【文档说明】江西省南昌市新建县第一中学2020届高三第二次适应性考试数学(文)试题【精准解析】.doc,共(23)页,2.116 MB,由管理员店铺上传
转载请保留链接:https://www.doc5u.com/view-d6b2b85710bfb72e4ed9c04a1eecc723.html
以下为本文档部分文字说明:
数学(文)试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位,2121zii=+−,则复数z的虚部是()A.32B.32iC.12iD.12【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数z化为一般形式,进而可得出复数z的虚
部.【详解】2121zii=+−,()()11231222iizi−+==+,所以z的虚部是12.故选:D.【点睛】本题考查复数虚部的求解,考查了复数乘法运算的应用,考查计算能力,属于基础题.2.全集U=R,集合04xAxx=
−,集合2log(1)2Bxx=−,则()UABð为()A.(,0)4,5−B.(,0)(4,5]−C.(,0)[4,5]−D.(,4])(5,)−+【答案】C【解析】【分析】解分式不等式以及对数不等式,得出集合,AB,再结合集合的运算
,即可得出答案.【详解】(4)00404xxxxx−−−,解得04x214log(1)210xxx−−−,解得5x[0,4),(5,)AB==+[0,4)(5,)A
B=+()(,0)[4,5]UAB=−ð故选:C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,涉及了解分式不等式以及对数不等式,属于基础题.3.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C
【解析】试题分析:由题意知,ll=,,nnl⊥⊥.故选C.【考点】空间点、线、面的位置关系.【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题,一般是借助长方体(或正方体),能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系.4.已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图
所示,则该几何体的侧视图为A.B.C.D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知,则该几何体P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥面ABCD,其直观图如图所示,由三视图知识知,其侧视图如A所示,故选A.5.如果3个正整数
可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120【答案】C【解析】【详解】试题分析:从1,2
,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率为110,故选C.考点:古典概型6.已知等差数列na中,11a=,前10项的和等于前5项的和,若70maa+=,则m=()A.10B.9C
.8D.2【答案】B【解析】【分析】设等差数列na公差为d,再用基本量法求解即可.【详解】设等差数列na公差为d,则由题意可知111095410522adad+=+,代入11a=有1045510dd+=+,解得17d=−.又70maa+=,即()10725m+−+
=,解得9m=.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量计算,同时也考查了等差数列的求和公式.属于基础题.7.函数sinln||=+yxx在区间[3,3]−的图像大致为().A.B.C.D.【答案】A【解析】分析:判断()fx的奇偶性,在(0,1)上的单调性,计算()1f的值,结合选项即可
得出答案.详解:设()sinlnfxxx=+,当0x时,()()1sinlncosfxxxfxxx=+=+,当(0,1)x时,()0fx,即函数()fx在(0,1)上为单调递增函数,排除B;由当1x=时,()1sin10f=,排除D;因为()(
)()sin()lnsinlnfxxxfxxxfx−=−+−==−+,所以函数()fx为非奇非偶函数,排除C,故选A.点睛:本题主要考查了函数图象的识别,其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用,试题有一定综合性,属于中档试题,着重
考查了分析问题和解答问题的能力.8.若“122x,使得2210xx−+成立”是假命题,则实数的取值范围为()A.(,22−B.223,C.223,−D.3=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x,使得221
0xx−+成立”为假命题,所以该命题的否定“1[,2]2x,使得2210xx−+恒成立成立”,即221xx+对于1[,2]2x恒成立,而2211122222xxxxxx+=+=(当且仅当12xx
=,即22x=时取等号),即22;故选A.9.在梯形ABCD中,已知ABCD∥,2ABDC=,点P在线段BC上,且2BPPC=,则()A.2132APABAD=+B.1223APABAD=+C.32ADAPAB=−D.23ADAPAB=−【答案】C【解析】【分析】根据向量加法
的三角形法则求解.【详解】因为1122BCABADDCABADABADAB=−++=−++=−,221333BPBCADAB==−,所以2122++3333APABBPABADABABAD=−=+=,所以32ADAPAB=−.故选C.【点睛】本题考查
向量加法的三角形法则.10.已知变量x,y满足约束条件2240240xyxyxy+−+−−,若222zxyx=++,则z的最小值为()A.40B.9C.8D.72【答案】D【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域,将222zxyx=++化为()2211zxy+=++,结合
1z+的几何意义,即可得出答案.【详解】该不等式表示的平面区域,如下图所示222zxyx=++可化为()2211zxy+=++,则1z+表示点(1,0)D−到该平面区域内点的距离由图可知,点D到直线2xy+=的距离即
为1z+的最小值()min1232122z−−+==,即2min327122z=−=故选:D【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值,属于中档题.11.已知12,FF是双曲线22
22:1(0,0)xyEabab−=的左、右焦点,P是双曲线E右支上一点,M是线段1FP的中点,O是坐标原点,若1OFM△周长为3ca+(c为双曲线的半焦距),13FMO=,则双曲线E的渐近线方
程为()A.2yx=B.12yx=C.2yx=D.22yx=【答案】C【解析】【分析】从1OFM周长为3ca+,M是线段1FP的中点入手,结合双曲线的定义,将已知条件转为焦点三角形中12||,||PFPF与a关系,
求出123FPF=,用余弦定理求出,ac关系,即可求解.【详解】连接2PF,因为M是线段1FP的中点,由三角形中位线定理知21,2OMPF=2//OMPF,由双曲线定义知122PFPFa−=,因为1OFM周长为111211322OFOMFMcPFPFca++=++=+,所以1
26PFPFa+=,解得124,2PFaPFa==,在12PFF中,由余弦定理得22212121212||||2cosFFPFPFPFPFFPF=+−,即()()()222242242cos3caaaa=+−,整理得,223ca=,所以22222bcaa=−=,所以双曲线E的渐近
线方程为2yx=.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用,属于中档题.12.已知函数ln()1xxfxx=−+在0xx=处取得最大值,则下列选项
正确的是()A.()0012fxx=B.()0012fxx=C.()0012fxx==D.()0012fxx【答案】A【解析】【分析】先求()()2ln11xxfxx++=−+,令()ln1hxxx=−−−,则()hx在()0,+上单调递减,分析
出010,,2x使()00hx=,且()fx在()00,x上单调递增,在()0,x+上单调递减,即可证明()0012fxx=.【详解】函数的定义域为()0,+,而()()2ln11xxfxx++=−+,令()ln1hx
xx=−−−,则()hx在()0,+上单调递减,且()221133110,ln2ln02222hehee−=−=−−=−,010,,2x使()00hx=,从而()fx在()00,x上单调递增,在()0,x+上单调递减,()fx在0xx=处取得最大值,00ln
10xx++=,()0000000ln1ln1,12xxxxfxxx=−−=−=+.故选:A【点睛】本题主要考查了函数的导数应用,函数的单调性,函数的最值等问题.二、填空题:13.若210a=,5lo
g10b=,则11ab+=________.【答案】1【解析】【分析】根据对数运算与指数运算是互为逆运算,求出a,再利用换底公式求出1a与1b,进行对数运算可求.【详解】2210,log10,aa==又5log10b=,251111lg2lg5lg
101log10log10ab+=+=+==.故答案为:1【点睛】本题主要考查了指数与对数的互化,考查了对数的运算公式及换底公式,熟练运用换底公式化同底数的对数是进行对数运算的关键.14.某公司共有3个部门,第1个部门男员工60人、女员工40人,第2个部门
男员工150人、女员工200人,第3个部门男员工240人、女员工160人.若按性别用分层抽样的方法从这3个部门选取51人参加公司年会表演节目,则应选取的女员工的人数为______.【答案】24【解析】【分析】根据女员工在总
体中所占比例,求得抽样比,进而求得抽取校本中女员工的人数.【详解】应选取的女员工的人数为4020016051244020016060150240++=+++++.故答案为:24.【点睛】本题考查分层抽样的应用
,考查数据处理能力,属于基础题.15.执行如图所示的程序框图,输出S的值是__________.【答案】0【解析】【分析】模拟运行程序,得出该程序框图S的值会以3为周期循环出现,根据20193673=,即可得出答案.【详解】1,0tan33nS==+=22,3tan03nS
==+=33,0tan03nS==+=44,0tan33nS==+=55,3tan03nS==+=6,0tan603nS==+=由于()tan3fnn=的周期33T==,则tan3n的值以3为周期循环出现即该程序框图
S的值会以3为周期循环出现因为20193673=,所以2019n=时,0S=,此时循环终止,输出的0S=故答案为:0【点睛】本题主要考查了由程序框图计算输出值,属于中档题.16.如图所示,某几何体由底面半
径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱,且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则正四棱柱体积的最大值为__________.【答案】64.【解析】【分析】设正四棱柱在半球中的高为x,画出沿正四棱柱对角面的截面,再根据平面几何关系求出
正四棱柱的底面边长和高,进而求得正四棱柱的体积关于x的表达式,再利用导数分析最大值即可.【详解】设正四棱柱在半球中的高为x,画出沿正四棱柱对角面的截面.则易得正四棱柱的底面边长为2223x−,正四棱柱的高为3x+,故正四棱柱的体积为()()()()22222
33293Vxxxx=−+=−+.设()()()2293fxxx=−+,则()()()()()()2'22329613fxxxxxx=−++−=−−+.因为03x,故当()'0fx=时1x=.且在()
0,1上()'0fx,()fx单调递增;在()1,3上()'0fx,()fx单调递减.故()()()()max12913164fxf==−+=故答案为:64【点睛】本题主要考查了利用导数求解立体几何中的最值问题,需要根据题意设合适的线段长度,再表达出体积的关系式,求导分析函数的单调性与最值
即可.属于中档题.三、解答题:解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17.在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3c=.(1)若a,b,c成等比数列,求
证:60B;(2)若1cos23A=−(A为锐角),1sin3C=.求ABC中AB边上的高h.【答案】(1)见解析(2)563【解析】【分析】(1)由a,b,c成等比数列得2bac=,再利用余弦定理及基本不等式求出cosB的范围,从而证明60B;(2)先利用二
倍角公式解1cos23A=−得6sin3A=;再由正弦定理求得a;下面可采用种方法求解.方法一:由余弦定理求得b,再利用AB边上的高sinhbA=代入即得;方法二:先由同角的三角函数的基本关系算出cos,cosAC
,进而算出sinB,再利用AB边上的高sinhaB=代入即得【详解】解:(1)证明:因为a,b,c成等比数列,所以2bac=而22222cos22acbacacBacac+−+−==11122acca=+−(当且仅当ac=时取等号)又因为B为三角形的内角,所以60B(2)在AB
C中,因为21cos212sin3AA=−=−,所以6sin3A=.又因为3c=,1sin3C=,所以由正弦定理sinsinacAC=,解得32a=法1:由6sin3A=,02A得3cos3A=.由余弦定理2222cosabcbcA=+−,得22150bb−−=.解得5b=或3b
=−(舍)所以AB边上的高656sin533hbA===.法2:由6sin3A=,02A得3cos3A=.又因为1sin3C=,所以22cos3C=所以sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+
=622315333339=+=或sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=622313333339−−=+=(舍)(或:因为323ac==,且02A,所以C为锐角,)又因为1si
n3C=所以22cos3C=∴sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=622315333339=+=所以AB边上的高5356sin3293haB===.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,同角的三角函数基本关系式,二倍角公式等知识,考查了学
生综合应用公式的计算能力.18.某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量y(单位:万件)与月销售单价x(单位:元/件)之间的关系,对近6个月的月销售量iy和月销售单价ix(1,2,3,,6)i=数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示:月销售单价x(元/件)456
789月销售量y(万件)898382797467(1)若用线性回归模型拟合y与x之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为:ˆ4105yx=−+,ˆ453yx=+和1ˆ304yx=−+,其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统
计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正确的,并说明理由;(2)若用2yaxbxc=++模型拟合y与x之间的关系,可得回归方程为20.3750.87590.25ˆyxx=−++,经计算该模型和(1)中正确的线性回归模型
的相关指数2R分别为0.9702和0.9524,请用2R说明哪个回归模型的拟合效果更好;(3)已知该商品的月销售额为z(单位:万元),利用(2)中的结果回答问题:当月销售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?(精确到0.
01)参考数据:654780.91.【答案】(1)甲;(2)20.3750.87590.25ˆyxx=−++;(3)9.77【解析】【分析】(1)根据数据知,xy负相关,排除乙,计算中心点验证排除丙得到答案
.(2)2R越大,残差平方和越小,拟合效果越好,00.9524.9702,得到答案.(3)32ˆ0.3750.87590.25zxyxxx==−++,求导得到单调区间,得到答案.【详解】(1)根据数据知,xy负相关,排除乙
.4567896.56x+++++==,898382797467796y+++++==.代入验证知,丙不满足,故甲计算正确.(2)2R越大,残差平方和越小,拟合效果越好,00.9524.9702,故选用20.3750.87590.25ˆyxx=−++更好.(3)根据题意:32ˆ0
.3750.87590.25zxyxxx==−++,故297361844zxx=−++.令'0z=,则654779x−+=(舍去)或654779x+=.故当654770,9x+时,函数单调递增,当65477,9x++时,函
数单调递减.故当654779.779x+=时,商品的月销售额预报值最大.【点睛】本题考查了回归方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图,四边形ABCD为矩形,ABE和BCF均为等腰直角
三角形,且90BAEBCFDAE===,//EAFC.(1)求证://ED平面BCF;(2)BCAB=,问是否存在,使得棱锥ABDF−的高恰好等于33BC?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1
)见解析(2)存在,1=【解析】【分析】(1)通过证明平面//ADE平面BCF来证明//ED平面BCF;(2)设ABa=,BCb=,则=ba,利用等体积法,则ABDFFADBVV−−=三棱锥三棱锥,可得关于的方程,求解
可得.【详解】解:(1)因为//ADBC,所以//AD平面BCF因为//EAFC,所以//EA平面BCF所以平面//ADE平面BCF故//ED平面BCF(2)90,BAEAEAB=⊥,又//,//EAFCCDABCFCD⊥,,,BCCFBCCDC⊥=CF⊥平
面ABCD,设ABa=,BCb=,则=ba在矩形ABCD和BCF中,易得2221BDDFaba==+=+,2BFb=所以在BDF中,BF边上的高2222221111222hDFBFabba=−=+−=+又21122ABD
Saba==所以,由等体积法得2222111313212222323abbabab=+=+即223+=,∴1=所以存在正实数1=,使得三棱锥ABDF−的高恰好等于33BC.【点睛】本题主要考查了直线与平面的平行,棱锥体积的计算,采用了等体积法求解
参数,考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.20.已知1F,2F是椭圆C:22221(0)xyabab+=的左、右焦点,离心率为12,M,N是平面内两点,满足122FFFM=,线段1NF的中点P在椭圆上,1FMN△周长为12.(1)求椭
圆C的方程;(2)若过(0,2)的直线l与椭圆C交于A,B,求OAOB(其中O为坐标原点)的取值范围.【答案】(1)22143xy+=(2)133,4−【解析】【分析】(1)连接2PF,根据中位线定理结合椭
圆的定义得出4412ac+=,再由椭圆的性质,即可得出椭圆C的方程;(2)当直线l的斜率不存在时,将直线l的方程代入椭圆方程,得出3OAOB=−,当直线l的斜率存在时,设出直线l的方程并代入椭圆方程,结合韦达定理以及向量的数
量积公式,得出225343OOBkA=−++,根据k的范围,即可得出OAOB的取值范围.【详解】(1)连接2PF,∵122FFFM=∴2F是线段1FM的中点∵P是线段1FN的中点,∴2//PFMN,且21=2PFMN由椭圆的定义知,122PFPFa
+=∴1FMN△周长为,()11121224412NFMNFMFPPFFFac++=++=+=由离心率为12知,12ca=,解得2a=,1c=,∴2223bac=−=∴椭圆C的方程为22143xy+=.(2)当直线l的斜率不存在时,直线0x=代入椭圆方程22143xy+=,解得3y=此时
3OAOB=−当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为2ykx=+椭圆C的方程2234120xy+−=整理得,()22341640kxkx+++=设()11,Axy,()22,Bxy,则1221634kxxk+=−+,122434xxk=+()()222(16)443448410kkk=
−+=−,解得214k∴()()()2121212122224yykxkxkxxkxx=++=+++22222243212124343434kkkkkk−=−+=+++22212122222241212161212162533434344343kkkOAOBxxyykkkkk
−−−=+=+==−=−++++++∵214k,∴2434k+,∴2110434k+,∴225250434k+∴1334OAOB−综上所述,OAOB的取值范围为133,4−.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程,椭圆中的向量的点乘问题,属于中档题.
21.已知函数()lnfxxax=−.(1)若函数()fx在定义域上的最大值为1,求实数a的值;(2)设函数()(2)()xhxxefx=−+,当1a时,()hxb对任意的1,13x恒成立,求满足条件的
实数b的最小整数值.【答案】(1)2ae−=(2)3−.【解析】【分析】(1)先对函数求导,得到()1fxax=−,分别讨论0a,0a两种情况,判定函数单调性,根据函数的最大值,即可求出结果;(2)先由题意,将问题转化为:得到()2lnxbxexax−
+−,对任意的1,13x恒成立;再由()()2ln2lnxxxexaxxexx−+−−+−,转化为:只需()2lnxbxexx−+−对任意的1,13x恒成立即可,令()()2lnxgxxexx=−+−,用导数的方法求其最大值,即可得
出结果.【详解】(1)由题意,函数的定义域为()0,+,()1fxax=−当0a时,()10fxax=−,()fx在区间()0,+上单调递增,∴()fx在定义域上无最大值.当0a时,令()10fxax=−=,1xa=,由()0fx,得10
,xa,()0fx,1,xa+,()fx的单调递增区间为10,a,()fx的单调递减区间为1,a+,所以函数max2111()()=()ln11fxfxfaaae
==−==极大值,即2ae−=为所求.(2)由()()2lnxhxxexax=−+−,因为()hxb对任意的1,13x恒成立,即()2lnxbxexax−+−,当1a时,对任意的1,13x恒成立,∵1a,0x.∴()()2ln2lnxxxexaxxex
x−+−−+−,只需()2lnxbxexx−+−对任意的1,13x恒成立即可.构造函数()()2lnxgxxexx=−+−,()()()11111xxgxxexexx=−+−=−−,∵1,13x,∴10x−,且()1xt
xex=−单调递增,∵121202te=−,()110te=−,∴一定存在唯一的01,12x,使得()00tx=即001xex=,00lnxx=−.∴()gx单调递增区间为0
1,3x,单调递减区间为()0,1x.∴()()()()000000max012ln124,3xgxgxxexxxx==−+−=−+−−,∴b的最小整数值为3−.【点睛】本题主要考查已知函数最值求参数的问题,以及导数的方法研究不等式恒成立的问题,属于常考题型.(二
)选考题:请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2247cos2=−,直线l过点(1,0),倾斜角为34.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线l的参数方程的标准形式;(2)已知直线l交曲线C于,AB两点,求||AB.【答案】(1)22143xy+=,21222xtyt=−=(t是参数)(2)2
47【解析】【分析】(1)将曲线C用二倍角余弦整理,222,cos,sinxyxy=+==代入,即可求出其直角坐标方程;根据条件,写出直线参数方程的标准形式;(2)将直线参数方程的标准形式代入椭圆方程,利用直线参数的
几何意义,结合根与系数关系,即可求出结论.【详解】(1)由2247cos2=−得,222227cossin240−+−=,将222,cos,sinxyxy=+==代入上式整理得22143xy+=,∴曲线C的直角坐标方程为22143xy+=,由题
知直线l的标准参数方程为21222xtyt=−=(t是参数).(2)设直线l与曲线C交点,AB对应的参数分别为12,tt,将直线l的标准参数方程为21222xtyt=−=(t是参数
)代入曲线C方程22143xy+=整理得,2762180tt−−=,12126218,77tttt+==−,()2212121262182444777ABtttttt=−=+−=−−=.【点睛
】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查应用直线参数标准方程的几何意义求相交弦长,考查计算求解能力,属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数()21fxxx=−−−,函数()421gxxxm=−−−+−.(1)当()0fx时,求实数x的取值范围;(
2)当()gx与()fx的图象有公共点时,求实数m的取值范围.【答案】(1)1,2−;(2))1,+.【解析】【分析】(1)去绝对值,转化为分段函数,解不等式即可;(2)函数()ygx=与()yfx=的图象有公
共点,则方程()()fxgx=有解,利用参变量分离法得出224mxx=−+−有解,利用绝对值三角不等式可求得m的取值范围.【详解】(1)当()0fx时,即21xx−+.当2x时,则21xx−+,此时x;当2x时,则21xx−+,解得12x,此
时12x.综上所述,实数x的取值范围为1,2−;(2)因为函数()421gxxxm=−−−+−与函数()yfx=的图象有公共点,则42121xxmxx−−−+−=−−−有解.即224mxx=−+−有解,由绝对值三角不等式得()24242xxxx−+−−−−=,
所以22m,m1.所以当()ygx=与()yfx=的图象有公共点时,实数m的取值范围为)1,+.【点睛】本题考查解绝对值不等式,以及函数图象有交点的问题,考查绝对值三角不等式以及分类讨论思想的应用,属于中档题.