【文档说明】河北省沧州市三县联考2023-2024学年高三上学期11月月考试题+数学+含解析.docx，共(24)页，1.293 MB，由小赞的店铺上传

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2023～2024学年度第一学期高三年级11月份月考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何与空间向量（

约80%），其他内容（约20%）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2,1,3,230ABxx=−=+，则AB=（）A.3,2−+B.1−C.1,3D.

32.若复数z满足(1i)3iz+=−，则||z=（）A.5B.5C.25D.203.若角的终边上有一点()2,Pm−，且5sin5=−，则m=（）A.4B.4C.-1D.14.设aR，则“0a”是“32aa

”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列na是等比数列，若53641224aaaa−=−=，，则2024a=（）A.202321−B.20232C

.202421−D.202426.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，点P在C上，若点()6,3Q，则PQF△周长的最小值为（）．A.13B.12C.10D.87.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中

甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23，面积为12，则球O的表面积为（）A.818B.812C.12116D.12148.已知函数()2l

nfxxax=+有两条与直线2yx=平行切线，且切点坐标分别为()()11,Pxfx，()()22,Qxfx，则1211+xx的取值范围是（）A.()0,22B.()0,4C.()22,+D.()4,+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求

.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()231sin2sin22fxxx=−+，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的最小正周期为B.函数()fx的图象的一条对称轴方程为6x=C.函数

()fx图象可由sin2yx=的图象向左平移12个单位长度得到D.函数()fx在区间0,3上单调递增10.已知111ba，则（）A.()ln1ab−−B.21babC.11abab−−D.11abab+

+11.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，1AA，11CD，1BB的中点．则下列说法正确的是（）A.直线GF，1EC是异面直线B.直线EG与平面ABCD所成角的正切值为22C.平面1DMC

截正方体所得截面的面积为18D.三棱锥11DAMC−的体积为163的的12.已加点P是圆22:9Oxy+=上一点．直线1:cossin3lxy+=与直线2:sincos2lxy−=交于点M．则下列说法正确的是（）A.1

2ll⊥B.直线1l与圆O相切C.直线2l被圆O截得的弦长为5D.||PM的最小值为133−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6313−xx展开式中2x的系数为______.14.已知非零向量,a

b的夹角为()π,3,23aaab=⊥−，则b=__________．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为31log2100Mv=，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数

是其静止时耗氧量的单位数的33倍时，它的游速是______m/s.16.已知()fx是定义在R上的奇函数，且满足()()4fxfx=−，当2,0x−时，()()4fxxx=−+，则()fx的单调递增区间是__________.四、解答题：本题

共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知10sincos5+=，()0,π.（1）求sincos−的值；（2）求()()cos22023πtan2023π+++的值.18.设nS为公差不为0的等差数列{}na的前n项和，若2a，5a，14a成等

比数列，12144S=．（1）求{}na的通项公式；（2）设214nnnnbaa+=，求数列{}nb的前n项和nT．19.在①1sin7B=；②sin3sinAB=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已

知π2cos3cAb+=．（1）求C；（2）若2c=，__________，点D在边AB上，且:2:3ACDBCD=，求CD．的.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面

PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值.21.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销

售丑橘的数量（都在100箱到600箱之间）情况如下：丑橘数量（箱）)100,200)200,300)300,400)400,500500,600购物群数量（个）a188a+20a+18（1）求实数a的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）

；（2）假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布()2,N，其中为（1）中的平均数，2=12100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在[266,596)（单位：箱）内的

群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？附：若X服从正态分布()2

,XN，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997PXPXPX−+−++−.22.已知函数()ln23fxaxxx=−+，其中0a.（1）当1a=时，求()fx的最小值；（2）若()1

exfx−对任意()0,x+恒成立，求实数a的取值范围.的2023～2024学年度第一学期高三年级11月份月考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前

，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上

作答无效.4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何与空间向量（约80%），其他内容（约20%）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

2,1,3,230ABxx=−=+，则AB=（）A.3,2−+B.1−C.1,3D.3【答案】C【解析】【分析】由题可得3,2B=−+，然后利用交集的概念即得.【详解】由230x+可得32x−，即3,2B=−+，所以1,3A

B=．故选：C．2.若复数z满足(1i)3iz+=−，则||z=（）A.5B.5C.25D.20【答案】A【解析】【分析】由复数的除法计算出复数z，再利用模长公式求||z.【详解】因为(1i)3iz+=−，所以(3i)(1i)12i)3i(1ii

1i1()z−−===+−−−+，所以22||1(2)5z=+−=．故选：A．3.若角的终边上有一点()2,Pm−，且5sin5=−，则m=（）A.4B.4C.-1D.1【答案】C【解析】【分析】根据公式22sinyxy=+，即可得到本题答案.【详解】由已知，得2222

5sin5(2)ymxym===−+−+，解得1m=.因为5sin5=−，所以0y，则1m=−.故选：C4.设aR，则“0a”是“32aa”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别证

明充分性和必要性，即可得到本题答案.【详解】①当12a=时，满足“0a”，但不满足“32aa”，所以“0a”不能推出“32aa”，故充分性不成立；②由32aa，解得1a，因“1a”可以推出“0a”，故必要性成立.综上，可知“0a”是“32aa

”的必要不充分条件.故选：B5.已知数列na是等比数列，若53641224aaaa−=−=，，则2024a=（）A.202321−B.20232C.202421−D.20242【答案】B.【解析】【分析】求出公比，进而得到34a=，利用等比数

列通项公式求出2024a.【详解】设公比为q，则64532aaqaa−==−，所以3332312aaaq−==，解得34a=，故20212021202324302422aaq===.故选：B6.已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，点P在C上

，若点()6,3Q，则PQF△周长的最小值为（）．A.13B.12C.10D.8【答案】A【解析】【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.【详解】224yx=，故()2,0F,记抛物线C准线为l，则l：2x=−，记点P到l的距离为d，点()6,3Q到l的距离

为d，则()()22623058513PQPFQFPQdd++=++−++=+−=.故选：A.7.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中甲的作品是在球当中放置了一个

圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23，面积为12，则球O的表面积为（）A.818B.812C.12116D.1214的

【答案】B【解析】【分析】先根据圆锥的侧面积公式求出母线，再根据圆锥的外接球计算即可.【详解】圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为2π3，面积为12π，设圆锥的母线长为l，所以212π12π23l

=，解得6l=．设圆锥的底面圆半径为r，所以22ππ4π3rl==，解得2r=，所以圆锥的高226242h=−=，设球O的半径为R，所以222(42)rRR+−=，解得922R=，所以球O的表面积等于28181π4π4π82R==．故选:B．8.已知函数()2ln

fxxax=+有两条与直线2yx=平行的切线，且切点坐标分别为()()11,Pxfx，()()22,Qxfx，则1211+xx的取值范围是（）A.()0,22B.()0,4C.()22,+D.()4,+【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何

意义求出()2lnfxxax=+在,PQ两点处的切线斜率，即可得出12,xx是2220xxa−+=的两根，利用韦达定理即可得出1211+xx的取值范围.【详解】根据题意可知()2lnfxxax=+的定义域为()0,+，所以()12,0,xx+，易得()2afxxx=+，由导数的几何意

义可得切点为()()11,Pxfx时，切线斜率为112axx+,同理可得，Q点处切线斜率222axx+；为又因为两条切线与直线2yx=平行，可得11222222axxaxx+=+=，即2112222202

20xxaxxa−+=−+=所以12,xx是关于方程2220xxa−+=的两根，所以2(2)420a=−−>，即12a，又()12121,0,2axxxx+==+可得102a；所以12121211122

xxaxxxxa+==+=，由102a可得12a即12112124xxaa+==>，所以1211+xx的取值范围是()4,+.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用导数的几何意义和两直线平行的位置关系得出关于12,xx的等量关系，再根据函数定义域和韦达定理即

可求得表达式的取值范围.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()231sin2sin22fxxx=−+，则下列说法正确的是（）A.函数()fx的最小正周期为B.函数()

fx的图象的一条对称轴方程为6x=C.函数()fx的图象可由sin2yx=的图象向左平移12个单位长度得到D.函数()fx在区间0,3上单调递增【答案】ABC【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()fx得到()πsin26fx

x=+，然后根据2πT=判断A选项；利用整体代入得方法得到()fx的对称轴，即可判断B选项；根据图象的平移变换判断C选项；根据复合函数的单调性判断D选项.【详解】()23131cos2131sin2sinsin2sin2cos2sin222222226xfxxxxxxx−

=−+=−+=+=+π，函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，故A正确；由()2π2π6πkkx++=Z，得()ππ62kxk=+Z，当0k=时，π6x=，故B正确；由sin2yx=的图象向左平移π12个单位

长度，得sin2sin2126yxx=+=+ππ，故C正确．因为50,,2,3666xx+ππππ，函数sinyt=在π5π,66上不单调，故D错误．故选：ABC．10.已知111

ba，则（）A.()ln1ab−−B.21babC11abab−−D.11abab++【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质，结合对数函数的对称性，通过构造函数法逐一判断即可.【详解】因为111ba，所以0,0ba，于是有11

abababba，由111aaaa，所以01ba.当12a=，14b=时，()1lnlnln414ab−==−−，A错误；2011bababb，21bab，B正确；因为()1yfxxx==−在()0,1上为增函数，因为01ba，所以()(

)fbfa11baba−−，因此C错误；.因为()1ygxxx==+在()0,1上为减函数，01ba，所以()()gbga11abab++，因此D正确.故选：BD.11.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点E，F，G，M分别是BC，1AA，11CD，1BB的中点

．则下列说法正确的是（）A.直线GF，1EC是异面直线B.直线EG与平面ABCD所成角的正切值为22C.平面1DMC截正方体所得截面的面积为18D.三棱锥11DAMC−的体积为163【答案】ACD【解析】【分析】利用图形，作出合理辅助线，根据异面直线的判定方法即可判断A，利用线

面角定义即可判断B，作出截面为等腰梯形计算即可判断C，利用顶点转换法结合三棱锥体积公式即可判断D.【详解】对A，如图1，取FM的中点P，连接1PC，因为111111111111//,,//,,22CGABCGA

BFPABFPAB==，所以1//FPGC，1FPGC=，所以四边形1FPCG是平行四边形，所以1//GFPC，又111PCECC=，所以直线GF，1EC是异面直线，故A正确；对B，如图2，取DC的中点Q，连接QE，QG，则1//QGDD，因为1DD⊥平面ABCD，所以QG⊥平面ABCD

，所以QEG是直线EG与平面ABCD所成角，222222EQ=+=，4QG=，所以tan2QGQEGQE==，即直线EG与平面ABCD所成角的正切值为2，故B错误；对C，如图3，延长1CM，CB交于点H，连接HD交AB于点N，连接

MN，1AB，因为11//BBCC，M为1BB的中点，则112BMCC=，所以B为HC的中点，因为//ADBH，ADBH=，所以易知N为AB的中点，则1//MNAB，因为11//ADBC，11ADBC=，所以四边形11ABCD为平行四边形，所以11//

ABDC，所以1//MNDC，则平面1DMC截正方体所得截面为等腰梯形1MNDC，在等腰梯形1MNDC中，142DC=，22MN=，DN=2214225MC=+=，则122DCMN−=，则梯形的高为20232−=，所以等腰梯形1MNDC的面积为(4

222)32182+=，故C正确；如图4，连接1BC，1BC，则11BCBC⊥，因为AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，所以1ABBC⊥，又1ABBCB=I，AB，1BC平面11ABCD，所以1BC⊥平面11ABCD，又M为1BB的中点，所以三棱锥11MACD−的

高为1124BC=，因为11CD⊥面11AADD，1AD面11AADD，所以11CD⊥1AD，111424822ACDS==，所以111118223DAMCMACDVV−−===163，故D正确．故选：ACD．12.已加点P是圆22:9Oxy+=上的一点．直线1:cossin3lxy

+=与直线2:sincos2lxy−=交于点M．则下列说法正确的是（）A.12ll⊥B.直线1l与圆O相切C.直线2l被圆O截得的弦长为5D.||PM的最小值为133−【答案】ABD【解析】【分析】由直线一般式方程的垂直条件验证选项A；利用圆心

到直线的距离判断相切验证选项B；几何法求弦长验证选项C；计算圆外的点到圆上的点的最小距离验证选项D.【详解】由题意可知：圆22:9Oxy+=的圆心()0,0O，半径为3，因为cossinsin(cos)0

+−=，所以12ll⊥，故A正确；圆心O到1l的距离为d=2233cossin=+，所以1l与圆O相切，故B正确；圆心O到直线2l的距离为d=2222sin(cos)=+−，所以弦长为22232

25−=，故C错误；由cossin3sincos2xyxy+=−=，得3cos2sin3sin2cosxy=+=−，即(3cos2sin,3sin2cos)M+−，所以22||(3cos2sin)(3sin2cos)OM=++−1

3=，所以||PM的最小值为133−，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6313−xx展开式中2x的系数为______.【答案】135【解析】【分析】根据二项式展开式的

通项公式()6184161C3rrrrrTx−−+=−，令1842r−=，解出r即可求解.【详解】361(3)xx−展开式的通项公式为()6184161C3rrrrrTx−−+=−，令1842r−

=，解得4r=，所以含2x的项的系数为()446461C3135−−=.故答案为：135.14.已知非零向量,ab的夹角为()π,3,23aaab=⊥−，则b=__________．【答案】12【解析】【分析】将

向量垂直转换为数量积为0，由数量积的计算公式结合已知条件即可求解.【详解】由题意非零向量,ab的夹角为()π,3,23aaab=⊥−，所以()20aab−=，化简得22aba=，由数量积公式得2π3cos233b=

，解得12b=.故答案为：12.15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为31log2100Mv=，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的33倍时，它的游速是

______m/s.【答案】34##0.75【解析】【分析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为0M，计算出0M的值，再将033MM=代入31log2100Mv=，即可得解.【详解】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为0M，则031log02100M=，可得0100M=，将0333003MM==

代入31log2100Mv=可得，32313log3(m/s)24v==.故答案为：34.16.已知()fx是定义在R上的奇函数，且满足()()4fxfx=−，当2,0x−时，()()4fxxx=−+，则()fx的单调递增区间是__________.【答案】()82,86Zkkk

++【解析】【分析】由题设得()fx是周期为8的奇函数，结合区间解析式画出大致图象，数形结合确定一个递增区间，由周期性写出递增区间.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，且满足()()4fxfx=−，则()()()44fxfxfx=−=−−，所以()()()44fxfxfx+=−

=−，即()()8fxfx+=，所以函数()fx是周期为8的奇函数，作出()fx大致图象如下图所示：根据图象知，2,6是()fx的一个单调递增区间，根据周期性知，()fx的单调递增区间是()82,86Z

kkk++.故答案为：()82,86Zkkk++四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知10sincos5+=，()0,π.（1）求sinc

os−的值；（2）求()()cos22023πtan2023π+++的值.【答案】（1）2105（2）115-【解析】【分析】（1）应用同角三角函数关系求值再根据角的范围判断符号即可；（2）先根据同角三角函数关系求值再应用诱导公式求值.【小问1详解】因为10sincos5+=，

所以22(sincos)5+=，所以212sincos5+=，即32sincos05=−.因为()0,π，则sin0，所以cos0，sincos0−，因为28(sincos)12sin

cos5−=−=，所以210sincos5−=.【小问2详解】由10,5210,5sincossincos+=−=解得310sin10=，10cos10=−，所以sin

tan3cos==−；所以()()229111cos22023πtan2023πcos2tansincostan310105+++=−+=−+=−−=−.18.设nS为公差不为0的等差数列{}na的前n项和，若2a，5a，14a

成等比数列，12144S=．（1）求{}na的通项公式；（2）设214nnnnbaa+=，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）.21nnTnn=++【解析】【分析】（1）根据等比中项和等

差数列的通项公式列式求出1a和d，可得数列{}na的通项公式；（2）根据1111()22121nbnn=+−−+，裂项求和可求出结果.【小问1详解】设等差数列{}na的公差为d，0d，因为2a，5a，14a成等比数列，所以25214aaa=，所

以2111(4)()(13)adadad+=++，所以2120add−=，又0d，所以120ad−=，所以12da=，所以12112111212667214422ddSadd=+=+==，解得2d=，所以11a=，所以{}na

的通项公式12(1)21nann=+−=−．【小问2详解】由（1）知22144111111()(21)(21)(21)(21)22121nnnnnbaannnnnn+===+=+−−+−+−+，所以12111111111(1)1()

1()2323522121nnTbbbnn=+++=+−++−+++−−+11(1).22121nnnnn=+−=+++19.在①1sin7B=；②sin3sinAB=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知π2co

s3cAb+=．（1）求C；（2）若2c=，__________，点D在边AB上，且:2:3ACDBCD=，求CD．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）5π6C=（2）条

件选择见解析，答案见解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦、余弦公式可求出tanC的值，结合角C的取值范围可得出角C的值；（2）求出ACD、BCD的值.选①，求出角A、B的正弦值，利用正弦定理求出a、b的值，再利用

ABCACDBCDSSS=+△△△可求得CD的长；选②，由正弦定理可得出3ab=，结合余弦定理可求出a、b的值再利用ABCACDBCDSSS=+△△△可求得CD的长.【小问1详解】解：因为π2cos3cAb+=，由正弦定理得2sincossin3CAB+=，所

以()132sincossinsinsinsincossincos22CAABACACCA−==+=+，整理得()3sincossin0CCA+=，又0πA，所以sin0A，所以3sincos0CC+=，又0πC，则3sincos0CC=−，故3tan3C=−，即5π6

C=．【小问2详解】解：因为:2:3ACDBCD=，且5π6ACDBCD+=，故π3ACD=，π2BCD=．若选择①：因为π2ACB，则B为锐角，故cos0B，即22143cos1sin177BB=−=−=，则()1314333sinsinsin

cossincos722714ABACBBACBACBB=+=+=−+=，且2c=，由正弦定理得241sinsinsin2abcABC====，则33634sin4147aA===，144sin47

7bB===，所以ABC的面积为11634163sin2277249ABCSabACB===△，因为11sinsin22ACDBCDSSbCDACDaCDBCD+=+△△143163431272277CDCDCD=+=，又因

为ABCACDBCDSSS=+△△△，即6343497CD=，所以314CD=．若选择②：因为sin3sinAB=，由正弦定理得3ab=，由余弦定理，得22223444cos2223abbCabb+−−=−==，所以277b=，221

37ab==，因为ABC的面积为112722113sin227727ABCSabACB===△，因为11sinsin22ACDBCDSSbCDACDaCDBCD+=+△△1273122122112722714CDCDCD=+=，又因为AB

CACDBCDSSS=+△△△，即3321714CD=，所以2721CD=．20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：A

M⊥平面PCD；（2）求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）277【解析】【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，得CD⊥平面PAD，再得线线垂直CDAM⊥，再根据正三角形三线合一

证AMPD⊥，最后由线面垂直的判定，证得AM⊥平面PCD；（2）建系，用空间向量坐标计算面面夹角的余弦值即可.【小问1详解】证明：在正方形ABCD中，CDAD⊥，又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD=，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM平面PA

D，所以CDAM⊥，因为PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AMPD⊥，又CDPDD=，CD，PD平面PCD，所以AM⊥平面PCD.【小问2详解】取AD中点为,OBC中点为N，连接,OPON，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2AD=，则()0,1,0A−，()0,1,0D

，()0,0,3P，()2,1,0B−，130,,22M，所以()0,1,3PD=−，()2,2,0BD=−uuur.设平面PBD的法向量为(),,mxyz=，则由30,220,PDmyzBDmxy=−=

=−+=得3,,yzyx==取1z=，则()3,3,1m=，由（1）知平面PCD的一个法向量为330,,22AM=，设平面BPD与平面PCD的夹角为，则()330,,3,3,1222327coscos,7373

7AMmAMmAMm=====.所以平面BPD与平面PCD夹角的余弦值为277.21.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.在丑橘销售旺季，某丑橘基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售丑橘的数量（都在100箱到600箱

之间）情况如下：丑橘数量（箱）)100,200)200,300)300,400)400,500500,600购物群数量（个）a188a+20a+18（1）求实数a的值，并用组中值估计这100个购物群销售丑橘总量的平均数（箱）；（2）假设所有购物群销售丑橘的数量X服从正态分布()2

,N，其中为（1）中的平均数，2=12100.若参与销售该基地丑橘的购物群约有2000个，销售丑橘的数量在[266,596)（单位：箱）内的群为“一级群”，销售数量小于266箱的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596箱的购物群为

“优质群”.该丑橘基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该丑橘基地大约需要准备多少元？附：若X服从正态分布()2,XN，则()0.683,(22)0.954,(33)0.997PXPXPX−+−+

+−.【答案】（1）12a=，平均数为376（箱）（2）373400元.【解析】【分析】（1）根据样本总数可得1882018100aaa++++++=，可求得12a=，利用平均数的定义即可求得平均数为376（箱）.（2）根据购物群的划分等级，利用正态分布的对

称性可分别求出各类群的数量，即可求得奖励资金应准备373400元.【小问1详解】由题意得1882018100aaa++++++=，解得12a=.故平均数为()11501225018350204503255018376100++++=（箱）.【小问2

详解】由题意，376,110==，且266376110,5963762202=−=−=+=+，故()1(596)(2)10.9540.0232PXPX=+=−=，所以“优质群”约有20000.

02346=（个），11(266596)(2)0.6830.9540.818522PXPX=−+=+=，所以“一级群”约有20000.81851637=（个），所以需要资金为46100

01637200373400+=（元），故至少需要准备373400元.22.已知函数()ln23fxaxxx=−+，其中0a.（1）当1a=时，求()fx的最小值；（2）若()1exfx−对任意的()0,x+恒成立，求实数a的取值范围.【答案

】（1）3e−（2）1【解析】【分析】（1）先求导函数，根据导函数正负确定单调性进而求出最小值即可；（2）先移向构造新函数()1eln23xgxaxxx−=−+−，再分类讨论求a的取值范围.【小问1详解】当1a=时，()ln23fxxxx=−+，则()ln1fxx

=−，由()0fx得0ex；由()0fx¢>得ex.当ex时，()0fx¢>，此时函数()fx单调递增；当0ex时，()0fx，此时函数()fx单调递减，所以()min()e3efxf==−.【小问2详解】设()1eln23xgxaxxx−=−

+−，则()10g=，()()1eln12xgxax−=−−++，令()()hxgx=，则()1111eexxaxhxaxx−−=−=−，令()1exxpxa−=−，其中0x，则()11exxpx−−=，当01x时

，()0px，此时函数()px单调递增；当1x时，()0px，此时函数()px单调递减，所以()()max=11pxpa=−.①当1a=时，()()10pxp=，则()()10hxpxx=，且()hx不恒为0，所以函数()gx在区间()0,

+上单调递减，当01x时，()()10gxg=，()gx单调递增；当1x时，()()10gxg=，()gx单调递减.所以()()10gxg=，即()1exfx−对任意的()0,x+恒成立；②当

1a时，()()110pxpa=−，则()()10hxpxx=，所以函数()gx在区间()0,+上单调递减，因为()110ga=−，当0x→时，()gx→+，此时存在()10,1x，使得()10gx=，且当()1,1

xx，()0gx，()gx单调递减，所以()()110gxg=，不合题意；③当01a时，()()max110pxpa==−，因为1ln1a−，ln1ln(1ln)ln0eaapaaaa−−−=−=−，由于函数()px区间()1,+上单调递减，故存在21lnxa=−，使得当()

21,xx时，()0px，此时，()()10hxpxx=，则函数()gx在区间()21,x上单调递增，故当()21,xx时，()()110gxga=−，()gx单调递增，所以()()210gxg=，不满足题意.综上所述，若

()1exfx−对任意的()0,x+恒成立，则a的取值范围为1.【点睛】关键点点睛：分类讨论反例否定法得出矛盾排出1a和01a.在获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com