【文档说明】上海市杨浦区2022届高三期中考试（二模）数学试题 含解析.docx，共(19)页，2.140 MB，由小赞的店铺上传

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杨浦区2021学年度第二学期期中考试线上质量评估数学学科2022.4.14考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~1

2题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.已知()1,1a=−，则a=_________.【答案】2【解析】【分析】根据向量的模的坐标表示，求得答案.【详解】由()1,1a=−，则22||112a

=+=，故答案为：22.函数2log(1)yx=+的反函数为________.【答案】()21xyxR=−【解析】【分析】由2log(1)(1)yxx=+−解得21yx=−，把x与y互换即可得出．【详解】由2log(1)(1)yxx=+−解得12y

x+=，即21yx=−，把x与y互换可得：21()xyxR=−．2log(1)yx=+的反函数为21()xyxR=−．故答案为：21()xyxR=−．【点睛】本题考查反函数的求法，考查方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基

础题．3.若直线1:210lxmy++=和2:310lxy−−=互相垂直，则实数m=_____________.【答案】6【解析】【分析】根据两直线垂直的条件求解．【详解】因为直线1:210lxmy++=和2:310lxy−−=互相垂直，所

以23(1)0m+−=，所以6m=．故答案为：6．4.若2i+（i虚数单位）是实系数一元二次方程20xpxq++=的根，则pq+=________.【答案】1【解析】【分析】可知2i−也是实系数一元二次方程20xp

xq++=的根，从而利用韦达定理求得．【详解】2i+是实系数一元二次方程20xpxq++=的根，2i−是实系数一元二次方程20xpxq++=的根，22iip++−=−，(2)(2)iiq+−=，解得，4p=−，5q=，故1p

q+=.故答案为：1．【点睛】本题考查复数的运算及实系数方程的性质应用，考查方程思想和运算求解能力．5.已知3sin5x=，,2x，则行列式sin11secxx−的值等于________.【答案】14【解析】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可

求secx的值，再计算行列式的值即可得解．【详解】∵sinx35=，x∈（2，π），∴cosx2415sinx=−−=−，secx154cosx==−，∴11sinxsecx−=sinxsecx+135=（54−）+114=．故答案为

：14．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了行列式的计算，属于基础题．6.已知2{|1}Axx=，2{|log(1)1}Bxx=−，则AB=________.【答案】|12xx

【解析】【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【详解】集合A中不等式，当0x时，解得：2x，此时02x，当0x时，解得：2x，无解，{|02}Axx=，集合B中不等式变形

得：22log(1)1log2x−=，即012x−，解得：13x，即{|13}Bxx=，则{|12}ABxx=.故答案为：{|12}xx．【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．7.在某次数学测验中，5位学生的成绩

如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于________.【答案】38【解析】【分析】由平均值求出a，再根据方差公式计算方差．【详解】∵5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩

为80，78858269580a++++=，解得：86a=，2222221(7880)(8580)(8680)(8280)(6980)385s=−+−+−+−+−=，则他们成绩的方差等于38.故答

案为：38．【点睛】本题考查平均数和方差的定义，考查数据处理能力，求解时注意方差与标准差的区别.8.已知实数x，y满足41xyyxx+，则2xy+的最大值为_________.【答案】7【解析】【分析】画出可行域，通过平移基准直线20xy+=到可行域边

界位置，由此来求得2xy+最大值.【详解】画出可行域如下图所示，的1143xxxyy==+==，即()1,3A，由图可知，当1,3xy==时，2xy+取得最大值为1237+=.故答案：79.若1()nxx+*(

)Nn展开式中各项系数的和等于64，则展开式中3x的系数是________.【答案】15【解析】【分析】令1x=，则*1()()nxnNx+展开式中各项系数的和264n==，解得n．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【详解】令1x=，则*1()()nxnNx+展开式中各

项系数的和为：264n=，解得6n=．61()xx+的展开式的通项公式36621661()rrrrrrTxxx−−+==痧，令3632r−=，解得2r=．展开式中3x的系数为：2615=ð．为故答案为：15．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查函数与方程思想，考查逻

辑推理能力和运算求解能力，求解时注意指定项的系数与二项式系数的区别.10.三行三列的方阵111213212223313233aaaaaaaaa中有9个数(123123)ijaij==，，；，，，从中任取

三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______．(结果用分数表示)【答案】1314【解析】【分析】先计算从9个数中任取3个数共有3984C=种不同的取法，再求三个数任意两个数不在同一行或者

同一列的事件数，利用对立事件及古典概型计算公式求解即可.【详解】从9个数中任取3个数共有3984C=种不同的取法，若三个数任意两个数不在同一行或者同一列，共有3216=种不同的取法，设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取

法共有84678(−=种)，根据古典概型的概率计算公式得()78138414PM==．故答案为：131411.已知抛物线24yx=，斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于P、Q两点，点Q关于x

轴的对称点为Q，点P关于直线1x=的对称点为P，且满足PQPQ⊥，则直线l的方程为______.【答案】()1yx=−【解析】【分析】设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用PQPQ⊥得到相应等式，结合根与系数的关系式化简，即可求得答案.【详

解】由题意可知(1,0)F,且0k，故设直线l的方程为(1)ykx=−，联立抛物线24yx=可得：2222(24)0kxkxk−++=，216160k=+，设1122(,),(,)PxyQxy，则1122(2,),(,)PxyQxy

−−，且1212122442,(2)xxyykxxkk+=++=+−=，由于PQPQ⊥，故121212()yyxxk+=−−+，就241422kkk=−−+，解得1k=，故直线l的方程为()1yx=−，故答案为：()1yx=−12.若函数()()co

s0fxx=在区间()2,3内既没有最大值1，也没有最小值1−，则的取值范围是___________.【答案】1120,,1323【解析】【分析】由()2,3x可得出23x，分析可知()()2,3,kk+，

其中Zk，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】当()2,3x且0时，23x，因为函数()fx在区间()2,3内既没有最大值1，也没有最小值1−，则()()2,3,kk+，其中Zk，所以，23kk

+，解得()123kkkZ+，由123kk+，可得2k，因为0且Zk，当0k=时，103；当1k=时，1223；当2k=时，1=.综上所述，实数的取值范围是1120,,1323.故答案

为：1120,,1323.二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设12,xxR，则“126xx+且129xx”是“13x且23x”的（）A.充分

不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取特殊值推导充分性，利用不等式性质推导必要性即可.【详解】充分性：当12x=，28x=，满足126xx+且129xx，

但13x且23x不成立，故充分性不成立；必要性：当13x且23x时，根据不等式性质得，126xx+且129xx成立，故必要性成立.综上所述：“126xx+且129xx”是“13x且23x”

的必要不充分条件.故选：B.14.数列{na}为等差数列，10a且公差0d，若1lga，3lga，61ga也是等差数列，则其公差为（）A.1gdB.1g2dC.lg23D.1g32【答案】D【解析】【分析】利用1lga，3lga，61ga是等差数列，结合对数的运算，求出14ad=，进

而可得答案.【详解】因为1lga，3lga，61ga是等差数列，所以32lg=a1lga632161glg1g=+aaaa，所以2316aaa=，又因为10a且公差0d，所以()()211125adaad+=+，可得14ad=，所以公差3lga31111263l

glglglglg42+−====aaddaaad，故选：D.15.椭圆C：22143xy+=的左右顶点分别为12,AA，点P在C上且直线2PA斜率的取值范围是[2,1]−−，那么直线1PA斜率的取值范围是A.13[,]24B.33[,

]84C.1[,1]2D.3[,1]4【答案】B【解析】【详解】设P点坐标为00(,)xy，则2200143xy+=，2002PAykx=−，1002PAykx=+，于是122200222003334•244PAPA

xykkxx−===−−−，故12314PAPAkk=−.∵2[2,1]PAk−−∴133[,]84PAk.故选B.【考点定位】直线与椭圆位置关系16.定义域是[,]ab上的连续函数()yfx=图像的两个端点为(,())Aafa、

(,())Bbfb，(,)Mxy是图像()yfx=上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称MN的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是[1,2]上的函数中，曲径最小的是（）A.

sin3yx=B.2yx=C.2yx=D.1yxx=−【答案】D【解析】【分析】根据已知中函数的“曲径”的定义，逐一求出给定四个函数的曲径，比较后，可得答案．【详解】当y＝f（x）＝sin3x时，端点A（1，32），B（2，32），直线AB的方程为y32=，

故|MN|＝sin3x32−，当x32=时，|MN|的最大值为132−，即该函数的“曲径”为132−，当y＝f（x）＝x2时，端点A（1，1），B（2，4），直线AB的方程为y＝3x﹣2，的故|MN|＝3x﹣2﹣x

2，当x32=时，|MN|的最大值为14，即该函数的“曲径”为14，当y＝f（x）2x=时，端点A（1，2），B（2，1），直线AB的方程为y＝﹣x+3，故|MN|＝﹣x+32x−，当x2=时，|MN|的最大值为3﹣22，即该函数的“曲径”为3

﹣22，当y＝f（x）＝x1x−时，端点A（1，0），B（2，32），直线AB的方程为y32=x32−，故|MN|＝x132x−−x3122+=−x132x−+，当x2=时，|MN|的最大值为322−，即该函数的“曲径”为3

22−，故函数y＝x1x−的曲径最小，故选：D．【点睛】本题以新定义﹣﹣函数的曲径为载体，考查了函数的图象，函数的最值，难度中档．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆

的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使3COE=，连结PE.已知1OA=，2PA=.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线PE、BD所成角的大小.【答案】（1）33；（2）26arccos8+.【解析】【分析】（1）利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可；（2）根据异面直线所

成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可.【小问1详解】由勾股定理可知：22413POPAOA=−=−=，所以圆锥的体积为：2131333=；【小问2详解】过E做//EFBD，所以PEF

是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，所以4BFEDBO==，即34OFE=，而3COE=，所以6FOE=，因此12OEF=，在OEF中，由正弦定理可知：1

312sinsinsinsin()12464322OFOEEFOFEF====−2232131,2()222222EFOF−==−=，2242333442PFPOOF−=+=+=−，由余弦定理可知：2221162342624cos282222P

EEFPFPEFPEEF−+−+−+===，所以PEF26arccos8+=，即异面直线PE、BD所成角的大小为26arccos8+.18.已知函数()23fxxmx=++，其中Rm.（1）若

不等式()5fx的解集是(1,2)−，求m的值；（2）若函数()yfx=在区间[0,3]上有且仅有一个零点，求m的取值范围.【答案】（1）－1；（2）(),423−−−【解析】【分析】（1）根据题意，得到220xmx+−，根据韦达定理，直接

求解即可（2），()230fxxmx=++=，可得3mxx−=+，根据对勾函数的性质，即可得到m的取值范围【小问1详解】()5fx的解集是(1,2)−，得到220xmx+−的解集是(1,2)−，所以，121m−+==−，所以，1m=−【小

问2详解】令()230fxxmx=++=，因为(0)0f，所以，当(0,3x时，()230fxxmx=++=，即有233xmxxx+−==+，因为函数()yfx=在区间[0,3]上有且仅有一个零点，令(3(),0,3gxxxx=+，根据对勾函数的性质，可得())2

3,gx+，因为ym=−与()ygx=有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得23m−=或4m−，进而可得答案为：(),423m−−−19.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，2MON

=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？【答案】（1）;（2）当A在弧MN的四等分点处时

，．【解析】【详解】（1）如图，作OHAB⊥于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，6AOB=，2sin,cos1212ABROHR==，1sin212OEDEABR===cossin12

12EHOHOER=−=−222sincossin2sincos2sin121212121212SABEHRRR==−=−2231sincos1662RR−=+−=（2）设02AOB

=则2sin,cos22ABROHR==，1sin22OEABR==cossin22EHOHOER=−=−222sincossin2sincos2sin222222SABEHRRR==−=−()22

sincos12sin14RR=+−=+−0,2，3,444+42+=即4=时，()2max21SR=−，此时A在弧M

N的四等分点处答：当A在弧MN的四等分点处时，()2max21SR=−20.已知椭圆C：()222210xyabab+=，过定点T（t，0）的直线交椭圆于P，Q两点，其中()0,ta.（1）若椭圆短轴长为23且经过点（－1，32），求椭圆方程

；（2）对（1）中的椭圆，若3t=，求△OPQ面积的最大值；（3）在x轴上是否存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t关系；如果不存在，说明理由.【答案】（1）22143xy+=；的（2）3；（3）存在，2sta=【解析】【分析】（1）由题意可得223b=，求出3b

=，再将点（－1，32）的坐标代入椭圆方程中可求出2a，从而可求得椭圆方程，（2）由题意设直线PQ为3xmy=+，设1122(,),(,)PxyQxy，将3xmy=+代入椭圆方程中消去x，利用根与系数的

关系，从而可表示出2121212133()422OPQSyyyyyy=−=+−，再把前面的式子代入化简可求得其最大值，（3）由题意设直线PQ为xmyt=+，设1122(,),(,)PxyQxy，将直线方程代入椭圆

方程中消去x，利用根与系数的关系，由∠PST=∠QST，得0PSQSkk+=，1221()()0yxsyxs−+−=，结合前面的式子化简即可得结果【小问1详解】由题意得223b=，得3b=，所以椭圆方程为22213xya+=，因为点（－1，32）在椭圆上，所以21314a

+=，得24a=，所以椭圆方程为22143xy+=【小问2详解】由题意设直线PQ3xmy=+，设1122(,),(,)PxyQxy，由221433xyxmy+==+，得22(34)6330my

my++−=，所以1212226330,,3434myyyymm−−+==++，所以2121212133()422OPQSyyyyyy=−=+−为22223108122(34)34mmm=+++2223144482(

34)mm+=+222316[(31)3]mm+=++2222316(31)6(31)9mmm+=++++22169(31)631mm=++++2216392(31)631mm=+++，当且仅当2293131mm+=+，即63m=时取等号，所以△OP

Q面积的最大值为3【小问3详解】由题意设直线PQ为xmyt=+，设1122(,),(,)PxyQxy，由22221xyabxmyt+==+，得222222222()20bmaymtbybtab+++−=，所以22222121222222220,,m

tbbtabyyyybmabma−+=−=++，因为∠PST=∠QST，所以0PSQSkk+=，所以12120yyxsxs+=−−，所以1221()()0yxsyxs−+−=，122112()()()0y

mytymytsyy+++−+=，所以12122()()0myytsyy+−+=，所以2222222222222()0btabmtbmtsbmabma−−−=++，所以2222[()]0mbtatts−−−=，所以22()0tatts−−−=，得2sta=，所以

x轴上是存在点S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立，此时2sta=21.已知a为实数，数列{na}满足：①1aa=；②()133N43nnnnnaaanaa+−=−.若存在一个非零常数NT，对任意nN，nTnaa+=都成立，则称数列{na}为周期数列.（1）当3

a=时，求1234aaaa+++的值；（2）求证：存在正整数n，使得03na；（3）设nS是数列{na}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{na}为周期数列；②存在正奇数k，使得2kSk=.若存在，求出所有

a的可能值；若不存在，说明理由.【答案】（1）8（2）证明见解析（3）存在，2【解析】【分析】（1）根据题意分别求出1234,,,aaaa，即可得解；（2）当3a时，13nnaa+=−．可知在数列{}na中直到第一个小于等

于3的项出现之前，数列{}na是以a为首项，3−为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n，使03na，当3n，易证得03na；（3）分3a和3a两种情况讨论，结合（2）可得当3a时，不合题意，再根据当3a时，数列的周期性，即可得出结论.【小

问1详解】解：当3a=时，12343,431,413,431aaaa==−==−==−=，所以12348aaaa+++=；【小问2详解】证明：当3a时，13nnaa+=−，所以，在数列{}na中直到第一个

小于等于3的项出现之前，数列{}na是以a为首项，3−为公差的递减的等差数列，即(1)(3)33naanan=+−−=+−，所以，当n足够大时，总可以找到n，使03na，当3a=时，则存在1n=，使得03na，当3a时，

则存在1n=，使得03na，综上所述存在正整数n，使得03na；【小问3详解】解：当3a时，1213141,4,,4aaaaaaa=−==−，故此时数列na是以2为周期的周期数列，当3a时，则13a，由（2

）得，存在正整数n，使得03na，因此此时不存在不存在1naa=，所以此时数列数列na不是周期数列，所以3a时，数列na是以2为周期的周期数列，12,4aaaa==−，所以()211214nSnaaana+=++=+，又

因2kSk=，所以()4221nan+=+，所以2a=，所以存在2a=，使得2kSk=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com