调性即可判断正误【详解】对于A选项,取2a=,3b=−,1c=−,则22acbc,故A错误;对于B选项
,ab,33ab,0c,33acbc,故B正确;对于C选项,0abQ,2aab,2abb,22aabb,故C正确;对于D选项,函数()222222241514444xxyxxxx+++===+++++,令)242,xt+=+,由函数1ytt=+
在)2,t+上单调递增,15222y+=,故D错误.故选:BC10.下列说法正确的是()A.命题“Rx,21x−”的否定是“Rx,21x−”B.函数()()log231afxx=−+(0a且1a)的图象恒过定
点()2,1C.()1ln1xfxx−=+为奇函数D.函数()225fxxx=−+的单调递增区间为1,0−,)1,+【答案】BCD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定可判断A,利用对数函数的性质可判断B,根据奇函数的定义可判断C,根据二次函数的性质可判断D.【详解
】因为命题“Rx,21x−”的否定是“Rx,21x−”,故A错误;因为()()log231afxx=−+,令231x−=,可得2,1xy==,即函数图象恒过定点()2,1,故B正确;因为(
)1ln1xfxx−=+,可知定义域为()1,1−关于原点对称,又()()11lnln11xxfxfxxx+−−==−=−−+,故函数为奇函数,故C正确;因为()22225,02525,0xxxfxxxxx
x−+=−+=++,所以函数的单调递增区间为1,0−,)1,+,故D正确.故选:BCD.11.关于函数()41412xxxfxa−=+−,下列结论中正确的是()A.当0a=时,()fx是增函数B.当0a=时
,()fx的值域为()1,−+C.当1a=时,()fx是奇函数D.若()fx的定义域为R,则2a【答案】ACD【解析】【分析】根据复合函数的单调性可判断A,根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B,根据奇函数的定义可判
断C,根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.【详解】当0a=时,()41214141xxxfx−==−++,由函数41xy=+单调递增,函数21yu=−在()0,+上单调递增,所以()2141xfx=−+在R上单调递增,故A正确;因为1411,0141xx++,
22041x−−+,所以()()41211,14141xxxfx−==−−++,故B错误;当1a=时,()41412xxxfx−=+−定义域为R,而()()4114412142xxxxxxfxfx−−−−−−===−+−+−,所以()fx是奇函数,故C正确;若(
)fx的定义域为R,则4201xxa−+恒成立,即412xxa+,因为4112222xxxx=++,当且仅当122xx=,即0x=时取等号,所以2a,故D正确.故选:ACD.12.已知函数()()2,Rfxxaxabab=+−+,若非空集合()0Axfx=,()()
11Bxffx=+,AB=,则下列说法中正确的是()A.b为常数B.b的取值与a有关C.022aD.424a−−【答案】AC【解析】【分析】不妨设()1fx的解集为[,]mn,可得{|1()1}Bxmfxn=−−,由AB=,解得0
a或4a−,又m,()nmn为方程()1fx=的两个根,可得1ma=−−,进而求出a的取值范围.【详解】不妨设()1fx的解集为[,]mn,则有()1mfxn+,∴{|[()1]1}{|()1}{|1()1}Bxffxxmfxnxmfxn=+
=+=−−,由AB=,得10n−=且min()1fxm−,由()fnf=(1)1=得0b=,故A正确,B错误;∴2()fxxaxa=+−,∵()0Axfx=,240aa=+,解得0a或4a−,又m,()nmn为方程()
1fx=的两个根,∴1ma=−−,∴2min4()24aafxa−−=−−,解得2222a−,∴[0,22]a,故C正确,D错误.故选:AC.三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.若23mnk==,且121+=mn,则实数k的值为______.【答案】18【解析】【分
析】由指对数互化可得2logmk=,3log=nk,代入题设等式,结合换底公式及对数运算性质即可求k的值.【详解】由题设,2logmk=,3log=nk,所以231212lloglogog2log9log181kk
kmnkk+=+=+==,则18k=.故答案为:18.14.已知函数()fx为R上奇函数,当0x时,()223fxxx=+−,则0x时,()fx=__________.【答案】223xx−++【解析】【分析】根据奇函数定义即得.【详解】当0x
时,0x−,则2()23fxxx−=−−,因为函数为奇函数,所以()2()23fxfxxx−=−=−−,即()223fxxx=−++.所以当0x时,()223fxxx=−++.故答案为:223xx−++.15.
方程()2250axxa−−++=的一根大于1,一根小于1,则实数a的取值范围是__________.【答案】(),2−−【解析】【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系,结合二次函数的性质即得.【详解】∵方程
()2250axxa−−++=的一根大于1,另一根小于1,令()22()5axxfxa−−++=,则()(1)1025afa−−++=,解得2a−.故答案为:(),2−−.16.不等式()222
2log2logxxxx−−+−的解集为__________.【答案】()0,2【解析】【分析】先根据对数函数确定取值范围,在判断()22()log2logfxxx=+−和2()2gxxx=−−的单调性以及特殊点点大小,最后根据双方单调性以及临界值
得到解集.【详解】根据对数函数性质可知()200,0xxx++令()()222222222212()log2loglog2logloglogxfxxxxxxxx+=+−=+−==+根据幂函数单调性可知212xx+在()0,+单调递减
,所以()fx在()0,+单调递减且(2)0f=,当()0,2x时()0fx,)2,x+时()0fx令2()2gxxx=−−,当()0,2x时()0gx,)2,x+时()0gx因此当()0,2x时,()()gxfx故答案为:
()0,2四、解答题(共6小题,共70分,其中17题10分,其余题目都是12分)17.已知集合=02Axx,=32Bxaxa−.(1)若()RRAB=ð,求实数a的取值范围;(2)若ABB=,求实数a的取值范围.【答案】(1)(,0−
(2)1,2+【解析】【分析】(1)求出ARð,根据题意列出不等式组,求解即可;(2)由ABB=得BA,分B=,B两种情况讨论可求得a的取值范围.【小问1详解】由集合=02Axx,所以R=<0>2Axxx或ð,又=
32Bxaxa−,()RRAB=ð,所以320322aaaa−−,解得0a;所以实数a的取值范围是(,0−.【小问2详解】若ABB=,则BA,当B=时,32aa−,解得1a;当B时,
有1a,要使BA,则0322aa−,解得112a,综上,实数a的取值范围是1,2+.18.已知函数()221fxxx=−++.(1)画出()fx的图象;(2)求()4fx的解集.【答案】(1)图象见解析;(2){1xx或7}3x.【解析】【分析】
(1)利用零点分段法,得到分段函数()fx,再画出函数的图象;(2)根据分段函数,分段解不等式即得.【小问1详解】当1x−时,()()()22133fxxxx=−+−−=−+;当12x−时,()()2215
fxxxx=−++=−+;当2x时,()()22133fxxxx=−++=−;故()33,15,1233,2xxfxxxxx−+−=−+−−,函数图象如图所示:;【小问2详解】由题得,当1x−时,334x−+,解得13
x−,则1x−;当12x−时,54x−+,解得1x,则1<1x−;当2x时,334x−,解得73x,则73x;综上,()4fx的解集为{1xx或7}3x.19.设0a且1a,函数()()()log1log3aa
fxxx=++−的图象过点()1,2.(1)求a的值及()fx的定义域;(2)求()fx在30,2上的单调区间和最大值.【答案】(1)2a=,()1,3−(2)单调增区间为0,1,单调减区间为31,2;最大值为2【解析】【
分析】(1)根据对数函数得性质和计算规则计算即可;(2)复合函数单调性根据内外函数同增异减,先判断内函数单调性,再判断外函数单调性即可.【小问1详解】∵函数()()()log1log3aafxxx=++−的图象过
点()1,2,∴()()log11log312aa++−=,∴log42a=,即24a=,又0a且1a,∴2a=,要使()()()22log1log3fxxx=++−有意义,则101330xxx+−−
,∴()fx的定义域为()1,3−;【小问2详解】()()()2log13fxxx=+−,令()()()21314txxx=+−=−−+∵302x,∴()214tx=−−+的最大值为4,此时1x=,且t在0,1单调递增,单
调递减31,2∴()fx在30,2上的单调增区间为0,1,单调减区间为31,2,最大值为2.20.已知函数()331xxafx−=+为奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断()fx在R上的单调性(不必证明);(3)解关于t的不等式()()
222210fttft−+−.【答案】(1)1a=(2)单调递增(3)113tt−【解析】【分析】(1)根据(0)0f=求出1a=,再由奇函数的定义验证即得;(2)根据指数函数的单调性即得;(3)根据函数的奇偶性及单调
性可得22212ttt−−,解不等式即得.【小问1详解】因为()fx定义在R上的奇函数,可得Rx,都有()()fxfx−=−,令0x=,可得()003100312aaf−−===+,解得1a=,所以()3131−=+xxfx,此时满足()()31313131xxxxfxf
x−−−−−==−=−++,所以函数()fx是奇函数,所以1a=;【小问2详解】()fx在R上单调递增;理由如下:因为()31213131xxxfx−==−++,函数31xy=+单调递增,函数21yu=−在()0,+上单调递增,所以()2131xfx=−+在R
上单调递增;【小问3详解】因为()fx为奇函数,可得()()()22222112fttftft−−−=−,又()fx在R上单调递增,所以22212ttt−−,解得113t−,所以原不等式的解集为113tt−.21.(1)
若0m,求关于x的不等式()2110mxmx−++的解集;(2)若对任意1,2x,()2110mxmx−+−恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析;(2)3,2−.【解析】【分析】(1)分01m
,1m,1m=讨论,利用二次不等式解法即得;(2)法一,利用参变分离可得21xmxx+−对任意(1,2x恒成立,然后利用对勾函数的性质及反比例函数的性质可得21xyxx+=−的最值即得;法二,利用二
次函数的性质分类讨论即得.【详解】(1)令()()()()21111mxmxfmxxx=−++=−−,的当01m时,11m,所以()0fx的解集为11xxm;当1m时,11m,所以()0fx的解集为11xx
m;当1m=时,11m=,所以()0fx的解集为;综上,当01m时,不等式()2110mxmx−++的解集为11xxm,当1m=时,不等式()2110mxmx−
++的解集为,当1m时,不等式()2110mxmx−++的解集为11xxm;(2)法一:当1x=时,20−,成立;当(1,2x时,由题可得21xmxx+−对任意(1,2x恒成立,令21xyx
x+=−,则有minmy,(1,2x,()()21121312131xyxxxx+==+−++++−+,令211txx=+++,(12,3x+,根据对勾函数的性质可得113,3t,所以13,32yt=+−,所以当2x=时,min32y=,故实数m的取
值范围为3,2−;法二:令()()211fxmxmx=−+−,①当0m=时,()1fxx=−−,对任意1,2x,()()120fxf=−恒成立;②当0m时,函数()fx图象开口向上,若对任意1,2x,()0fx恒成立,只需()
()1020ff,解得32m,故当302m时,对任意1,2x,()0fx恒成立;③当0m时,对任意1,2x,10x−,10mx−,()()()11220fxmxx=−−−−恒成立;综上
可知,实数m的取值范围为3,2−.22.已知函数()fx满足如下条件:①对任意0x,()0fx;②()11f=;③对任意0x,0y,总有()()()fxfyfxy++.(1)写出一个符合上述条件的函数(写
出即可,无需证明);(2)证明:满足题干条件的函数()fx在()0,+上单调递增;(3)①证明:对任意的0s,()()22kkfsfs,其中*Nk;②证明:对任意的()()1*2,2Nkkxk−
,都有()122xfxfxx−−.【答案】(1)()()1afxxa=(答案不唯一)(2)证明见解析(3)①证明见解析;②证明见解析【解析】【分析】(1)根据条件设计一个函数即可;(2)根据条件,运用函数单调性的定义推导即可;(3)运用递推的方法先证明①,
再根据①的结论,考虑的x的区间即可证明.【小问1详解】()fxx=,()2fxx=,()3fxx=等,即形如()()1fxx=均可;【小问2详解】任取0xy,()()()()fxfyfxyyfy−=−+−.因为0
xy−,故()()()fxyyfxyfy−+−+且()0fxy−.故()()()()()0fxfyfxyyfyfxy−=−+−−.故()fx在()0,+上单调递增.【小问3详解】①由题意可知:对
任意正数s,都有()0fs,且()()()fsftfst++,在③中令xys==,可得()()22fsfs,即()()22fsfs;故对任意正整数k与正数s,都有()()()()()()()()112222
2222kkkkkkfsfsfsfsfsfsfsfs−−−=;②由①可知:对任意正整数k与正数s,都有()()22kkfsfs,故对任意正整数k与正数s,都有()()1122kkfsfs−−,令12ks−=,则()(
)1112212kkkff−−−=;对任意()()1*2,2kkxk−N,可得()112,2kkx−−,并且2122,2kkx−−12222kkx−−,又因为()11f=,所以由(2)中已经证明的单调性可知:()()()11122122kkkxfxff−−−=
,()111222kkffxx−−,所以()122xfxfxx−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com