【文档说明】陕西省榆林市十校联考2023-2024学年高三上学期12月月考试题+数学（文）+含解析.docx，共(25)页，1.400 MB，由管理员店铺上传

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文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()2iiR1izaa=++实数，则=a（）A.0B.－1C.2D.－22设全集1,2,3,4,5U=，集合

A，B满足1,3,5AB=，ABU=，则（）A.2AB.4BC.U1AðD.U2Bð3.如图，已知一个三棱锥的主视图、左视图和俯视图均为斜边长为4的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A.32B.22C.323D.8234.已知非零向量

a，b满足2a=，且2π,3ab=，则2ab+的最小值为（）A.2B.3C.2D.15.已知()fx是定义域为R的偶函数，且其图像关于点()1,0对称，当0,2x时，()ππcos36fxx=+，则20232f=

（）A.12B.12−C.32D.32−6.已知平面直角坐标系内的动点(),Pxy满足2201xyxyy+−−，则P满足0xy+的概率为（）A.49B.512C.916D.9257已知抛物线1C：24yx=，2C

：()220ypxp=−，若直线l：1yx=−与1C交于点A，B，且与2C是..交于点P，Q，且ABPQ=，则p=（）A.1B.2C.4D.68.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a=，1b=且cos2cosBA=，则ABC的面积S=（

）A.1B.32C.22D.129.已知函数()12exfxxax−=+−在()0,+的最小值为－1，则=a（）A.2eB.3C.eD.110.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线

在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数()2sin0yx=图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为12，则的值为（）A.36B.33C.3D.211.已知A，B是圆C：()()2333xy−+−=的两点，且AB

O是正三角形，则直线AB的方程为（）A.3430xy+−=B.xy+−=3530C.3330xy+−=D.3330xy++=12.已知函数()elnafxxxa=++()Ra，过坐标原点O作曲线()yfx=的切线l，切点为A，过A且与l垂

直的直线1l交x轴于点B，则OAB面积的取值范围是（）A.)e1,++B.)2e,+C.)2e,+D.())2e1,++二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______.14.已知某圆

台的上底面圆心为1O，半径为r，下底面圆心为2O，半径为2r，高为h.若该圆台的外接球球心为O，且122OOOO=，则hr=______.15.若双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P是其右支上

的动点，1PF与其左支交于点Q.若存在P，使得21PFQFPQ+=，则C的离心率的取值范围为______.16.已知O为坐标原点，点()10,0A，P为圆()22124xy+−=上一点，则POPA的最大值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结果显示，顾客的满意率为80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占60%，对服务

员的服务态度不满意的占40%.（1）若在电话回访的所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有240人，求此次电话回访的顾客总数；（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中

至少一人被选中的概率.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是等腰梯形，//ABCD，PCD是正三角形，已知4AB=，2ADBCCD===，10PB=.（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD；（2）求点B到平面PAD的

距离.19.已知等比数列na公比0q，且1q，首项11a=，前n项和为nS.（1）若2q¹，且2nnSa−为定值，求q的值；（2）若()*112nnnSaan+++N对任意2n恒成立，求q的取值范围.20.已

知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点为()1,0F，左顶点为A.过点F且不与x轴重合的直线l与C交于P，Q两点（P在x轴上方），直线AP交直线1l：4x=于点M.当P的横坐标为27−时，的157PF=.（1）求C的标准方程；（2）若12PQFMPFQF=，求PMP

F的值.21.已知()()()211e22xfxxaxaxaa=−−−++R.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个极值点1x，2x，设()()()12gafxfx=−，且不等式()()0gatt的解集为()12,aa

，证明：120aa+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为π2sin3

=+.（1）以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求圆C的直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线πsin+=−46距离的最小值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知正数,,abc满足2112abc++=.（1）若2a=，求bc+最小值；（2）证明：11132

24abacbc+++++.的文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()2iiR1izaa=++是实数，则=a（）A.0B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法化简复数

，根据z是实数求出的值【详解】因为()()()()2i1i2iiiii111i1i1i1izaaaa−=+=+=++=++++−是实数，所以1a=−.故选：B2.设全集1,2,3,4,5U=，集合A，B满足1,3,5AB=，ABU=，则（）A.2AB.4B

C.U1AðD.U2Bð【答案】C【解析】【分析】由集合的交并补运算的定义求解即可.【详解】由题意，若13,5A=,，则2A，故A错误；若1,3,5B=，则4B，故B错误；因为1A，故U1Að，故C正确；若1,3,5B=，则U2Bð

，故D错误.故选：C.3.如图，已知一个三棱锥的主视图、左视图和俯视图均为斜边长为4的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A.32B.22C.323D.823【答案】D【解析】【分析】根据三视图可以画出该几何体的直观图,

可得一条侧棱与底面垂直，底面是直角三角形，得四面体的高与底面积，计算四面体的体积.【详解】知直角边长为22，所以体积()3118222323V==.故选：D4.已知非零向量a，b满足2a=，且2π,3ab=，则2ab+的最小值为（）A.2B.3C.2D.1

【答案】B【解析】【分析】利用向量数量积与模长关系结合二次函数的性质计算即可.【详解】因为()222222444442133abababbbb+=++=−+=−+，所以23ab+，当且仅当12b=时，等号成立.故选：B5.已知()fx是定义域为R的偶函数

，且其图像关于点()1,0对称，当0,2x时，()ππcos36fxx=+，则20232f=（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】首先分析题意结合已知信息，求出周期4T=，解出答案可得.【详解】因为()fx是定义域为R

的偶函数，且其图像关于点()1,0对称，当0,2x时，()ππcos36fxx=+，()()()()+−==−−202fxfx,fxfx,()()()22fxfxfx=−−=−+得出()f

x的周期4T=，所以202311π1cos22232fff=−===.故选：A.6.已知平面直角坐标系内的动点(),Pxy满足2201xyxyy+−−，则P满足0xy+的概率为（）A.49B.512C.916D.925

【答案】D【解析】【分析】利用线性规划结合几何概型计算即可.【详解】如图，可行域为ABC所围成的区域，()2,1A−−，42,33C，满足0xy+的区域为AOD△，且//ODBC，易知()()0132513

AOAC−−==−−，所以0xy+的概率2925AODABCSAOPSAC===.故选：D7.已知抛物线1C：24yx=，2C：()220ypxp=−，若直线l：1yx=−与1C交于点A，B，且与2C交于点P，

Q，且ABPQ=，则p=（）A.1B.2C.4D.6【答案】C【解析】【分析】分别将直线l与抛物线1C，2C联立，要使ABPQ=，只需ABPQyyyy−=−，整理解出即可.【详解】结合题意：要使ABPQ=，即221111PQAByyyykk+−=+−，只需满足ABPQyyyy−=

−直线l与抛物线1C联立，241yxyx==−，消去x，整理得2440yy−−=，所以161642AByy−=+=，直线l与抛物线2C联立，221ypxyx=−=−，消去x，整理得2220ypyp++=，所以24842PQyypp−=−=，解得4p=.故选:C

.8.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a=，1b=且cos2cosBA=，则ABC的面积S=（）A.1B.32C.22D.12【答案】A【解析】.【分析】根据同角平方和关系可得5sin5B=，进而利用诱导公式即可得π2AB+=，即可求解，或者利用二倍角公式，

结合三角函数的性质可得22πAB+=，进而可求解.【详解】方法1：因为2ab=，所以sin2sinAB=，又cos2cosBA=，所以222222cos1sinsincos4sin4sin144BBAABB−+=+=+=，由

于()0,πB，解得5sin5B=，则25sin2sin5AB==，由cos2cosBA=可得,BA均为锐角，所以25cos5B=，则25cossin5BA==，所以π2AB+=，即π2C=，所以12112S==.方法2：因为2ab=，所以sin2s

inAB=，又cos2cosBA=，故,BA均为锐角，所以2sincos2sincosAABB=，即sin2sin2AB=，因为ab¹，故AB，且()()20,π,20,πBA,()220,2π,BA+所以22πAB+=，则π2AB+=，故π2C=，12ABCabS==.故选：A9

.已知函数()12exfxxax−=+−在()0,+的最小值为－1，则=a（）A.2eB.3C.eD.1【答案】B【解析】【分析】首先分析题意，可知12e1xxax−+−−恒成立，再设()()1e10xhxxxxx−=++，解出1x=，求出()()min13hxh==，即3

a=.【详解】由题意可知，12e1xxax−+−−恒成立，且存在()0,x+，使得等号成立，所以1e1xaxxx−++恒成立，且存在()0,x+，使得等号成立，设()()1e10xhxxxxx−=++，则()()()()1122221e11e1xxxxxxhxxxx−

−−++−==−+，令()0hx=，解得1x=，()0,1x时，()0hx；()1,x+时，()0hx所以()hx在区间()0,1单调递减，在()1,+单调递增，易知()()min13hxh==，即3a=.故选：B.10.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴A

C为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数()2sin0yx=图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为12，则

的值为（）A.36B.33C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，以及椭圆的几何性质，利用勾股定理列出方程，即可求解.【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数()2sin0yx=图像的一部

分，可得4AB=，且2πT=，所以圆柱的底面直径22r=，设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为12，可得232braAC==，所以4433rAC==，由勾股定理得22416163+=，解得36=.故选：A.11.已知A，B是圆C：()()2333xy−+

−=的两点，且ABO是正三角形，则直线AB的方程为（）A3430xy+−=B.xy+−=3530.C.3330xy+−=D.3330xy++=【答案】C【解析】【分析】结合图形，先判断出切线与原点与圆心连线的夹角为π6，进而得到,AB两点恰为切点，再应用点到

线的距离即可求解.【详解】设()3,3C是圆的圆心，||OC=+=223323，由题意可知，圆与x轴相切于D点，则cosODCODOC===33223，又(,π)COD0，所以π6COD=，又ABO是正三角形，则,AB两点恰

为切点设D点与B点重合，由题意可知，ABOC⊥，且33OCk=，所以3ABk=−，不妨设线段AB中点为H，则||||cosOHOBCOD===333322，设直线AB：3yxb=−+，即30xyb+−=，则||||||bbOH+−===+2233221300

3，则33b=或33b=−，结合图形知33b=−时与圆没有交点，故舍去，则33b=，所以直线AB的方程为3330xy+−=.故选：C12.已知函数()elnafxxxa=++()Ra，过坐标原点O作曲线()yfx=的切线l，切点为A，过A且与l垂

直的直线1l交x轴于点B，则OAB面积的取值范围是（）A.)e1,++B.)2e,+C.)2e,+D.())2e1,++【答案】D【解析】【分析】先设出切点()()00,xfx，求出()0fx，根据点斜式写出切线l方程，根据切线l过

原点求出切点坐标和直线l的斜率；再根据已知条件求出直线1l的方程，进一步求出点B坐标；最后根据三角形面积公式表示出OAB面积，利用基本不等式求解即可.【详解】因为()elnafxxxa=++，所以()1e

afxx=+.设切点A为()()00,xfx，则()001eafxx=+，()000elnafxxxa=++.所以切线l方程为()00001eelnaayxxxxax=+−+++.因为切线l过坐标原点O，所以将()0,0代入切线方程，整

理得0ln10xa+−=，解得：10eax−=.所以()110eelnee1e1aaafxaaa−−=++=+−+=+，则点()1e,e1aA−+，11011eeeeeaaaalakx−−=+=+=+.因为直线1l过A且与直线l垂直，所以111eelaak−=−+，则直线1l的方

程为()111ee1eeaaayx−−=−−+++.令0y=，解得()()111ee1eeee2eeeaaaaax−−=+++=+++，所以点B坐标为1ee2e0eeaa+++，.所以()111ee1e2e22e

eaOABAaSyOB==++++.因()1e1ee2e2e2e2e1eeeeaaaa+++++=+，当且仅当1ee2eeeaa++=，即e+1eea=

时，等号成立，所以()()()21e12e1e12OABS++=+.故选：D【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于：先利用导数的几何意义解决过原点的曲线切线方程问题；再根据平面两直线垂直得出直线1l的方程，进而求出点B坐标；最后表示出OAB面积，利用基本不

等式求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______.【答案】45##0.8【解析】【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据方差的公式计算【详解】因为15141416155a++++=，

所以16a=，所以21111455s+++==.故答案为：4514.已知某圆台的上底面圆心为1O，半径为r，下底面圆心为2O，半径为2r，高为h.若该圆台的外接球球心为O，且122OOOO=，则hr=______.【答案】3【解析】

【分析】根据圆台与球的特征计算即可.【详解】因为122OOOO=，所以122,33hhOOOO==，所以()22222233hhrr+=+,解之得22333hhrr==.故答案为：3为15.若双曲线C：()

222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P是其右支上的动点，1PF与其左支交于点Q.若存在P，使得21PFQFPQ+=，则C的离心率的取值范围为______.【答案】(1,2【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合1QFca−即可求解

.【详解】因为21PFQFPQ+=，且122PFPF−=，所以()11122PFPQQFQFa−−==，所以1QFa=，由于1QFca−，所以caa−，解得2cea=，所以(1,2e.故答案为：(1,216.已知O为坐标原点，点()10,0A，

P为圆()22124xy+−=上一点，则POPA的最大值为______.【答案】200【解析】【分析】首先分析题意，方法一过O作OHPA⊥于H，在过P作圆1O的一条切线，最后通过图像，求出21max25200PO−=.方法二设出()2cos,122sinP+通过化简，得出POPA的最大值为

200.【详解】方法1：过O作OHPA⊥于H，则cosPOPAPOPAOPAPHPA==，且易知H在以线段OA为直径的圆上，设该圆的圆心为1O，则()15,0O，过P作圆1O的一条切线，切点为B，则

222211125PHPAPBPOOBPO==−=−，故当1PO的值最大时，POPA的值最大.记圆()22124xy+−=的圆心为2O，其半径2r=，则由几何关系可知22112max125215POO

Or=+=++=，故POPA的值最大为21max25200PO−=方法2：设()2cos,122sinP+，则()()2cos,122sin102cos,122sinPOPA=−−−−−−()224cos20cos14448sin4sin148412sin5cos

=−+++=+−()14852sin=++，故当()sin1+=时，POPA的最大值为200.故答案为：200.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答

.（一）必考题：共60分.17.某酒店为了调查入住宾客对该酒店服务的满意率，对一个月来曾入住过的顾客进行电话回访，回访结果显示，顾客的满意率为80%.在不满意的顾客中，对住宿环境不满意的占60%，对服务员的服务态度不满意的占40%.（1）若在电话回访的

所有顾客中，对住宿环境不满意的顾客共有240人，求此次电话回访的顾客总数；（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顾客中，随机选择两名进行回访，求甲、乙两人中至少一人被选中的概率.【答案】（1）2000人（2）710【解析】【分析】（1）利用频率、频数

与样本容量的关系求解；（2）利用古典概率模型求解.【小问1详解】住宿环境不满意的顾客在所有顾客中所占的比例为(180%)60%12%−=，所以回访的顾客总数为100240200012=人；【小问2详解】设甲、乙两人中至少一人被选中为

事件A，由题意可知，甲乙两人都未被选中的概率为2325C3C10=,所以()3711010PA=−=.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是等腰梯形，//ABCD，PCD是正三角形，已知4AB=，2ADBCCD===，10PB=.

（1）证明：平面PCD⊥平面ABCD；（2）求点B到平面PAD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）4155【解析】【分析】（1）分别作,CDAB的中点,EF，证得//ABCD，得到EFAB⊥，再由22

2PBPEBE=+，得到PEBE⊥，根据线面垂直的判定定理，证得PE⊥平面ABCD，进而证得平面PCD⊥平面ABCD.（2）过D作DHPA⊥于H，求得152PADS=，23ABDS=△，设点B到平面PAD的距

离为d，结合BPADPABDVV−−=，即可求解.【小问1详解】证明：分别作,CDAB的中点,EF，连接,,PEEFEB，因为,EF分别为,CDAB的中点，且四边形ABCD为等腰梯形，可得//ABCD，所以EFAB⊥，在等腰梯形ABCD中，因为4A

B=，2ADBCCD===，可得3,2EFBF==，所以227BEEFBF=+=，因为PCD是正三角形，E是CD中点，所以PECD⊥，又由2CD=，可知3PE=又因为10PB=，所以222PBPEBE=+，所以PEBE⊥，因为PECD⊥，CDBEE=，且,CD

BE平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，又因为PE平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD.【小问2详解】解：由（1）知，PECD⊥，且E为CD的中点，可得10PAPB==，过D作DHPA⊥于H，因为2PDAD==，则H为PA的中点，且221062()

22DH=−=，所以11615102222PADSPADH===，又由143232ABDS==，所以11233233PABDABDVSPE−===，设点B到平面PAD的距离为d，则123BPADPABDPADVVSd−−

===，解得4155d=，所以点B到平面PAD的距离为4155.19.已知等比数列na的公比0q，且1q，首项11a=，前n项和为nS.（1）若2q¹，且2nnSa−为定值，求q的值；（2）若()*112nnnSaan+++N对任意2n恒成立，

求q的取值范围.【答案】（1）12（2）()0,1【解析】【分析】（1）由等比数列前n项和公式、等比数列通项公式运算变形即可得解.（2）对公比q进行分类讨论即可，结合等比数列前n项和公式进行适当放缩比较即可得解.【小问1详解】易知()

111111111111221212nnnnnnnnaqqSqqqqaaqaqqqq−−−−−−−−===−−−−−−，若2q¹，且2nnSa−为定值，则当且仅当12q=时，2nnSa−为定值－1.【小问2详解】因为()1122nnnSaan+++，所

以()1111221nnnnqqqqqq+−−−+=+−，当1q时，有111122nnnnnqqqqq++−−+−−，即要满足1210nnqq−−+恒成立，当2n=时，由于()212212110nnqqqqq−−+=−+=−，这与1210nnqq−−+恒成立

矛盾.当01q时，有111122nnnnnqqqqq++−−+−−，即要满足1210nnqq−−+恒成立，当2n时，由于()1222222nnnqqqqqqq−−−=−−，故()212212110nnqqqqq−−+−+=−.综上，q的取值范围是()0,

1.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点为()1,0F，左顶点为A.过点F且不与x轴重合的直线l与C交于P，Q两点（P在x轴上方），直线AP交直线1l：4x=于点M.当P的横

坐标为27−时，157PF=.（1）求C的标准方程；（2）若12PQFMPFQF=，求PMPF的值.【答案】（1）22143xy+=（2）23PMPF=【解析】【分析】（1）根据已知条件及椭圆的定义求得a、b的值即可.（2）根据题意设出直线l，求出PFQ

F表达式，根据直线AP交直线1l：4x=于点M，与12PQFMPFQF=，求出点M坐标，进而求出PMPF的值.【小问1详解】由题意可知，1c=，即221ab=+，设()00,Pxy，则027x=−，且有220022

11xyaa+=−，所以()2220241149ayaa−=−−，又()222001yxPF+−=，整理化简有()()422249197449140aaaa−+=−−=，所以2149a=（1ac=不合题意舍去），或24a

=，所以C的标准方程为22143xy+=.【小问2详解】由题可知，直线l的斜率不为0，设l：1xmy=+，()11,Pxy，()22,Qxy，将l与C的方程联立，221143xmyxy=++=，消去x，整理得()2234690mymy++−=，所以

122634myym−+=+，122934yym−=+，则()()2212291134mPFQFyymm+=−+=+，又直线AP的方程为()()11112223yyyxxxmy=+=+++，则1164,3yMmy+，所以()(

)2222212112212114134mPQyymyyyymm+=−+=+−+=+，且211693yFMmy=++，所以()2212112169343myPQFMmmy+=+++

，所以()()2221221121129169034334mmymmym+++−=+++，整理得2116993ymy+=+，因为点P在x轴上方，所以直线AP的斜率1103ykmy=+，且10y，所以112

32ymy=+，即()4,62M，所以()()222114162PMmyy=−++−=()()22211136626222yyy−+−=−，又()()()22222221111111311

113244444PFxyxxxxx=−+=−+−=−+=−，所以()()221221162113334482yyPFmy−=−=−−=，所以2212PMPF=，即23PMPF=.21.已知()()()211e22xfxxaxaxaa=−−−++R.（1）讨论()fx的

单调性；（2）若()fx有两个极值点1x，2x，设()()()12gafxfx=−，且不等式()()0gatt的解集为()12,aa，证明：120aa+.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先分析题意

，可知()()()()ee1xxfxxaxaxa=−−+=−−，再分情况讨论a,总结出()fx的单调增区间为(),a−和()0,+，单调递减区间为(),0a；（2）通过（1），可知0a，再分析题意，设出()21e12ahaaa=−−−，证明出120aa+，进一步解析即可

得出答案.【小问1详解】易知()()()()ee1xxfxxaxaxa=−−+=−−，当0a=时，()0fx恒成立，即()fx在R上单调递增，当0a时，()0fx¢>的解集为()(),0,a−+

，()0fx的解集为()0,a，所以()fx的单调增区间为(),0−和(),a+，单调递减区间为()0,a，当0a时，()0fx¢>的解集为()(),0,a−+，()0fx的解集为(),0a，所以()fx的单调增区间为(),a−和()0,+，单调递减区间为(),0a

；【小问2详解】由（1）可知，0a，且()()()()()21210e12agafxfxfafaa=−=−=−−−，设()21e12ahaaa=−−−，则()e1ahaa=−−，()e1aha=−，令()0ha=，解得0a

=，易知()()00hah=，所以()ha单调递增，又因为()00h=，所以当0a时，()()gaha=−，当0a时，()()gaha=，由题意可知，()()12gagat==，所以()()12hahat−==，其中120aa，要证120aa+，即证明120aa−，

即证明()()12haha−，即证明()()22haha−−，即证明()()()22200hahaa+−，设()()()()21e20exxHxhxhxxx=+−=+−−，即证明()0Hx，易知()1e2exxHxx=−−，则()1e20exxH

x=+−，所以()Hx单调递增，所以()()00HxH=，所以()Hx单调递增，所以()()00HxH=，即命题得证.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为π2sin3=+.（1）以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求圆C的直角坐标方程；（2）求圆C上的点到直线πsin+=−46距离的最小值.【答案】（1）223

1122xy−+−=（2）332+【解析】【分析】应用三角恒等变换、转换公式222,cos,sinxyxy=+==及点到线的距离公式即可求解；【小问1详解】因π2sinsin3cos3=+=+，所以2s

in3cos=+，又222xy=+，cosx=，siny=，所以223xyyx+=+，整理得2231122xy−+−=；【小问2详解】因为πsinsincos+=+=−314622，所

以yx+=−38，即直线的直角坐标方程为xy++=380，又由（1）可知，圆心C的坐标为31,22，且半径1r=，为所以最小距离d++=−=++33822313213.[选修4-5：不等式选

讲]23.已知正数,,abc满足2112abc++=.（1）若2a=，求bc+的最小值；（2）证明：1113224abacbc+++++.【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到11

1bc+=，化简得到2cbbcbc+=++，结合基本不等式，即可求解；（2）根据题意，得到112421482148,,2222bcbcababacacbcabac++++++，再由88821212221123()22abacbcabacbcabca++

+++++=++−+++，即可得证.【小问1详解】解：当2a=时，可得111bc+=，所以11()()2224cbcbbcbcbcbcbc+=++=+++=，当且仅当2bc==时，等号成立，所以bc+的最小值为4.【小问2详

解】证明：因为,,Rabc，可得2,222,222bcbcababacac+++,所以112421482148,,2222bcbcababacacbcabac++++++，当且仅当2a

bc==时，等号成立，因为2112abc++=，所以88821212222abacbcabacbc++++++++++21122113()3()6abcaabc=++−++=，所以1113224abacbc+++++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号w

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