【文档说明】福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一上学期期末质量检测试题 数学 含解析.docx，共(27)页，1.487 MB，由envi的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d8986c74b99b577531e23bb558e6a574.html

以下为本文档部分文字说明：

2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）温馨提示：请将所有答案填写到答题卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一个选项是符合题目要求的.1.cos225的值是（）A.22B.12−C.22−D.32−2.已知集合1Axx=，13Bxx=−，则AB=（）A.()1,3−B.()1,3C.()1,−+D.()1,+3.设0.52a−=，0.312b=，0.5log0.

3c=，则,,abc的大小关系为（）A.cbaB.abcC.bacD.cab4.若πcos6+=35，则sinπ3−=（）A.45−B.45C.35-D.355.函数

()211log322xfxx=−的零点所在区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,46.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为1()2taP

=(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：2log0.790.34−.参考时间轴：A.战国B.汉C.唐D.宋

7.函数()333sineexxxxfx−+=+的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知函数()fx的定义域为R，则“()()10fxfx++=”是“()fx是周期为2的周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分

又不必要条件D.充要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.9.已知实数,,abc，其中1ab，则下列关系中恒成立是（）A.2abbB.22acbcC.acbc−−D.11ab

ba++10.已知函数()πcos212fxx=+，则下列说法错误的是（）A.函数()fx最小正周期为πB.函数()fx的图象关于点11π,024对称C.函数()fx的图象关于直线7π24x=−对称的的D.函数()fxπ0,4上单调递减11.水车在古代是进行

灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点(3,33)A−出发，

沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(,)xy，其纵坐标满足()sin()0,0,||2yftRtt==+，则下列叙述正确的是（）A.水斗作周期运动的初相为3−B.在水斗开始旋转的60秒

（含）中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是33D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为612.一般地，若函数()fx的定义域为,ab，值域为,kakb，则称,ab为()

fx的“k倍美好区间”，特别地，当1k=时，则称,ab为()fx的“完美区间”．则下列说法正确的是（）A.若1,b为函数()222fxxx=−+的“完美区间”，则2b=B.函数()2logfxx=，存在

“12倍美好区间”C.函数()22xfx=−，不存在“完美区间”D.函数()2fxx=，有无数个“2倍美好区间”三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在13.若幂函数()23()55agxaax+=++在(0,)+上单调递增，则=a______.14.

若扇形的周长为10cm，面积为26cm，圆心角为π02，则=__________.15.已知12,xx为方程()21120tantan3xx−−+=+的两个实数

根，且π,0,2，123xx=，则tan的最大值为__________.16.已知函数2||2(||)axxxafx=−−+−，若函数()fx恰有4个零点，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：()()230ln363232716elog3log22024−+−+−.18.（1）已知1x，求141=+−yxx的最小值；（2）若,ab均为正实数，且满足

21ab+=，求411ab++的最小值.19.已知函数()()πtan202fxx=+（）的图象关于点π,08−对称.（1）求()fx单调递增区间;（2）求不等式()13fx−的解集.20.对于函数()()2,e1xfxaa=−+R．（1）判断函数()fx的单调性

，并给出证明；（2）是否存在实数a使函数()fx为奇函数？21.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包

装底面与地面的倾斜角不能超的的过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形ABCD，0.8mAD=，2.4mAB=，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角π4=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户

家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形

EFGH，1.2mEH=．设PHG=，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精

确到0.1m）22.若函数()fx与区间D同时满足：①区间D为()fx的定义域的子集，②对任意xD，存在常数0M…，使得()fxM成立，则称()fx是区间D上的有界函数，其中M称为函数()fx的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性

，不需要证明）（1）试判断函数()1923xxfx=−，()22223xfxxx=−+是否是R上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数()121log1xgxx+=−是区间2,3上的有界函数，求函数()gx在区间2,3上的所有上界M构成的集合；（3）对实

数m进行讨论，探究函数()2313xxmfxm+=+在区间0,1上是否存在上界M？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．2023~2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟高一年级期末质量检测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）温馨提示：请将所有答案填写到答题

卡的相应位置上！请不要越界、错位答题！一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.cos225的值是（）A.22B.12−C.22−D.32−【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数

值求解【详解】()2cos225cos18045cos452=+=−=−.故选：C2.已知集合1Axx=，13Bxx=−，则AB=（）A.()1,3−B.()1,3C.()1,−+D.()1,+【答案】B【解析】【分析】根据交集概念，求解即可得出答案.【详

解】根据交集的概念可得，11313ABxxxxxx=−=.故选：B.3.设0.52a−=，0.312b=，0.5log0.3c=，则,,abc的大小关系为（）A.cbaB.abcC.bac

D.cab的的【答案】B【解析】【分析】利用指数函数2xy=的单调性得到1ab，再利用对数函数0.5logyx=的单调性得出1c，即可求出结果.【详解】因为0.52a−=，0.30.3122b−==

，易知函数2xy=在R上是增函数，又0.50.30−−，所以021ab=，又易知0.5logyx=在()0,+上是减函数，所以0.50.5log0.3log0.51c==，综上，abc.故选：B.4.若πcos6+=35，则sinπ3−

=（）A.45−B.45C.35-D.35【答案】D【解析】【分析】先判断出πππ632++−=，然后结合诱导公式求解出结果.【详解】因为πππ632++−=，所以ππππ3sinsin

cos32665−=−+=+=，故选：D.5.函数()211log322xfxx=−的零点所在区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2

,3D.()3,4【答案】C【解析】【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可.【详解】因为()211log322xfxx=−在()0,+上为增函数，且()22112log3220124f=−=−，()32211133

log3log222833f=−−=，因为21131log,22382，所以()30f，所以()211log322xfxx=−的零点所在区间为()2,3.故选：C.6.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确

定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为1()2taP=(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含

量的79%，则可推断该文物属于（）参考数据：2log0.790.34−.参考时间轴：A.战国B.汉C.唐D.宋【答案】B【解析】【分析】根据“半衰期”得5730a=，进而解方程573010.792t=

得1948.2t−，进而可推算其所处朝代.【详解】由题可知，当5730t=时，12P=，故57301122a=，解得5730a=，所以573012tP=，所以当0.79P=时，解方程573010.792t=，两边取以2为底的对数得57

3022log0.79log01.3430257tt==−，解得1948.2t−，所以20211948.272.8−=()202,220−，所以可推断该文物属于汉朝.故选：B【点睛】本题考查

指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得5730a=，进而解方程573010.792t=.7.函数()333sineexxxxfx−+=+的大致图象为

（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊范围即可排除求解.【详解】由于()fx的定义域为R,又()()()()3333sin33sineeeexxxxxxxxfxfx−−−+−−−===

−++−，所以()fx为奇函数，故可排除AB,由于当()0,πx时，()3333sinsin0,0,0eexxxxxxfx−+=+，故排除C，故选：D8.已知函数()fx的定义域为R，则“()()10fxfx++=”是“()fx是周期为2的周期函数”的（）A.充分不必要条件B

.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】【分析】通过()()10fxfx++=可以得出()()2fxfx+=，反过来不可以，反例见详解.【详解】由()()10fxfx++=得，()()1fxfx+=

−，所以，()()()()()()()111fxfxfxfx++=−+=−−=，即()()2fxfx+=.所以“()()10fxfx++=”是“()fx是周期为2的周期函数”的充分条件.如下图是一个周期为2得函数，得不出()()1

0fxfx++=，所以“()()10fxfx++=”是“()fx是周期为2的周期函数”的不必要条件.所以“()()10fxfx++=”是“()fx是周期为2的周期函数”的充分不必要条件.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多个选项是符合题目要求的.9.已知实数,,abc，其中1ab，则下列关系中恒成立的是（）A.2abbB.22acbcC.acbc−−D.11abba++【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质可判断

A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.【详解】对于A，由于1ab，故ab两边同乘以b，即2abb，A正确；对于B，当0c=时，22acbc不成立，B错误；对于C，由于ab，故acbc−−，C正确；对于D，因为1ab，则0,10abab−+，

故()1110abababbaab++−+=−，故11abba++，D正确.故选：ACD10.已知函数()πcos212fxx=+，则下列说法错误的是（）A.函数()fx的最小正周期为πB.函数()fx的图象关于点11π,024对称C.函数()f

x的图象关于直线7π24x=−对称D.函数()fx在π0,4上单调递减【答案】BC【解析】【分析】利用三角函数的性质逐个分析选项即可.【详解】因为()πcos212fxx=+，所以函数的最小正周期2ππ2T==，故A正确；11

π11ππcos2cosπ1242412f=+==−，所以函数()fx的图象关于直线1124πx=对称，故B错误；7π7ππππcos2coscos024241222f−=−+=−==

，所以()fx的图象关于点7π,024−对称，故C错误；若π0,4x，则2,ππ7π121212x+，因为cosyx=在0,π上单调递减，所以()fx在π0,4上单调递减，故D正

确．故选：BC．11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改

造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点(3,33)A−出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(,)xy，其纵坐标满足()sin()0,0,||2yftRtt==+，则下列叙述正确的是（）A.

水斗作周期运动的初相为3−B.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加C.在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是33D.当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6【答案】AD【解析】【分析】求出圆的半径R，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相

，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可．【详解】对于A，由(3,33)A−，知223(33)6R=+−=，120T=，所以260T==；当0=t时，点P在点A位置，有336sin−=，解得3sin2=−，又

||2，所以3=−，故A正确；对于B，可知()6sin603ftt=−，当(0,60t，2,60333t−−，所以函数()fx先增后减，故B错误；对于C，当(0,60t，2,6

0333t−−，3sin,16032t−−，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当100t=时，46033t−=，P的纵坐标为33y=−，横坐标为3x=−

，所以||336PA=−−=，故D正确．故选：AD．【点睛】方法点睛：求函数()sin(0,0)yAxBA=++解析式的步骤：(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A2Mm−=，2MmB+=.

(2)求，确定函数的周期T，则2π.T=(3)求，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．12.一般地，若函数()fx的定义域为,ab，值域为,kakb，则称,ab为()fx的“

k倍美好区间”，特别地，当1k=时，则称,ab为()fx的“完美区间”．则下列说法正确的是（）A.若1,b为函数()222fxxx=−+的“完美区间”，则2b=B.函数()2logfxx=，存在“12倍美好区间”

C.函数()22xfx=−，不存在“完美区间”D.函数()2fxx=，有无数个“2倍美好区间”【答案】ABD【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】因为函数

()222fxxx=−+的对称轴为1x=，故函数()fx在1,b单调递增。所以值域21,22bb−+，又1,b为函数()222fxxx=−+的“完美区间”，所以222bbb−+=，得2b=或1

b=，因为1b，所以2b=，故A对；假设函数()2logfxx=，存在“12倍美好区间”设定义域为,ab，值域为11,22ab，当0ab时，()2logfxx=在区间上单调递增，所以221log21log2aabb=

=，解得24ab==，故B对；因为()22xfx=−在1,+上单调递增，在,1−上单调递减，假设函数()22xfx=−存在“完美区间”,ab，当1ab时，()22xfx=−在

,ab单调递减，要使值域为,ab，则2222abba−=−=，解得01ab==，即假设成立，故C错；假设函数()2fxx=定义域内任意子区间,ab，因为()2fxx=在R上单调

递增，所以值域为2,2ab，故R内任意一个子区间都是()2fxx=“2倍美好区间”，故D对故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()23()55agxaax+=++在(0,)+上单调递增，则=a______.【答案】1−【解析】【

分析】由幂函数定义得4a=−或1a=−，结合幂函数单调递增即可得解.【详解】由2551aa++=，得4a=−或1a=−.又()gx在()0,+上单调递增，所以1a=−.故答案为：1−.14.若扇形的周长为1

0cm，面积为26cm，圆心角为π02，则=__________.【答案】43【解析】【分析】由扇形的周长和面积公式进行求解即可.【详解】设扇形的半径为r，因为扇形的周长为210rr+=，扇形的面积为2162

r=，由2210162rrr+==得，23r==或343r==，又因为π02，所以43=.故答案为：43.15.已知12,xx为方程()21120tantan3xx−−+=

+的两个实数根，且π,0,2，123xx=，则tan的最大值为__________.【答案】122【解析】【分析】由根与系数的关系及已知1212233xxxx==可求得12223xx==，由()121142tantan3xx

+=−=+,化简为关于tan的一元二次方程，根据方程有解，利用判别式计算即可得出结果.【详解】因为12,xx为方程()21120tantan3xx−−+=+的两个实数根，123x

x=，所以1212233xxxx==，解得12223xx==，或12223xx=−=−，若12223xx=−=−，则()110tantan−+即()11tantan+，因为π,0,2，故()

0,π+，若π2+，则()tan0+，()11tantan+不成立，若π02+，则()tantan+，故()11tantan+，故()11tantan+也不成立，故12223xx==，所以()121142t

antan3xx+=−=+，则11tantan42tantantan3−−=+，则()()42tantan1tantantantantantan3+−−=+，化简可得24242tantantantantan033−−

+=，由方程有解，可知：23242Δtan4tantan093=−−，即2tan122tan0−.解得：0tan122，则tan的最大值为122.故答案为：122.16.已知函数2||2(||)axxxafx=−−+−，若函

数()fx恰有4个零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】【分析】根据给定条件，讨论当0a时，()2fx，当0a且2x时，()0fx，确定函数零点只可能在0a且2x的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解.【详解】函数2||2(||)

axxxafx=−−+−的定义域为R，当0a时，2222,2()222,2axaxfxaxxxaaxxax−+−=−+−+−=−+−−，当2x时，()22fxa−，当2x时，22()1)(2222faxxxx−+−−=+，此时函数()fx无零点；当0a时，222,2(

)2,2axxxaxfxaxxxax+−+−=−++−，当2x时，若02a，则0xa−，于是()0fx，若2a，函数22yaxx=−+的图象对称轴1124xa=，此函数在[2,)+上

单调递增，2202axaxx−+，22()2(1)20fxaxxaaxx=−+−=−++，即当0a且2x时，()0fx，函数()fx无零点；于是只有当0a且2x时，函数2()|2|fxaxxax=−+−+才有零点，当220axx+−，即11811822a

ax++−++−时，22()22fxaxxaaxax+−=−+−=−+−，当118118[,]22aax++−++−时，函数22yaxa=−+−，当0x=时，max2ya=−，当1182ax++=−时，函数22yaxa=−+−取得最小值，而当1182ax−++=时，

1182aya−++=−，显然当2011802aaa−−++−，即12a时，函数2()2fxaxa=−+−有两个零点，要函数()fx恰有4个零点，必有12a，当118118(,)(,2)22aax++−++−−时，函数2(2)2axafxx+=

−−的图象对称轴11(1,)2xa=−−−，则函数()fx在118(,)2a++−−上单调递减，在118(,2)2a−++上单调递增，显然118118118()()0222aaaffa++−++−++−=−，而323(3)9727(1)2(1)0,(2)32

0faaaaaafa−=−−=−+−=+，因此函数2(2)2axafxx+=−−在118(,)2a++−−、118(,2)2a−++上各有一个零点，所以实数a的取值范围是(1,2).故答案为：(1,2)【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零

点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：()()230ln363232716elog3log22024−+−+−.【答

案】7【解析】【分析】结合指数幂与对数运算性质计算即可得.【详解】()()230ln363232716elog3log22024−+−+−()342363lg3lg232311lg2lg32=−+−+

94321=−+−+7=18.（1）已知1x，求141=+−yxx的最小值；（2）若,ab均为正实数，且满足21ab+=，求411ab++的最小值.【答案】（1）8；（2）322+【解析】【分析】（1）先将函数解析式变形，再利用基本不等式求出最值；（2）结合1的妙用，利用基本不等式求

出最值.【详解】（1）因为1x，所以10x−，所以()()11414241444811yxxxx=−++−+=+=−−，当且仅当()1411xx−=−，即32x=时等号成立，所以141=+−yxx的最小值为8

.（2）因为,ab均为正实数，21ab+=，所以10a+，0b，()122++=ab，则()414214212112212abababab+=+=++++++1811816623222121babaa

bab++=+++=+++，当且仅当811baab+=+，即322,21ab=−=−时等号成立，所以411ab++的最小值为322+.19.已知函数()()πtan202fxx=+（）的图象关于点π,08−

对称.（1）求()fx的单调递增区间;（2）求不等式()13fx−的解集.【答案】（1）3ππππ,,8282kkk−++Z（2）ππππ,42242kkxxk−++Z【解析】【分析】

（1）由题意首先根据对称中心求得函数表达式，然后令ππππ2π,242kxkk−+++Z，解不等式组即可得解.（2）由π1tan234x−+，得ππππ2π,443kxkk−+++Z,解不等式组即可得解.【小问1详解】由题意知，()()t

an2fxx=+的图象关于点π,08−对称，ππ2,82kk−+=Z，即ππ,24kk=+Z．ππ0,24=，故()πtan24fxx=+．令ππππ2π,242kxk

k−+++Z，得3πππ2π,44kxkk−++Z，即3ππππ,8282kkxk−++Z．函数()fx的单调递增区间为3ππππ,,8282kkk−++Z．【小问2详解】由（1）

知，()πtan24fxx=+．由π1tan234x−+，得ππππ2π,443kxkk−+++Z，即ππππ,42242kkxk−++Z．不等式()13fx−的解集为ππππ,42242kkxxk−++Z.2

0.对于函数()()2,e1xfxaa=−+R．（1）判断函数()fx的单调性，并给出证明；（2）是否存在实数a使函数()fx为奇函数？【答案】（1）()fx在区间(,)−+上单调递增，证明见解析（2）存【解析

】【分析】（1）利用单调性的定义证明函数()fx的单调性；（2）假设存在实数a，使函数()fx为奇函数，由奇函数定义得到等式恒成立，则可求出a.【小问1详解】()fx在区间(,)−+上的单调递增．证明如下：对任意12,(,)xx−+，且12xx，()()()()()

12122112122ee2222e1e1e1e1e1e1xxxxxxxxfxfxaa−−=−−−=−=++++++，因为exy=在(0,)+单调递增，且12xx，所以12eexx，即12ee0xx−，在又1

2e10,e10xx++，则()()()12122ee0e1e1xxxx−++，即12())0(fxfx−，所以()()12fxfx，所以()fx在区间(,)−+上单调递增．小问2详解】假设存在实数a，使函数()fx为奇函数，则对任意xR，都有2222()()e1e1e

111exxxxfxfxaaaa−−+=−+−=−+−++++()2e12220e1xxaa+=−=−=+，解得1a=，故存在实数a，使函数()fx是奇函数．21.网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送

客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．（1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过π4，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面

为矩形ABCD，0.8mAD=，2.4mAB=，而客户家门高度为2.3米，其他过道高度足够．若以倾斜角π4=的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．（2）由于客户选择以旧换新服

务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为1.8米．记此冰箱水平截面为矩形EFGH，1.2m

EH=．设PHG=，当冰箱被卡住时(即点H、G分别在射线PR、PQ上，点O在线段EF上），尝试用表示冰箱高度EF的长，并求出EF的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高【度的最大值是多少？（结果精确到0.1m）【答案】（1）冰箱能够按

要求运送入客户家中，理由见解析；（2）EF最小值为182125−米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为2.6米.【解析】【分析】（1）过A，D作水平线12,ll，作21,CFlDEl⊥⊥，由hDECF=+可得；（2）延长EF与直角走廊的边相交于M、N，由EFMNM

ENF=−−表示出EF，设πsincos2sin4t=+=+进行换元，利用单调性即可求解.【小问1详解】过A，D作水平线12,ll，作21,CFlDEl⊥⊥如图，当倾斜角π4=时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）ππ820.8sin2.4

cos2.3445hDECF=+=+=，故冰箱能够按要求运送入客户家中．【小问2详解】延长EF与直角走廊的边相交于M、N，则1.81.8+sincosMNOMON=+=，1.2tanEM=，1.2tanFN=，又EFMNMENF=−−，则1.81

.811.8(sincos)1.21.2(tan)sincostansincosEF+−=+−+=，π0,2．设πsincos2sin4t=+=+，因为π0,2，所以ππ3π,444+，

所以(1,2t，则()221.81.263215112ttEFtt−−==−−，再令32mt=−，则(26541,1,3225552413mEFmmmm==−+−+−，易知，54ymm=−+(1,322−上单调递增，所以(541,1,322554ymm

m=−−+单调递减，故当322m=−，即2t=，π4=时，EF取得最小值182122.695−.由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为2.6米．22.若函数()fx与区间D同时满足：①区间D为()fx的定义域的子集，②对任意xD，存在常数0M

…，使得()fxM成立，则称()fx是区间D上的有界函数，其中M称为函数()fx的一个上界．（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923xxfx=−，()22223

xfxxx=−+是否是R上的有界函数；（直接写结论）（2）已知函数()121log1xgxx+=−是区间2,3上的有界函数，求函数()gx在区间2,3上的所有上界M构成的集合；（3）对实数m进行讨论，探究函数()2313xxmfxm+=+在区间0,1上是否

存在上界M？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.()1fx不是R上的有界函数，()2fx是R上的有界函数在23.)2log3,+24.当0m时，存在上界M，2,1mMm+++;当313m

−−或103m−时，存在上界M，32,31mMm+++；当3113m−−−时，存在上界M，2,1mMm+−++;当113m−−时，不存在上界M．【解析】【分析】（

1）根据有界函数的定义判断即可；（2）先求解函数()gx的值域，进而求解()gx的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；（3）先求解函数()fx及()fx，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界

，并求解出对应的上界范围.【详解】解：（1）()()2192?3311xxxfx=−=−−()1fx的值域为)1,−+()1fx不是R上的有界函数，()22223232xfxxxxx==−++−0x时，323xx+，此时()231f

x−0x时，()2132fx−，此时()2312fx−()231fx−()2fx是R上的有界函数（2）()112212loglog111xgxxx+==+−−，易知()gx在区间2,3上单调递增，∴()2log3,1,2,3gxx−−.∴()1

221log1,log31xgxx+=−，所以上界M构成的集合为)2log3,+．（3）()23113311xxxmfxmm+==+++，当0m=时，()2fx=，()2fx=，此时M的取值范围是)2,+，当0m时，()1311xfxm=++在0,1上是单

调递减函数，其值域为()232,131mmfxmm++++，故()232,131mmfxmm++++，此时M的取值范围是2,1mm+++，当0m时，1331,1xmmm+++

，若()fx在0,1上是有界函数，则区间0,1为()fx定义域的子集，所以31,1mm++不包含0，所以310m+或10+m，解得：1m−或103m−，0m时，()1113xfxm=++在0,1上是单调递增函数，此时()fx的值域为232,131mmmm++

++，①232311mmmm++++，即333m−−或103m−时，()32323131mmfxmm++=++，此时M的取值范围是32,31mm+++，②232311mmmm++++，即3313m−−−时，()2211mmfxmm++=−++，此时M的取值范

围是2,1mm+−++，综上：当0m时，存在上界M，2,1mMm+++；当313m−−或103m−时，存在上界M，32,31mMm+++；当3113m−−−时，存在上界M，2,1mMm

+−++，当113m−−时，此时不存在上界M．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com