【文档说明】高考数学培优专题55讲：第36讲椭圆、双曲线、抛物线【高考】.doc，共(19)页，2.338 MB，由管理员店铺上传

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1第三十六讲椭圆双曲线抛物线A组一.选择题1.（2017年全国2卷理）若双曲线C:22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线被圆()2224xy−+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．233【答案】A【解析】圆心到渐近线0bxay=距离为2213−=，所以2

322bcaec===，故选A.2．设椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为12,FF，P是C上的点，212PFFF⊥，01230PFF=，则C的离心率为()A.36B.13C.12D.33【答案】选D.【解析】在21RtPFF中，令2||1PF=，因为01230

PFF=，所以112||2,||3PFFF==.所以1212||232||||3FFceaPFPF===+.3.(2017年天津卷理)已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条

渐近线，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得224,14,22188xyabcabc==−===−=−，选B.24．已知l是双曲线22:124xyC−=的一条渐近线，P是l上的一点，12,FF是C的两个焦点，若120PFPF=，则P到x轴的距离为A.233B.2

C.2D.263【答案】选C.【解析】12(6,0),(6,0)FF−，不妨设l的方程为2yx=，设00(,2)Pxx由21200000(6,2)(6,2)360PFPFxxxxx=−−−−−=−=得02x=，故P到x轴的距离为022x=，故

选C5.已知双曲线C：2218yx−=的左右焦点分别是1,2FF，过2F的直线l与C的左右两支分别交于,AB两点，且11AFBF=，则AB=A.22B.3C.4D.221+【答案】选C.【解析】由双曲线定义可知：21AFA

F−2a=，122BFBFa−=;两式相加得：21124AFAFBFBFa−+−=①又11AFBF=，①式可变为224AFBFa−==4即AB=45．（2017年全国3卷理）已知双曲线C：22221xyab

−=(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx=,且与椭圆221123xy+=有公共焦点，则C的方程为（）A．221810xy−=B．22145xy−=C．22154xy−=D．22143xy−=【答案】B【解析】由题意可得：3,32b

ca==，又222abc+=，解得224,5ab==，则C的方程为2145xy−=.本题选择B选项.二.填空题36.（2017年全国1卷理）已知双曲线C：22221xyab−=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双

曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。【答案】233【解析】如图所示，APMN⊥，MN为双曲线的渐近线byxa=上的点，(,0)Aa，AMANb==因为APMN⊥所

以30PAN=(,0)Aa到直线byxa=的距离22||1bAPba=+在RtPAN中，cosPAPANNA=代入计算得223ab=，即3ab=由222cab=+得2cb=所以22333cbeab===7．已知双曲线C：22221xyab−=()0,0ab的左

顶点为A，右焦点为F，点()0,Bb，且0BABF=，则双曲线C的离心率为．【答案】512+【解析】设F（c，0），又A（－a，0），由0BABF=，得：（－a，－b）（c，－b）＝0，4所以，有：2bac=，即22caac−=，化为210ccaa−−=，

可得离心率e＝512+。8.与双曲线221xy−=过一、三象限的渐近线平行且距离为2的直线方程为.【答案】20xy−=；【解析】双曲线221xy−=过一、三象限的渐近线方程为：0xy−=设直线方程为：0xyb−+=所以22b=，解得2b=三.解答题9.已知椭圆C的中

心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为()120F−，，点()2B2,在椭圆C上，直线()0ykxk=与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C的方程为22221(0)xyabab+=，因为椭圆的左焦点为()120F−，，所以224ab−=．设椭圆的右焦点为()220F，，已知点()22B,在椭圆C上，由椭圆的定义知12

2BFBFa+=，所以232242a=+=．所以22a=，从而2b=．所以椭圆C的方程为22184xy+=．解法二：设椭圆C的方程为22221(0)xyabab+=，因为椭圆的左焦点为()120F−，，所以224ab−=．①因为点()22B,在椭

圆C上，所以22421ab+=．②由①②解得，22a=，2b=．所以椭圆C的方程为22184xy+=．（Ⅱ）解法一：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为()22,0−．因为直线(0)ykxk=与椭圆22184xy+=交于两点E，F，设点()00,Exy（不妨设00x），则点()00,F

xy−−．5联立方程组22,184ykxxy=+=消去y得22812xk=+．所以022212xk=+，022212kyk=+．所以直线AE的方程为()222112kyxk=+++．因为直线AE与y轴交于点M，令0x=得222112kyk=++，即点2220,11

2kMk++．同理可得点2220,112kNk−+．假设在x轴上存在点(,0)Pt，使得MPN为直角，则0MPNP=．即22222220112112kktkk−−+=++−+，即240t−=．解得2t

=或2t=−．故存在点()2,0P或()2,0P−，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角．解法二：因为椭圆C的左端点为A，则点A的坐标为()22,0−．因为直线(0)ykxk=与椭圆22184xy+=交于

两点E，F，设点00(,)Exy，则点00(,)Fxy−−．所以直线AE的方程为()002222yyxx=++．因为直线AE与y轴交于点M，令0x=得002222yyx=+，即点00220,22yMx+．同理可得点00220,22yNx−．

假设在x轴上存在点(),0Pt，使得MPN为直角，则0MPNP=．即20000222202222yytxx+=+−，即22020808ytx+=−．（※）因为点00(,)Exy在椭圆C上，所以2200184xy+=，即220082xy−=．将22

0082xy−=代入（※）得240t−=．解得2t=或2t=−．故存在点()2,0P或()2,0P−，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角．6解法三：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为()22,0−．因为直线(0)ykxk=与椭圆22184xy+=交于两点E，F，

设点()22cos,2sinE（0），则点()22cos,2sinF−−．所以直线AE的方程为()2sin2222cos22yx=++．因为直线AE与y轴交于点M，令0x=得2sincos1y=+，即点2sin0,cos1M+．同理可得点

2sin0,cos1N−．假设在x轴上存在点(,0)Pt，使得MPN为直角，则0MPNP=．即22sin2sin0cos1cos1t−−+=+−，即240t−=．解得2t=或2t=−．故存在点()2,0P或()2,0P−，无论非零实数k怎样变化，总有M

PN为直角．10．已知椭圆2222:1(0)xyWabab+=的离心率为32，其左顶点A在圆22:16Oxy+=上。（1）求椭圆W的方程；（2）若点P为椭圆W上不同于点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q，是否存在点P，使得3PQAP=?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

解：（1）因为椭圆W的左顶点A在圆16:22=+yxO上，令0=y，得4=x，所以4=a.又离心率为23，所以23==ace，所以32=c,所以2224bac=−=,所以W的方程为221164xy+=.（2）设点),(),,(2211yxQyxP，设直线AP的方程为)4(+

=xky，与椭圆方程联立得22(4)1164ykxxy=++=,化简得到2222(14)3264160kxkxk+++−=,因为4−为方程的一个根，所以21232(4)14kxk−+−=+，

所以21241614kxk−=+所以2281||14kAPk+=+.因为圆心到直线AP的距离为2|4|1kdk=+，7所以222168||216211AQdkk=−==++,因为||||||||1||||||PQAQAPA

QAPAPAP−==−，代入得到222222228||14331113||1118114PQkkkAPkkkkk++=−=−==−+++++显然23331k−+，所以不存在直线AP，使得||3||PQAP=.11.已知

顶点为原点O，焦点在x轴上的抛物线，其内接ABC的重心是焦点F，若直线BC的方程为0204=−+yx。（1）求抛物线方程；（2）过抛物线上一动点M作抛物线切线l，又lMN⊥且交抛物线于另一点N，ME(E在M的右侧)平行于x轴，若NMEFMN=，求的值。解：（1

）设抛物线的方程为pxy22=，则其焦点为)0,2(p，),(),,(),,(332211yxCyxByxA，联立0200)80(82020422=++−==−+xpxpxyyx，∴88032

+=+pxx，24204202132pxxyy−=−+−=+，又ABC的重心为焦点F=++=−=++=230880113213211321pyyyypxxxxp代入抛物线中，解得8=p故抛物线方程为xy162=（2）

设),(00yxM，即切线8)(8:000ykxxyylMN−=+=，即8tan0ykNMEMN=−=，又4tan00−−=−=xykFMEMF，∵NMEFMEFMExyyyyyNME==−=−=−=2tan4641

6641822tan00200200，即1=。12.已知椭圆C:22221(0)xyabab+=的左右顶点分别为,AB，右焦点为F，离心率12e=，点P是椭圆C上异于,AB两点的动点，△APB的面积最大值为23．（1）求椭圆C的方

程；（2）若直线AP与直线2x=交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置8关系，并作出证明．解：（1）由题意得，2221223212ababcca==+=，解得：231abc===所以，椭圆方程为：2214

3xy+=.（2）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明：设直线AP：()2(0)ykxk=+，则：(2,4)Dk，BD的中点为M为(2,2)k联立22143(2)xyykx+==+，消去y整理得：2222(34)1616120kxkxk+++−=设()00,Pxy，

由韦达定理得：2021612234kxk−−=+，解得：2026834kxk−=+，故有：()00212234kykxk=+=+又()1,0F，所以当12k=时，31,2P，()2,2D，此时PFx⊥轴，以BD为直径的圆()()22211xy−+

=与直线PF相切．当12k时，0204=114PFykkxk=−−，所以直线PF：()24114kyxk=−−，即：224401414kkxykk−−=−−，所以点E到直线PF的距离2222842141424()114kkkkkdkkk−−−−==+−而=4BDk，即知：12dBD

=，所以以BD为直径的圆与直线PF相切B组一.选择题1.如图AB是长度为定值的平面的斜线段，点A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积是定值，则动点P的轨迹是BAP9A.圆B.椭圆C.一条

直线D.两条平行线【答案】选B.【解析】我们通过这个例题可以让学生进一步认识圆锥曲线的定义.根据已知条件ABP的面积为定值，AB是长度为定值的平面的斜线段，那么点P到直线AB的距离为定值，仅仅考虑这一点，点P应该在一个圆柱的侧面上，这个圆柱是以PA所在的

直线为轴，点P到直线AB的距离为底面半径.同时这个点又在平面上，点P的轨迹是平面与圆柱侧面的截线，依据圆锥曲线的定义，应该选B.2.如果1P，2P，…，nP是抛物线C：24yx=上的点，它们的横坐标

依次为1x，2x，…，nx，F是抛物线C的焦点，若1210nxxx+++=，则12nPFPFPF+++=（A）10n+（B）20n+（C）210n+（D）220n+【答案】选A.【解析】由抛物线的焦点为（1,0），准线为x＝－1，由抛物线

的定义，可知11||1PFx=+，22||1PFx=+，…，故12nPFPFPF+++=10n+3．设双曲线22221xyab−=的一条渐近线为2yx=−，且一个焦点与抛物线24yx=的焦点相同，则此

双曲线的方程为（）A．225514xy−=B．225514yx−=C．225514xy−=D．225514yx−=【答案】选C.【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．∴22212cbacab===+解得221545ab==4.过双曲线222

21(0,0)xyabab−=的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于,AB两点，若OAB的面积为133bc，则双曲线的离心率为（）A．52B．53C．132D．133【答案】选D【解析】.由题意，得xc=代入byxa=，得交点(,),(,)bcbcAcBcaa−，则

121323bcbcca=，整理，得133ca=，故选D．二.填空题5.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于PQ、两10点，若=PQa，APPQ⊥，则椭圆C的离心率为.【答案】25

5【解析】不妨设点P在第一象限，由对称性可得22PQaOP==，因为APPQ⊥在RtPOA中，1cos2OPPOAOA==，故60POA=，易得13(,)44Paa，代入椭圆方程得：116316122=+ba，故222255()abac==−，所以离心率552=e6．已知直线

:lykxt=+与圆：22(1)1xy++=相切且与抛物线2:4Cxy=交于不同的两点,MN，则实数t的取值范围是【答案】(,3)(0,)−−+【解析】因为直线与圆相切，所以ttkkt2111222+==++．又把直线方程代入抛物线方程并整理得0442=−−tkxx，于是由016

)2(16161622++=+=ttttk，得0t或3−t．三.解答题7.已知抛物线2:2Cypx=经过点(2,2)M，C在点M处的切线交x轴于点N，直线1l经过点N且垂直于x轴.（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线2:lx

myb=+交C于点A和B，交1l于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：2l是否过定点？请说明理由.【解析】（Ⅰ）由抛物线2:2Cypx=经过点(2,2)M，得224p=，故1p=，C的方程为22yx=在第一象限的图象对应的

函数解析式为2yx=，则12yx=故C在点M处的切线斜率为12，切线的方程为12(2)2yx−=−令0y=得2x=−，所以点N的坐标为(2,0)−故线段ON的长为211（Ⅱ）2l恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知1l的方程为2x=−，因为2l与1l相交

，故0m由2:lxmyb=+，令2x=−，得2bym+=−，故2(2,)bEm+−−设1122(,),(,)AxyBxy由22xmybyx=+=消去x得：2220ymyb−−=则122yym+=，122y

yb=−直线MA的斜率为1121112222222yyyxy−−==−+−，同理直线MB的斜率为222y+直线ME的斜率为224bm++因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以1222222

212242bbmyym++++==+++即1212121212122(4)42112()42()42yyyybyyyyyyyym++−+=+=+++++++整理得：22222bbmbm++=−+，因为2l不经过点

N，所以2b−所以222mbm−+=，即2b=故2l的方程为2xmy=+，即2l恒过定点(2,0)8．已知抛物线C：xy42=，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别交抛物线C于点1P，2P和点3P，4P，线段21PP，43PP的中点

分别记为1M，2M．（1）求21MFM面积的最小值；（2）求线段21MM的中点P满足的方程．解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为(1,0)F，设直线12PP的方程为(1)ykx=−，0k.12联立2(1)4ykxyx=−=，消去y并整理得22222(2)0kx

kxk−++=.(*)(*)关于x的一元二次方程的判别式22222[2(2)]416(1)0kkkk=−+−=+.设111(,)Pxy，222(,)Pxy，则12,xx是方程(*)的两个不等实根，经计算得21222(2)kxxk++=．设111

(,)MMMxy，则1112122222(1)MMMxxkxkykxk++===−=．类似地，设222(,)MMMxy，则2222212211221MMkxkkykk+==+==

−−．所以2222122222||(1)()1kFMkkkk+=−+=+，22222||(2)(2)2||1FMkkkk=+−=+，因此121211||||2(||)2||FMMSFMFMkk==+．因为1||2||kk+

≥，所以124FMMS≥，当且仅当1||||kk=，即1k=时，12FMMS取到最小值4．（Ⅱ）设线段12MM的中点(,)Pxy，由（1）得121222221121()(22)1221121()(2)22MMMMxxxkkkkyyykkkk=+=++=++=+=−=−+

，13消去k后得23yx=−．∴线段12MM的中点P满足的方程为23yx=−．9．已知Q为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点，42(,)33bP是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.（1）求椭圆C

的方程；（2）若直线2:()2lykxmk=+与椭圆C相较于,AB两点，M为椭圆C上任意一点，且线段OM的中点与线段AB的中点重合，求OM的取值范围。解：（1）因为(),0Fc，()0,Qb，42,33bP

，(,)FQcb=−，42(,)33bFPc=−，由题设可知0FQFP=，则2242033bcc−+=①又点P在椭圆C上，∴22232199bab+=，解得24a=，所以2224bca+==②①②联立解得，22c=，22b=，

故所求椭圆的方程为22142xy+=．（2）设,,ABM三点的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy，00(,)xy，由,AB两点在椭圆C上，则2211222224(1)24(2)xyxy+=+=，则由（1）－（2），得12121212()()2()()0xxxxyyyy+−++−

=（3）．由线段OM的中点与线段AB的中点重合，则120120(4)(5)xxxyyy+=+=．又2121yykxx−=−，即2121()yykxx−=−（6）把（4）（5）（6）代入（3）整理，得002xky=−，于是由002200224xkyxy=−+=，得220042

xy=−，202221yk=+，所以222200022||4421OMxyyk=+=−=−+．因为2||2k，所以21212k+，有221221k+，所以22||3OM，即||OM的取值范围为[2,3]．

10.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=上的动点到焦点距离的最小值为21−。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20xy−+=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点(2,0)M的直线与椭圆C相交于,AB两点，P为椭圆上一点，且满足14OAOBtOP+=（O为坐标原点）

。当25||3AB=时，求实数t的值．解：（Ⅰ）由题意知12−=−ca；又因为2111b==+，所以22a=，21b=．故椭圆C的方程为1222=+yx．（Ⅱ）设直线AB的方程为(2)ykx=−，11(,)Axy，22(,)Bxy，(,)Pxy，由22(2),1.2ykxxy=−+=得2

222(12)8820kxkxk+−+−=．422644(21)(82)0kkk=−+−，212k．2122812kxxk+=+，21228212kxxk−=+．又由352||=AB，得，352||1212=−+xx

k可得．412=k又由OPtOBOA=+，得1212(,)(,)xxyytxy++=，则21228(12)xxkxttk+==+，1212214[()4](12)yykykxxktttk+−==+−=+．故222222222(8)(4)22(12)(12)kktktk−+=++，即222

16(12)ktk=+．得，382=t，即362=tC组1.双曲线2222:1(0)xyCabab+=>>的左、右焦点分别为12,FF，渐近线分别为12,ll，点P在第一象限内且在1l上，若2122,l

PFlPF⊥∥，则该双曲线的离心率为（A）5（B）2（C）3（D）2【答案】选B．【解析】双曲线的渐近线方程为byxa=，不妨12,ll的方程分别为,bbyxyxaa==−．因为22lPF∥，所以直线2PF的方程

为()byxca=−−．由(),byxcabyxa=−−=得15点P坐标为,22cbca．由21lPF⊥，得210212lPFbcbakkcac−=−=−+，整理得，23ba=，所以2214bea=+=，所以该双曲线的离心率为

2．应选B．2.椭圆()222210xyabab+=的左右焦点分别为1F、2F，过点2F的直线与椭圆交于,AB两点，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．22B．23−C．52−D．63−【答案】选D.【

解析】设1212,FFcAFm==，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴1ABAFm==，12BFm=．由椭圆的定义可知1FAB的周长为4a，∴422amm=+，2(22)ma=−．∴22(222)AFama=−=−．∵2221212AFAF

FF+=，∴222224(22)4(21)4aac−+−=，∴2962e=−，63e=−．3.已知直线:l23yx=+被椭圆2222:1(0)xyCabab+=截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①23yx=−②21yx=+③

23yx=−−④23yx=−+A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】选C.【解析】直线23yx=−与直线l关于原点对称，直线23yx=−−与直线l关于x轴对称，23yx=−+与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7。4.直线2ykx=+与双曲线226xy−=的右支交于不同

的两点,那么k的取值范围是()A．1515(,)33-B．15(0,)3C．15(,0)3-D．15(,1)3--【答案】选D.【解析】联立2226ykxxy=+−=得22(1)4100kxkx−−−=16由题意得12120,00xxxx+即22221

640(1)04011001kkkkk+−−−−解得1513k−−二.填空题5.已知F为抛物线24yx=的焦点，(),Pxy是该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与x轴的交点，当PFPA最小时，点P的坐标为_______

______.【答案】()1,2【解析】由题可知焦半径1PFx=+，则()()2222211461PAxyxxxx=++=++=++，则2222221216441161616PFxxxxxxPAxxxxxx++++−===−+++

+++，因为点(),Pxy在抛物线上，所以0x，则244411162626xxxxx==+++++(当且仅当11xxx==即时取等号)，则12PFPA，且取最小值时1x=，此时点P的坐标为()1,2．6.△ABC中，A为

动点，B、C为定点，(,0)2aB-,(,0)2aC，且满足条件1sinsinsin2CBA-=,则动点A的轨迹方程为___.【答案】)4(1316162222axayax=−【解析】：由1sinsinsin2CBA-=,得12

cba-=,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax=−.三.解答题7.设椭圆2222:1(0)xyEabab+=>>过()()2,2,6,1MN两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭

圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,AB，且OAOB⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）因为,MNE，所以2222421,611,abab+=+=17解得228,4ab==，所以椭圆E的方程为22184xy

+=．（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为r，则直线xr=与该定圆相切，由对称性及OAOB⊥可知，此时直线OA方程为yx=，其与椭圆E交于(),rr，故22184rr+=，解得283r=，下面说明定圆228:3Oxy+=满足题意．①由上述讨论可

知，切线83x=于椭圆E交于,AB两点，满足OAOB⊥．由椭圆E与圆O均关于y轴对称可知，切线83x=−也满足题意．②当切线不与x轴垂直时，设切线方程为ykxm=+，交E于()()1122,,,AxyBxy．则圆心()0,0

O到切线的距离2831mdk==+，即()22813mk=+．由22,28ykxmxy=++=得，()222124280kxkmxm+++−=，所以()()()22222222283216412288848[8(1)4](41)0

33kmkmkmkkk=−+−=−+=−++=+，且2121222428,1212kmmxxxxkk−+=−=++．所以，()()()2222121212122812mkyykxmkxmkxxkmxxmk−+=++=+++=+．所以，()2

222222121222228188288388012121212kkmmkmkOAOBxxyykkkk+−−−−−−=+=+===++++，所以OAOB⊥．综上所述，存在定圆228:3Oxy+=，使得该圆的任意一条切线与

椭圆E恒有两个交点,AB，且OAOB⊥．8．如图，抛物线:C22xpy=(0)p的焦点为(0,1)F，取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点1P，2P，过1P，2P作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且12PQPQ⊥。

（Ⅰ）求抛物线C和圆Q的方程；（Ⅱ）过点F作直线l，与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求||||MNAB最小值。解：（Ⅰ）因为抛物线:C22xpy=(0)p的焦点为(0,1)F，所以12p=，解得2p=，所以抛物

线C的方程为24xy=。由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：222()xybr+−=，∵12PQPQ⊥，∴12ΔPQP是等腰直角三角形，不妨设1P在左侧，则1245QPP=，∴222(,)22Prbr−，代入抛物线方程有24222rbr=−。由题可知在1P，2P处圆和抛

物线相切，对抛物线24xy=求导得2xy=，FP2xOyNBAMP1Q18所以抛物线在点2P处切线的斜率为24rk=。由1245QPP=知214rk==，所以22r=，代入24222rbr=−，解得3b=。所以圆Q的方程为22(3)8xy+−=。（Ⅱ）由题知直线

l的斜率一定存在，设直线l的方程为1ykx=+。圆心(0,3)Q到直线l的距离为221dk=+，∴2221||2421ABrdk=−=−+。由241xyykx==+得22(24)10yky−++=，设11(,

)Mxy，22(,)Nxy，则21242yyk+=+，由抛物线定义知，212||24(1)MNyyk=++=+。所以221||||16(1)21MNABkk=+−+设21(1)tkt=+，则22111||||162162162()48MNABttttt=−=−=−−(1

)t所以当1t=时即0k=时，||||MNAB有最小值16.9.已知动圆C过点(2,0)A-,且与圆22:(2)64Mxy−+=相内切.（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；（2）设直线:lykxm=+（其中,)kmZ与(1)中所求轨迹交于不同两点,BD,与双曲线221412xy−=交于不同两点

,EF,问是否存在直线l，使得0DFBE+=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．解：（1）圆()642:22=+−yxM，圆心M的坐标为()0,2，半径8=R.∵RAM=4，∴点()0,2−A在圆M内.……1分设动圆C的半径为r，

圆心为C，依题意得CAr=，且rRCM−=，即AMCACM=+8.……2分∴圆心C的轨迹是中心在原点，以MA,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222=+babyax,则2,4==ca.∴12222=−=cab.

∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为1121622=+yx.(2)由=++=.11216,22yxmkxy消去y化简整理得：()0484843222=−+++mkmxxk设11(,)Bxy，22(,)Dxy，

则122834kmxxk+=−+.1()()()04844348222−+−=mkkm.①19由=−+=.1124,22yxmkxy消去y化简整理得：()01223222=−−−−mkmxxk.设()()4433,,,y

xFyxE，则24332kkmxx−=+,2()()()012342222+−+−=mkkm.②∵DFBE+=0，∴4231()()0xxxx−+−=，即1234xxxx+=+，∴2232438kkmkkm−=+−.∴02=km或2231

434kk−=+−.解得0k=或0m=.当0k=时,由①、②得3232−m，∵mZ,，∴m的值为2,3−−1−，0，13,2,;当0m=，由①、②得33−k，∵kZ,，∴1,0,1−=k.∴满足条件的直线共有9条．10.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=>>

垂直于x轴的焦点弦的弦长为655，直线220xy−+=与以原点为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.（1）求该椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线交椭圆于,AB两点，线段AB的中点为M，AB的中垂线与x轴和

y轴分别交于,DE两点．记MFD的面积为1S，OED的面积为2S．求122212SSSS+的取值范围。解：(1)2222652,5,355bcabaa====∴椭圆C的方程为22153xy+=（2）由（1）知(2,0)F若直

线AB的斜率不存在，则,MF不合题意，所以直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为(2)ykx=−并代入22153xy+=中，整理得：2222(53)10210150kxkxk+−+−=，212210253kxxk+=+，1226253kyyk−+

=+…6分∴2225232(,)5353kkMkk−++∵ABMD⊥∴1MDkk=−∴2223205315253Dkkkkxk−−+=−−+∴222253Dkxk=+即2222(,0)53kDk+∵MFDOED∴22222222122222522232()(0)||535353||

22()53kkkSMDkkkSDOkk−−+−+++===+2919(1)44k+12221212211SSSSSSSS=++36(0,)97