【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题7.6 复数的三角表示（重难点题型检测）（学生版）.docx，共(7)页，49.982 KB，由小赞的店铺上传

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专题7.6复数的三角表示（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时

60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（）．A．复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍；

B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C．实数0不能写成三角形式；D．复数0的辐角主值是0．2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）复数𝑧=cos(−2π5)+isin(−2π5)的辐角主值为（）A．8π5B．

−8π5C．2𝜋5D．−2π53．（3分）复数12−√32i的三角形式是（）A．cos(−π3)+isin(−π3)B．cosπ3+isinπ3C．cosπ3−isinπ3D．cosπ3+isin5π64．（3分）（2023·高一课时练习）

将复数1+√3𝑖对应的向量𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑绕原点按顺时针方向旋转𝜋2，得到的向量为𝑂𝑁1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，那么𝑂𝑁1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数是A．√3−𝑖B．√3+𝑖C．−√3−𝑖D．−√3+𝑖5．（3分）（2023·高一课时练习）已知i为虚数单位，𝑧1=√2(cos

60°+isin60°)，𝑧2=2√2(sin30°−icos30°)，则𝑧1⋅𝑧2等于（）A．4(cos90°+isin90°)B．4(cos90°+isin90°)C．4(cos30°−isin30°)D．4(cos

0°+isin0°)6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）棣莫弗公式(cos𝑥+isin𝑥)𝑛=cos𝑛𝑥+isin𝑛𝑥（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现的，根据棣

茣弗公式可知，复数(cos𝜋6+isin𝜋6)7在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）（2022·高一课时练习）把复数z1与z2对应的向量𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑分别按逆时针方向旋转𝜋4和5𝜋3后，

重合于向量𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑且模相等，已知𝑧2=−1−√3𝑖，则复数𝑧1的代数式和它的辐角主值分别是（）A．−√2−√2𝑖，3𝜋4B．−√2+√2𝑖,3𝜋4C．−√2−√2𝑖,𝜋4D．−√

2+√2𝑖,𝜋48．（3分）（2022春·福建福州·高二期末）已知i为虚数单位，若𝑧1=𝑟1(cos𝜃1+isin𝜃1)，𝑧2=𝑟2(cos𝜃2+isin𝜃2)，⋅⋅⋅，𝑧𝑛=𝑟𝑛(cos𝜃𝑛

+isin𝜃𝑛)，则𝑧1𝑧2⋅⋅⋅𝑧𝑛=𝑟1𝑟2⋅⋅⋅𝑟𝑛[cos(𝜃1+𝜃2+⋅⋅⋅+𝜃𝑛)+isin(𝜃1+𝜃2+⋅⋅⋅+𝜃𝑛).特别地，如果𝑧1=𝑧2=⋅⋅⋅=

𝑧𝑛=𝑟(cos𝜃+isin𝜃)，那么[𝑟(cos𝜃+isin𝜃)]𝑛=𝑟𝑛(cos𝑛𝜃+isin𝑛𝜃)，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正

确的是（）A．若𝑧=cos𝜋6+isin𝜋6，则𝑧4=−12+√32iB．若𝑧=cos𝜋5+isin𝜋5，则𝑧5=1+iC．若𝑧1=2(cos7𝜋12+isin7𝜋12)，𝑧2=3(cos5𝜋12+isin5𝜋12)，则𝑧1𝑧2=−6+6

iD．若𝑧1=3(cos𝜋12−isin𝜋12)，𝑧2=4(cos𝜋4+isin𝜋4)，则𝑧1𝑧2=6+6i二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一假期作业）以下不是复数−1−√3i的三角形

式是（）A．−2(cosπ3+isinπ3)B．2[cos(−2π3)+isin(−2π3)]C．2(sin7π6+icos7π6)D．2(cos7π6+isin7π6)10．（4分）（2022·高一单元测试）已知单位向量𝑂𝑍1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑、𝑂𝑍2⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑分别对应复数𝑧1、𝑧2，且𝑂𝑍1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝑍2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，则𝑧1𝑧2可能为（）A．iB．1C．−1D．−i11．（4分）（2022春·江苏盐城·高一阶段练习）任何一个复数𝑧=𝑎+𝑏i（其中𝑎,𝑏∈𝑅，i为虚数单位）都可以

表示成：𝑧=𝑟(cos𝜃+isin𝜃)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：𝑧𝑛=[𝑟(cos𝜃+isin𝜃)]𝑛=𝑟𝑛(cos𝑛𝜃+isin𝑛𝜃)(𝑛∈𝑁∗)，我们称

这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．|𝑧2|=|𝑧|2B．当𝑟=2，𝜃=𝜋6时，𝑧̅=1−√3iC．当𝑟=1，𝜃=𝜋3时，𝑧3=−1D．当𝑟=1，𝜃=𝜋4时，若n为偶数，则复数𝑧𝑛为纯虚数12．（4分）（

2022·高一单元测试）著名的欧拉公式为：eiπ+1=0，其中i2=−1，e为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是ei𝜃=cos𝜃+isin𝜃(0≤𝜃<2π)，该复

数在复平面内对应的向量坐标为(cos𝜃,sin𝜃)，则下列说法正确的是（）A．ln(12+√32i)=π3iB．若复数𝑧满足𝑧=12+√32i，则𝑧2021=𝑧C．若复数ei𝛼与复数ei𝛽在复平面内表示的向量相互垂直，则𝛼−𝛽=π2D．复数

ei𝛼与复数iei𝛼在复平面内表示的向量相互垂直三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·高一课时练习）−(cos𝛼+isin𝛼)的三角形式是．14．（4分）（202

3·高一课时练习）已知𝑧的辐角主值是π4，则它的共轭复数的辐角主值是．15．（4分）（2022春·福建漳州·高一期末）如果向量𝑂𝑍⃑⃑⃑⃑⃑对应复数−2i,𝑂𝑍⃑⃑⃑⃑⃑绕原点𝑂按顺时针方向旋转𝜋4后再把模变为原来的32倍得到向量𝑂𝑍

1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则𝑂𝑍1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数是.16．（4分）（2022春·浙江·高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖（其中𝑎、𝑏∈𝑅，𝑖为虚数单位）都可以表示成：𝑧=𝑟(cos𝜃+𝑖sin𝜃)的形式，通常称之为复数𝑧的三角形式．法

国数学家棣莫弗发现：𝑧𝑛=[𝑟(cos𝜃+𝑖sin𝜃)]𝑛=𝑟𝑛(cos𝑛𝜃+𝑖sin𝑛𝜃)(𝑛∈𝑁+)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列法正确的是．①|𝑧2|=|𝑧|2；②当𝑟=1，𝜃=𝜋6时

，𝑧6=1；③当𝑟=2，𝜃=𝜋3时，𝑧=1−√3𝑖；④当𝑟=1，𝜃=𝜋4时，若𝑛为偶数，则复数𝑧𝑛为纯虚数；⑤1+𝑖=√2(cos𝜋4+𝑖sin𝜋4)四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·高一课时练习）求复数−1+cos2π

5+isin2π5的辐角主值．18．（6分）（2022·高一课时练习）如图，向量𝑂𝑍⃑⃑⃑⃑⃑对应的复数为1+𝑖，把𝑂𝑍⃑⃑⃑⃑⃑绕点O按逆时针方向旋转120°，得到𝑂𝑍′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑.求向量𝑂𝑍′⃑⃑⃑

⃑⃑⃑⃑对应的复数（用代数形式表示）.19．（8分）（2022·高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．(1)6；(2)1+i；(3)1−√3i；(4)−√32+12i．20．（8分）（2022·全国·高一假期作业）计算下列各式：(1)16(cos4𝜋3+isin4�

�3)×4(cos5𝜋6+isin5𝜋6)；(2)3(cos20∘+isin20∘)[2(cos50∘+isin50∘)][10(cos80∘+isin80∘)]；(3)(−1+i)[√3(cos

7𝜋4+isin7𝜋4)]．21．（8分）（2022·高二课时练习）已知复数𝑧1,𝑧2,𝑧1+𝑧2在复平面上对应的点分别为𝐴，𝐵，𝐶，且𝑂为复平面的坐标原点.（1）若𝑧1=√32+12𝑖,向量𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑绕原点逆时针旋转90°且模变为原来的

2倍后与向量𝑂𝐶⃑⃑⃑⃑⃑重合，求𝑧2的值.（2）若𝑧1−𝑧2=2𝑖(𝑧1+𝑧2)，试判断四边形𝑂𝐴𝐶𝐵的形状.22．（8分）（2022·全国·高一专题练习）一般地，任何一个复数𝑧=𝑎+𝑏

i（𝑎，𝑏∈𝑅）都可以表示成𝑟(cos𝜃+isin𝜃)形式，其中，𝑟是复数𝑧的模，𝜃是以𝑥轴的非负半轴为始边，向量𝑂𝑍所在射线（射线𝑂𝑍）为终边的角，叫做复数𝑧=𝑎+𝑏i的辐角，𝑟(cos𝜃+isin𝜃)叫做复数𝑧=𝑎+𝑏i的三角表示式，简称三

角形式.为了与“三角形式”区分开来，𝑎+𝑏i（𝑎，𝑏∈𝑅）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.(1)画出复数𝑧=1−i对应的向量，并把𝑧=1−i表示成三角形式；(2)已知𝑧1=cos𝜃1+isin𝜃1，𝑧2=co

s𝜃2+isin𝜃2，cos(𝜋+𝜃1+𝜃2)=35，其中𝜃1∈(0,𝜋2)，𝜃2∈(0,𝜋2).试求𝑧1𝑧2（结果表示代数形式）.