【文档说明】拓展三 含参函数单调性的分类讨论（精练）（解析版）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx，共(14)页，1.041 MB，由管理员店铺上传

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拓展三含参函数单调性的分类讨论（精练）【题组一导函数有一根】1．（2021·全国高二专题练习）已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．【答案】当a>0时，f(x)只有单调递增区间(0，+∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间是(a−，+

∞)，单调递减区间是(0，a−).【解析】函数f(x)=12x2+alnx的定义域是(0，+∞)，()afxxx=+，因a∈R，a≠0，则当a>0时，()0fx，于是得f(x)在(0，+∞)上单调递增，当a<0时，2()()()xaxaxafxxx++−−−==，当0xa−时，()0

fx，当xa−时，()0fx，即f(x)在(0,)a−上单调递减，在(,)a−+上单调递增，因此，当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(,)a−+，单调递减区间是(0,)a−，所以，当a>0时，f(x)只有单调递增区间(0，+

∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间是(,)a−+，单调递减区间是(0,)a−.2．（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知函数()ln1fxaxx=++．讨论函数()fx的单调性；【答案】答案不唯一，具体见解析；【解析】依题意，()()1

0fxaxx=+，当0a时，显然()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增；当0a时，令()=0fx，得1xa=−，因为()fx在()0,+上单调递增，所以当1xa−时，()0fx

，当10xa−时，()0fx；即()fx在10a−,上单调递减，在1,a−+上单调递增．3．（2021·重庆市万州清泉中学高二月考）已知函数()2lnafxxx=−．讨论()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】（1）2222()axafxxxx

+=+=且0x，∴当0a时，()0fx，()fx递增；当0a时：若02ax−时，()0fx，()fx递减；当2ax−时，()0fx，()fx递增；∴0a时，()fx在(0,)+上递增；0a时，()fx在0,2a−上递减，在(

,)2a−+上递增；4．（2021·全国）已知函数2()lnfxaxx=+(a∈R且a≠0)，讨论函数()fx的单调性．【答案】答案见解析【解析】函数()fx的定义域为(0,＋∞)，且22()2axafxxxx+=+

=.①当0a时，()0fx，即()fx在(0,＋∞)上单调递增．②当0a时，令()0fx=，解得x＝2a−(负值舍去)，当02ax−时，()0fx，即()fx在0,2a−上单调递减；当2ax−时，()0fx，即()fx在,2a−+上单调递

增．综上，当0a时，()fx在(0,＋∞)上递增；当0a时，()fx在0,2a−上递减，在,2a−+上递增．【题组二导函数有两根】1．（2021·全国高二课时练习）已知函数()()1ln1xxafxeaxxae

−−=+−，试讨论()fx的单调性.【答案】答案见解析【解析】()()()()1110xxeafxxaxaexexx−=−+−=−−，设()()110xgxexx−=−，则()1210xgxex−=+，可知()gx在()0,+上

单调递增，又()10g=，所以当()0,1x时，()0gx，当()1,x+，()0gx.①当0a时，0xa−，当()0,1x时，()0fx；当()1,x+时，()0fx.故()fx在()0,1上单调递减，

在()1,+上单调递增；②当01a时，由()0fx=，得xa=或1x=，当()0,xa时，0xa−，()0gx，则()0fx，此时，()fx在()0,a上单调递增；当(),1xa时，0xa−，()0gx

，则()0fx，此时，()fx在(),1a上单调递减；当()1,x+时，0xa−，()0gx，则()0fx，此时()fx在()1,+上单调递增.综上所述，当0a时，()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上

单调递增；当01a时，()fx在()0,a上单调递增，在(),1a上单调递减，在()1,+上单调递增.2．（2021·全国高二课时练习）已知函数2()(2)xxfxaeaex=−++，若0a，求()fx的单调递增区间.【答案】答案见解析【解析】()()2221xxfxaeae=−

++()()211xxeae=−−令()0fx=，解得：11ln2x=，21lnxa=，当112a=，即2a=时，()()2210xfxe=−，此时()fx在R上单调递增；单调增区间为(,)−+当112

a，即02a时，令()0fx得：1xea或12xe，即1ln2x或1lnxa，此时单调增区间为1(,ln)2−和1(ln,)a+当112a，即2a时，令()0fx得：12

xe或1xea，解得：1ln2x或1lnxa此时单调增区间为1(,ln)a−和1(ln,)2+.3．（2021·肇庆市高要区第二中学高二月考）已知函数()()21exfxxax=−−（e是自然对数的底数，aR），讨论函数()fx单调性；【答案】答案见解析；【解析】()fx的

定义域为R，()()e2e2xxfxxaxxa=−=−，当0a时，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，故()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；当102a时，当ln2xa或0x时

，()0fx，当ln20ax时，()0fx，故()fx在(),ln2a−上单调递增，在()ln2,0a上单调递减，在()0,+上单调递增；当12a=时，()0fx（不恒为零），故()fx在R上单

调递增；当12a时，当0x或ln2xa时，()0fx，当0ln2xa时，()0fx，()fx在(),0−上单调递增，在()0,ln2a上单调递减，在()ln2,a+上单调递增．4（2021·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知函数2()(2)ln

(0)afxxaxax=−+−．（1）若()fx在点(1,(1))f处的切线l与10xy−+=平行，求切线l的方程；（2）讨论函数()fx的单调性．【答案】（1）40xy−−=；（2）见解析.【解析】（1）函数()fx的定

义域为()0,+，由2()(2)ln(0)afxxaxax=−+−，则2(2)2()1(0)aafxaxx+=−+，因为()fx在点(1,(1))f处的切线l与10xy−+=平行，所以()11f=，即()1221aa−++=，解得2a=，所以4()4lnfxxx

x=−−，所以()13f=−，所以()fx在点(1,(1))f处的切线l的方程为31yx+=−，即40xy−−=；（2）()()()2222222(2)2()1xxxaxaxaafxxxxx−++−−+=−+==，()0,x

+，令()0fx=，则2x=或a，当2a=时，()222()0xfxx−=，所以函数()fx在()0,+上递增；当2a时，当xa或02x时，()0fx，当2xa时，()0fx，所以函数()fx在()0,2和(),a+上递增，在()2,a上递减；

当02a时，当2x或0xa时，()0fx，当2ax时，()0fx，所以函数()fx在()0,a和()2,+上递增，在(),2a上递减，综上所述，当2a=时，函数()fx在()0,+上递增；当2a时，函数()fx在()0,2和(),a+上递增，在()2,a上递减；当

02a时，函数()fx在()0,a和()2,+上递增，在(),2a上递减.5（2021·全国高二单元测试）已知函数22e()lnfxaxaxx=+−，讨论函数()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】函数()fx的定义域为()0,+，222121(21)(1)()2axaxaxa

xfxaxaxxx−−+−=−+−==．若0a=，则()0fx，()fx在()0,+上单调递减．若0a，当1xa=时，()0fx=；当1xa时，()0fx；当1xa时，()0fx，故在10,a上，()fx单调递减；在1,a+上，

()fx单调递增．若0a，当12xa=−时，()0fx=；当12xa−时，()0fx；当12xa−时，()0fx，故在10,2a−上，()fx单调递减；在1,2a−+上，()fx单调递增．6．（2021·安

徽镜湖·芜湖一中高二期中（理））已知函数2()(2)(3)xfxaxex=+−+（aR，e为自然对数的底数）.讨论函数()fx的单调性.【答案】答案见详解【解析】()()()(3)2(3)32xxfxaxexxae=+−+=+−，当0a时，20xae−，可得()fx在(),3−−

上单调递增，在()3,−+上单调递减.当0a时，令20xae−=，解得2lnxa=，令2ln3a=−，解得32ae=，302ea时，2ln3a−，则函数()fx在(),3−−上单调递增，在23,lna−上单调递减，在2ln,a+上单调递增，当32ae=时，

()()230fxx=+，函数()fx在R上单调递增，当32ae时，2ln3a−，则函数()fx在2,lna−上单调递增，在2ln,3a−上单调递减，在()3,−+上单调递增，综上所述，0a时，()

fx在(),3−−上单调递增，在()3,−+上单调递减；302ea时，函数()fx在(),3−−上单调递增，在23,lna−上单调递减，在2ln,a+上单调递增；32ae=时，函数()fx在R上单调递增；32ae时，函数

()fx在2,lna−上单调递增，在2ln,3a−上单调递减，在()3,−+上单调递增.7（2021·河南洛阳·（理））已知函数()()21ln12fxaxxax=−−−，（aR），讨论函数()fx的单调性；【答案】具体

见解析【解析】()fx的定义域为()0,+，()()()()()2111xaxaxxaaxaxxxfx+−−−+=−−−=−=−，当0a时，由()0fx得()0,1x；由()0fx得()1,x+．当10a−时，由()0fx得(),1xa−；由(

)0fx得()()0,1,xa−+．当1a=−时，()()210xfxx−=−在定义域()0,+上恒成立．当1a−时，由()0fx得()1,xa−；由()0fx得()()0,1,xa

−+．综上可知：当1a−时，()fx在()1,a−递增，在()0,1，(),a−+递减；当1a=−时，()fx在()0,+递减；当10a−时，()fx在(),1a−递增，在()0,a−，()1,+

递减；当0a时，()fx在()0,1递增，在()1,+递减．8（2021·威海市第一中学）已知函数()21(1)2xfxxeaxa=−−，讨论()fx单调性；【答案】单调性见解析；【解析】()()'(

1)22xxxfxexeaxxea−−=+−=，（i）当0a时，20xea−，所以0x时，()'0fx，此时()fx单调递减；0x时，()'0fx，此时()fx单调递增；（ii）当102a时，ln20a，则有ln2xa时，()'0fx，()fx单调递增，当ln

20ax时，()'0fx，()fx单调递减，当0x时，()'0fx，()fx单调递增；（iii）当12a=时，()'0fx恒成立，()fx在R上单调递增.综上所述：0a时，()fx在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；102a时，()fx在()ln2,0a上单调

递减，在(),ln2a−和（0，+∞）上单调递增；12a=时，()fx在R上单调递增；9．（2021·北京日坛中学）已知函数()()2ln12xfxaxax=+−+，求其单调区间.【答案】答案见解析.【解析】∵()()()

2ln1,02xfxaxaxx=+−+，∴()()()()()2111xaxaxxaafxxaxxx−++−−=+−+==，当0a时，()1,x+时，()0fx；()0,1x时，()0fx；

即增区间为()1,+，减区间为()0,1；当01a时，()()0,1,xa+时，()0fx；(),1xa时，()0fx；即增区间为()0,a和()1,+，减区间为(),1a；当1a=时，()0fx在()0+，上恒成立，即增区间为()0+，；当1a时，()

()0,1,xa+时，()0fx；()1,xa时，()0fx；即增区间为()0,1和(),a+，减区间为()1,a；综上所述：当0a时，增区间为()1,+，减区间为()0,1；当01a时，增区间为()0,a和()1,+

，减区间为(),1a；当1a=时，增区间为()0+，，无减区间；当1a时，增区间为()0,1和(),a+，减区间为()1,a.10．（2021·湖北十堰·高二期末）已知函数()32fxxax=−.讨论()fx的单调性；【答案

】答案见解析；【解析】()()2'3232fxxaxxxa=−=−，令()'0fx=，得10x=，223ax=.当0a=时，()fx在R上单调递增；当0a时﹐()fx在(),0−，2,3a+上单

调递增，在20,3a上单调递减；当0a时，()fx在2,3a−，()0,+上单调递增，在2,03a上单调递减.11．（2021·无锡市第一中学高二期中）已知函数321()32m

mfxxxx+=−+，其中m为正实数，试讨论函数()fx的单调性；【答案】具体见解析【解析】根据题意，2()(1)1(1)(1)fxmxmxmxx=−++=−−，0m，1()0(1)(1)0fxmxxxm=−−=

=，或1x=，所以①当1m>时，11m，则有1()0fxxm，或1x；1()01fxxm，此时可得，()fx在1(,)m−，(1,)+上单调递增，在1(,1)m上单调递减．②当01m时，11m，则有1()0fx

xm，或1x；1()01fxxm，此时可得，()fx在(,1)−，1(m，)+上单调递增，在1(1,)m上单调递减．③当1m=时，恒有()0fx…，此时函数()fx在R上单调递增．综上可得，①当1m>时，()fx在1(,)m−，(1,)+上单调递增，在1(,1)m上

单调递减．②当01m时，()fx在(,1)−，1(m，)+上单调递增，在1(1,)m上单调递减．③当1m=时，函数()fx在R上单调递增．12．（2021·广西南宁三中）函数()ln(1)(1).=+−+axfx

xaxa讨论()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】()fx的定义域为22[(2)](1,),()(1)()xxaafxxxa−−−+=++.当12a时：2(1,2),xaa−−则()0fx，()fx在2(1,2),aa−−是增函数，2(2,0),

−xaa则()0fx，()fx在2(2,0)−aa是减函数，当=2a时：22()0(1)()xfxxxa=++，()1,x−+时，()fx是增函数.当2a时：若(1,0),x−则()0fx，()fx在(1,0)−上是增

函数，若2(0,2),xaa−则()0fx，()fx在2(0,2),aa−上是减函数，2(2,)xaa−+，则()0fx,()fx在2(2,)−+aa是增函数.13．（2021·河南）已知函数()221xxfxxxae=−++，讨论()fx的单调性【答案】答案见解析【

解析】()()()1222121xxxxxaeafxxaxxeee−−=−+=−−=−①当0a时，因为20xxeae−，所以当(),1x−时，()0fx，()fx单调递减当()1,x+时，()0fx，()fx单调递增②当02ea时，

当(),ln,1,2ax−+时，()0fx，()fx单调递增当ln,12ax时，()0fx，()fx单调递减③当2ae=时，()0fx，()fx在R上单调递

增④当2ae时，当(),1,ln,2ax−+时，()0fx，()fx单调递增当1,ln2ax时，()0fx，()fx单调递减14．（2021·黑龙江大庆·铁人中学高二期末（理））已知函数()()()211ln02=+++fxaxaxxa，讨论()fx的单

调性；【答案】答案见解析【解析】()()()()()11110++=+++=axxfxaxaxxx，当0a时，()0fx¢>，()fx在()0,+上单调递增，当0a时，10xx+，令()0fx¢>，解得：10xa−，令()0fx，解得：1xa−，故()fx在10,

a−递增，在1,a−+递减，综上：当0a时，()fx在()0,+上单调递增，当0a时，()fx在10,a−递增，在1,a−+递减.【题组三导函数利用判别式求根】1．（2

021·全国高二课时练习）设函数f(x)＝alnx＋11xx−+，其中a为常数.（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性.【答案】（1）x－2y－1＝0；（2）答案见解析

.【解析】(1)由题意知a＝0时，()11xfxx−=+，x∈(0，＋∞).此时f′(x)＝22(1)x+.可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋22(1)x+＝22(22)(1)axaxaxx++++.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋

2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当12a=−时，0=，f′(x)＝221(1)2(1)xxx−−+≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当12a−时，<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(

x)在(0，＋∞)上单调递减.③当－102a时，>0.设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝(1)21aaa−+++，x2＝(1)21aa−+−+，由x1＝121aaa+−+−＝22121aaaa++−+−>0，所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)

<0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(

x)在(0，＋∞)上单调递增；当12a−时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当102a−时，函数f(x)在(1)21(0,)aaa−+++，(1)21(,)aaa−+−++上单调递减，在(1)21(1)21(,aaaaaa−+++−+−+上单调递增

.2（2021·全国湖北）设函数1()ln()fxxaxaRx=−−讨论()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】()fx定义域为()0,+，()22211'1axaxfxxxx−+=+−=，令()221,4gxxaxa=−+=−，①当22a−时，0，()'0fx，故()

fx在()0,+上单调递增，②当2a−时，，()0gx=的两根都小于零，在()0,+上，()'0fx，故()fx在()0,+上单调递增，③当2a时，，()0gx=的两根为221244,22aaaaxx−−+−==，当10xx时，()'0fx；当1

2xxx时，()'0fx；当2xx时，()'0fx；故()fx分别在()()120,,,xx+上单调递增，在()12,xx上单调递减.3（2021·广东湛江）已知函数2()ln2xfxxkx=+−，其中Rk

.（Ⅰ）若曲线()yfx=在1x=处的切线与直线2xy+=平行，求实数k的值；（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性；【答案】（Ⅰ）3k=；（Ⅱ）答案见解析；【解析】（Ⅰ）()1()0fxxkxx=+−，∵曲线

()yfx=在1x=处的切线与直线2xy+=平行，∴(1)1f=−，即21k−=−，故3k=；（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0,)+.当k2时，11()220fxxkxkkxx=+−−=−恒成立，故(

)fx在(0,)+上单调递增；②当2k时，211()xkxfxxkxx−+=+−=，令()0fx=，得210xkx−+=.∵240k=−，∴方程()0fx=有两不等实根221244,22kkkkxx−−+−==.∵120xxk+=，1210xx=，∴210xx.

令()0fx，得10xx或2xx；令()0fx，得12xxx.综上所述，当k2时，()fx在(0,)+上单调递增；当2k时，()fx在240,2kk−−上单调递增，在2244,22kkkk−−+−上单调递减

，在24,2kk+−+上单调递增.另法（常规方法）：讨论24k=−的符号.当240k=−，即22k−时，210−+xkx恒成立，则()0fx，()fx在(0,)+上递增；②当240k=−，即2k−或2k时，方程()0fx=有两不等实根12,

xx.（i）当2k−时，由12120,10xxkxx+==知120xx，则12()()()0xxxxfxx−−=恒成立，故()fx在(0,)+上递增；（ii）当2k时，由12120,10xxkxx+==知210xx，令

()0fx，得10xx或2xx；令()0fx，得12xxx.故()fx在1(0,)x、2(,)x+上递增，在12(,)xx上递减.综上，当k2时，()fx在(0,)+上单调递增；当2k时，()fx在240,2kk−−上单调递增，在2244,22kk

kk−−+−上单调递减，在24,2kk+−+上单调递增.4．（2021福建）已知函数221()ln()xfxaxaRx−=−，讨论()fx的单调性；【答案】见解析【解析】()fx的定义域

为(0,)+，1()2lnfxxaxx=−−21()2fxx=+2221axaxxx−+−=，对于2210xax−+=，28a=−，当[22,22]a−时，()0fx，则()fx在(0,)+上是增函数.当(,22)a−−时，对于0x，有()0fx，则()fx在(0

,)+上是增函数.当(22,)a+时，令()0fx，得2804aax−−或284aax+−，令()0fx，得228844aaaax−−+−，所以()fx在28(0,)4aa−−

，28(,)4aa+−+上是增函数，在2288(,)44aaaa−−+−上是减函数.综上，当(,22]a−时，()fx在(0,)+上是增函数；当(22,)a+时，()fx在28(0,)4aa−−，28(,)4aa+−+上是增函数，在2288(,)44aaaa−−+−上是减

函数.