【文档说明】2022高考数学真题分类汇编07 三角函数与解三角形【高考】.docx，共(18)页，684.379 KB，由小赞的店铺上传

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12022高考数学真题分类汇编五、三角函数与解三角形一、单选题1.（2022·全国甲（文）T5）将函数π()sin(0)3fxx=+的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（）A.16B.14C.13D.12【答案】C【解析】【分析】先由平移求

出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kk+=+Z，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx=++=++，又C关于y

轴对称，则,232kk+=+Z，解得12,3kk=+Z，又0，故当0k=时，的最小值为13.故选：C.2.（2022·全国甲（理）T11）设函数π()sin3fxx=+在区间(0,π)

恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A.513,36B.519,36C.138,63D.1319,66【答案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到3x+的取值

范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．2【详解】解：依题意可得0，因为()0,x，所以,333x++，要使函数在区间()0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx=，,33x

的图象如下所示：则5323+，解得13863，即138,63．故选：C．3.（2022·全国乙（文）T11）函数()()cos1sin1fxxxx=+++在区间0,2π

的最小值、最大值分别为（）A.ππ22−，B.3ππ22−，C.ππ222−+，D.3ππ222−+，【答案】D【解析】【分析】利用导数求得()fx的单调区间，从而判断出()fx在区间0,2π上的最小值和最大值.【详解】()()()sinsin1

cos1cosfxxxxxxx=−+++=+，所以()fx在区间π0,2和3π,2π2上()0fx，即()fx单调递增；3在区间π3π,22上()0fx，即

()fx单调递减，又()()02π2ff==，ππ222f=+，3π3π3π11222f=−++=−，所以()fx在区间0,2π上的最小值为3π2−，最大值为π22+.故选：D4.（2022·新高考Ⅰ卷T6）记函数()sin(0)4fxxb=++

的最小正周期为T．若23T，且()yfx=的图象关于点3,22中心对称，则2f=（）A.1B.32C.52D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T

，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ+=，且2b=，所以12,63kkZ=−+，所以52=，5()sin224fxx=++，所以5sin21244f=++=.故

选：A5.（2022·北京卷T5）已知函数22()cossinfxxx=−，则（）A.()fx在,26−−上单调递减B.()fx在,412−上单调递增C.()fx在0,3上单调递减D.()fx在7,412上单调递增4【答案】C【解析】【

分析】化简得出()cos2fxx=，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cossincos2fxxxx=−=.对于A选项，当26x−−时，23x−−，则()fx在,26−−

上单调递增，A错；对于B选项，当412x−时，226x−，则()fx在,412−上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则()fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当7412x

时，7226x，则()fx在7,412上不单调，D错.故选：C.6.（2022·北京卷T10）在ABC中，3,4,90ACBCC===．P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则

PAPB的取值范围是（）A.[5,3]−B.[3,5]−C.[6,4]−D.[4,6]−【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C，()3,0A，()0,4B，5因为1PC=，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos,sinPθθ，0,2，所以()3cos,sinPA=−−，()cos,4sinPB=−−，所以()()()()co

s3cos4sinsinPAPB=−−+−−22cos3cos4sinsin=−−+13cos4sin=−−()15sin=−+，其中3sin5=，4cos5=，因为()1sin1−

+，所以()415sin6−−+，即4,6PAPB−；故选：D7.（2022·浙江卷T6）为了得到函数2sin3yx=的图象，只要把函数π2sin35yx=+图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单

位长度C向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度【答案】D.6【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin3155yxx==−+，所以

把函数π2sin35yx=+图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin3yx=的图象．故选：D.二、填空题1.（2022·全国甲（文）T16）.已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD===．当ACAB取得最小值时，B

D=________．【答案】31−##1+3−【解析】【分析】设220CDBDm==，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm==，则在ABD△中，22222cos

42ABBDADBDADADBmm=+−=++，在ACD△中，22222cos444ACCDADCDADADCmm=+−=+−，所以()()()2222224421214441243424211mmmACmmABmmmmmm++−+

+−===−+++++++()1244233211mm−=−++，当且仅当311mm+=+即31m=−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m=−.故答案为：31−.72.（2022·全国甲（理）T16）已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADC

DBD===．当ACAB取得最小值时，BD=________．【答案】31−##1+3−【解析】【分析】设220CDBDm==，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBD

m==，则在ABD△中，22222cos42ABBDADBDADADBmm=+−=++，在ACD△中，22222cos444ACCDADCDADADCmm=+−=+−，所以()()()2222224421214441

243424211mmmACmmABmmmmmm++−++−===−+++++++()1244233211mm−=−++，当且仅当311mm+=+即31m=−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m=−.故答案为：3

1−.83.（2022·全国乙（理）T15）记函数()()cos(0,0π)fxx=+的最小正周期为T，若3()2fT=，9x=为()fx的零点，则的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根据()32fT=求出，再根据π9x=为函数的零点，

即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cosfxx=+，（0，0π）所以最小正周期2πT=，因为()()2π3coscos2πcos2fT=+=+==，又0π，所以π6=，即()πcos6fxx

=+，又π9x=为()fx的零点，所以ππππ,Z962kk+=+，解得39,Zkk=+，因为0，所以当0k=时min3=；故答案为：34.（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,满足sin()cos()22cossin4+++=+

，则（）A.tan()1+=B.tan()1+=−C.tan()1−=D.tan()1−=−【答案】D9【解析】【分析】由两角和差正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sincoscossincoscossinsin2co

ssinsin++−=−,即：sincoscossincoscossinsin0−++=，即：()()sincos0−+−=,所以()tan1−=−,故选：D5.（2022·新高考Ⅱ卷T9）函数()sin(2)(0π)fxx

=+的图象以2π,03中心对称，则（）A.y=()fx在5π0,12单调递减B.y=()fx在π11π,1212−有2个极值点C.直线7π6x=是一条对称轴D.直线32yx=−是一条切线【答案】AD【解析】【分

析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin033f=+=，所以4ππ3k+=，kZ，即4ππ,3kk=−+Z，又0π，所以2k=时，2π3=，故2π()sin

23fxx=+．的10对A，当5π0,12x时，2π2π3π2,332x+，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=在5π0,12上是单调递减；对B，当π11π,1212x−时，2ππ5π2,322x+

，由正弦函数sinyu=图象知()yfx=只有1个极值点，由2π3π232x+=，解得5π12x=，即5π12x=为函数的唯一极值点；对C，当7π6x=时，2π23π3x+=，7π()06f=，直线7π6x=不是对称轴；对D，由2π2cos213yx=+=

−得：2π1cos232x+=−，解得2π2π22π33xk+=+或2π4π22π,33xkk+=+Z,从而得：πxk=或ππ,3xkk=+Z,所以函数()yfx=在点30,2处的切线斜率为02π2co

s13xky====−，切线方程为：3(0)2yx−=−−即32yx=−．故选：AD．6.（2022·北京卷T13）若函数()sin3cosfxAxx=−的一个零点为3，则A=________；12f=___

_____．【答案】①.1②.2−【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为π()2sin()3fxx=−，代入自变量π12x=，计算即可.11【详解】∵π33()0322fA=−=，∴1A=∴π()sin3cos2sin()3fxxxx=−=−ππππ()2si

n()2sin2121234f=−=−=−故答案为：1，2−7.（2022·浙江卷T11）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是

222222142cabSca+−=−，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2abc===，则该三角形的面积S=___________．

【答案】234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为222222142cabSca+−=−，所以242312342442S+−=−=．故答案为：234.8.（202

2·浙江卷T13）若3sinsin10,2−=+=，则sin=__________，cos2=_________．【答案】①.31010②.45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式

关系，再利用辅助角公式化简成正弦型12函数方程，可求出，接下来再求．【详解】2+=，∴sincos=，即3sincos10−=，即3101010sincos101010−=

，令10sin10=，310cos10=，则()10sin10−=，∴22kkZ−=+，，即22k=++，∴310sinsin2cos210k=++==，则224cos22cos12sin15=−=−=

．故答案为：31010；45．三、解答题1.（2022·全国乙（文）T17）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知()()sinsinsinsinCABBCA−=−．（1）若2AB=，求C；（2）证明：2222abc=+【答案】（1）5π8；（

2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，()sinsinCCA=−，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sinsincoscossinsinsin

coscossinCABABBCACA−=−，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由2AB=，()()sinsinsinsinCABBCA−=−可得，()sinsinsinsinCBBCA=−，而π02B，所以()sin0,1B，即有()sinsin0CCA=−，而

130π,0πCCA−，显然CCA−，所以，πCCA+−=，而2AB=，πABC++=，所以5π8C=．【小问2详解】由()()sinsinsinsinCABBCA−=−可得，()()sinsincoscossinsinsincoscossinCABABBCACA−=−，再

由正弦定理可得，coscoscoscosacBbcAbcAabC−=−，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222acbbcabcaabc+−−+−=+−−+−，化简得：2222a

bc=+，故原等式成立．2.（2022·全国乙（理）T17）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA−=−．（1）证明：2222abc=+；（2）若255,cos31aA==，求ABC的周长．【

答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得bc+，即可得解.【小问1详解】证明：因为()()sinsinsinsinCABBCA−=−，所以sinsincos

sinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC−=−，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab+−+−+−−=−，即()22222222222acbabcbca+−+−−

+−=−，14所以2222abc=+；【小问2详解】解：因为255,cos31aA==，由（1）得2250bc+=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，则50502531bc−=，所以312bc=，故()2222503181bcbcbc+=++=+

=，所以9bc+=，所以ABC的周长为14abc++=.3.（2022·新高考Ⅰ卷T18）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=++．（1）若23C=，求B；（2）求

222abc+的最小值．【答案】（1）π6；（2）425−．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB=++化成()cossinABB+=，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB=+，π22AB=−，再利用正弦定理以及

二倍角公式将222abc+化15成2224cos5cosBB+−，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB===++，即()1sincoscossi

nsincoscos2BABABABC=−=+=−=，而π02B，所以π6B=；【小问2详解】由（1）知，sincos0BC=−，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC=−=−，所以π2CB=+

，即有π22AB=−．所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB+++−==()2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB−+−==+−−=−．当且仅当22cos2B=时取等号，所

以222abc+的最小值为425−．4.（2022·新高考Ⅱ卷T18）记ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB−+==．（1）求A

BC的面积；（2）若2sinsin3AC=，求b．16【答案】（1）28（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,SSS，再由12332SSS−+=求得2222acb+−=，结合余弦定理及平方

关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC=，即可求解.【小问1详解】由题意得222212313333,,22444SaaSbSc====，则22212333334442SSSabc−+=−+=

，即2222acb+−=，由余弦定理得222cos2acbBac+−=，整理得cos1acB=，则cos0B，又1sin3B=，则2122cos133B=−=，132cos4acB==，则12sin28AB

CSacB==；【小问2详解】由正弦定理得：sinsinsinbacBAC==，则223294sinsinsinsinsin423bacacBACAC====，则3sin2bB=，31sin22bB==.5.（2022·北京卷T16）在ABC中，sin23sinCC=．（1）求C；（2）若6

b=，且ABC的面积为63，求ABC的周长．17【答案】（1）6（2）663+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】

解：因为()0,C，则sin0C，由已知可得3sin2sincosCCC=，可得3cos2C=，因此，6C=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin6322ABCSabCa===，解得43a=.由余弦定理可得22232cos48362436122c

ababC=+−=+−=，23c=，所以，ABC的周长为636abc++=+.6.（2022·浙江卷T18）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知345,cos5acC==．（1）求sinA的值；（2）若11b=，求ABC的面积．【答案】（1）55；（2）22．

【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos2abcCab+−=以及45ac=可解出a，即可由三角形面18积公式in12sSabC=求出面积．【小问1详解】由于3cos5C=，0πC，则4sin5C=．因为45ac=，

由正弦定理知4sin5sinAC=，则55sinsin45AC==．【小问2详解】因为45ac=，由余弦定理，得2222221612111355cos22225aaaabcCabaa+−−+−====，即26550aa+−=

，解得5a=，而4sin5C=，11b=，所以ABC的面积114sin51122225SabC===．