【文档说明】江苏省苏州市五校2020届高三上学期12月月考数学试卷含解析【精准解析】.doc，共(24)页，2.080 MB，由小赞的店铺上传

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数学（正卷）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．）1.已知1,0,1,2A=−，|02BxRx=，则AB=______.【答案】0,1【解析】【分析】根据两个集合直接求交集.【详解】由已知可知0,1AB

=.故答案为：0,1【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.若复数()341iz−=（i为虚数），则复数z的模z=______.【答案】15【解析】【分析】首先求复数134zi=−，再化简求模.【详解】(

)()1343434343425iiziii++===−−+，22343412525255iz+==+=.故答案为：15【点睛】本题考查复数的化简和求模，意在考查转化和化简计算，属于基础题型.3.某市有中外合资企业160家，私营企业32

0家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为n的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么n=______.【答案】40【解析】【分析】由题意可知12240800n=，计算结果.【详解】由题意可知1224

0800n=，解得：40n=.故答案为：40【点睛】本题考查分层抽样，意在考查基本公式和基本计算能力，属于简单题型.4.函数2yx=−的定义域是______.【答案】2|xx【解析】【分析】根据具

体函数的形式，直接求定义域.【详解】由题意可知20x−解得：2x，函数的定义域是2|xx.故答案为：2|xx【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.5.如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20【解析】试题分析：

第一次循环：5,4Sa==，第二次循环：20,34Sa==，结束循环，输出20.S=考点：循环结构流程图6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现从中任选2名学生去参加校演讲比赛，则参赛学生恰好为1

名男生和1名女生的概率是______.【答案】35【解析】【分析】首先求任选2人的方法种数，然后求满足条件的方法，最后用古典概型求概率.【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛的有2510C=种方法，其中恰好为1名男生和1名女生的方法有1

1326CC=种方法，则恰好为1名男生和1名女生的概率63105P==.故答案为：35【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.7.在平面直角坐标系xOy中，直线20xy+=为双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近线，则

该双曲线的离心率为______.【答案】52【解析】【分析】由已知可知12ba=，再表示221cbeaa==+.【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是byxa=若直线20xy+=是双曲线的一条渐近线，则12ba−=−，即12ba=，离心率222222255142ccabbaaaa+===+==

.故答案为：52【点睛】本题考查双曲线基本性质，属于简单题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,ac，然后利用公式cea=求解；2.公式法：222111cbeaabc==+=−，

3.构造法：根据条件，可构造出,ac的齐次方程，通过等式两边同时除以2a，进而得到关于e的方程.8.已知5cos45+=，0,2，则sin24−的值为______.【答案】210−【解析】【分析】首先根据角的范围求sin4

+，然后化简为3sin2sin2444−=+−，代入求值.【详解】0,2，3,444+又5cos45+=，2sin545

+=，2554sin22sincos2444555+=++==，23cos22cos1445+=+−=−

333sin2sin2sin2coscos2sin4444444−=+−=+−+=42322525210−−−

=−.故答案为：210−【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.9.设公比不为1的等比数列na满足1231aaa=−，且2a，4a，3a成等差数列，则数列na的前4项和为______.【答案】54【解析】【分析】由已知可知3

12321aaaa==−，且4232aaa=+，求首项和公差，再求4S.【详解】由等比数列的性质可知312321aaaa==−21a=−，243,,aaa成等差数列，4232aaa=+，22222aqaaq=+

，2210qq−−=，解得：1q=（舍）或12q=−，212aaq==，()4414121121112aqSq−−−==−−−54=.故答案为：54【点睛】本题考查等比

数列基本量的求法，意在考查基本公式，属于基础题型.10.曲线()1fxx=+在点()4,3处的切线与直线10axy−+=互相垂直，则实数a的值为______.【答案】-4【解析】【分析】首先求()4f，由题意可知(

)41fa=−，求实数a的值.【详解】()12fxx=，当4x=时，()144f=，由题意可知，114a=−，解得：4a=−.故答案为：4−【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题型，当求曲线在某点()00,xy处的切线时，切线方程

是()()000yyfxxx−=−.11.已知20ab，且1ab+=，则242abb+−的最小值为______.【答案】1446+【解析】【分析】由题意变形为()231ababb+=−+=，再变形为()242122122322323abba

bbabbabb+=+=+−+−−−，展开后利用基本不等式求最值.【详解】()242122122322323abbabbabbabb+=+=+−+−−−()()1221226621214214462323ababb

babbabb−−=++++=+−−当()122623abbabb−=−时等号成立，且1ab+=，变形为2151220bb−+=，20ab，6615b−=，9615a+=.故答案为：1446+【点睛】本题考查利用基本不等式求最

值，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是根据1ab+=，对原式进行变形()242122122322323abbabbabbabb+=+=+−+−−−，然后再求最值.12.已知直线20axy+−=与圆心为C的圆()()2214xya−+−

=相交于,AB两点，且ABC为等边三角形，则实数a=________．【答案】415【解析】试题分析：由于ABC为等边三角形，故弦长2ABr==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为222ABrd=−，可建立方程，2221ada−=+，2

2221,13rddr−==−=，即22231aa−=+，解得415a=.考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式222ABrd=−，考查等边三角形几何性质.由于ABC为等边三角形，故弦长2A

Br==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式0022AxByCdAB++=+.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.13.已知平面向量a，b，c满足3a=，2b=，

a，b的夹角等于6，且()()0acbc−−=，则cr的取值范围是______.【答案】131131,22−+【解析】【分析】首先由数量积公式变形为2coscos06abcabc−++=，并且整理为213cos30cc−+=

，变形为2313coscc+=，利用三角函数的有界性，求得c的取值范围.【详解】()()()2acbcabcabc−−=−++，2coscos06abcabc=−++=，3a=，2b=，a，b的夹角等于6，cos36abab=

=，()222213abababab+=+=++=，213cos30cc−+=，2313coscc+=cos1，2313cc+，整理为：21330cc−+，解得：13113122c−+.故答案为：131131,22−+

【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用，意在考查转化与化简和计算能力，属于中档题型，当变形为213cos30cc−+=时，化简为2313coscc+=，利用三角函数的有界性求模的范围.14.关于x的方程1ln2xax+=有3个不同的实数解，则实数a的取值范围为_____

_.【答案】11ln22a−【解析】【分析】首先方程变形为1ln2xxa=−，将方程有3个不同的实数解转化为函数lnyx=与12yxa=−有3个不同交点，利用数形结合求a的取值范围.【详解】原式变形为1ln2xxa=−，当

函数lnyx=与12yxa=−有3个不同交点时，如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过()1,0的直线，此时12a=，此时与y轴的交点是10,2−，另外一条是相切的直线，设切点()00,lnxx，则011

2x=，解得：02x=，则切点是()2,ln2，则1ln222a=−，解得1ln2a=−，，此时与y轴的交点是()0,ln21−，1ln212a−−−11ln22a−.故答案为：11ln22a−【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求

参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，

然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若()31sin,tan53AAB=−=，角C为钝角，5.

b=（1）求sinB的值；（2）求边c的长.【答案】（1）10sin10B=（2）13c=【解析】【分析】（1）由()sinsinBAAB=−−，分别求得sincosAA，，()()sincosABAB−−，得到答案；（2）利用正弦定理sinsinaAbB=得到310a=，

利用余弦定理解出13c=．【详解】(1)因为角C为钝角，3sin5A=，所以24cos1sin5AA=−=，又()1tan3AB−=，所以02AB−，且()()13sin,cos1010ABAB−=−=，所以()()()sinsinsi

ncoscossinBAABAABAAB=−−=−−−3341155101010=−=.(2)因为sin310sin5aAbB==，且5b=，所以310a=，又()9coscoscoscossinsin510CABABAB=−+=−+=−，则22292cos952523

105169510cababC=+−=+−−=，所以13c=.16.如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，11AABB为正方形，11BBCC是菱形，平面11AABB⊥平面11BBCC．（1）求证：//

BC平面11ABC；（2）求证：11BCAC⊥.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，结合题意易证明11//BCBC；（2）要证明线线平行，需先证明线面平行，即证明1BC⊥平面1ABC.【详解】（1）11BBCC是菱形，11//BCBC

，BC平面11BBCC，11BC平面11BBCC，//BC平面11ABC.（2）连接1BC，四边形11BBCC是菱形，11BCBC⊥∴，平面11AABB⊥平面11BBCC，且平面11AABBÇ平面111BBCCBB=，1ABBB⊥，AB⊥平面11BBCC，且1BC平面11B

BCC，1ABBC⊥，且1ABBCB=I，1BC⊥平面1ABC，又1ACQ平面1ABC,11BCAC⊥.【点睛】本题考查线面平行和线线垂直的证明，意在考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.17.

已知椭圆E：()222210xyabab+=的离心率为22，且过点23,22P．右焦点为F．（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点为F的直线与椭圆交于A，B两点，且3AFFB=uuuruur，求直线AB的方程．【答案】（1）2212xy+=；（2）10xy

+−=或10xy−−=【解析】【分析】（1）由题意可知22ca=，再将点P代入椭圆方程，结合222abc=+可得椭圆方程；（2）设直线AB的方程为：1xmy=+，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入向量的坐标表示可得123yy=−，建立关于

m的方程，求得直线AB的方程.【详解】（1）解：因为22e=，所以2ac=，bc=，设椭圆E的方程为222212xybb+=．将点P的坐标代入得：213144b=+=，所以，椭圆E的方程为2212xy+=．（2）因为右焦点为()1,0F，设直线AB的方程为：1xmy=+，代入

椭圆中并化简得：()222210mymy++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，因为3AFFB=uuuruur，所以()()11221,31,xyxy−−=−，即123yy=−，所以1222222myyym+=−=−+，

21222132yyym=−=−+，即2221322mmm=++，解得21m=，所以1m=，所以直线AB的方程为：10xy+−=或10xy−−=．【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综

合问题，主要考查转化与化归和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.18.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且

均与水平面垂直，它们的高度分别是10m和20m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角60CAD=．（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为APB=，DPC=，问点P在何处时，+最小？【答案

】（1）103m；（2）BP为202103tcm=−时，+取得最小值．【解析】【分析】（1）由题意可知ACD是等边三角形，BCAE=，根据条件直接求AE的长度；（2）由（1）设BPt=，则()1

030103CPtt=−，分别求tan和tan，然后再表示()tan+()210103103200ttt=−−++，设()2103103200tfttt=−−++，利用导数求函数的最小值和P点的位置.【详解】（1）如图，作AECD⊥，垂足为E，则10CE=

，10DE=，设BCx=，由条件可知ACD是等边三角形，BCAE=，20DC=，103AE=.103BC=.答：BC的长度为103m．（2）设BPt=，则()1030103CPtt=−，()1020103tan10201103tttt−=

−−++()2210103100310103200103200tttttt==−−−−++++.设()2103103200tfttt=−−++，()()222203500'103200ttfttt+−=−−+，令

()'0ft=，因为0103t，得202103t=−，当()0,202103t−时，()'0ft，()ft是减函数；当()202103,103t−时，()'0ft，()ft是增函数，所以，当202103t=−时，()ft取得最小值，

即()tan+取得最小值，因为21032000tt−−+恒成立，所以()0ft，所以()tan0+，,2+，因为tanyx=在,2ππ上是增函数，所以当202103t

=−时，+取得最小值．答：当BP为202103tcm=−时，+取得最小值．【点睛】本题考查三角函数和导数解决实际问题的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.已知数列na、nb满足：114a=，1nnab+=，121nnnbba+

=−.（1）证明：11nb−是等差数列，并求数列nb的通项公式；（2）设1223341nnnSaaaaaaaa+=++++，求实数a为何值时4nnaSb恒成立．【答案】（1）见解析，23nnbn+=+；（2）1a【解析】【分析】

（1）由已知变形为112nnbb+=−，再构造111111nnbb+−=−−−，从而证明数列11nb−是等差数列，并求通项公式；（2）由（1）可知113nnabn=−=+，再写出nS，利用裂项相消法

求和，4nnaSb恒成立整理为()()()()213682404334nnananannaSbnnnn−+−−+−=−=++++恒成立，分1a=，1a和1a三种情况讨论*nN时恒成立求a的取值范围.【详解】（1）∵(

)()()111122nnnnnnnnbbbaabbb+===−+−−，∴11112nnbb+−=−−，∴12111111nnnnbbbb+−==−+−−−．∴数列11nb−是以-4为首项，-1为公

差的等差数列．∴()14131nnnb=−−−=−−−，∴12133nnbnn+=−=++．（2）∵113nnabn=−=+．∴()()12231111455634nnnSaaaaaann+=+++=++++()114444nnn=−=++，∴()()()()213682443

34nnananannaSbnnnn−+−−+−=−=++++．由条件可知()()213680anan−+−−恒成立即可满足条件，设()()()21328fnanan=−+−−，当1a=时，()380fnn=−−恒成立，当1a时，由二次函数的性质知不可能成立

．当1a时，对称轴3231102121aaa−−=−−−−，()fn在)1,+为单调递减函数．()()()113684150faaa=−+−−=−，∴154a，∴1a时4nnaSb恒成立．

综上知：1a时，4nnaSb恒成立．【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.20.已知函数()lnxfxx=．（1）若曲线()yfx=

在点()()00,xfx处的切线方程为2xya+=，求0x的值；（2）当1x时，求证：()lnfxx；（3）设函数()()lnFxfxbx=−，其中b为实常数，试讨论函数()Fx的零点个数，并证明你的结论．【答案】（1）0xe=或

01xe=；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据导数的意义可知()02fx=−，解得切点；（2）将所证明不等式转化为证明lnxx恒成立，设()()ln1gxxxx=−，利用导数证明()min0gx；（3）()0Fx=等价于()ln0fxbx−=，等

价于21lnxbx=，0x且1x，令()2lnxHxx=，利用导数分析函数()Hx的性质，可知函数的极小值0，极大值24e，讨论当0b，214be，214be=，2140be时，结合零点存在性定理确定

零点的个数.【详解】（1）()2ln1'lnxfxx−=．所以过点()()00,xfx的切线方程为2xya+=，所以020ln12lnxx−=−，解得0xe=或01xe=．（2）证明：即证2lnxx，因为1x，所以即证lnxx，设()()ln1gxxxx=−，则()112'22xg

xxxx−=−=．令()'0gx=，解得4x=．x()1,44()4,+()'gx-0+()gx减极小2ln4−增所以当4x=时，()gx取得最小值2ln40->．所以当1x时，()lnfxx．（3）解：(

)0Fx=等价于()ln0fxbx−=，等价于21lnxbx=，0x且1x．令()2lnxHxx=，则()222lnln'xxHxx−=．令()222lnln'0xxHxx−==，得1x=或2xe=，x()0,11

()21,e2e()2,e+()'Hx-0+0-()Hx减极小0增极大24e减（Ⅰ）当0b时，()0Hx，所以()Hx无零点，即()Fx定义域内无零点（Ⅱ）当214be即204eb时，若()0,1x，因为()1

10Hb=，11121ln11bbbbeHeebbe−−−==，所以在()0,1只有一个零点，而当1x时，()241Hxeb，所以()Fx只有一个零点；（Ⅲ）当214be=即24eb=时，由（Ⅱ）知在()0,1只有一个零点，且当2xe

=时，()2241Heeb==，所以()Fx恰好有两个零点；（Ⅳ）当2140be即24eb时，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在()0,1只有一个零点，在()21,e只有一个零点，在()2,e+时，因为()223222ln14bbb

bebHeebe==，只要比较2be与34b的大小，即只要比较2b与ln43lnb+的大小，令()2ln43lnTbbb=−−，因为()32Tbb=−，因为2140be，所以()223212'20eTbbe−=−，所以()2222ln43ln62ln404242eeeeTbT

=−−=−+，即234beb，所以()322141bbbHebeb=，即在()2,e+也只有一解，所以()Fx有三个零点；综上所述：当0b时，函数()Fx的零点个数为0；当204eb时，函数(

)Fx的零点个数为1；当24eb=时，函数()Fx的零点个数为2；当24eb时，函数()Fx的零点个数为3．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存

在性定理，第三问中当2140be即24eb时判断零点个数相对其他情况比较难，还需构造函数.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.2020届高三12月联合调研测试数学（加试）每小题10分，计40分.请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21

.已知矩阵14abA=，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为131=−，属于特征值5的一个特征向量为211=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．【答案】2314A=，A的逆矩阵是43551255−−【解析】【分析

】由题意列出331411ab=−−和1151411ab=，建立关于,ab的方程组，求解即可，再根据逆矩阵的定义求解.【详解】由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为131=−可得，331411ab

=−−，即33−=ab；由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为211=，可得1151411ab=，即5ab+=，解得23ab=

=即2314A=，设A的逆矩阵是abBcd=，则1001AB=,即23123040341acbdaccd+=+=+=+=，解得43,55ab==−，12,55cd=−=，A的逆矩阵是43551255−−

.【点睛】本题考查特征向量和逆矩阵，意在考查基本概念和基本计算，属于基础题型.22.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.【答案】(,)【解析】以极点为坐标原点,极轴

为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线ρ=2sinθ可化为:x2+(y-1)2=1,曲线ρcosθ=1可化为x=1,由可得交点坐标为(1,1),所以交点Q的极坐标是(,).23.在三棱锥SABC−中，底面是边长为2

3的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点，侧棱SA和底面成45角．（1）若D为侧棱SA上一点，当SDDA为何值时，BDAC⊥；（2）求二面角SACB−−的余弦值大小．【答案】（1）12SDDA=；（2）55【解析】【分析】（

1）以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系．设ADa=，表示BD与AC，根据0BDAC=求a；（2）分别求平面ACS和平面ABC的法向量，利用法向量求二面角的余弦值的大小.【详解】由题意可知SO⊥底面A

BC，且OABC⊥，以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系．因为ABC是边长为23的正三角形，又SO与底面所成角为45，所以45SAO=，所以3SOAO==．所以()0,0,0O，()3,0,0C，()0,3,0A，()0,0,3S，()3,

0,0B−．（1）设ADa=，则220,3,22Daa−，所以223,3,22BDaa=−，()3,3,0AC=−．若BDAC⊥，则233302BDACa=−−=

，解得22a=，而32AS=，所以2SD=，所以21222SDDA==．（2）因为()0,3,3AS=−，()3,3,0AC=−，设平面ACS的法向量为()1,,nxyz=，则()()()()12,,3,3,0330,,0,3,3330nACxyzxynASxyzyz

=−=−==−=−+=，令1z=，则3x=，1y=，所以()13,1,1n=.而平面ABC的法向量为()20,0,1n=uur，所以()2222130101115113o,1csnn+++=

=+，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.【点睛】本题考查利用空间直角坐标系解决垂直和二面角的问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.24.已知()()()()()23012311111nn

nxaaxaxaxax+=+−+−+−++−（其中*nN）.（1）当6n=时，计算0a及135aaa++；（2）记12nnSaaa=+++，试比较nS与()2222nnn−+的大小，并说明理由．【答案】（1）135364aaa++=；（2）答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）采用赋值法

，令1x=，计算0a，然后令0x=和2x=，求135aaa++的值；（2）由（1）知，1232nnnnSaaa=+++=−LL，比较32nn−与()2222nnn−+的大小，利用数学归纳法证明.【详解】（1）当6n=时，取1x=

，得60264a==，取2x=时，得601263aaaa++++=，……①取0x=时，得012561aaaaa−+−−+=，……②将①-②得：()6135231aaa++=−，所以6135313642a

aa−++==．（2）由（1）可知1232nnnnSaaa=+++=−LL，要比较nS与()2222nnn−+的大小，只要比较32nn−与()2222nnn−+，只要比较32nn+与222nnn+，当1n=时，左边5=，右边4=，所

以左边右边；当2n=时，左边13=，右边16=，所以左边右边；当3n=时，左边35=，右边42=，所以左边右边；当4n=时，左边97=，右边=96=，所以左边右边；猜想当4n时，左边右边，即22232nnn

nn−++．下面用数学归纳法证明：①当4n=时已证；②假设当()4nkk=时22232kkkkk−++成立，则当1nk=+时，左边()11132332322kkkkkk+++=+=+−+()23222kkkk+−，因为()()()22

132221221kkkkkkk++−−+−+2232442kkkkk=−+−−224420kkk+−−，所以()()211321221kkkkk++++−+，即当1nk=+时不等式也成立．所以23222nnnnn++对4n

的一切正整数都成立．综上所述：当2n=或3n=时，()2222nnSnn−+，当1n=或4n时()2222nnSnn−+．【点睛】本题考查二项式定理求系数和，数学归纳法证明不等式，意在考查计算和推理能力，属于中档题型，利用数学归纳法

证明时，注意当证明1nk=+时不等式成立，必须利用nk=时的假设，否则不是数学归纳法.