【文档说明】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，986.033 KB，由小赞的店铺上传

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2022级高三学年十月份月考数学试题考试时间:120分钟分值:150分命题人：刘涛命题人：梁玉俊一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合2,3,5,7,8,9A=，31,Bxxkk==−Z，则AB=

（）A.5,8B.7C.2,5,8D.3,5,7,9【答案】C【解析】【分析】由题意根据集合B中元素的特点，可得集合A中的元素2,5,8在集合B中，从而可得答案.【详解】由31,Bxxkk==−Z，集

合B中的元素是被3整除余2的整数.则集合2,3,5,7,8,9A=中的元素2,5,8在集合B中所以2,5,8AB=.故选：C.2.等差数列()*nanN中，274110,2aaaa=−=，则7a=（）A.40B.3

0C.20D.10【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【详解】设等差数列*{}(N)nan的公差为d，7412aaa−=，则132da=，210a=，则1112103adaa+=+=，解得16a=，4d=，71662430aad=+=+=．故选：B

．3.已知函数()ee2xxafxx−+=为偶函数，则a=（）A.2B.1C.0D.1−【答案】D【解析】【分析】根据偶函数定义列出方程求解即可.【详解】因为函数()ee2xxafxx−+=为偶函数，所以eeee()()22xxxx

aafxfxxx−−++−===−，所以eeeexxxxaa−−+=−−，即()eeeexxxxa−−+=−−恒成立，所以1a=−，故选：D4.已知是第二象限的角，(,8)Px为其终边上的一点，且4sin5=，则x=（）A.6−B.6C.323D.323−【答案】A【解析】【分析】根

据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得.【详解】依题意，0x，264rOPx==+（O为坐标原点），则284sin564x==+，所以6x=−.故选：A5.已知()311sin,25tantan+=−+

=，则sinsin=（）A.310−B.15C.15−D.310【答案】A【解析】【分析】切化弦，通分即可求解.【详解】因为()3sin5+=−，因为()sin11coscoscossincossin2tantansinsinsinsinsinsin

+++=+===，所以3sinsin10=−.故选：A.6.已知数列na的前n项和为nS．若125nnaan++=+，11a=，则8S=（）A.48B.50C.52D.54【答案】C【解析】【分析】根据112nnaa+−−=

，即可根据奇偶项分别为等差数列，分组求和，或者利用212nnaa−+为等差数列，即可由等差求和公式求解.【详解】方法一：∵125nnaan++=+①，∴当2n时，()1215nnaan−+=−+②，①-②得当2n时，112nnaa+−

−=，∴na中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2．∵11a=，∴当n为奇数时，1122nnaan−=+=；当n为偶数时，1254nnanan+=+−=+．∴()()()()81357246841746125222Saaaaaaaa++=+++++++=+=．方法二

：∵125nnaan++=+，∴()23225nnaan+++=++，127aa+=，∴数列212nnaa−+是以7为首项，4为公差的等差数列，∴812347843474522Saaaaaa=++++++=+

=．故选：C．7.正整数1,2,3,,n的倒数的和111123n++++已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1111ln23nn+++++.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，0.5

77215664901，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设[]x表示不超过x的最大整数，用上式计算1111232024++++的值为（）（参考数据：ln20.69，ln31.10，ln102.30）A.10B.9C.8D.7【答案】C【解

析】【分析】设*1111,23nann=++++NL，分析可知数列na为递增数列，结合题中数据估算可知20248.078.17a，即可得结果.【详解】设*1111,23nann=++++NL，则lnnan+，因为1111111111

0231231nnaannn+−=++++−++++=++LL，可知数列na为递增数列，且1800ln1800ln22ln32ln108.07a+=+++，2048ln204811ln28

.17a+=+，可知20248.078.17a，所以202411118232024a++++==L.故选：C.8.数列{𝑎𝑛}前n项和为nS，满足111,3,2nnnaada+−==，则10S可能的不同取值的个数为（）A.45B.46C

.90D.91【答案】B【解析】【分析】利用累加法表示出na，先计算1(1,2,,1)idin==−时nS，然后依次将id调整为3可求得nS的最大值，然后可得解.详解】由题设可得1212nnaddd−=++++，其中{1,

3}id，故131nnan+−，且na奇偶交错出现．的的【若na为奇数，由{1,3}id可得对na可取遍[1,31]nn+−中的每一个奇数；若na为偶数，由{1,3}id可得对na可取遍[1,31]nn+−中的每一个

偶数，又1212(1)(2)nnSnndndd−=+−+−++，当1(1,2,,1)idin==−时，(3)2nnnS+=，考虑1(1,2,,1)idin==−时，id调整为3，则对应的nS可增加2()ni−，依次对诸id（至少

一个）调整为3后(3)(3)2222232(1)22nnnnnSn++++++++−，即(3)(31)222nnnnnS+++，从上述的调整过程可得nS，取遍了(3)(31),22nnnn++中的奇数或偶

数（取奇数还是偶数取决于(3)2nn+的奇偶性），当10n=时，nS取遍了[65,155]中的奇数，合计46个，故选：B．【点睛】关键点睛：本题关键在于先根据1(1,2,,1)idin==−求nS的最小值，然后依次将id调整为3求nS的最大值

，然后分析即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数π()2sin26fxx=+，则下列结论成立的是

（）A.()fx的最小正周期为πB.曲线()yfx=关于直线π2x=对称C.点π,012−是曲线()yfx=的对称中心D.()fx在(0,π)上单调递增【答案】AC【解析】【分析】由题干条件求函数()fx的最小正周期，可判断A选项，利用正弦型函数的对称性可判断B

C选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】设π()2sin26fxx=+的最小正周期为T，2ππ2T==故A正确；因为π72sin=1226f=−，所以B错误；因为

πππ2sin01266f−=−=，所以点π,012−是曲线()yfx=的对称中心,C正确；由π2π,,63x得ππ3π2,622x+，()fx在π2π,63上

单调递减，所以D错误．故选：AC．10.下列命题正确的（）A.ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若cos=cbA，则ABCV一定是直角三角形B.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc，22,4,

30acA===时，有两解C.命题“()00,x+，00ln1xx=−”的否定是“()0,,ln1xxx+=−”D.设函数()()()24fxxax=−−定义域为R，若关于x的不等式()0fx的解集

为{|4xx或1}x=，则点()2,2−是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心【答案】ABD【解析】【分析】根据余弦定理可判断A，根据4sin30222ac==可判断B，根据存在量词命题的否定的结构形式可判断C，根据(

)()44fxfx+−=−可判断D.【详解】对于A，因为cos=cbA，故2222bcacbbc+−=，整理得到：222cab+=，故ABCV一定是直角三角形，故A正确.对于B，因为4sin30222ac

==，故ABCV有两解，故B正确.对于C，命题“()00,x+，00ln1xx=−”的否定是：“()0,x+，ln1xx−”，故C错误.对于D，因为()0fx的解集为{|4xx或1}x=，故1a=，故()()()214fxxx=

−−，故()()()()22441443fxxxxx−=−−−−=−−，故()()()()()224314fxfxxxxx−+=−−+−−3232696944xxxxxx=−+−+−+−=−，故点()2,2−是曲线()yfx=的对称中心，故D正确

.故选：ABD.11.如图，某旅游部门计划在湖中心Q处建一游览亭，打造一条三角形DEQ游览路线．已知,ABBC是湖岸上的两条甬路，120,0.3km,0.5km,60ABCBDBEDQE====（观光亭Q视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（）A.0.7kmDE=B.当

45DEQ=时，76km20DQ=C.DEQ面积的最大值为2493km400D.游览路线DQQE+最长为1.4km【答案】ACD【解析】【分析】运用正余弦定理解三角形即可判断AB，在用余弦定理解三角形的同时结合基本不等式即可判断CD.【详解】在DBE中，由余弦定理得2222cos1200.

49DEBDBEBDBE=+−=，所以0.7km,ADE=正确；在DEQ中，由正弦定理sinsinDQDEDEQDQE=，得20.7sin762km,Bsin3032DEDEQDQDQE===错误；在DEQ中，由余弦定理，22210.7222DQQEDQQEDQQE

DQQEDQQE=+−−=，当且仅当DQQE=时等号成立，所以49100DQQE，则DEQ的面积为21493sin60km2400DQQE，C正确；由上可得222210.72()32DQQEDQQEDQQEDQQE=

+−=+−，所以222210.7()3()24DQQEDQQEDQQE++−=+，当且仅当DQQE=时等号成立，所以20.71.4kmDQQE+=，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()lnfxxx=，角为函数()fx在

点(e,(e))f处的切线的倾斜角，则sin2cossincos+=−__________．【答案】4【解析】【分析】求出函数()fx的导数，利用导数的几何意义求出tan，再利用齐次式法计算即得.

【详解】函数()lnfxxx=，求导得()1lnfxx=+，依题意，tan(e)2f==，所以sin2costan24sincostan1++==−−.故答案为：413.等差数列{}na的前n项和记为n

S，已知14733aaa++=，25827aaa++=，若存在正数k，使得对任意N*n，都有nkSS恒成立，则k的值为_________．【答案】9【解析】【分析】先根据条件解出首项与公差，再求nS取最大值时对应项数.详解】147

33aaa++=，25827aaa++=，111311,492,17adadda+=+==−=所以2117(1)(2)182nnSnnnn=+−−=−+【当9n=时nS取最大值，因为对任意N*n，都有nkSS恒成立，所以k的值为9故答案为9【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查

基本分析求解能力，属基础题.14.设abc，，是正实数，且abcacb++=，则222111111abc−++++的最大值为____________.【答案】54##1.25【解析】【分析】由abcac

b++=变形后1acbac+=−，三角代换后利用三角恒等变换化简，求得最值.【详解】由abcacb++=可得(1)bacac−=+，显然10ac−，所以1acbac+=−，令πtan,tan,,0,2aAcCAC==,则()tantanπ

tantan,0,1tantan2ACbBACBAC+===+−，所以BAC=+，()22222221111coscoscoscos2cos21cos1112ABCACBabc−+=−+=++−+++()()()222coscos1coscos1coscos1cosACACBACBB

B=+−+−++−=+−251cos42B=−−，当1cos2B=，AC=时，即ππ,36BAC===等号成立，即3,33acb===时，222111111abc−++++有最大值54.故答案为：54【点睛】关键点点睛：条件变形后由1acbac+=−联想两角和的正切

公式，引入三角代换是解题的第一个关键点，其次换元后适当方向的三角恒等变换，并根据三角函数的有界性建立不等式是解题的第二个关键点.四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15

.在ABCV中，内角,,ABC所对的边分别为cosπ,,,2sincos6AabcCB=−．（1）求B；（2）若ABCV的面积为3,AC边上的高为1，求ABCV的周长．【答案】（1）π3B=（2）2623+．【解析】【分析】（1）利用和差公式和三角形内角和定理将已知条件展

开，然后化简整理即可得解；（2）利用三角形面积公式求出b，然后由面积公式和余弦定理列方程组可得ac+，可得周长.【小问1详解】由cosπ2sincos6ACB=−，得31cos2cossincos22ABCC=−，①由πABC

++=，得()coscoscoscossinsinABCBCBC=−+=−+，②由①②联立，得sinsin3cossinBCBC=，由()0,πC，得sin0C，所以tan3B=，又由𝐵∈(0,π)，得π3B

=．【小问2详解】因为ABCV的面积为3，所以1132b=，得23b=．由1sin32acB=，即13322ac=，所以4ac=．由余弦定理，得2222cosbacacB=+−，即2212acac=+−，所以2()31224acac+=+=，可得26ac+=，所以ABCV的周长为2

623abc++=+．16.已知数列na，nb中，14a=，12b=−，na是公差为1的等差数列，数列nnab+是公比为2的等比数列.（1）求数列nb的通项公式；（2）求数列n

b的前n项和nT.【答案】（1）23nnbn=−−（2）nT2172222nnn+=−−−【解析】【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列{}na的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列{}nnab+的通项公式，即可计算出数列{}nb的通项公式

；（2）根据数列{}nb的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前n项和nT．【小问1详解】由题意，可得4(1)13nann=+−=+，故3nan=+，*Nn，数列{}nnab+是公比为2的等比数

列，且11422ab+=−=，1222nnnnab−+==，223nnnnban=−=−−，*Nn．【小问2详解】由题意及（1），可得2(3)nnbn=−+，则123nnTbbbb=++++12

3(24)(25)(26)[2(3)]nn=−+−+−++−+123(2222)[456(3)]nn=++++−+++++2(12)(7)122nnn−+=−−2172222nnn+=−−−．17.已知函数()223sincos2cos1fxxxx=−+．（1）若π2π,123x−

，求()fx的值域；（2）若关于x的方程()0fxa−=有三个连续的实数根1x，2x，3x，且123xxx，31223xxx+=，求a的值．【答案】（1）3,2−（2）1【解析】【分析】（1）将π26x−看成整体角z，由π2π,123x−求得π7π36

z−，判断sinyz=的单调性，求得函数sinyz=的值域，继而得()fx的值域；（2）结合函数()π2sin26fxx=−的图象，得31πxx=+和12ππ223xxk+=+，Zk，求得1ππ26kx=+，Zk，由方程π2sinπ6ak=+即可求

得a值.【小问1详解】()2π23sincos2cos13sin2cos22sin26fxxxxxxx=−+=−=−因π2π,123x−，令π26zx=−，则π7π36z−，因sinyz=在ππ[,]32−上单调递增，在π

7π[,]26上单调递减，而π37π1sin(),sin3262−=−=−，故3πsin2126x−−．则()32fx−，∴𝑓(𝑥)的值域为3,2−．【小问2详解】如图，因()π2sin26fxx=−的最小正周期为π，当2a=时，易得21

31π,2πxxxx=+=+，不满足31223xxx+=，故舍去，当22a−时，依题意：31πxx=+，代入31223xxx+=得：21π3xx=+．由ππ2π62xk−=+，Zk，可得ππ23kx=+，Zk．由

12ππ223xxk+=+，Zk，代入21π3xx=+，解得1ππ26kx=+，Zk．ππππ2sin22sinπ2666kak=+−=+，Zk，当2,Zknn=时，ππ

2sinπ2sin2π166kn+=+=，Zn；当21,Zknn=+时，π7π2sinπ2sin2π166kn+=+=−，Zn，故a的值为1．18.已知函数()si

nln(1),Rfxxxaxa=++−.（1）当0a=时，求()fx在区间()1,π−内极值点的个数；（2）若()0fx恒成立，求a的值；（3）求证：2*1121sin2lnln2,N11ninnnin=+−−−

−.【答案】（1）1个（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据函数在()1,2π−的单调性和导函数的单调性可求（2）就2,2aa分类讨论后可得2a=，再利用导数可证明此时不等式恒成立.（3）利用()sin2ln1xxx−+，转化为111222

111sin2ln1111inininnnniii=+=+=+−+−−−，然后利用导函数的单调性证明11ln12iii−−−即可【小问1详解】当0a=时，()sinln(1)fxxx=++,()()1co

s,1,π1fxxxx−+=+,cosyx=，11yx=+在()1,π−上均为减函数，故𝑓′(𝑥)在()1,π−上为减函数，而()020f=，()1π10π1f=−++，故𝑓′(𝑥)在()1,π−内存在唯一的零点0x，且：当()01,xx−时，𝑓′(𝑥)>0

；当()0,πxx时，𝑓′(𝑥)<0；故()fx在()1,π−内存在1个极大值点，无极小值点.【小问2详解】𝑓′(𝑥)=cos𝑥+1𝑥+1−𝑎,𝑥>−1，若2a，因此()020fa=−，当01axa−+时，由𝑓′(−𝑎𝑎+1)=cos𝑎𝑎+1+1>0，

故存在()1,0s−，使得()0fs=且任意的(),0xs，总有𝑓′(𝑥)<0，故()fx在(),0s上为减函数，故任意的(),0xs，总有()()00fxf=，这与题设不合，舍；若2a，则𝑓′(0)=2−𝑎>0，因𝑓′(𝑥)的图像连续不间断，故存在0t，使得任意的()

0,xt，总有𝑓′(𝑥)>0，故()fx在()0,t上为增函数，故任意的()0,xt，总有()()00fxf=，这与题设不合，舍；故2a=，此时𝑓′(𝑥)=cos𝑥+1𝑥+1−2,𝑥>−1，

，当𝑥∈(0,+∞)时，()1120fx+−=，故()fx在(0,+∞)上为减函数；当()1,0x−时，由（1）的分析可得𝑓′(𝑥)在()1,0−为减函数，故()1,0x−，()()00fxf=，故()fx在()1,

0−上为增函数，故()()00fxf=，故()0fx恒成立，故2a=.【小问3详解】由（2）可知，()sin2ln1xxx−+，当且仅当0x=时取等号，所以222111111sin2ln1111nnninininiii=+=+=+−+−−−，2211112

2ln1lnlnlnlnln211121nninininnniinnn=+=++++==+++=−−+−，因为2121212221221lnlnlnlnlnln122231222312ninnnnnnnnnnnnnnnnn=+−−−−−−==+++

=−−−−−−−−，所以即证11ln12iii−−−令()1111,22ixii−==++−−，则1111ix=−−，所以即证：11lnxx−，𝑥∈(1,+∞)，令()11lnmxxx=−−，则()22111xmxxxx−=−=，

所以𝑥∈(1,+∞)时，()0mx，()mx单调递减，所以()()10mxm=，即11lnxx−，𝑥∈(1,+∞)，综上，21121sin2lnln211ninnin=+−−−−，2n，nN【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用

导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19.对于数列{}na，若存在常数T，*00)(,NnTn，使得对任意的正整数0nn，恒有nTnaa+=成立，则称数列{}na是从第

0n项起的周期为T的周期数列．当01n=时，称数列{}na为纯周期数列；当02n时，称数列{}na为混周期数列．记x为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列{}na满足：21log,212,2nnnnannaaaaa+=−+

为偶数为奇数.（1）若对任意正整数n都有1na，请写出三个满足条件的1a的值；（2）若数列{}na是常数列，请写出满足条件的1a的表达式，并说明理由；（3）证明：不论1a为何值，总存在*,Nmn使得21mna=−．【答案】（1）3,5,6；（2）121(N)kak=−

，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别取12a=，3，4，5，6，根据已知条件逐一验证即可求解.（2）分别取11a=，2，3，4，5，6，7，根据已知条件逐一验证得出猜想，并验证猜

想.（3）根据（2）的分析，121(N)kak=−时，满足题意；再证明，当121(N)kak−时，也存在,mn使得21mna=−即可.【小问1详解】对任意整数n都有1na，当12a=时，1212aa==，不符合题意；当13a=时，2log312121232aa−=+=+=，34

3naaa====，数列na为常数列3；当14a=时，1222aa==，2312aa==，不符合题意；当15a=时，2log5212122262aa−=+=+=，2332aa==，453naaa====，数列na的

通项公式为5,16,23,3nnann===；取16a=时，1232aa==，2log323121232aa−=+=+=，453naaa====，数列na的通项公式为6,13,2nnan==，所以满足条件的三个1a的值为3,5,6；【小问2详解】当11a=时

，2log1121212aa−=+=，341naaa====，此时数列na为常数列1；当12a=时，则1212aa==，341naaa====，此时数列na的通项公式为2,11,2nnan==，不为常数列；当13

a=时，由（1）知，数列na为常数列3；当14a=时，1222aa==，2312aa==，451naaa====，此时数列na的通项公式为4,12,21,3nnann===，不为常数列；当15a=时，由（1）知，数列na的通项公式为5,16,23,3nnann=

==，不为常数列；当16a=时，由（1）知，数列na的通项公式为6,13,2nnan==，不为常数列；当17a=时，2log7212123272aa−=+=+=，347naaa====，数列na为常数列7，根据上述计算得出

猜想，当121(N)kak=−时，数列na为常数列21(N)kk−，证明如下：当121ka=−时，()221log21log11121211222122122kkakkkaa−−−−−−=+=+=−+=−，3421knaa

a====−，(N)k，所以当121(N)kak=−时，数列na为常数列.【小问3详解】由（2）知，当121(N)kak=−时，数列na为常数列{21}k−，则存在*,Nmn使得21mna=−；当121(N)kak−时，也存在,mn使得21m

na=−，而1121=−，则只需要证明数列na中始终存在值为1的项即可，当12(N)kak=时，则112kkkaa+==，即数列na存在值为1的项，当1(2,21)(N)kkak−时，有122aa=或21log12122aaa−=+，若1a为偶数，则122aa=，

若1a为奇数时，则12121log[log(21)]112121122212222kkakkkaa++−+−−−=++=−+，1111121111212222202222kkkkkaaaaaaa+−−−−−=+−=+=−−=，则11222kkaa+，于是12(2,2)kka+

，即无论1a为奇数还是偶数，均有122ka+，特别地，当1a为奇数时，12(2,2)kka+且12aa，类似地，无论2a为奇数还是偶数，均有132ka+；特别地，当2a为奇数时，13)(2,2

kka+且123aaa，当且仅当1221ka+=−取等号，因此无论1a为奇数还是偶数，均有12kna+，若1(2,2)(2)kknan+，则na恒为奇数且1234naaaaa，当且仅当1221ka+=−取等号，于是假设数列na的121(N)kak−且1(2,2)

(2)kknan+，则na恒为奇数且1234naaaaa，当且仅当1221ka+=−取等号，由于1)(2,2kk+中仅有有限个正整数，则数列na从某项起恒为常数121k+−，设ia为

第一个值为121k+−的项，而2log11112222iakiiiaaa−−−−=+=+，于是1112212kkiiaa+−−=+=−，有1121kia+−=−，这与“ia是第一个值为121k+−的项”相矛盾；因此数列na除第一项外，还存在不

属于区间1)(2,2kk+的项，假设这些不属于区间1)(2,2kk+的项全部属于区间1)(2,2kk−，那么也会出现类似的矛盾，则数列na除第一项外，存在不属于区间1)(2,2kk+和1)(2,2kk−的项，以此类推，数列na一定存在小于值为2正整数的项，即存在值为1的项，所以不论1

a为何值，总存在*,Nmn使得21mna=−.【点睛】方法点睛：考查分段定义周期数列的相关知识，方法是给1a赋值，逐一根据已知题意进行验证.的