【文档说明】山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题word版含解析.docx，共(15)页，824.268 KB，由小赞的店铺上传

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聊城二中高二开学考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.若复数z满足()34i43iz+=+，则z的虚部为（）A.4−B.45−C.4i−D.4i5−【答案

】B【解析】【分析】根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.【详解】因为()2234i43i435z+=+=+=，所以()()()534i534i34i34i34i55z−===−++−，所以z的虚部为45−.故选：B2.向量()0,1a=，()2,3b=−，则b在a

上的投影向量为（）A.()2,0B.()0,2C.()3,0−D.()0,3−【答案】D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】b在a上的投影向量为.()··30,3abaaaa=−=−故选：D.3.若

平面截球O所得截面圆的面积为12π，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（）A.48πB.50πC.56πD.64π【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用球截面小圆性质及球的面积公式计算即得.【

详解】由平面截球O所得截面圆的面积为12π，得此截面小圆半径23r=，而球心到此小圆距离2d=，因此球O的半径R，有22214Rrd=+=，所以球O的表面积24π56πSR==.故选：C4.设m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若m∥，m∥，则

∥B.若m∥，n∥，则mn⊥C.若m⊥，m⊥，则∥D.若m⊥，n⊥，则mn⊥【答案】C【解析】【分析】根据两平面的位置关系可判断A；根据线面平行的性质结合线线的位置判断B；根据线面的垂直的性质可判断

CD.【详解】在A中，若m∥，m∥，则，可能相交或平行，故A错误：在B中，若m∥，n∥，则m与n相交、平行或异面，故B错误：在C中，若m⊥，m⊥，则由线面垂直性质定理得∥，故C正确；在D中，若m⊥，n⊥，则由线

面垂直的性质定理得mn∥，故D错误.故选：C.5.以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第p百分位数是85，则p=（）A.65B.70C.75D.80

【答案】B【解析】【分析】由样本数据第p百分位的定义求解即可得出答案.【详解】因为10人成绩的第p百分位数是85，而8486852+=，即第7位与第8位的平均值，所以85是这10人成绩的第70百分为数.的的故选：B.6.自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动

逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为23，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）A.23B.1112C.34D.89【答案】D【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解.【详解

】记“甲射中10环”为事件A，“乙射中10环”为事件B，2()()3PAPB==，甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：2281()1()()111339PPABPAPB=−=−=−−−

=.故选：D．7.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点，若,PAaPBb==，PCc=，则用基底{,,}abc表示向量BE为（）A.111222abc−+B.131222abc−+C.111222abc−−D.133222abc−+【答案】B【解析】【分

析】根据空间向量基本定理结合向量线性运算，用基底表示即可.【详解】连接BD，如图，的因为E是PD的中点，所以111()()222BEBPBDbBABCb=+=−++=−+111131()(2)2222

22PAPBPCPBbacbabc−+−=−++−=−+.故选：B8.已知v为直线l的方向向量，12,nn分别为平面,的法向量（,不重合），则下列说法中，正确的是（）A1vnl∥∥B.12nn

⊥⊥C.12nn⊥∥D.1vnl⊥⊥【答案】B【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意112121,,//,vnlnnnnvnl⊥⊥⊥⊥⊥∥∥或

l.故选：B.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列结论正确的有（）A.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球是互斥事件B.在标准大气压下，水在4℃时结冰为随机事件C.若一组数据1，a，2，4的众数是2，则这组数据的

平均数为94D.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为400的样本进行调查．若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6:5:5:4，则应从四年级中抽取80名学生【答案】

CD【解析】【分析】对于A，分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；对于B，根据物理知识之间判断选项；对于C，根据众数和平均数公式计算结果；对于D，根据分层抽样的计算公式，计算结果..【详解】对于A，恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事

件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A错误，对于B，在标准大气压下，水在4℃时结冰为不可能事件，故B不正确，对于C，众数是2，所以2a=，平均数1224944+++=，故C正确，对于D，由条件可知44

00806554=+++名学生，故D正确.故选：CD.10.下列命题正确的是（）A.若23pxy=+，则p与x，y共面B.若23MPMAMB=+，则,,,MPAB共面C.若0OAOBOCOD+++=，则,,,ABCD共面D.若151263OPO

AOBOC=+−，则,,,PABC共面【答案】ABD【解析】【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对151263OPOAOBOC

=+−，可以利用线性运算转化为3522PCPAPB=+，再进行判断.【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，p与x，y共面；所以选项A是正确的；选项B，根据共面向量基本定理可知，,,MPMAMBuuuruuuruuur共面，由于它们有公共点M，所以MPAB，，

，共面；选项C，举反例说明，若OA，OB，OC是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以O为起点的对角线向量，而OD是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点ABCD，，，不在同一个平面上，所以C选项是错误的；选项D，由151263OPOAOBOC=+−可得6352OP

OAOBOC=+−，则0335522OAOPOBOPOPOC=−+−+−，即0352PAPBCP=++，则3522PCPAPB=+，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；故选：ABD．11.在ABCV中，角,,ABC所对的边

分别为,,abc，下列结论正确的是（）A.若2220bca+−，则ABCV为锐角三角形B.若AB，则sinsinABC.若3,60bA==，三角形面积33S=，则13a=D.若coscosaAbB=，则ABCV为等腰三角形【

答案】BC【解析】【分析】对于A，根据余弦定理，判定A为锐角即可求解；对于B，根据大角对大边，及正弦定理求解；对于C，利用三角形的面积计算公式、余弦定理即可求解；对于D，根据正弦定理的边角化，再利用倍角公式及角的范围即可求解.【详解】对于A，由余弦定理得222cos0,2bcaAb

c+−=所以A为锐角，但是角,BC的大小不清楚，所以不能判定ABCV为锐角三角形，故A不正确；对于B，在ABCV中，AB，则ab，由正弦定理得，2sin2sinRARB，即sinsinAB，故B正确；对于C，由3,60bA==，33S=，得1

sin332bcA=，解得4c=，由余弦定理得222222cos341234co03s6abcbcA=+−=+−=，所以13a=，故C正确；对于D，由coscosaAbB=及正弦定理，得sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，因为0π,0π,022π,022πA

BAB，所以22AB=或22πAB+=，解得AB=或π2AB+=，所以ABCV为等腰三角形或ABCV为直角三角形，故D不正确.故选：BC.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量||2,||2,ab==a与b的夹角为4，且(

)baa−⊥，则实数的值为______.【答案】2【解析】【分析】根据()baa−⊥可得()0baa−=，再根据平面向量的数量积公式求解即可【详解】由()baa−⊥可得()0baa−=，即20aba−=，2cos,0ababa−=，代入可得2240−=，化

简得2=故答案为：2【点睛】平面向量的垂直：若向量ab⊥，则0ab=13.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中2,3BOCOAO===，则原△ABC的面积为_____．【答案】43【解析】【分析】利用“斜二测画法”判断平面图形的形状，然后求解面积即可

．【详解】水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B'O'＝C'O'＝2，''3AO=，可知原△ABC是等腰直角三角形，底边长为4，高为2√3，则原△ABC的面积为：1423432=．故答案为4√3．【点睛】本题考查斜

二测画法，平面图形的面积的求法，考查计算能力．14.某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有四种不同颜色且形状大小完全相同的小球16个，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖，从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率为716，小华同学获得一次

摸奖机会，则求他不能中奖的概率是____________.【答案】12【解析】【分析】根据题意，求得16个球中代表无奖的球的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得结果.【详解】从16个球中任取一个小球，中二等奖或三等奖的概率为716，故可得代表二等奖和三等奖的球共

有7个，又代表一等奖的球有1个，故代表无奖的球有8个，故小华同学获得一次摸奖机会，不能中奖的概率81162=.故答案为：12.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知复数64i1imz−=+（

mR，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求实数m的值；（2）设z是z的共轭复数，复数2zz−在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）32m=；（2）3322m−．【解析】【分析】（1）利用复数的除法公式计算并整理，再由纯虚数中

实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.【详解】（1）()()()()()64i1i3232i1i1imzmm−−==−−++−，因为z为纯虚数，

所以320320mm−=+，解得32m=．（2）因为z是z的共轭复数，所以()3232izmm=−++，所以()22396izzmm−=−++．因为复数2zz−在复平面上对应的点位于第二象限，所以230960mm−

+，解得3322m−．【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.16.已知4,3ab==，()()23261abab−+=.（1）求a与b的夹角；（2）求ab+；（3）若ABa=，BCb=，求ABCV的面积.【

答案】（1）2π3（2）13（3）33【解析】【分析】（1）把()()23261abab−+=展开，利用向量的夹角公式可得答案；（2）可先将ab+平方转化为向量的数量积计算可得答案；（3）由AB与BC的夹角得到ABC，利用三角形面积公式计算可

得答案.【小问1详解】因为()()23261abab−+=，所以()()2244361aabb−−=，又4,3ab==，所以6442761ab−−=，所以6ab=−，所以61cos432abab−=

==−，又0π，所以2π3=；【小问2详解】因为()()()22221626913abaabb+=++=+−+=，所以13ab+=；【小问3详解】因为AB与BC的夹角2π3=，所以2πππ33ABC=−=，又4ABa==，3BCb==，所以113sin433322

2ABCSABBCABC===.17.如图，三棱台DEFABC−中，2ABDEGH=，，分别为ACBC，的中点.（Ⅰ）求证：//BD平面FGH；（Ⅱ）若CFBCABBC⊥⊥，，求证：平面BCD⊥平面EG

H.【答案】证明见解析【解析】【分析】如下【详解】（Ⅰ）证法一：连接,.DGCD设CDGFM=,连接MH，在三棱台DEFABC−中，2ABDEG=，分别为AC的中点，可得//,DFGCDFGC=，所以四边形DFCG是平行四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以//HMB

D,又HM平面FGH，BD平面FGH，所以//BD平面FGH.证法二：在三棱台DEFABC−中，由2,=BCEFH为BC的中点，可得//,,BHEFBHEF=所以HBEF为平行四边形，可得//.BEHF在𝛥𝐴𝐵𝐶中，GH，分别为ACBC，的中点，所以//,GHAB又GHHF

H=，所以平面//FGH平面ABED，因为BD平面ABED，所以//BD平面FGH.（Ⅱ）证明：连接HE.因为GH，分别为ACBC，的中点，所以//,GHAB由,ABBC⊥得GHBC⊥，又H为BC的中点，所以//,,EFHCEFHC=因此四边形EFCH是平行

四边形，所以//.CFHE又CFBC⊥，所以HEBC⊥.又,HEGH平面EGH，HEGHH=，所以⊥BC平面EGH，又BC平面BCD，所以平面BCD⊥平面.EGH考点：1.平行关系；2.垂直关系.18.在ABCV中，角A，B，C

的对边分别是a，b，c，且2cos2bCac=+．（1）求角B的大小；（2）若23b=，D为AC边上的一点，1BD=，且______，求ABCV的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD是ABC的平分线

；②D为线段AC的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】（1）2π3（2）选择①②，答案均为3【解析】【分析】（1）由正弦定理和()sinsinABC=+得到1cos2B=−，求出2π3B=；（2）选①，根据面积公式得到acac=+，结合余弦定理得到4ac=，求

出面积；选②，根据数量积公式得到224acac+−=，结合余弦定理得到2212acac++=，求出4ac=，得到面积.【小问1详解】由正弦定理知，2sincos2sinsinBCAC=+，∵()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，代入上式得2c

ossinsin0BCC+=，∵()0,πC，∴sin0C，1cos2B=−，∵𝐵∈(0,π)，∴2π3B=．【小问2详解】若选①：由BD平分ABC得，ABCABDBCDSSS=+△△△，∴12π1π1πsin1sin1sin232323a

cca=+，即acac=+．在ABCV中，由余弦定理得2222π2cos3bacac=+−，又23b=，∴2212acac++=，联立2212acacacac=+++=得()2120acac−−=，解得4ac=，3ac=−（舍去），∴12π13sin4323

22ABCSac===△．若选②：因为()12BDBABC=+，所以()()222211244BDBABCBABABCBC=+=++，即2212π12cos43caca=++，得224acac+−=

，在ABCV中，由余弦定理得2222π2cos3bacac=+−，即2212acac++=，联立2222412acacacac+−=++=，可得4ac=，∴12π13sin432322ABCSac===△．19.党的十九大报告指

出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）若将购买金额不低于80元游客称为“水果

达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；（3）为

吸引顾客，该村特推出两种促销方案，方案一：每满80元可立减8元；方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.的若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.【答案】（1）2；（2）7

10；（3）应该选择方案二更优惠.【解析】【分析】（1）由题意可求出金额在)80,100“水果达人”的人数30人和消费金额在100,120“水果达人”的人数20人，然后利用分层抽样的比求出5人中消费金额不低于100元的人数为2

0523020=+人；（2）由（1）可知抽取的5人中消费金额在)80,100的有3人，分别记为A，B，C，消费金额在100,120的有2人，记为a，b，即可列出所有的基本事件共有10种，其中满足条件的有7种，从而可求出概率；（3）由题意可得该游客要购买110元水果，分别计算两种方案所需支付

金额，即可得解.【详解】解：（1）由图可知，消费金额在)80,100“水果达人”的人数为：200200.007530=人，消费金额在100,120“水果达人”的人数为：200200.00520=人，分层抽样的方法从样本的“水果达人”中

抽取5人，这5人中消费金额不低于100元的人数为：20523020=+人；（2）由（1）得，消费金额在)80,100的3个“水果达人”记为A，B，C，消费金额在100,120的2个“水果达人”记为a，b，所有基本事件有：(),AB，(),AC，(),

BC，(),Aa，(),Ab，(),Ba，(),Bb，(),Ca，(),Cb，(),ab共10N=种，2人中至少有1人购买金额不低于100元的有7n=种，所求概率为710nN==.（3）依题可知该游客

要购买110元的水果，若选择方案一，则需支付()80830102−+=元，若选择方案二，则需支付50300.9200.8100.7100+++=元，所以应该选择方案二更优惠.【点睛】此题考查了频率分布直方图，古典概型，函数等基础知识，考查了数据分析能力，

运算求解能力，考查了化归与转化思想，属于中档题.