【文档说明】第03讲 解一元二次方程-公式法（原卷版）-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版）.docx，共(8)页，370.688 KB，由管理员店铺上传

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第03讲解一元二次方程-公式法【学习目标】1.经历求根公式的推导过程.2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.【基础知识】

1.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是:21,242bbacxa−−=(=b2－4ac≥0)推导过程：一元二次方程20(0)axbxca++=，用配方法将其变形为：222

4()24bbacxaa−+=2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．3.一元二次方程根的判别

式(=b2－4ac)①当240bac=−时，方程有两个不相等的实根；②当240bac=−=时，方程有两个相等的实根；③当240bac=−时，方程没有实根。判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。注意：(1)在使用根的判别式之前，

应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0(3)证明acb42−=恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。【考点剖析】考点一：用公式法解一元二次方程例1

．（2021•达川区期末）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．变式1.（2022·重庆市·九年级期中）解下列方程：(1)2(4)1xx+=(2)(2)(35)1xx−−=(3)26100xx+=−考点二：求根公式的应用例2．（2021•福州九年级模拟）关于x的一元二

次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（）A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝﹣1D．1变式2.（2022•和平区九年级期中）若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（

m≠0），则b（）A．mB．﹣mC．2mD．﹣2m考点三：应用根的判别式判断方程根的情况例3．（2021•河南九年级模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣

1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0变式3.（2021·河南南阳市·九年级一模）定义新运算“ab”：对于任意实数a，b，都有()()2ababab=+−−，例如43(43)(43)2725=+−−=−=．若2xkx=（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．

有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根考点四：已知方程根的情况求字母系数的值或范围例4．（2021·浙江台州市·中考真题）关于x的方程x2-4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞2B．

m＜2C．m＞4D．m＜4变式4.（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x的方程()()2212110kxkx−+++=有实数根，则k的取值范围是（）A．14k且1kB．14k且1kC．14kD．14k考点五：根的

判别式的综合应用例5．（2021•广东模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两

个根，求这个等腰三角形的周长．变式5.（2021春•萧山区期中）已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；

（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．考点六：根的判别式中新定义问题例6．（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方

程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，

求△ABC的面积．变式6.（2021·湖北荆州市·中考真题）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有,,mpqnmnpq=+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：2,34,5253422=+=※．若关于x的一元二次方程

21,52,0xxkk+−=※有两个实数根，则k的取值范围是（）A．54k且0kB．54kC．54k且0kD．54k【真题演练】1．（2022·浙江杭州·二模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．2104xx−+=B．2230xx++=

C．220xx−+=D．230xx−=2．（2022·江苏苏州·一模）如图，已知四边形ABCD是菱形，菱形的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程21024mxmx−+−=的两个实数根，则m的值为（）A．－1B．1C．－2D．23．（2022·河南驻马店·三

模）若一元二次方程()2110mxmx−++=有两个不相等的实数根，则正整数m的值可以是（）A．1B．2C．23D．34．（2022·广东肇庆·二模）若关于x的方程220xmx++=有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．22B．22C．2D．25.（2021

•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠1B．k且k≠1C．kD．k6．（2022·山东烟台·八年级期中）下列说法：①关于x的一元二次方程220xm+=（0

m）无实数根；②无论m为何值，关于x的一元二次方程2240xxm−−=都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程2240xxm−+=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是4m且0m．其中说法正确的是（）A．①②③B．①②C

．①③D．②7．（2022·河南南阳·一模）已知关于x的方程()()22xxp−+=，则下列分析正确的是（）A．当p=0时，方程有两个相等的实数根B．当p>0时，方程有两个不相等的实数根C．当p<0时，方程没有实数根D．方程

的根的情况与p的值无关8.（2021•淮北九年级月考）用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．9.（2022·浙江九年级期末）解一元二次方程：（1）2229xx+=（2）22210xx−−=10．（2022·北京西城·二模

）已知关于x的一元二次方程21502xmxm−+−=．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．11．（20

21·山西九年级二模）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：22350xx−−=．解：22350xx−−=．23522xx−=．第一步22233532424xx−+=+，第二步2349416x−=．第三步3

744x−=，第四步3744x−=，或3744x−=−．第五步152x=，21x=−．第六步任务一：①小颖解方程的方法是______；A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法②解方程过程中第二步变形的依据是______；任务二：请你用“公式法”解该方程．【过关检测】1．（2022·

吉林长春·模拟预测）关于x的一元二次方程240xxm−+=没有实数根；则m的值可能是（）A．－2B．0C．3D．52．（2021·山西晋城市·九年级期末）关于x的方程()()223xxa−+=（a为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一

个正根一个负根D．无实数根3.（2021•广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a且a≠﹣2B．aC．a且a≠﹣2D．a4．（2022·河北秦皇岛·一模）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a

bcd，定义abadbccd=−．则方程1126xxx=−的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．（2022·江苏南通·二模）若1x，2x是关于x的方程260xxk−+=的两个根，且12xx=，则k＝______．6．（2022·云南文山

·九年级期末）按要求解方程．(1)212270xx++=；（配方法）(2)23410xx−+=．（公式法）7.（2021•朝阳区期中）用公式法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．8.（2022•江干区期末）解下列一元

二次方程：（公式法）．9.（2021•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．10.（2021•安居区期末）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）

求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．