【文档说明】天津市和平区2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 【精准解析】.docx，共(15)页，69.164 KB，由小赞的店铺上传

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天津市和平区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题1.下列运算正确的是（）A.(−1𝑥)′=−1𝑥2B.(𝑥3+1)′=3𝑥2+1C.(log2𝑥)′=1𝑥ln2D.(cos𝑥)′=si

n𝑥2.现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，𝐵表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则𝑃(𝐵|𝐴)=（）A.13B.47C.23D.343.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之

间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂，计算得𝑏̂=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（）A.75万元B.85万元C.99万元D.10

5万元4.若(√𝑥+2𝑥2)𝑛展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（）A.360B.180C.90D.455.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一

根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为（）A.13B.14C.15D.166.设函数𝑓(𝑥)=2sin(�

�+𝜋3)(𝑥∈𝑅)，下列结论中错误的是（）A.𝑓(𝑥)的一个周期为2𝜋B.𝑓(𝑥)的最大值为2C.𝑓(𝑥)在区间(𝜋6，2𝜋3)上单调递减D.𝑓(𝑥+𝜋3)的一个零点为𝑥=𝜋67.已知函数𝑓(𝑥)=12𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+l

n𝑥在区间(0,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是（）A.[0,1]B.[0,+∞)C.(−1,+∞)D.(−1,1)8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不

同的花，则不同的种法总数为（）A.96B.84C.60D.489.已知函数𝑓(𝑥)={ln𝑥,𝑥≥11𝑒(𝑥+2)(𝑥−𝑎),𝑥<1（𝑎为常数，𝑒为自然对数的底数）的图象在点𝐴(𝑒,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公

共点，则实数𝑎的取值范围是（）A.−3−2√2<𝑎<−3+2√2B.𝑎<−2或−3+2√2<𝑎<23C.−3+2√2<𝑎D.𝑎<−3−2√2或−3+2√2<𝑎<23二、填空题10.求值cos330°=________.11.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)

，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=________.12.已知随机变量𝜉~𝐵(𝑛,𝑝)，且𝐸𝜉=6，𝐷𝜉=3，则𝑛=________.13.(3𝑥−1)5的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则𝑎𝑏=__

______.14.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0，−𝜋<𝜑<0)的部分图象如图所示，则𝑓(𝑥)的解析式为𝑓(𝑥)=________.15.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个相邻数字的奇偶性

不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________.三、解答题16.已知𝛼,𝛽为锐角，tan𝛼=43，cos(𝛼+𝛽)=−√55。（1）求cos2𝛼的值。（2）求tan(𝛼−𝛽)的值。17.从4名男生和2名女生中任

选3人参加演讲比赛，设随机变量𝜉表示所选3人中女生的人数.（1）求𝜉的分布列；（2）求𝜉的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数𝜉≤1”的概率.18.已知𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=1与𝑥=−

23时都取得极值．（1）求𝑎,𝑏的值；（2）若𝑓(−1)=32，求𝑓(𝑥)的单调区间和极值。19.已知函数𝑓(𝑥)=2√3tan(𝑥2+𝜋4)cos2(𝑥2+𝜋4)−sin(𝑥+𝜋)，（1）求函数𝑓(𝑥)的定义域和最小正周期；（2）若将函数�

�(𝑥)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，然后再向右平移𝜑(𝜑>0)个单位长度，所得函数的图象关于𝑦轴对称，求𝜑的最小值.20.设𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎𝑒𝑥(𝑎∈𝑅)，𝑥∈𝑅，（1）求𝑓

(𝑥)的单调区间：（2）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个零点𝑥1，𝑥2，且𝑥1<𝑥2，（i）求𝑎的取值范围；（ii）证明：𝑥2𝑥1随着𝑎的减小而增大.答案解析部分天津市和平区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题1

.下列运算正确的是（）A.(−1𝑥)′=−1𝑥2B.(𝑥3+1)′=3𝑥2+1C.(log2𝑥)′=1𝑥ln2D.(cos𝑥)′=sin𝑥【答案】C【考点】导数的运算，导数的加法与减法法则，导数

的乘法与除法法则【解析】【解答】对于A，(−1𝑥)′=−(−1𝑥2)=1𝑥2，A不正确；对于B，(𝑥3+1)′=3𝑥2，B不正确；对于C，(log2𝑥)′=1𝑥ln2，C符合题意；对于D，(cos𝑥)′=−sin𝑥，D

不正确.故答案为：C.【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和求导公式，进而找出运算正确的选项。2.现从3名男医生和4名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，𝐵表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则𝑃(𝐵|𝐴)=（）A.13B.47

C.23D.34【答案】C【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】解：由题意知，𝑃(𝐴)=𝐶32+𝐶42𝐶72=37，𝑃(𝐴𝐵)=𝐶42𝐶72=27，所以𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=2737=23。故答案为：C.【分析】利用已知条件

结合条件概率公式，从而求出𝑃(𝐵|𝐴)的值。3.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂�

�+𝑎̂，计算得𝑏̂=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（）A.75万元B.85万元C.99万元D.105万元【答案】B【考点】线性回归方程，回归分析的初步应用【解析】【解答】由题意得𝑥̅=15(2+4+5+6+8)=5,𝑦̅=15(30+40+50+60+70)=50，∴样

本中心为(5,50)，∵回归直线𝑦̂=7𝑥+𝑎̂过样本中心(5,50)，∴50=7×5+𝑎̂，解得𝑎̂=15，∴回归直线方程为𝑦̂=7𝑥+15，当𝑥=10时，𝑦̂=7×10+15=85，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元。故

答案为：B．【分析】利用已知条件结合平均数公式，从而求出中心点的坐标，再利用线性回归方程恒过中心点，再结合代入法和已知条件，从而求出回归直线方程，再利用代入法求出当投入10万元广告费时的销售额的预报值。4.若(√𝑥+2𝑥2)𝑛展开式中只有第6项的二项式系数最

大，则展开式的常数项是（）A.360B.180C.90D.45【答案】B【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n＝10，通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶10𝑟

(√𝑥)10−𝑟(2𝑥2)𝑟=2𝑟𝐶10𝑟𝑥5−5𝑟2当5−5𝑟2=0，即𝑟=2时为常数，此时𝑇3=22𝐶102=180所以展开式的常数项是180故答案为：B【分析】首先由已知条件结合二项式项数的性质即可求出n的值，由此即可求出二项展开式的通项公式结合

已知条件代入数值计算出结果即可。5.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可

以用1~9这9数字表示两位数的个数为（）A.13B.14C.15D.16【答案】D【考点】分类加法计数原理【解析】【解答】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、

4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7=14个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1=2个两位数；则一共可以表示14+2=16个两位数。故答案为：D．【分析】利用已知条件

结合分类加法计数原理，从而求出可以用1~9这9数字表示两位数的个数。6.设函数𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+𝜋3)(𝑥∈𝑅)，下列结论中错误的是（）A.𝑓(𝑥)的一个周期为2𝜋B.𝑓(𝑥)的最大值为2C.𝑓(𝑥)在区间(𝜋6，2𝜋3)上单调递减D

.𝑓(𝑥+𝜋3)的一个零点为𝑥=𝜋6【答案】D【考点】函数单调性的判断与证明，函数的最值及其几何意义，三角函数的周期性及其求法，函数的零点【解析】【解答】∵𝑓(𝑥)=2sin(𝑥+𝜋3)(𝑥∈𝑅)，∴𝑓(𝑥)的一个周期为𝑇=2𝜋1=2𝜋，A符合题意；𝑓(

𝑥)的最大值为2，B符合题意；令𝜋2+2𝑘𝜋≤𝑥+𝜋3≤3𝜋2+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，解得𝜋6+2𝑘𝜋≤𝑥≤7𝜋6+2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，∴𝑓(𝑥)的单调递减区间为[𝜋6+2𝑘𝜋,7𝜋6+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍

，∵(𝜋6，2𝜋3)⊆[𝜋6+2𝑘𝜋,7𝜋6+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍，∴𝑓(𝑥)在区间(𝜋6，2𝜋3)上单调递减，C符合题意；∵𝑓(𝑥+𝜋3)=2sin(𝑥+2𝜋3)，且2sin(𝜋6+2𝜋3)=2s

in5𝜋6≠0，D不符合题意.故答案为：D.【分析】利用已知条件结合正弦型函数最小正周期公式，从而求出正弦型函数的最小正周期；再利用正弦型函数的图像求出正弦型函数的最大值；利用已知条件结合正弦型函数的图像判断出正弦型函数在给定区

间的单调性；再利用函数零点的求解方法，从而求出函数的零点，进而选出结论错误的选项。7.已知函数𝑓(𝑥)=12𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+ln𝑥在区间(0,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是（）A.[0,1]B.[0,+∞)C.(−1

,+∞)D.(−1,1)【答案】B【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为𝑓(𝑥)=12𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+ln𝑥,所以𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥+2𝑎+1𝑥,因为函数𝑓(𝑥)=12

𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+ln𝑥在区间(0,+∞)上为增函数,所以𝑎𝑥+2𝑎+1𝑥≥0,即𝑎≥−1𝑥2+2𝑥在区间(0,+∞)上恒成立,因为𝑦=𝑥2+2𝑥=(𝑥+1)2−1在(0,+∞)上递增,所以𝑥2+

2𝑥>0,所以−1𝑥2+2𝑥<0,所以𝑎≥0。故答案为：B.【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数𝑓(𝑥)=12𝑎𝑥2+2𝑎𝑥+ln𝑥在区间(0,+∞)上为增函数，从而

结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a的取值范围。8.如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）A.96B.84C.60D.48

【答案】B【考点】等可能事件的概率【解析】【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44=84．故选B【分析】这道题比起前几年出

的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．9.已知函数𝑓(𝑥)={ln𝑥,𝑥≥11𝑒(𝑥+2)(𝑥−𝑎),𝑥<1（𝑎为常数，�

�为自然对数的底数）的图象在点𝐴(𝑒,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数𝑎的取值范围是（）A.−3−2√2<𝑎<−3+2√2B.𝑎<−2或−3+2√2<𝑎<23C.−3+2√2<𝑎D.𝑎<

−3−2√2或−3+2√2<𝑎<23【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】由𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，𝑥⩾1，得𝑓′(𝑥)=1𝑥，则𝑓′（e）=1𝑒，∴𝑓(𝑥)在点𝐴(𝑒,1)处的切线方程为：

𝑦=1𝑒𝑥①由于函数𝑦=𝑓(𝑥)=1𝑒(𝑥+2)(𝑥−𝑎)，𝑥<1②∴由①②联立方程组可得：{𝑦=1𝑒𝑥𝑦=1𝑒(𝑥+2)(𝑥−𝑎),𝑥<1，化简得：𝑥2+(1−𝑎)

𝑥−2𝑎=0③要使得函数𝑓(𝑥)在点𝐴(𝑒,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，∵切线与𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，𝑥⩾1，在𝐴(𝑒,1)点有一个交点，∴只需要满足③式𝑥2+(1−�

�)𝑥−2𝑎=0在𝑥<1内有两个不相同的实数根即可，则只需𝛥>0和抛物线对称轴小于1，且当𝑥=1时𝑥2+(1−𝑎)𝑥−2𝑎>0，才能保证在𝑥<1内有两个不相同的实数根，则{𝛥>01+

(1−𝑎)−2𝑎>0−(1−𝑎)2<1，即{𝑎2+6𝑎+1>01+1−𝑎−2𝑎>0𝑎−1<2，解得：{(−∞,−3−2√2)∪(−3+2√2,+∞)𝑎<23𝑎<3，∴所以实数𝑎的取值范围为𝑎<−3−2√2或−3+2√2<𝑎<

23。故答案为：D．【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，所以𝑓(𝑥)在点𝐴(𝑒,1)处的切线方程为：𝑦=1𝑒𝑥①，由于函数𝑦=𝑓(𝑥)=1𝑒(𝑥+2)(𝑥−𝑎)，

𝑥<1②，由①②联立方程组化简得：𝑥2+(1−𝑎)𝑥−2𝑎=0③，要使得函数𝑓(𝑥)在点𝐴(𝑒,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，再利用两函数交点的横坐标与方程的根的等价关系，因为切线与𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，𝑥⩾1，在𝐴(𝑒

,1)点有一个交点，所以只需要满足③式𝑥2+(1−𝑎)𝑥−2𝑎=0在𝑥<1内有两个不相同的实数根即可，则只需𝛥>0和抛物线对称轴小于1，且当𝑥=1时𝑥2+(1−𝑎)𝑥−2𝑎>0，才能保证在𝑥<1内有两个不相同的实数根，从而求出实数a的取值

范围。二、填空题10.求值cos330°=________.【答案】√32【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】cos330°=cos(360°−30°)=cos30°=√32，故填√32.【分析】利用诱导公式可得c

os330°=cos30°，从而得到求解的值.11.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，已知P(ξ<0)=0.3，则P(ξ<2)=________.【答案】0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，概率的应用【

解析】【解答】随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，∴曲线关于x=1对称，∴P(ξ<0)=P(ξ>2)=0.3，∴P(ξ<2)=1−0.3=0.7。点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②

充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1。【分析】利用已知条件结合随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，再利用正态分布对应的函数的图象的对称性，从而求出P(ξ<2)的值。12.已知随机变量𝜉~𝐵(𝑛,𝑝)，且�

�𝜉=6，𝐷𝜉=3，则𝑛=________.【答案】12【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】∵𝜉~𝐵(𝑛,𝑝)，由二项分布的期望和方差公式得{𝐸𝜉=𝑛𝑝=6𝐷𝜉=𝑛𝑝(1−𝑝)=3，解得{𝑛=12𝑝=12。

故答案为：12。【分析】利用已知条件结合随机变量服从二项分布，再利用二项分布求数学期望和方差公式，从而解方程组求出n和p的值。13.(3𝑥−1)5的展开式中，设各项的系数和为a，各项的二项式系数和为b，则𝑎𝑏=________.【答案】1

【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】解：在(3𝑥−1)5的展开式中，令𝑥=1，可得各项的系数和为𝑎=25=32，而各项的二项式系数和为𝑏=25=32，∴𝑎𝑏=1。故答案为：1。【分析】利用已知条件结合赋值法求出各项的系数和a的值，再利用二项式系数和公式，从而求出b的值，进

而求出𝑎𝑏的值。14.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0，−𝜋<𝜑<0)的部分图象如图所示，则𝑓(𝑥)的解析式为𝑓(𝑥)=________.【答案】2sin(2𝑥−𝜋3)【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象

确定其解析式【解析】【解答】由图可知最大值为2，故𝐴=2，由图可知34𝑇=5𝜋12−(−𝜋3)，所以𝑇=𝜋，又因为𝑇=2𝜋𝜔，所以𝜔=2，故𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜑)，又因为函数经过点(5𝜋12,2)，即2=2sin(2×5𝜋12+𝜑)，所以1=s

in(5𝜋6+𝜑)，又因为−𝜋<𝜑<0，所以𝜑=−𝜋3，所以𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥−𝜋3)。故答案为：2sin(2𝑥−𝜋3)。【分析】利用正弦型函数的最高点的纵坐标求出A的值，再利用正弦型函数的最小正周期

公式求出𝜔的值，再结合正弦函数五点对应法，从而结合𝜑的取值范围求出𝜑的值，进而利用正弦型函数的部分图象求出正弦型函数的解析式。15.用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何两个

相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________.【答案】40【考点】分步乘法计数原理，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】第一步：先将3，5排列有𝐴22种，第二步：再将4，6插空排列

（满足奇偶性不同）有2𝐴22种，第三步：将1，2捆绑插空排列有𝐴51种，由分步计数原理可得𝐴22⋅2𝐴22⋅𝐴51=40种。故答案为：40。【分析】利用已知条件结合排列数公式和分步乘法计数原理，从而求出任何两个相邻数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的

个数。三、解答题16.已知𝛼,𝛽为锐角，tan𝛼=43，cos(𝛼+𝛽)=−√55。（1）求cos2𝛼的值。（2）求tan(𝛼−𝛽)的值。【答案】（1）解：∵{tan𝛼=43sin2𝛼+cos2𝛼=1𝛼为锐角⇒{sin𝛼=45cos𝛼=35则cos2𝛼=-725（2）

解：由（1）可知，sin2𝛼=2sin𝛼⋅cos𝛼=2425，tan2𝛼=sin2𝛼cos2𝛼=-247𝛼,𝛽∈(0,𝜋2)，所以𝛼+𝛽∈(0,𝜋)即sin(𝛼+𝛽)=2√55，tan(𝛼+𝛽)=sin

(𝛼+𝛽)cos(𝛼+𝛽)=-2tan(𝛼−𝛽)=tan[2𝛼−(𝛼+𝛽)]=tan2𝛼−tan(𝛼+𝛽)1+tan2𝛼⋅tan(𝛼+𝛽)=−211【考点】同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基

本关系的运用【解析】【分析】（1）同三角函数关系，得到sin𝛼,cos𝛼，再用倍角公式。（2）配凑角，𝛼−𝛽=2𝛼−(𝛼+𝛽)17.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量𝜉表示所选3人中女生的人数.（1）求𝜉的分布列；（2

）求𝜉的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数𝜉≤1”的概率.【答案】（1）𝜉可能取的值为0，1，2.P（𝜉=k）=𝐶2𝑘·𝐶43−𝑘𝐶63，k=0，1，2.所以，𝜉的分布列为𝜉012P153515（2）由（1），𝜉的数学期望为𝐸𝜉=0×15+1×35+2×15

=1；（3）由（1），“所选3人中女生人数𝜉≤1”的概率为𝑃(𝜉≤1)=𝑃(𝜉=0)+𝑃(𝜉=1)=45.【考点】互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1

）利用已知条件求出随机变量𝜉可能取的值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，从而求出随机变量𝜉的分布列。（2）利用随机变量𝜉的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量𝜉的数学期望。（3）利用已知条件

结合互斥事件加法求概率公式，从而求出“所选3人中女生人数𝜉≤1”的概率。18.已知𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐在𝑥=1与𝑥=−23时都取得极值．（1）求𝑎,𝑏的值；（2）若𝑓(−1)=32，求𝑓(

𝑥)的单调区间和极值。【答案】（1）解：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设知x＝1，x＝－23为f′（x）＝0的解．∴－23a＝1－23，𝑏3＝1×(−23)．∴a＝－12，b＝－2．经检验，这时x＝1与x＝－23都是极值点．（2）解：f（x）＝x3－12x2－

2x＋c，由f（－1）＝－1－12＋2＋c＝32，得c＝1．∴f（x）＝x3－12x2－2x＋1．x(−∞,−23)−23(−23,1)1(1,+∞)𝑓′(𝑥)+0-0+𝑓(𝑥)递增极大值递减极小值递增∴f（x）的递增区间为(−∞,−23)和（1，＋∞），递减

区间为(−23,1)．当x＝－23时，（x）有极大值f(−23)＝4927；当x＝1时，f（x）有极小值f（1）＝－12．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在𝑥=1与𝑥=−23时，都取得极值，则𝑓′

(1)=0,𝑓′(−23)=0,就可得到a，b的值；（2）先由𝑓(−1)=32求出函数中的c值，再求导数，令导数大于0，解得x的范围是函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围是函数的减区间，增区间与减区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数大于0，右侧导数小于0时取得极大值，当极值

点左侧导数小于0，右侧导数大于0时取得极小值，再把x的值代入原函数求出极大值与极小值19.已知函数𝑓(𝑥)=2√3tan(𝑥2+𝜋4)cos2(𝑥2+𝜋4)−sin(𝑥+𝜋)，（1）求函数𝑓(𝑥)的定义域和最小正周期；（2）若将函数𝑓(𝑥)图象上所有点的

横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，然后再向右平移𝜑(𝜑>0)个单位长度，所得函数的图象关于𝑦轴对称，求𝜑的最小值.【答案】（1）因为𝑥2+𝜋4≠𝜋2+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，即𝑥≠𝜋2+2𝑘

𝜋(𝑘∈𝑍)，所以函数𝑓(𝑥)的定义域{𝑥|𝑥≠𝜋2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)}𝑓(𝑥)=2√3tan(𝑥2+𝜋4)cos2(𝑥2+𝜋4)−sin(𝑥+𝜋)=2√3sin(𝑥2+𝜋4)cos(𝑥2+𝜋4)cos2(𝑥

2+𝜋4)−sin(𝑥+𝜋)=2√3sin(𝑥2+𝜋4)cos(𝑥2+𝜋4)−sin(𝑥+𝜋)=√3sin(𝑥+𝜋2)−sin(𝑥+𝜋)=√3cos𝑥+sin𝑥=2sin(�

�+𝜋3)𝑇=2𝜋1=2𝜋所以函数𝑓(𝑥)的最小正周期2𝜋，（2）因为将函数𝑓(𝑥)图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，所以𝑦=2sin(2𝑥+𝜋3)，因为又向右平移𝜑

(𝜑>0)个单位长度，所以𝑦=2sin[2(𝑥−𝜑)+𝜋3]=2sin(2𝑥−2𝜑+𝜋3)，又因为平移后函数的图象关于𝑦轴对称，所以−2𝜑+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)，即𝜑=−𝜋12−𝑘𝜋2(𝑘∈𝑍)，所以当𝑘=−1时，

𝜑取得最小值，此时𝜑=5𝜋12，所以𝜑取得最小值为5𝜋12.【考点】函数的定义域及其求法，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，图形的对称性【解析】【分析】（1）利用正切型函数求定

义域的方法，从而求出函数f(x)的定义域，再利用同角三角函数基本关系式结合二倍角的正弦公式和诱导公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数最小正周期公式，从而求出正弦型函数f(x)的最小正周期。（2)

利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，从而得出变换后的图像解析式，再利用图象的对称性结合已知条件，从而求出𝜑=−𝜋12−𝑘𝜋2(𝑘∈𝑍)，所以当𝑘=−1时，𝜑取得最小值，此时𝜑=5𝜋12，进而求出𝜑的最小值。20.设𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎𝑒𝑥(𝑎∈�

�)，𝑥∈𝑅，（1）求𝑓(𝑥)的单调区间：（2）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个零点𝑥1，𝑥2，且𝑥1<𝑥2，（i）求𝑎的取值范围；（ii）证明：𝑥2𝑥1随着𝑎的减小而增大.【答案】（1）因为𝑓(𝑥

)=𝑥−𝑎𝑒𝑥，则𝑓′(𝑥)=1−𝑎𝑒𝑥，①若𝑎≤0，则𝑓′(𝑥)=1−𝑎𝑒𝑥>0在𝑅上恒成立，所以𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,+∞)；②若𝑎>0，令𝑓′(𝑥)=1−𝑎𝑒𝑥=0，则𝑥=−l

n𝑎，𝑥∈(−∞,−ln𝑎)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)的单调递增；𝑥∈(−ln𝑎,+∞)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)的单调递减；所以𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−ln𝑎)

，单调递减区间为(−ln𝑎,+∞)；综上：若𝑎≤0，𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,+∞)；若𝑎>0，𝑓(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−ln𝑎)，单调递减区间为(−ln𝑎,+∞)（2）（i）由（1）知：函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个零点需满

足{𝑎>0𝑓(−ln𝑎)>0，即{𝑎>0−ln𝑎−1>0，所以0<𝑎<1𝑒，故𝑎的取值范围为(0,1𝑒)；（ii）因为𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎𝑒𝑥=0，则𝑎=𝑥𝑒𝑥，令𝑔(𝑥)=𝑥�

�𝑥，则𝑔′(𝑥)=1−𝑥𝑒𝑥，所以𝑔(𝑥)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，并且𝑥∈(−∞,0]时，𝑔(𝑥)≤0，当𝑥∈(0,+∞)时，𝑔(𝑥)>0，由已知𝑥1,𝑥2满足𝑎=

𝑔(𝑥1),𝑎=𝑔(𝑥2)，由𝑎∈(0,1𝑒)，及𝑔(𝑥)的单调性，可得𝑥1∈(0,1),𝑥2∈(1,+∞)，对于任意𝑎1,𝑎2∈(0,1𝑒)，设𝑎1>𝑎2，𝑔(𝜉1)=𝑔(𝜉2

)=𝑎1，其中0<𝜉1<1<𝜉2；𝑔(𝜂1)=𝑔(𝜂2)=𝑎2，其中0<𝜂1<1<𝜂2；因为𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递增，由𝑎1>𝑎2，即𝑔(𝜉1)>𝑔(𝜂1)，可得𝜉1>𝜂1，同理可得𝜉2<𝜂2，又由𝜉1>𝜂1>0

得𝜉2𝜉1<𝜂2𝜉1<𝜂2𝜂1，故𝑥2𝑥1随着𝑎的减小而增大.【考点】函数的单调性及单调区间，函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函

数的单调性，从而求出函数的单调区间。（2）（i）由（1）知，函数𝑦=𝑓(𝑥)有两个零点需满足{𝑎>0𝑓(−ln𝑎)>0，从而求出实数𝑎的取值范围。（ii）因为𝑓(𝑥)=𝑥−𝑎𝑒𝑥=0，则𝑎=𝑥𝑒𝑥，令𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥，再利用求导的方法判断函数的单调

性，所以函数𝑔(𝑥)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，并且𝑥∈(−∞,0]时，𝑔(𝑥)≤0，当𝑥∈(0,+∞)时，𝑔(𝑥)>0，由已知𝑥1,𝑥2满足𝑎=𝑔(𝑥1),𝑎=𝑔(𝑥2)，由𝑎∈(0,1𝑒)及𝑔(

𝑥)的单调性，可得𝑥1∈(0,1),𝑥2∈(1,+∞)，对于任意𝑎1,𝑎2∈(0,1𝑒)，设𝑎1>𝑎2，𝑔(𝜉1)=𝑔(𝜉2)=𝑎1，其中0<𝜉1<1<𝜉2；𝑔(𝜂1)=𝑔(𝜂2)=𝑎

2，其中0<𝜂1<1<𝜂2；再利用函数g(x)的单调性,再由𝑎1>𝑎2，即𝑔(𝜉1)>𝑔(𝜂1)，可得𝜉1>𝜂1，同理可得𝜉2<𝜂2，又由𝜉1>𝜂1>0得𝜉2𝜉1<𝜂2𝜉1<𝜂2𝜂1，从而证出𝑥2𝑥1随着𝑎的减小而增大。