【文档说明】广西南宁市第三中学2020-2021学年高二12月月考数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.810 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-南宁三中2020～2021学年度上学期高二月考（三）理科数学试题一、单选题，共12题，每题5分，共60分．请把答案填涂到答题卡相应位置．1.已知集合()22,194xyAxy=+=，(),Bxyy

x==，则AB中有几个元素（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】判断出椭圆22194xy+=与直线yx=的交点个数，即可选出答案.【详解】由题，联立22194xyyx+==，消去

y得213360x−=，则413360=，即椭圆22194xy+=与直线yx=有两个交点，所以AB中有2个元素，故选：B2.焦点坐标为()()0,3,0,3−，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）A.22110091xy+=B.2100y2191x+=C.2212516yx+=D.221

2516xy+=【答案】C【解析】【分析】根据长轴长算出a后可得b的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】因为长轴长为10，故长半轴长5a=，因为半焦距3c=，故4b=，又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为2212516yx+=，故选C【点睛】求椭圆的标准方程，关

键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点-2-的位置与标准方程形式上的对应.3.“2=”是“cos0=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】【详解】当cos0=时，,

2kkZ=+，故“2=”是“cos0=”的充分不必要条件．故选：A.4.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.恰有一个红球与恰有二个红球D.至少有一个红球与至少

有一个白球【答案】C【解析】【分析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事

件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.5.若曲线22xy12k2k+=−+表示

椭圆，则k的取值范围是()A.k2B.k2−C.2k2−D.2k0−或0k2-3-【答案】D【解析】【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得k的取值范围．【详解】由题设可得202022kkkk−+

−+，解得22,0kk−，故选D．【点睛】对于曲线221xymn+=，（1）如果该曲线为椭圆，则0,0,mnmn，更一步地，如果表示焦点在x轴上的椭圆，则有0mn；如果表示焦点在y的椭圆，则0nm；（2）如果该曲线为双曲线，则0mn，更一步地，如果

表示焦点在x轴上的双曲线，则有0,0mn；如果表示焦点在y的双曲线，则0,0nm．6.若点P在椭圆2212xy+=上，1F、2F分别是椭圆的两焦点，且1290FPF=，则12FPF的面积是（）A.12B.32C.1D.2【

答案】C【解析】【分析】由题意结合椭圆的定义和勾股定理确定12FPF的面积即可.【详解】设12,PFmPFn==，利用椭圆的定义和勾股定理有：22222244mnamnc+==+==，则：()()2

2224=+−+=mnmnmn，12FPF的面积112Smn==.本题选择C选项.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．7.某

种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从中抽出2听，检测到不合格的概率为（）-4-A.25B.35C.815D.115【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据题意写出任取2听的所有可能事件，然后写出有不合格饮料的所以可能事件，最后两者相除，即可得出结果.【详解】设6听饮料中的2听不合格饮料

为a、b，其余4听合格饮料为A、B、C、D，从中任取2听的所有可能事件为：AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab共15种，其中有不合格饮料的所以可能事件为：Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db、ab共9种，则检测到不合格的概率931

55P==，故选：B.【点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否找出所有的可能事件以及满足限制条件的所有可能事件是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.8.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆22143yx+=上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为

()A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|PA|＋|PB|的最大值即可.详解：∵椭圆方程为22143yx+=，∴焦点坐标为()0,1B−

和()0,1B，连接PBAB、，根据椭圆的定义，得24PBPBa+==，可得4PBPB=−，因此(4)4()PAPBPAPBPAPB+=+−=+−.4415.PAPBABPAPBAB−++=+=，剟-5-当且仅当点P在AB延长线上时，等号成立.综上所述，可得PA

PB+的最大值为5.本题选择D选项.点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况．9.在面积为S的ABC内部任取一点P，则PBC面积大于S4的概率为（）A.14B.

34C.49D.916【答案】D【解析】【分析】【详解】记事件{APBC=△的面积超过}4S,基本事件是三角形ABC的面积,(如图)事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(//DEBC并且:3:4)ADAB=，因为阴影部分的

面积是整个三角形面积的239416=,所以()916PA==阴影部分三角形面级。故选：D．-6-【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分

，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误．10.若点O和点F分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一

点，则OPFP的最大值为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】设点()00,Pxy，可得出2200334yx=−，且有022x−，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OPFP的最大值.【详解】由椭圆方程得

()1,0F−，设00(,)Pxy，则()()220000000,1,=+=++OPFPxyxyxxy，P为椭圆22143xy+=上一点，2200143xy+=，可得2200334yx=−，且有022x−

，()0222000200313322444xxxOPFPxxx=++−=++=++．因为022x−，当02x=时，OPFP取得最大值6.故选：B.-7-【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，解决本题的关键点在以下两方面：（1）OPFP的变化是由点P在椭圆上

运动而产生，解题时可设()00,Pxy，将OPFP利用点P的坐标加以表示；（2）在求OPFP的最值时，充分利用椭圆的有界性结合二次函数的基本性质求解.11.已知点(),Pxy是椭圆22194xy+=上任意一点，则点P到直线l:5yx=+的最大距离为（）A.52262+B.52262−C.5

226+D.5226−【答案】A【解析】【分析】求出椭圆与直线l平行的切线，它们与l的距离一个最大值一个是最小值．【详解】设直线yxm=+与椭圆相切，由22194xyyxm+==+得2213189360xmxm++−=，∴22(18)413(936)0mm=−−=，13m=，切

线方程为13yx=+和13yx=−，与l距离较规远的是13yx=−，∴所求最大距离为135522622d−−+==．故选：A.【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值，解题方法是转化为平行直线与椭圆相切，求出两平行线间的距离即可．12.已知22221xyab+=（0ab）MN、是椭

圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PMPN、的斜率分别为1k，2k（1k20k），若12kk+的最小值为12，则椭圆的离-8-心率为（）A.12B.22C.154D.33【答案】C【解析】【分析】

设()cos,sinPab，则可得1222sinbbkkaa+=，即可求出离心率.【详解】设()cos,sinPab，∵(),0Ma−，则(),0Na，∴1sincosbkaa=+，2sincosbkaa=−，∴12sinsincos

cosbbkkaaaa+=+−+()()()()sin1cossin1cos221cos1cossinbbbbaaa++−==−+，由题意可得：212ba=，即14ba=，所以21514cbeaa==−=

．故选：C．【点睛】本题考查椭圆的离心率问题，解题的关键是设出点()cos,sinPab，由题得出1222sinbbkkaa+=，即212ba=，即可求出.二、填空题，共4题，每题5分，共20分．请在答题卡相应位置上作答．13.点(),Mx

y在运动过程中，总满足关系式22221)(1)6xyxy+++−+=(，点M的轨迹方程为__________．【答案】22198xy+=【解析】【分析】根据题意可得M的轨迹是以()()1,0,1,0−为焦点的椭圆，即可求出.【详解】由题可得M到(

)1,0−与()1,0的距离之和为6，又()()1,0,1,0−两点间的距离为2，-9-所以其轨迹是以()()1,0,1,0−为焦点的椭圆，21,3,8cab===，故点M的轨迹方程为22198xy+=．故答案为：22198xy+=.14.下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记

录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为ˆ0.70.35yx=+，那么表中m的值为__________．x3456y2.5m44.5【答案】3【解析】【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据

的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【详解】解：34564.54x+++==，2.544.51144mmy++++==，又回归直线必过样本点的中心(),xy，所以110.74.50.354m+

=+，所以3m=．故答案为：3.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，解题关键是理解样本中心点在线性回归直线上，属于基础题．15.椭圆221mxny+=与直线1yx=−交于M、N两点，若原点O与线段MN的

中点P连线的斜率为22，则mn的值是________．【答案】22【解析】-10-【分析】设点()11,Mxy、()22,Nxy，利用点差法可得出MNOPmkkn=−，结合已知条件可求得mn的值.【详解】设点()11,Mx

y、()22,Nxy，则2211222211mxnymxny+=+=，两式相减得()()()()121212120mxxxxnyyyy−++−+=，化简得12121212yyyymxxxxn−+=−−+，设()00,Pxy，则0022yx=，因为

12012022xxxyyy+=+=，所以，MNOPmkkn=−，即()212mn−=−，因此，22mn=.故答案为：22.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点

坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.16.已知椭圆22221(0)xyabab+=的右焦点为(c,0)F，存在经过点F的一条直线l交椭圆于,AB两点，

使得OAOB⊥，则该椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】51,12−【解析】【分析】先由题意，得到l不是水平直线，设直线l的方程为xtyc=+，点A，B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，得到-1

1-222422222tbabacOAOBbta−−+=+uuruuur，再由OAOB⊥，得出224222acbtba−=，由此列出不等式，即可求出结果.【详解】因为存在经过点F的一条直线l交椭圆于,AB两点，使得OAOB⊥，显然l不是水平直线，设直线l的方程为xt

yc=+，点A，B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy．由22221xyabxtyc+==+消去x，整理得22222222()24()0btaytbcybca+++−=，由韦达定理2122222224122222222,().tb

cyybtabcabyybtabta+=−+−==−++，12121212()()OAOBxxyytyctycyy=+=+++uuruuur42222212122222222(1)()(1)

btbctyytcyycttccbtabta=++++=+−+−+++24422222222244222222222222tbbbtcbctactbbbtcacbtabta−−−++−−−+==++()2222422222422222222tbb

cbactbabacbtabta−+−+−−+==++，因为OAOB⊥，所以0OAOB=，即2224222220tbabacbta−−+=+，所以224222acbtba−=，而20t，则2240acb−，即()222220acac−−，整理得422430caca−+，所以42310cc

aa−+，即42310ee−+，解得2353522e−+，即262562544e−+，-12-即()()222515144e−+，所以515122e−+又椭圆的离心率满足01e，所以5112e−.故答案为：51,12−

．【点睛】关键点点睛：求解椭圆离心率问题的关键在于求出,,abc之间关系，本题中利用向量数量积的坐标表示，通过联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，得出2240acb−，即可求解.三、解答题，共6题，共70分．请在答题卡相应位置上作答，应写出必要的解题过程．17.某

中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（1）计算甲班7位学生成绩的方差；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的

概率．【答案】（1）40；（2）．【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件甲班学生的平均分是85，得甲班7位学生成绩的方差（2）从茎叶图中可以看到成绩在90分以上的学生甲班有两名，乙班有三名，从这五名学生中任选两名共有十种情况，满足甲乙班各一人有四种情况，根据概率公式求得对应的概

率值．【详解】（1）∵甲班学生的平均分是85，∴，∴5x=．则甲班7位学生成绩的方差为-13-．（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E．从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B)，(A，C

），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）（8分）其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：（A，B)，（D，C），（E，D），（C，E）．记“甲班、乙班各一人”为事件M，则，所以，从成绩在90分以上的学生中随机抽

取两名学生，甲班、乙班各一人的概率为18.在△ABC中，222sinAsinCsinB2sin+=+AsinC（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求2cosA+cosC的最大值．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）1【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2=b2+2ac，即可求得cosB，则B可求；（Ⅱ）由C

=3π4-A，代入2cosA+cosC整理为sin（A+π4），由A的范围求其最大值即可【详解】（Ⅰ）∵在△ABC中，由正弦定理可得a2+c2=b2+2ac．∴a2+c2-b2=2ac，∴cosB=222acb22ac2+−=，又B()0,π∴B=π4；（Ⅱ）由（I）得：C=3π4-A，∴

2cosA+cosC=2cosA+cos（3π4-A）-14-=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA=sin（A+π4），∵A∈（0，3π4），∴A+π4∈（π4，π），故当A+π4=π2时，sin（A+π4）取最大值1，即2ccosA+cosC的最大值为1．【点睛

】本题考查正余弦定理及三角函数化简，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题19.设数列na的前n项和为nS，已知122,8aa==，()11452nnnSSSn+−+=.（1）求数列na的通项公式；（2）若(

)12og1lnnnba+=−，求数列nb的前2n项和2nT．【答案】(1)212nna−=.(2)22nTn=−.【解析】分析：（1）由已知条件()114nnnnSSSS+−−=−，从而14nnaa+=，由此推导出数列na是以12a=为首项，公比为4的等比数列，即可得到答案；（2）

由（1）得()()1121nnbn+=−−，当2nk=时，()()21243412kkbbkk−+=−−−=−，即可求出数列nb的前2n项和2nT.详解：（1）∵当2n时，1145nnnSSS+

−+=，∴()114nnnnSSSS+−−=−.∴14nnaa+=.∵12a=，28a=，∴214aa=.∴数列na是以12a=为首项，公比为4的等比数列.∴121242nnna−−==.（2）由（1）得()()(

)()11121221log1log2121nnnnnnban+++−=−=−=−−，当2nk=时，()()21243412kkbbkk−+=−−−=−∴()()()()()21357434122nTnnnn=−+−++−−−=−=−.点睛：非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种

思想：-15-(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．20.已知点(,0)A

m和(0,)Bn,且2216mn+=,动点P满足3BPPA=，记动点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点()0,1H的直线2yxt=+与曲线C相交于两点,MN,若直线HM与HN的斜率之和为1,求实数t的值.【答案】（1）2219xy+=；（2）3.【解析】【

分析】（1）设(,)Pxy，由3BPPA=，可得434mxny==，代入2216mn+=，整理即可得结果；（2）设()()1122,,,MxyNxy.联立22219yxtxy=++=，可得2237369(1)0xtxt++−=，根据直线HM与HN的斜率之和为1,利用斜

率公式，结合韦达定理可得4411tt−=+，从而可得结果.【详解】（1）设(,)Pxy.∵3BPPA=，∴(,)3(,)(33,3)xynmxymxy−=−−=−−,即333xmxyny=−−=−∴434mxny==.∵2216mn+=,

∴221616169xy+=-16-∴曲线C的方程2219xy+=（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立22219yxtxy=++=，消去y，得2237369(1)0xtxt++−=.由22(36)4379(1)0t=−−，可得3737t−.又直线y=2x+

t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，1t，则3737t−且1t，212123699,3737ttxxxx−+=−=，由()()121212121241114411HMHNxxtxxyytkkxxxxt+−+−−+=+==−=+，解得3t=，t

的值为3.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),xy，根据题意列出关于,xy的等式即可；②定义法，根据题意

动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,xy分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00xgxyhx==代入()00,0fxy=.21.如图所示，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，且PA⊥平面ABCD，60ABC=，E是BC中点，F是P

C上的点.-17-（1）求证：平面AEF⊥平面PAD；（2）若M是PD的中点，当ABAP=时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PFPC的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）12或45【解析】【分析】(1)根据底面菱形的特点得到AEAD

⊥，再由线面垂直得到PAAE⊥，AE⊥平面PAD，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式()22321sin5522−==−+，求解即可.【详解】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，60ABC=，所以ABC是正三角形，E是BC的中点，AEBC⊥，又//

,ADBCAEAD⊥，PA⊥平面ABCD，AE平面,ABCDPAAE⊥，又,PAADAAE=⊥平面PAD，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．（2）以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设2ABAP==，则3AE

=，则()()()()()()0,0,0,3,1,0,0,2,0,0,0,2,3,0,0,0,1,1ACDPEM，设()3,1,2PFPC==−，则()()()0,0,23,1,23,,22AFAPPF=+=+−=−，又()3,0,0AE=，-18-设(),,nxyz=是

平面AEF的一个法向量，则()303220nAExnAFxyz===++−=，取z=，得022,n=−（，），设直线EM与平面AEF所成角为，由()3,1,1EM=−，得：()22321sincos,5522EMnEMnEMn−==

==−+．化简得：2101340−+=，解得12=或45=，故存在点F满足题意，此时PFPC为12或45．【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角．求线面角，一是可以利用等

体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．22.已知椭圆22:143xyC+=若直线:lykxm=+与椭

圆C相交于,AB两点，且34OAOBkk=−（1）求证：AOB的面积为定值（2）在椭圆上是否存在一点P，使四边形OAPB为平行四边形，若存在，求出OP的取值范围，若不存在说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析

.【解析】【分析】（1）设()()112,2,,AxyBxy，；联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式三角形面积公式花键即可；（2）若存在四边形OAPB为平行四边形，使得点P在圆上，则OPOAOB=+，由向量坐标的运算，求得P点坐标，代入椭圆方程，结合34OAOBkk=−

，解方程即可判断存在性.-19-【详解】（1）设()()112,2,,AxyBxy则,AB的坐标满足22143xyykxm+==+消去y化简得，()2223484120kxkmxm+++−=∴21212228412,,3434−+=−=++kmmxxxxkk由Δ0得22430k

m−+()()()2212121212yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++222222224128312343434mkmmkkkmmkkk−−=+−+=+++．∵121233,44OAOByyKKxx=−=−，即121234yyxx=−∴2222231

2341234434mkmkk−−=−++即22243mk−=∵()()()()()22222121222484314134kmABkxxxxkk−+=++−=++()()()22222248

12413423434kkkkk+++==++O到直线ykxm=+的距离2||1mdk=+∴()()222222224124111||1||223421341AOBkkmmSdABkkkk++===++++221342432234kk+==+；（2）若

存在平行四边形OAPB使P在椭圆上，则OPOAOB=+设()00,Pxy，则0122834kmxxxk=+=−+，0122634myyyk=+=+由于P在椭圆上，所以2200143xy+=，从而化简得()()2222222161213434kmmkk+=+

+-20-简得22434mk=+（1），由34OAOBKK=−知22243mk−=（2）解（1）（2）知无解，故不存在P在椭圆上的平行四边形．【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系，以及椭圆方程和性质，解题时注

意联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，直线斜率公式，考查方程思想和运算能力推理能力，属于中档题.