【文档说明】上海市华东师范大学第二附属中学2021届高三下学期4月月考数学试题 含答案.docx，共(18)页，1.287 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年上海市华师大二附中高三下4月月考数学卷一、填空题1.已知2021(2)izi+=（i为虚数单位），则||z=2.若一个圆锥的轴截面是面积为43的等边三角形，则该圆锥的表面积为3.若点(2021,)Pt在抛物线24yx=上，点F为该抛物线的焦点，则||PF的值为4.圆

1cos:sinxCy=+=（为参数）的圆心到直线223:13xtlyt=−+=−的距离为5.12nxx+展开式的二项式系数之和为32，则展开式中x的系数为（用数字填写答案）6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究

的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲

率为233−=，故其总曲率为4，则四棱锥的总曲率为7.在数列na中，若对一切nN都有13nnaa+=−且()24629lim2nnaaaa→++++=，则1a的值为8.已知函数cos,[,]yaxx=+−(其中,a为常数，且0)有且仅有3个零点，则的最小值

为9.关于x的不等式|2||3|4xkxkk−+−共有2021个整数解，则k的取值范围为10.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺

时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率为11.已知ABC△的外接圆圆心为,||6,||8,(,)OABACAOABACR===+，若21sin2At+−（t为实数）有最小值，则参数t的取值范围为12.关于x

的方程22cossin0xxa−+=在区间70,6上恰好有两个不等实根，则实数a的取值范围为二、选择题13.已知全集U，集合,MN是U的非空子集，且UCMN，则必有（）A.UMCNB.UMCNC.UMCN

=D.MN14.“2m=”是“直线210xmy++=与直线210mxy+−=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件15.已知()1axfxxa−=−−的反函数

图像的对称中心为(1,3)−，则a的值为（）A.2B.2C.3D.316.设04,0babm，若三个数22,,2abababmab++−能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围为（）A.135,124−B.(1,3)C.135,224−D.(3,2)

三、解答题17.如图在三棱锥ABCP−中，棱AB、AC、AP两两垂直，3===APACAB，点M在AP上，且1=AM．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥BMCP−的体积．18.若函数()yfx=对定义域内的每一个值1x，在其定义域内都存在唯一的2x，使()()121fxfx=

成立，则该函数为“依附函数”.（1）判断函数()singxx=是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数()12xfx−=在定义域(),0mnm上“依附函数”，求mn的取值范围.19.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大

影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门

前是一块角形区域，如图所示，其中120APB=，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为4mRS=，6mRT=，(m为长度单位).陈某准备过点R修建一条长椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅

的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P到点R的距离；（2）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积最小值.的20.已知0ab，如图，曲线由曲线1C：22221(0)xyyab+=和曲线2C：2

2221(0)xyyab−=组成，其中点12,FF为曲线1C所在圆锥曲线的焦点，点34,FF为曲线2C所在圆锥曲线的焦点.（1）若23(2,0),(6,0)FF−，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线l平行于曲线2C的渐近线，交曲线1C于点,AB，求弦AB的中点M的轨迹方

程；（3）对于（1）中的曲线，若直线1l过点4F交曲线1C于点,CD，求1CDF面积的最大值.21.已知无穷数列{}na满足：10a=，21nnaac+=+（*nN，cR）．对任意正整数2n，记{|{

1,2,3,,|},|2}niMcina=对任意，*{|2},||iMcia=N对任意．（1）写出2M，3M；（2）当14c时，求证：数列{}na是递增数列，且存在正整数k，使得kcM；（3）求集合M．2020-2021年上海市华师大二附中高三下4月月考数学卷

答案一、填空题1.已知2021(2)izi+=（i为虚数单位），则||z=【解析】因为41i=，所以2021ii=，所以2izi=+，所以5||25izi==+.2.若一个圆锥的轴截面是面积为43的等边三角形，则该圆锥的表面积为【解析】设等边三角形的边长为a，则23434a

=，解得4a=，所以圆锥的底面半径2r=，母线4l=，所以该圆锥的表面积为2222412SSSrrl=+=+=+=侧底.3.若点(2021,)Pt在抛物线24yx=上，点F为该抛物线的焦点，则||PF的值为【解析】由抛物线的定义，||2021120222PpPFx=+=+

=.4.圆1cos:sinxCy=+=（为参数）的圆心到直线223:13xtlyt=−+=−的距离为【解析】圆心(1,0)C到直线2:210lxy++−=的距离|10221|22d++−==.5.12nxx+展开式的二项式系

数之和为32，则展开式中x的系数为（用数字填写答案）【解析】由题意得232n=，所以5n=，所以展开式的通项为535521551(2)2rrrrrrrTCxCxx−−−+==，令5312r−=，得1r=，所以展开式中x的系数为1515280C−

=.6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点

的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为233−=，故其总曲率为4，则四棱锥的总曲率为【解析】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以

面角和为426+=，总曲率为5264−=.7.在数列na中，若对一切nN都有13nnaa+=−且()24629lim2nnaaaa→++++=，则1a的值为【解析】因为13nnaa+=−，所

以数列na是公比为13−的等比数列，所以()121246222193lim111219nnaaaqaaaaqq→−++++====−−−，解得112a=−.8.已知函数cos,[,]yaxx=+−

(其中,a为常数，且0)有且仅有3个零点，则的最小值为【解析】因为函数cos,[,]yaxx=+−为偶函数，又有且仅有3个零点，故必有1个零点为0，所以cos00a+=，所以1a=−，故1cos,[,]yxx=−+

−，由0y=得2xk=，所以2,kxkZ=，而[,]x−，所以24,，所以的最小值为2.9.关于x的不等式|2||3|4xkxkk−+−共有2021个整数解，则k的取值范围为【解析】显然0k，由|2||3|4xkxkk−+−解得1922kx

k，因为共有2021个整数解，所以912020202222kk−，解得15055052k，所以113252252224k，故这2021个整数解只能为253,254,,2273，所以9227322

742k，解得1150550593k.10.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳

四次之后停在A叶上的概率为【解析】因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以逆时针方向跳的概率是23，顺时针方向跳的概率是13，若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向

跳，有2次是逆时针跳，若先按逆时针开始从A→B,则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为2132214=33327C；若先按顺时针开始从A→C，则剩余3次中有1次是

按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为2131124=33327C；故跳四次之后停在A叶上的概率为448272727+=.11.已知ABC△的外接圆圆心为,||6,||8,(,)OABACAOABACR=

==+，若21sin2At+−（t为实数）有最小值，则参数t的取值范围为【解析】因为211||||cos,||||||1822AOABABAOAOABABABAB====，211|

|||cos,||||||3222AOACACAOAOACACACAC====，又(,)AOABACR=+，所以221832AOABABABACAOACACABAC=+=

=+=，即43cos268cos3AA+=+=，解得2234cos6sin43cos8sinAAAA−=−=，代入21sin2At+−，化简得2123coscos2382tAtA−++，因为1cos1A−且有最小值，所以2

33811122t−+−−，解得33151616t−，所以参数t的取值范围为3315,1616−.12.关于x的方程22cossin0xxa−+=在区间70,6上恰好有两个

不等实根，则实数a的取值范围为【解析】222cossin022sinsinxxaaxx−+=+=+，令2211()2sinsin2sin48fxxxx=+=+−，由复合函数的单调性得()fx在0,2

上递增，在1,arcsin24+上递减，在17arcsin,46+上递增，又113,arcsin248ff=+=−，故12,0(0,3)8a+−，故实数a的取值范围为17,2(2,1)8−−

−.二、选择题13.已知全集U，集合,MN是U的非空子集，且UCMN，则必有（A）A.UMCNB.UMCNC.UMCN=D.MN【解析】作出韦恩图易得A.14.“2m=”是“直线210xmy++=与直线210mxy

+−=平行”的（D）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【解析】若直线210xmy++=与直线210mxy+−=平行，则2220m−=且2(1)0m−−，即2m=，故为充要条件，故选D.15.已知()1axfx

xa−=−−的反函数图像的对称中心为(1,3)−，则a的值为（B）A.2B.2C.3D.3【解析】(1)11()1111axxafxxaxaxa−−−−−===−−−−−−−−，故()fx的对称中心为(1,

1)a+−，因为()fx的反函数图像的对称中心为(1,3)−，所以()fx的对称中心为(3,1)−，所以13a+=，所以2a=，故选B.16.设04,0babm，若三个数22,,2abababmab++−能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围为（C）A.135,124−

B.(1,3)C.135,224−D.(3,2)【解析】因为04,0babm，令22,,2abxyababzmab+==+−=，则22222223()024abxyababab+−=

−+−=−−，所以xy，因为,,xyz能组成一个三角形的三条边长，所以yxzxy−+，即222222ababababmababab+++−−+−+，因为04,0babm，所以令(14)attb=

，则22222()2()2ababababababmabab+−−++−++，即111121221ttmtttttt+−−++−++，因为11112122124tttttttt+−++−+=

，当且仅当1t=时取等号，但是取不到，所以11214tttt+−−+，所以24m，所以2m；令152,2ktt=+，则2112123ttkktt+−−+=−−，可用求导或其他方法得出223kk−−在52,2k

上单调递增，所以22555232313422kk−−−−=−，所以52132m−，所以13524m−，综上，135224m−，故选C.三、解答题17.如图在三棱锥ABCP−中，棱AB、AC、AP两两垂直，3===APAC

AB，点M在AP上，且1=AM．（1）求异面直线BM和PC所成的角的大小；（2）求三棱锥BMCP−的体积．【解析】法一：（1）如图，取线段1=AN，连结MN、BN.因为MN∥PC，所以BMN的大小等于异面直

线BM和PC所成的角或补角的大小．…………3分23122=+=ACPAMN，10132=+==BNBM105102221cos===BMMNBMN,105arccos=BMN……6分所以异面直线BM和PC所成的角的大小等于105arccos．………………7分（2）因为AB、AC、AP两两垂直

,3==ACAB，3=AP,1=AM.所以29333213131===−PASVABCABCP.…………9分23133213131===−MASVABCABCM.…………11分32329=−=−=−−−ABCMABCPBMCPV

VV.所以三棱锥BMCP−的体积大小等于3（立方单位）．……………14分法二：（1）因为棱,,ABACAP两两垂直，如图建系，则(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3),(0,0,1)BCPM，所以(3,0,1),(0,3,

3)BMPC=−=−，设BM和PC所成角为θ，则|||3|5cos10||||1018BMPCθBMPC−===，所以5arccos10θ=；（2）11||||23322PBMSPMBA===，又,CABACAPA⊥⊥，且,BAPA相交于点P，所以CA⊥平面PBA，yzxM

CBPA则11||33333PBMCCPBMPBMVVSCA−−====.18.若函数()yfx=对定义域内的每一个值1x，在其定义域内都存在唯一的2x，使()()121fxfx=成立，则该函数为“依附函数”

.（1）判断函数()singxx=是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数()12xfx−=在定义域(),0mnm上“依附函数”，求mn的取值范围.【解析】（1）对于函数()singxx=的定义域

R内存在16x=，则()22sin2gxx==，无解.故()singxx=不是“依附函数”；（2）首先证明：当()fx在定义域上[,]mn上单调递增，且为“依赖函数”时，有()()1fmfn=。假设()()1fmfn，则当xm=时，存在(,)xpmn=，使得()()1fmfp=

，当xn=时，存在(,),()xqmnqp=，使得()()1fnfq=，由于()fx在定义域上[,]mn上单调递增，故()()()()fnfpfqfm，所以()()()()fnfqfmfp与()()()()1fmfpfnfq==矛盾，故()()1fmfn=

.因为()12xfx−=在,mn递增，故()()1fmfn=，即11221mn−−=，2mn+=，由0nm，故20nmm=−，得01m，从而()2mnmm=−在()0,1m上单调递增，故()0,1mn.19.由于2020年1月

份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门

前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中120APB=，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA、PB的距离分别为4mRS=，6mRT=，(m为长度单位).陈某准备过点R修建一条长

椅MN（点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点P到点R的距离；（2）为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积最小值.【解析】（1）连接,STPR，在ΔRST中，60SRT

=，由余弦定理得22246246cos6028ST=+−=，所以27ST=，在ΔRST中，由余弦定理得22227cos27STRTSRSTRSTRT+−==，在PST中，由正弦定理得sinsin120SPSTPTS=，解得sin83sin1203STPTSSP==，在直角

SPR中，2222283112433PRRSSP=+=+=，所以4213PR=；（2）13sin12024PMNSPMPNPMPN==△，11462322PMNPRMPRNSSSPMPNPMPN=+=+=

+△△△，的323264PMPNPMPNPMPN=+，所以128PMPN，当且仅当23128PMPNPMPN==，即83PM=时取等号，所以33234PMNSPMPN=△.20.已知0ab

，如图，曲线由曲线1C：22221(0)xyyab+=和曲线2C：22221(0)xyyab−=组成，其中点12,FF为曲线1C所在圆锥曲线的焦点，点34,FF为曲线2C所在圆锥曲线的焦点.（1）若23(2,0),(6,0)FF−，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线l平行于

曲线2C的渐近线，交曲线1C于点,AB，求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线1l过点4F交曲线1C于点,CD，求1CDF面积的最大值.【解析】（1）由题意得23(2,0),(6,0)FF−，所以2222364abab+=−=，解得22201

6ab==，则曲线的方程为：221(0)2016xyy+=和221(0)2016xyy−=.（2）由题意曲线2C的渐近线为：byxa=，设直线:()blyxma=−，由2222()1byxmaxyab=−+=，得()222220xmxma−+−=，所以(

)222480mma=−−，解得：22ama−，又由数形结合知2ama.设点()()()112200,,,,,AxyBxyMxy，则12xxm+=，22122maxx−=，所以02mx=，

02bmya=−，所以00byxa=−，即点M在射线2,,22baayxxa=−上.（3）由（1）得，曲线221:1(0)2016xyCy+=，点4(6,0)F，设直线1l的方程为：6(0)xnyn=+，由22612016xny

xy=++=，得()225448640nyny+++=，所以()22(48)464540nn=−+21n，设()()3344,,,CDxyyx，所以3424854nyyn+=−+，3426454yyn=+，所以()2234343421651544ny

yyyyyn+−−−==+，所以1CDF面积2212342211165118645225454nnSFFyynn−−=−==++，令210tn=−，所以221nt=+，所以264564516594934tSttt==++当且仅当32t=，即132n=时取等号，所以1CDF

面积的最大值为1653.21.已知无穷数列{}na满足：10a=，21nnaac+=+（*nN，cR）．对任意正整数2n，记{|{1,2,3,,|},|2}niMcina=对任意，*{|2},||iMcia=N对任意．（1）写出2M，3M；（2）当

14c时，求证：数列{}na是递增数列，且存在正整数k，使得kcM；（3）求集合M．【解析】（1）2[2,2]M=−，3[2,1]M−=．（2）当14c时，对任意*nN，都有221111()0244nnnnnaaacaacc+−=+−=−+−−，所以1

nnaa+．所以数列{}na是递增数列．111211111()()()()()()444nnnnnaaaaaccaaac++−−−−=++++−+−++−所以11()4nanc+−．令08min{|

}41nttc=−N，则010181()()24414nanccc+−−=−，所以01ncM+．所以存在正整数01kn=+，使得kcM．（3）由题意得，对任意*nN，都有1nnMM+且nMM．由（2）得，当14c时，存在

正整数k，使得kcM，所以cM．所以若cM，则14c．又因为3[2,1]MM=−，所以若cM，则2c−．所以若cM，则124c−，即1[2,]4M−．下面证明1[2,]4M−．①当104c时，

对任意*nN，都有0na．下证对任意*nN，12na．假设存在正整数k，使得12ka．令集合*1{|}2kSka=N，则非空集合S存在最小数0s．因为211042ac=，所以02s．因为01sS−，所以01102sa−

．所以00211142ssaacc−=++，与012sa矛盾．所以对任意*nN，102na．所以当104c时，||2na．②当20c−时，220cc+．下证对任意*nN，||||nac．假设存在正整数k，使得||||kac．令集合*{||||

|}kTkac=N，则非空集合T存在最小数0t．因为2ac=，所以2||||ac，所以02t．因为01tT−，所以01||||tac−．00221ttaacccc−=++−，且0021ttaacc−=+，所以0||||tac，与

0||||tac矛盾．所以当20c−时，||||2nac．所以当1[2,]4c−时，对任意*nN，都有||2na．所以cM，即1[2,]4M−．因为1[2,]4M−，且1[2,]4M−，所以1[2,]4M=−．