【文档说明】【精准解析】专题50椭圆及其性质-（文理通用）【高考】.docx，共(36)页，1.780 MB，由小赞的店铺上传

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专题50椭圆及其性质最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.基础知识融会贯通1．椭圆的概念平面内与两个定点F

1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>

c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1.(2)点P(x0

，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.重点难点突破【题型一】椭圆的定义及应用【典型例题】如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周

上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|P

O|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选：A．【再练一题】已知F1（﹣3，0），F2（3，0），动点M满足|MF1|+|MF2|＝5，则点M的轨迹是（）A．双曲线B．椭圆C．线段D．

不存在【解答】解：∵F1（﹣3，0），F2（3，0），∴|F1F2|＝6，又|MF1|+|MF2|＝5＜6，∴点M的轨迹不存在．故选：D．思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．(2)通

常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．【题型二】椭圆的标准方程命题点1利用定义法求椭圆的标准方程【典型例题】已知椭圆的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），P是椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|，|PF2|等差中项，则椭圆的方程是（）A．

1B．1C．1D．1【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），∴|F1F2|＝2，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|＝|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|＝4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，

∵2a＝4，a＝2c＝1∴b2＝3，∴椭圆的方程是故选：C．【再练一题】已知某椭圆的焦点是F1（﹣4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|＝10，椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，

y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标．【解答】解：（1）由椭圆定义及条件，可得2a＝|F1B|+|F2B|＝10，得a＝5．又∵c＝4，∴b3．因此可得该椭圆方程为．（2）∵点B（4，yB）

在椭圆上，∴将x＝4，代入椭圆方程求得yB，可得|F2B|＝|yB|．∵椭圆右准线方程为x，即x，离心率e．根据圆锥曲线统一定义，得|F2A|（x1），|F2C|（x2）．由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得2|F2B|＝|F2A|+|F2C

|即（x1）（x2）＝2，由此解得x1+x2＝8．设弦AC的中点为P（x0，y0），可得中点横坐标为则x0（x1+x2）＝4．命题点2利用待定系数法求椭圆方程【典型例题】椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A．1B．1C．1或1D．1或1【解答】解：∵椭

圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴，解得a＝5，b2＝25﹣16＝9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．故选：D．【再练一题】已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C：1（a＞b＞0）的一个焦点重合，且点F关于

直线y＝x的对称点在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点Q（0，）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）由抛物线的焦点可得：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），点F关于直线y＝x的对称点为（0，1），故b＝1，c＝1，因此，∴椭圆方程为：．（2）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2＝1①当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的

方程为：②联立①②得，，∴定点M（0，1）．证明：设直线l：，代入，有．设A（x1，y1），B（x2，y2），，．则，（x2，y2﹣1）；（1+k2）x1x2k0，在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点．思维升华(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法

．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．【题型三】椭圆的几何性质【典型例题】已知

椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，，可得2

，即有2，即有e，故选：B．【再练一题】已知AB是椭圆的长轴，若把线段AB五等份，过每个分点作AB的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C，D，E，G四点，设F是椭圆的左焦点，则|FC|+|FD|+|FE|+|FG|的值是（）A．15B．16C．18D．20【解答】

解：椭圆的a＝5，b，c＝2，e，左准线方程为x，由题意可得xC＝﹣3，xD＝﹣1，xE＝1，xG＝3，由椭圆的第二定义可得，可得|FC|＝5xC，同理可得|FD|＝5xD，|FE|＝5xE，|FG|＝5xG，可得|FC|+|FD|+|FE|+|FG|＝20（

﹣3﹣1+1+3）＝20．故选：D．思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴

等基本量的内在联系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．基础知识训练1．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程2244xkyk+=表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）

A．4kB．4k=C．4kD．04k【答案】D【解析】由题得2214xyk+=，因为方程2244xkyk+=表示焦点在y轴上的椭圆，所以04k.故选：D2．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】

“02m”是“方程2212xymm+=−表示椭圆”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程2212xymm+=−表示椭圆，即020022mmmmm−−且1m所以“02m

”是“方程2212xymm+=−表示椭圆”的必要不充分条件故选C3．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一】已知椭圆C：2221(0)4xyaa+=，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上任一点，

若1242PFPF+=，则12FF=（）A．4B．23C．2D．3【答案】A【解析】据题意，得22a=，24b=，所以有242ca=−=，所以124FF=，故选A.4．【广东省东莞市2019届高三第二学期

高考冲刺试题（最后一卷)】已知椭圆C：()222124xyaa+=，直线:2lyx=−过C的一个焦点，则C的离心率为（）A．12B．13C．22D．223【答案】C【解析】椭圆C：()222124xyaa+=，直线:2lyx=−过椭圆C的一个焦

点，可得2c=，则2222abc=+=，所以椭圆的离心率为：22222cea===．故选：C．5．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为53，椭圆上

一点P到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为（）.A．8B．6C．5D．4【答案】A【解析】椭圆()222210xyabab+=的离心率：53cea==椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，即：212a=可得：6a=，25c=2236204bac=−=

−=则椭圆短轴长：28b=本题正确选项：A6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知圆锥曲线1C：221(0)mxnynm+=与2C：221(0,0)pxqypq−=的公共焦点为1F，2F．点M为1C，2C的一个公共

点，且满足1290FMF=，若圆锥曲线1C的离心率为34，则2C的离心率为（）A．92B．322C．32D．54【答案】B【解析】1C：22111xymn+=，2C：22111xypq−=．设11am=，21ap=，1MFs=，2MFt=，由

椭圆的定义可得12sta+=，由双曲线的定义可得22sta−=，解得12saa=+，12taa=−，由1290FMF=，运用勾股定理，可得2224stc+=，即为222122aac+=，由离心率的公式可得，2212112ee+=，∵134e=

，∴2292e=，则2322e=．故选：B．7．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模)】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图

中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A．125B．340C．18D．35【答案】B【解析】如下图，F为月球的球心，月球半

径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF｜＝100＋1738＝1838，｜BF｜＝400＋1738＝2138.2a＝1838＋2138，a＝1988，a＋c＝2138，c＝2138－1988＝150，

椭圆的离心率为：1503198840cea==，选B.8．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】已知点F1，F2是椭圆2222xyab+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P的延长线上，且|PQ|=|2PF|，若|PQ|的最小值为1，最大值为

9，则椭圆的离心率为（）A．35B．13C．45D．19【答案】C【解析】因为2||,||PQPFPQ=的最小值为1，最大值为9，∴|PF2|的最大值为a+c=9，最小值为a-c=1，∴a=5，c=4．∴椭圆的离心率为e=45ca=，故选：C．9．【河南省八市重点高中

联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知椭圆C：()222210,0xyabab+=的右焦点为F，过点F作圆222xyb+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A．12B．22C．23D．63【答案】D【解析】如图，由题意可得，2bc=，则2b2＝c2，即2（a2﹣c2）

＝c2，则2a2＝3c2，∴2223ca=，即e63ca==．故选：D．10．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系xOy中，已知点,AF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于,PQ两点

，线段AP的中点为M，若,,QFM三点共线，则椭圆C的离心率为()A．13B．23C．83D．32或83【答案】A【解析】如图设()()0000,,,PxyQxy−−,又(,0),(,0)AaFc，00,22xayM+

,,,QFM三点共线,MFQFkk=0000022yyxacxc−=++−,即00002yycxxac=++−,002cxxac+=+−,3ac=,13cea==,故选A.11．【广东省揭阳市2019届高三高考二模】设F是椭

圆2222:1(0)xyEabab+=的右焦点，A是椭圆E的左顶点，P为直线32ax=上一点，APF是底角为030的等腰三角形，则椭圆E的离心率为A．34B．23C．12D．13【答案】B【解析】如图，设直线32ax=与x轴的交点为C，因为由椭圆性质可知，3,2aPFAFacFCO

COFc==+=−=−，由题意可知031260,cos,2acFCPFxPFxPFac−====+解得23cea==，故选B.12．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第一次教学质量检查考试】已知1F，2F是椭圆22xy143+=的左右焦点，点M的坐标为31,2−

，则12FMF的角平分线所在直线的斜率为()A．2−B．1−C．3−D．2−【答案】A【解析】31,2A−，1F，2F是椭圆22143xy+=的左右焦点，()11,0F−，1AFx⊥轴，132AF=，252AF=，

点()21,0F关于12FAF的角平分线l对称的点F在线段1AF的延长线上，又252AFAF==，11FF=，()1,1F−−，线段2FF的中点10,2−，12FAF的角平分线l的斜率13122210k−−==−−−．故选A．13．【江苏省高三泰州中学、

宜兴中学、梁丰2019届高三第二学期联合调研测试】椭圆T：22221(0)xyabab+=的两个顶点(,0)Aa，(0,)Bb，过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），若3BCAD=，则椭

圆T的离心率为_____．【答案】63【解析】依题意可得1BCADABakkkb==−=，因为过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），所以直线BC：ayxbb=+，直线AD：()ayxab=−．由()4423222222220ayxbbaxabxbbxayab

ì=+ï?+=íï+=î，所以3232444422CBCababxxxbaba−−+==++.由()4425624222222()20ayxabaxaxaabbbxayabì=-ï?-+-=íï+=î，所以62444

ADaabxxab−=+，5444Daabxba−=+.因为()210CaCBxb骣琪=+?琪桫，()21DaADaxb骣琪=+?琪桫，由3BCAD=可得33DCxxa−=，所以223ab=，椭圆T的离心率22161133bea=−=−=，故答案为：63。14．【北京市昌平区2019届高三5月综

合练习（二模)】已知平面内两个定点(3,0)M和点(3,0)N−，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)aa，设点P的轨迹为C.①存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)−距离之和为

定值；②存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)−距离之和为定值；③不存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)−距离差的绝对值为定值；④不存在常数(0)aa，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)−距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_____

__________.（填出所有正确命题的序号）【答案】②④【解析】设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：33yyaxx=+−，整理，得：22199xya−=，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：29＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，

点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：22199yxa+=−，则9916a−−=，解得：259a=−，符合；对于③，当79a=时，22197xy−=，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即22199yxa+=−，不

可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.15．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试】已知点M在以,AB为焦点的椭圆上，点C为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：①2MAMBMC+=；②||2||2||MAMBMC==，则该椭圆

的离心率为__________．【答案】63【解析】依据题意作出图形如下：因为O为AB的中点，所以2MAMBMO+=又2MAMBMC+=，所以C与原点O重合.设MAm=，则2mMB=，2mMO=由椭圆定义可得：22mMAMBma+=+=所以43am=，223

ma=在OBM及ABM中，由余弦定理可得：()222222242223333cos2222233aaaaccBaacc+−+−==整理得：2296ca=所以226693cea===16．【安徽省合肥市2019届高三第三次教

学质量检测】如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球1O，球2O的半径分别为3和1，球心距离

128OO=,截面分别与球1O，球2O切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．【答案】255【解析】如图，圆锥面与其内切球1O，2O分别相切与B,A，连接12,OBOA则1

OBAB^，2OAAB^，过1O作12ODOA^垂直于D，连接12,OFOE，EF交12OO于点C设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为在12RtOODD中，2312DO=-=，22182215OD=-=11221515cos84OOODa\===128OO=

218COOC\=-21EOCFOCDD11218OCOCOEOF-\=解得1=2OC222211213CFOFOC\=-=-=即13cos2CFOCb==则椭圆的离心率3cos252cos5154eba===17．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知椭圆22221(0

)xyCabab+=：的左顶点为(20)M−，，离心率为22．(1)求椭圆C的方程；(2)过点(10)N，的直线l交椭圆C于A，B两点，当MAMB取得最大值时，求MAB△的面积．【答案】（1）22:1

42xyC+=；（2）362【解析】(1)由题意可得：2a=，22ca=，得2c=，则2222bac=−=.所以椭圆C的方程:22:142xyC+=(2)当直线l与x轴重合，不妨取(2,0),(2,0)AB−，此时0MAMB=当直线l与x轴不重合，设直线l的

方程为：1xty=+,设1122(,),(,)AxyBxy，联立221142xtyxy=++=得22(2)230tyty++−=，显然，12222tyyt−+=+，21232yyt−=+.所以1212(

2)(2)MAMBxxyy=+++1212(3)(3)tytyyy=+++21212(1)3()9tyytyy=++++22232(1)3922ttttt−−=+++++22233692ttt−−−=++229392tt−−=++2152t=+当0t=时，MAMB取最大

值152.此时直线l方程为1x=，不妨取66(1,),(1,)22AB−，所以6AB=.又3MN=,所以MAB的面积1366322S==18．【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)】已知椭圆()2222:10xyCaba

b+=的离心率为63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设与圆O：2234xy+=相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。【

答案】（Ⅰ）2213xy+=；（Ⅱ）32.【解析】解：（I）由题设：6,23cbca==，解得223,1ab==∴椭圆C的方程为2213xy+=（Ⅱ）.设()()1122,x,AxyBy、1.当AB⊥x轴时，3AB=2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm=+由已知2321mk=

+，得()22314mk=+把ykxm=+代入椭圆方程消去y，整理得()222316330kxkmxm+++−=,有()2121222316,3131mkmxxxxkk−−+==++()()()()()

222222212222121361k13131mkmABxxkkk−=+−=+−++,()()()()()()2222222221213131913131kkmkkkk++−++==++,()242221212330196196kkkkkk=+=+++++,123423

6+=+,当且仅当2219,kk=，即33k=时等号成立.当0k=时，3AB=综上所述max2AB=，从而△AOB面积的最大值为3219．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试】已知椭圆()2222:10xyEabab+=经过点()0,1C，且离心率为2

2.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线1:3lykx=−与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数，使AMCABC=∠∠恒成立，并说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在.【解析】（1）由题意知1b=，22ca=.又因为222abc=+解

得1225，2a=.所以椭圆方程为2212xy+=.（2）存在常数()fx，使AMCABC=∠∠恒成立.证明如下：由221312ykxxy=−+=得()2291812160kxkx+−−=，且.设()11,Axy，

()22,Bxy，则1221221291816918kxxkxxk+=+=−+,又因为()11,1CAxy=−，()22,1CBxy=−，()()()()2121212121212444

161113339CACBxxyyxxkxkxkxxkxx=+−−=+−−=+−++()22216412161091839189kkkkk−=+−+=++,所以CACB⊥.因为线段AB的中点为M，所以MCMB=，所以2AMCABC=.所以存在常数()

fx，使AMCABC=∠∠恒成立.20．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标I)】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的短轴长为42，离心率为13.（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为1F、2F，左、右顶点分别为A、B，点M、N为椭圆C上

位于x轴上方的两点，且12//FMFN，记直线AM、BN的斜率分别为1k、2k，若121+2kk=−，求直线1FM的方程.【答案】（1）22198xy+=；（2）163160xy−+=【解析】（1）由题意，得242b=，13ca=

,又222acb−=3a=，22b=，椭圆C的方程为22198xy+=（2）由（1）可知：()30A−,，()3,0B，()11,0F−，()21,0F由题意，设直线1FM的方程为1xmy=−记直线1FM与椭圆的另一交点为M，设()()111,0Mxyy

，()22,Mxy12//FMFN，根据对称性，得()22,Nxy−−联立221198xmyxy=−+=得：()228916640mymy+−−=1221689myym+=+，1226489

yym=−+由121+2kk=−得：12121222yymymy+=−++即()()()2121242440mmyymyy+++++=()()2226441624408989mmmmmm−++++=++解得：316m=直线1FM的

方程为3116xy=−，即：163160xy−+=.21．【天津市滨海新区2019届高三毕业班质量监测】已知椭圆()222210xyabab+=的左焦点在抛物线243yx=的准线上，且椭圆的短轴长为2，12FF，分别为椭圆的左，右焦点，AB，分别为椭圆的左，右顶点，设点P在第一象限

，且PBx⊥轴，连接PA交椭圆于点C，直线PA的斜率为k.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求k的值；（Ⅲ）设点N为AC的中点，射线NO（O为原点）与椭圆交于点M，满足2614tankAMCMAMC+=，求

k的值.【答案】（Ⅰ）2214xy+=（Ⅱ）()204kk=（Ⅲ）36k=【解析】解：（Ⅰ）由已知得，31cb==，，故2a=，椭圆方程为：2214xy+=，（Ⅱ）设PC直线方程为()22(2)2,14ykxykxxy=+=+

+=∴()222241161640kxkxk+++−=∴()22161244ckxk−−=+∴228241ckxk−+=+∴2441ckyk=+，令2x=∴()24Pk，∴22144224141AO

CkkSkk==++∴2322128324224141PBCkkSkkk−=−=++∵PBCAOCSS=∴()204kk=（Ⅲ）由（II）和中点坐标公式，得22282,4141kkNkk−++，设NO

所在直线方程为14yxk=−，则22444xykxy=−+=，∴2221641kxk=+∴22414141kMkk−++，，M到直线NO的距离：222241241411kkkdACkk+++==++，，2614tankAMCMAMC+=，∴2sin

614coscosAMCkAMCMAMCAMC+=即2341AMCSk=+，22AMC2223141241241411kkkSkkk+++==+++，化简得2414kk+=，∵0k，∴36k=.2

2．【天津市河北区2019届高三一模】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=过点()2,1，且离心率为32（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过原点的直线1l与椭圆C交于P、Q两点，且在直线2:260lxy−+=上存在点M，使得MPQ为等边三

角形，求直线1l的方程。【答案】（Ⅰ）22182xy+=（Ⅱ）y=0或y=23x【解析】（Ⅰ）由题2222241132abceaabc+====+解得a=22,b=2,c=6,椭圆C的方程为22182xy+=（Ⅱ）由题，当1l的

斜率k=0时，此时PQ=42,直线2l:xy260−+=与y轴的交点（0，26）满足题意；当1l的斜率k0时，设直线1:,lykx=与椭圆联立22182ykxxy=+=得()2214kx+=8,2281

4xk=+,设P（00xy，）,则Q（00xy−−，）,()22222200002228188,,141414kkxyPOxykkk+===+=+++,又PQ的垂直平分线方程为1yxk=−，由1260yx

kxy=−−+=，解得261261kxkyk=−+=+,2626M,11kkk−++,()()222411kMOk+=+,∵MPQ为等边三角形3,MOPO=即()()()2222241813141kkkk++=++，解得k=

0(舍去)，k=23,直线1l的方程为y=23x综上可知，直线1l的方程为y=0或y=23x能力提升训练1．【安徽省宣城市2019届高三第二次调研测试】已知1F，2F分别为椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点

，延长1PF交椭圆于点Q，若2PFPQ⊥，且2PFPQ=，则椭圆的离心率为（）A．63−B．21−C．32−D．22−【答案】A【解析】解：PF2⊥PQ且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|＝

t，则|QF2|＝2t，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a﹣t，224tta+=则t＝2（2﹣2）a，在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a﹣t）2＝4c2，4（6﹣42）a2+（12﹣82）a2＝4c2，化为c2＝（9﹣62）a2，可得e＝ca＝63−．故选A.2．【安徽省宣城市20

19届高三第二次调研测试】已知双曲线221(0,0)xymnmn−=和椭圆22152xy+=有相同的焦点，则41mn+的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】∵双曲线221(0,0)xymnm

n−=和椭圆22152xy+=有相同的焦点，∴523mn+=−=∴()4114114145523333nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=当且仅当4nmmn=，即22mn==时，等号

成立，∴41mn+的最小值为3故选：B3．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考】已知F是椭圆C：22132xy+=的右焦点，P为椭圆C上一点，)22,1(A，则PAPF+的最大值为（）A．42+B．42C．43+D．43【答案】D【解析】如图，设椭圆

的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝23；又F′（﹣1，0），|AF′|22(11)2223=−−+=（），∴|PA|+|PF|＝23+|PA|﹣|PF′|，根据图形可以看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|

23=，∴|PA|+|PF|的最大值为232343+=，故选：D．4．【河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一(B卷))】已知椭圆()222210xyabab+=，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于,AB两点，且AB的中点为11,2M

，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M，则121221xxyy+=+=，，又因为A、B在椭圆上所

以22221122222211xyxyabab+=+=，两式相减，得：2121221212yyyybxxxxa−+=−−+∵12121212b1c2ABFPOMyyyykkkxxxx，−+===−==−+,∴22b2cba=，，∴22abc=，平方可得()42224a

acc=−,∴22ca=12,c2a2=，故选A.5．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知椭圆O：2221(3)3xyaa+=的左、右焦点分别为1F，2F，过左焦点1F的直线l与椭圆的一个交点

为M，右焦点2F关于直线l的对称点为P，若1FMP为正三角形，且其面积为3，则该椭圆的离心率为（）A．32B．22C．12D．33【答案】C【解析】设正1FMP的边长为m，则2334m=，∴2m=．又由椭圆的定义可知1214MFMFMFMP+=+=，∴24a=，解得2a=，又由

题可知3b=，∴1c=，∴12cea==．故选C．6．【湖北省八市（黄石市.仙桃市.天门市.潜江市.随州市.鄂州市.咸宁市.黄冈市)2019届高三3月联合考试】设椭圆22214xym+=与双曲线22214xya−=在第一象限的交点为12,,TFF为其共同的左右的焦点，且14TF，若椭

圆和双曲线的离心率分别为12,ee，则2212ee+的取值范围为A．262,9B．527,9C．261,9D．50,9+【答案】D【解析】依题意有m2﹣4＝a2+4，即m2＝a2+8

，∴()()22222212224222244432288amaeemaaaaa+−++=+==+++，2212121TFTF2a8,TFTF2|a|,TFa8|a|4+=+−==++，解得242424

21132501,089,,28989aaaaaaa++++22123250299ee++=.故选：D．7．【上海市七宝中学2019届高三下学期开学考试】已知1F，2F分别是椭圆22xy11612+=的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则121PFPFPF−的取值范围是__

____．【答案】0,2【解析】解：()()11111211118882PFPFPFPFPFPFPFPFPFPF−−−−−===−，因为126PF且函数82yx=−在2,6x上单调递增，所以182223PF−−，故1

820,2PF−．故答案为：0,2．8．【上海市虹口区2019届高三二模】已知1F、2F是椭圆22:13627xyC+=的两个焦点，点P为椭圆C上的点，1||8PF=，若M为线段1PF的中点，则线段OM的长为________【答案】2【解析】F1、F2是椭圆22

13627xyC+=：的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：12|PF2|＝2．故答案为：2．9．【北京市首都师范大学附属中学2019届

高三一模】椭圆M：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为椭圆M上任一点，且12PFPF的最大值的取值范围是222,3cc，其中22cab=−，则椭圆M的离心率e的取值范围是_____.【答案】32[,]32【解析】()()222212PFP

Faexaexaexa=+−=−12PFPF的最大值为2a由题意知22223cac23cac3232e故椭圆M的离心率e的取值范围32,32本题正确结果：32,3210．【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三第一次模拟考试】已知椭圆224

3xy+=1的左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线1l与过2F的直线2l交于点M，设M的坐标为()00,xy，若12ll⊥，则下列结论序号正确的有______．①204x+203y＜1②204x+203y＞1③04x+03y＜1④2200431xy+【答案】①③④【解析】()()1

21,0,1,0FF−，因为12ll⊥，120MFMF=，所以()()()()0000110xxyy−−−+−−=即22001xy+=，M在圆221xy+=上，它在椭圆的内部，故2200143xy+，故①正确，②错误；O到直线143xy+=的距

离为3412155=，O在直线143xy+=的下方，故圆221xy+=在其下方即00143xy+，故③正确；22220000431xyxy++=，但222200004,3xxyy==不同时成立，故22220000431xyxy++=，故④成立，综上，填①③④．获得更多资

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