【文档说明】江西省南昌市新建县第一中学2020届高三第二次适应性考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(23)页，2.116 MB，由管理员店铺上传

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数学（文）试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，2121zii=+−，则复数z的虚部是（）A.32B.32iC.12iD.12【答案】D【解析】【分析】利用复数的

乘法法则将复数z化为一般形式，进而可得出复数z的虚部.【详解】2121zii=+−，()()11231222iizi−+==+，所以z的虚部是12．故选：D．【点睛】本题考查复数虚部的求解，考查了复数乘法运算的应用，考查计算能力，属于基础题.2.全集U=R，集合0

4xAxx=−，集合2log(1)2Bxx=−，则()UABð为（）A.(,0)4,5−B.(,0)(4,5]−C.(,0)[4,5]−D.(,4])(5,)−+【答案】C【解析】【分析】解分式不等式以及对数不等式，得出集

合,AB，再结合集合的运算，即可得出答案.【详解】(4)00404xxxxx−−−，解得04x214log(1)210xxx−−−，解得5x[0,4),(5,)AB==+

[0,4)(5,)AB=+()(,0)[4,5]UAB=−ð故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，涉及了解分式不等式以及对数不等式，属于基础题.3.已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C【解

析】试题分析：由题意知,ll=，,nnl⊥⊥．故选C．【考点】空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．4.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧

视图为A.B.C.D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A所示，故选A．5.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则

称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A.310B.15C.110D.120【答案】C【解析】【详解】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构

成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.考点：古典概型6.已知等差数列na中，11a=，前10项的和等于前5项的和，若70maa+=，则m=（）A.10B.9C.8D.2【答案】B【解析】

【分析】设等差数列na公差为d,再用基本量法求解即可.【详解】设等差数列na公差为d,则由题意可知111095410522adad+=+,代入11a=有1045510dd+=+,解得17d=−.又70

maa+=,即()10725m+−+=,解得9m=.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题.7.函数sinln||=+yxx在区间[3,3]−的图像大致为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析

】分析：判断()fx的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f的值，结合选项即可得出答案.详解：设()sinlnfxxx=+，当0x时，()()1sinlncosfxxxfxxx=+=+，当(0,1)x时，()0fx，即函数()fx在(0,1)上

为单调递增函数，排除B；由当1x=时，()1sin10f=，排除D；因为()()()sin()lnsinlnfxxxfxxxfx−=−+−==−+，所以函数()fx为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：

本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8.若“122x，使得2210xx−+成立”是假命

题，则实数的取值范围为（）A.(,22−B.223，C.223，−D.3=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x，使得2210xx−+成立”为假命题，所以该命题的否定

“1[,2]2x，使得2210xx−+恒成立成立”，即221xx+对于1[,2]2x恒成立，而2211122222xxxxxx+=+=（当且仅当12xx=，即22x=时取等号），即22；故选A.9.在梯形ABCD中，已知ABC

D∥,2ABDC=,点P在线段BC上，且2BPPC=,则（）A.2132APABAD=+B.1223APABAD=+C.32ADAPAB=−D.23ADAPAB=−【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求解.【详解】因为1122BCABADDCABADABADAB=−+

+=−++=−，221333BPBCADAB==−，所以2122++3333APABBPABADABABAD=−=+=，所以32ADAPAB=−.故选C.【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.10.已知变量x，y满足约束条件2240240xyxyxy+−

+−−，若222zxyx=++，则z的最小值为（）A.40B.9C.8D.72【答案】D【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，将222zxyx=++化为()2211zxy+=++，结合1z+的几何意义，即可得出答案.【详解】该不等式表示的平

面区域，如下图所示222zxyx=++可化为()2211zxy+=++，则1z+表示点(1,0)D−到该平面区域内点的距离由图可知，点D到直线2xy+=的距离即为1z+的最小值()min1232122z−−+==，即2min327122z=−=故选：D【点睛】本题主要考

查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.11.已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左、右焦点，P是双曲线E右支上一点，M是线段1FP的中点，O是坐标原点，若1OFM△周长为3ca+（c为双曲线的半

焦距），13FMO=，则双曲线E的渐近线方程为（）A.2yx=B.12yx=C.2yx=D.22yx=【答案】C【解析】【分析】从1OFM周长为3ca+，M是线段1FP的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PFPF与a

关系，求出123FPF=，用余弦定理求出,ac关系，即可求解.【详解】连接2PF，因为M是线段1FP的中点，由三角形中位线定理知21,2OMPF=2//OMPF，由双曲线定义知122PFPFa−=，因为1OFM周长为111211322

OFOMFMcPFPFca++=++=+，所以126PFPFa+=，解得124,2PFaPFa==，在12PFF中，由余弦定理得22212121212||||2cosFFPFPFPFPFFPF=+−，即()(

)()222242242cos3caaaa=+−，整理得，223ca=，所以22222bcaa=−=，所以双曲线E的渐近线方程为2yx=.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.12

.已知函数ln()1xxfxx=−+在0xx=处取得最大值，则下列选项正确的是（）A.()0012fxx=B.()0012fxx=C.()0012fxx==D.()0012fxx【答案】A【解析】【分析】先求()()2ln11xxfxx++=−+，令()ln1hxxx=−−−，则()

hx在()0,+上单调递减，分析出010,,2x使()00hx=，且()fx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，即可证明()0012fxx=.【详解】函数的定义域为()0,+，而()()2ln11xxfxx++=−+，

令()ln1hxxx=−−−，则()hx在()0,+上单调递减，且()221133110,ln2ln02222hehee−=−=−−=−，010,,2x使()00hx=，从而()fx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，()f

x在0xx=处取得最大值，00ln10xx++=，()0000000ln1ln1,12xxxxfxxx=−−=−=+.故选：A【点睛】本题主要考查了函数的导数应用，函数的单调性，函数的最值等问题.二、填空题：13.若210a=

，5log10b=，则11ab+=________.【答案】1【解析】【分析】根据对数运算与指数运算是互为逆运算，求出a，再利用换底公式求出1a与1b，进行对数运算可求.【详解】2210,log10,aa==又5log10b=，251111l

g2lg5lg101log10log10ab+=+=+==.故答案为：1【点睛】本题主要考查了指数与对数的互化，考查了对数的运算公式及换底公式，熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键.14.某公司共有3个部门，第1个部门男员工60人､女员工40人

，第2个部门男员工150人､女员工200人，第3个部门男员工240人､女员工160人.若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目，则应选取的女员工的人数为______.【答案】24【解析】【分析】根据女员工在总体中所占比例，求得抽样比，进而求得抽取校

本中女员工的人数.【详解】应选取的女员工的人数为4020016051244020016060150240++=+++++.故答案为：24.【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查数据处理能力，属于基础题.15.执行如图所示的程序框图，输出S的值是________

__．【答案】0【解析】【分析】模拟运行程序，得出该程序框图S的值会以3为周期循环出现，根据20193673=，即可得出答案.【详解】1,0tan33nS==+=22,3tan03nS==+=33,0tan03nS==+=44,0tan33nS==+=55,3tan0

3nS==+=6,0tan603nS==+=由于()tan3fnn=的周期33T==，则tan3n的值以3为周期循环出现即该程序框图S的值会以3为周期循环出现因为20193673=，所以2019n=时，0S=，此时循环终止，输出的0S=故答案为：0【点睛】本题主要考查了由程序框图计

算输出值，属于中档题.16.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为__________.【答案】64.【解析】【分析】设正四棱柱在

半球中的高为x,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于x的表达式,再利用导数分析最大值即可.【详解】设正四棱柱在半球中的高为x,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得

正四棱柱的底面边长为2223x−,正四棱柱的高为3x+,故正四棱柱的体积为()()()()2222233293Vxxxx=−+=−+.设()()()2293fxxx=−+,则()()()()()()2'22329613fxx

xxxx=−++−=−−+.因为03x,故当()'0fx=时1x=.且在()0,1上()'0fx,()fx单调递增；在()1,3上()'0fx,()fx单调递减.故()()()()max12913164fxf==−+=

故答案为：64【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值即可.属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～2

1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3c=.（1）若a，b，c成等比数列，求证：60B；（2）若1cos23A=−（A为锐角），1sin3C=

.求ABC中AB边上的高h.【答案】（1）见解析（2）563【解析】【分析】（1）由a，b，c成等比数列得2bac=，再利用余弦定理及基本不等式求出cosB的范围，从而证明60B；（2）先利用二倍角公式解1cos23A=−得6sin3A=；再由

正弦定理求得a；下面可采用种方法求解.方法一：由余弦定理求得b，再利用AB边上的高sinhbA=代入即得；方法二：先由同角的三角函数的基本关系算出cos,cosAC，进而算出sinB，再利用AB边上的高sinhaB=代入即得【详解】解：（1）证明：因为a，b，c成等比数列，所以2bac=而2222

2cos22acbacacBacac+−+−==11122acca=+−（当且仅当ac=时取等号）又因为B为三角形的内角，所以60B（2）在ABC中，因为21cos212sin3AA=−=−，所以6sin3A=.又因为3c=，1sin3C=，所以由

正弦定理sinsinacAC=，解得32a=法1：由6sin3A=，02A得3cos3A=.由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得22150bb−−=.解得5b=或3b=−（舍）所以AB边上的高656sin533hbA===.法2：由6sin3A=，02A

得3cos3A=.又因为1sin3C=，所以22cos3C=所以sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=622315333339=+=或sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=622313333339

−−=+=（舍）（或：因为323ac==，且02A，所以C为锐角，）又因为1sin3C=所以22cos3C=∴sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=622315333339=+=所以AB边上的高5356sin3293haB===.【点睛】本题主要

考查了正余弦定理的应用，同角的三角函数基本关系式，二倍角公式等知识，考查了学生综合应用公式的计算能力.18.某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量iy和月销售

单价ix(1,2,3,,6)i=数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：月销售单价x（元/件）456789月销售量y（万件）898382797467（1）若用线性回归模型拟合y与x之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线

方程分别为：ˆ4105yx=−+，ˆ453yx=+和1ˆ304yx=−+，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；（2）若用2yaxbxc=++模型拟合y与x之间的

关系，可得回归方程为20.3750.87590.25ˆyxx=−++，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R分别为0.9702和0.9524，请用2R说明哪个回归模型的拟合效果更好；（3）已知该商

品的月销售额为z（单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据：654780.91.【答案】（1）甲；（2）20.3750.87590.25ˆyxx=−++；（3）9

.77【解析】【分析】（1）根据数据知,xy负相关，排除乙，计算中心点验证排除丙得到答案.（2）2R越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524.9702，得到答案.（3）32ˆ0.3750.87590.25zxyxxx==−++，求导得到单调区间

，得到答案.【详解】（1）根据数据知,xy负相关，排除乙.4567896.56x+++++==，898382797467796y+++++==.代入验证知，丙不满足，故甲计算正确.（2）2R越大，残差平方和越小，拟合效果越好，00.9524

.9702，故选用20.3750.87590.25ˆyxx=−++更好.（3）根据题意：32ˆ0.3750.87590.25zxyxxx==−++，故297361844zxx=−++.令'0z=，则654779x−+=（舍去）或654779x+=.故当654770,

9x+时，函数单调递增，当65477,9x++时，函数单调递减.故当654779.779x+=时，商品的月销售额预报值最大.【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图，四边形ABCD为矩形，ABE和B

CF均为等腰直角三角形，且90BAEBCFDAE===，//EAFC.（1）求证：//ED平面BCF；（2）BCAB=，问是否存在，使得棱锥ABDF−的高恰好等于33BC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，1=【解析】【分析】（

1）通过证明平面//ADE平面BCF来证明//ED平面BCF；（2）设ABa=，BCb=，则=ba，利用等体积法，则ABDFFADBVV−−=三棱锥三棱锥，可得关于的方程，求解可得.【详解】解：（1）因为//ADBC，所以//A

D平面BCF因为//EAFC，所以//EA平面BCF所以平面//ADE平面BCF故//ED平面BCF（2）90,BAEAEAB=⊥，又//,//EAFCCDABCFCD⊥，,,BCCFBCCDC⊥=CF⊥平面ABCD，设ABa=，BCb=，则=b

a在矩形ABCD和BCF中，易得2221BDDFaba==+=+，2BFb=所以在BDF中，BF边上的高2222221111222hDFBFabba=−=+−=+又21122ABDSaba==所以，由等体积法得222

2111313212222323abbabab=+=+即223+=，∴1=所以存在正实数1=，使得三棱锥ABDF−的高恰好等于33BC.【点睛】本题主要考查了直线与平面的平行，棱锥体积的计算，采用了等体积法求解

参数，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.20.已知1F，2F是椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点，离心率为12，M，N是平面内两点，满足122FFFM=，线段1NF的中点P在椭圆上，1FMN△周长

为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若过(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B，求OAOB（其中O为坐标原点）的取值范围．【答案】（1）22143xy+=（2）133,4−【解析】【分析】（1）连接2PF，根据中位

线定理结合椭圆的定义得出4412ac+=，再由椭圆的性质，即可得出椭圆C的方程；（2）当直线l的斜率不存在时，将直线l的方程代入椭圆方程，得出3OAOB=−，当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程并代入椭圆方程，结合

韦达定理以及向量的数量积公式，得出225343OOBkA=−++，根据k的范围，即可得出OAOB的取值范围．【详解】（1）连接2PF，∵122FFFM=∴2F是线段1FM的中点∵P是线段1FN的中点，∴2//PFMN，且21=2PFMN由椭圆的定义知，122PFPFa

+=∴1FMN△周长为，()11121224412NFMNFMFPPFFFac++=++=+=由离心率为12知，12ca=，解得2a=，1c=，∴2223bac=−=∴椭圆C的方程为22143xy+=．

（2）当直线l的斜率不存在时，直线0x=代入椭圆方程22143xy+=，解得3y=此时3OAOB=−当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx=+椭圆C的方程2234120xy+−=整理得，()22341640kxkx+++=设()11,Axy，()22,Bxy，则

1221634kxxk+=−+，122434xxk=+()()222(16)443448410kkk=−+=−，解得214k∴()()()2121212122224yykxkxkxxkxx=++=+++2222224321212434

3434kkkkkk−=−+=+++22212122222241212161212162533434344343kkkOAOBxxyykkkkk−−−=+=+==−=−++++++∵214k，∴2434k+，∴2110434k+，∴2

25250434k+∴1334OAOB−综上所述，OAOB的取值范围为133,4−．【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程，椭圆中的向量的点乘问题，属于中档题.21.已知函数()lnfxxax=−.（1）

若函数()fx在定义域上的最大值为1，求实数a的值；（2）设函数()(2)()xhxxefx=−+，当1a时，()hxb对任意的1,13x恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值.【答案】（1）2ae−=（2）3−.【解析】【分析】（1）先对函数

求导，得到()1fxax=−，分别讨论0a，0a两种情况，判定函数单调性，根据函数的最大值，即可求出结果；（2）先由题意，将问题转化为：得到()2lnxbxexax−+−，对任意的1,13x恒成立；再由()()2ln2lnxxxexaxxexx−+−−+−，转化为

：只需()2lnxbxexx−+−对任意的1,13x恒成立即可，令()()2lnxgxxexx=−+−，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，函数的定义域为()0,+，()

1fxax=−当0a时，()10fxax=−，()fx在区间()0,+上单调递增，∴()fx在定义域上无最大值．当0a时，令()10fxax=−=，1xa=，由()0fx，得10,xa，()0fx，1,xa+，()fx的单调递增区间为10,a

，()fx的单调递减区间为1,a+，所以函数max2111()()=()ln11fxfxfaaae==−==极大值，即2ae−=为所求．（2）由()()2lnxhxxexax=−+−，因为()hxb对任意的1,1

3x恒成立，即()2lnxbxexax−+−，当1a时，对任意的1,13x恒成立，∵1a，0x．∴()()2ln2lnxxxexaxxexx−+−−+−，只需()2lnxbxexx−+−对任意的1,13x恒成立即可．构造函数

()()2lnxgxxexx=−+−，()()()11111xxgxxexexx=−+−=−−，∵1,13x，∴10x−，且()1xtxex=−单调递增，∵121202te=−

，()110te=−，∴一定存在唯一的01,12x，使得()00tx=即001xex=，00lnxx=−．∴()gx单调递增区间为01,3x，单调递减区间为()0,1x．∴(

)()()()000000max012ln124,3xgxgxxexxxx==−+−=−+−−，∴b的最小整数值为3−．【点睛】本题主要考查已知函数最值求参数的问题，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.（二

）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2247cos2=−，直线l过点(1,0)，

倾斜角为34.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的参数方程的标准形式；（2）已知直线l交曲线C于,AB两点，求||AB.【答案】（1）22143xy+=，21222xtyt=−=（t是参数）（2）247【解析】【分析】（1）将曲线C用二倍角余弦整

理，222,cos,sinxyxy=+==代入，即可求出其直角坐标方程；根据条件，写出直线参数方程的标准形式；（2）将直线参数方程的标准形式代入椭圆方程，利用直线参数的几何意义，结合根与系数关系，即可求出结论.【详解】（1）由2247cos2=−得，222227cossin240

−+−=，将222,cos,sinxyxy=+==代入上式整理得22143xy+=，∴曲线C的直角坐标方程为22143xy+=，由题知直线l的标准参数方程为21222xtyt=−=（t是参数）

.（2）设直线l与曲线C交点,AB对应的参数分别为12,tt，将直线l的标准参数方程为21222xtyt=−=（t是参数）代入曲线C方程22143xy+=整理得，2762180tt−−=，12126218,77tttt+==−，()2212121262

182444777ABtttttt=−=+−=−−=.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查应用直线参数标准方程的几何意义求相交弦长，考查计算求解能力，属于中档题.[选修4－5：不等式选讲]23.已知函数()21fxxx=−−−，

函数()421gxxxm=−−−+−．（1）当()0fx时，求实数x的取值范围；（2）当()gx与()fx的图象有公共点时，求实数m的取值范围．【答案】（1）1,2−；（2）)1,+．【解析】【分析】（1）去绝对值，转化为分段

函数，解不等式即可；（2）函数()ygx=与()yfx=的图象有公共点，则方程()()fxgx=有解，利用参变量分离法得出224mxx=−+−有解，利用绝对值三角不等式可求得m的取值范围.【详解】（1）当()0fx时，即21xx

−+.当2x时，则21xx−+，此时x；当2x时，则21xx−+，解得12x，此时12x.综上所述，实数x的取值范围为1,2−；（2）因为函数()421gxxxm=−−−+−与函数()yfx=的图象有公共点，则42121xxmxx−−−+−=−−−有

解．即224mxx=−+−有解，由绝对值三角不等式得()24242xxxx−+−−−−=，所以22m，m1．所以当()ygx=与()yfx=的图象有公共点时，实数m的取值范围为)1,+．【点睛】本题考查解绝对值不等式，以及函数图象有交点的问题，考查绝对值

三角不等式以及分类讨论思想的应用，属于中档题．