【文档说明】2021-2022高中数学人教A版选修2-1作业：2.3.1双曲线及其标准方程 （系列三）含解析.docx，共(7)页，74.134 KB，由小赞的店铺上传

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2.3.1双曲线及其标准方程基础巩固一、选择题1．(2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支[答案]C[解析]∵|PM|－|PN|＝|MN|＝4，∴动点P的轨迹是一

条射线．2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为()A．(±5,0)B．(0，±5)C．(±7，0)D．(0，±7)[答案]D[解析]双曲线3x2－4y2＝－12化为标准方程为y23－x24＝1，∴a2＝3，b2＝4

，c2＝a2＋b2＝7，∴c＝7，又∵焦点在y轴上，故选D．3．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1<k<1B．k>0C．k≥0D．k>1或k<－1[答案]A[解析]由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)

<0，∴－1<k<1.4．椭圆x24＋y2m2＝1与双曲线x2m2－y22＝1有相同的焦点，则m的值是()A．±1B．1C．－1D．不存在[答案]A[解析]验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲

线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.5．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是()[答案]C[解析]把直线方程和曲

线方程分别化为y＝mx＋n，x2m＋y2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m和截距n的正负，从而断定曲线的形状．6．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16B．18C．21

D．26[答案]D[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.二、填空题7．双曲线的

焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________.[答案]x273－y275＝1[解析]解法一：设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴9a2－4b2＝14a2－

1b2＝1，∴a2＝73b2＝75.解法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则9m＋4n＝14m＋n＝1，解得m＝37n＝－57.故所求双曲线的标准方程为x273－y275＝1.8．双曲线x2m－y2＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝________

.[答案]8[解析]由题意，得a2＝m，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝m＋1，又c＝3，∴m＋1＝9，∴m＝8.9.已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则另一个焦点F的轨迹是______________.[答案]以A，B为焦点

的双曲线的下半支[解析]∵A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2<|AB|＝14，

∴点F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下半支．三、解答题10．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，c＝6且经过点(－5,2)；(2)过P(3，154)和Q(－163，5)两点．[解析](1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0

，b>0)，由题意得25a2－4b2＝1a2＋b2＝6，解之得a2＝5，b2＝1，故所求双曲线方程为x25－y2＝1.(2)设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，由题意得9A＋22516B＝12569A＋25B＝1，解

之得A＝－116B＝19.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.能力提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1(－5，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()A．x24－y2＝1

B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1[答案]B[解析]由条件知P(5，4)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，∴5a2－16b2＝1，又a2＋b2＝5，∴a2＝1b2＝4

，故选B．2．(2015·广州市检测)设F1、F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48[答案]C[解析]由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1

|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F1F2|＝10，∴△PF1F2为直角三角形，S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝24.3．已知点M(－3,

0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．x2－y28＝1(x<－1)B．x2－y28＝1(x>1)C．x2＋y28＝1(x>0)D．x2－y210＝1(x>1)[答案]B[解析]定义法：如图，|PM|－|PN|

＝|BM|－|BN|＝2，P点的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．4．已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于()A．2B．4C．6D．

8[答案]B[解析]在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，即(22)2＝22＋|PF1|·|PF2|，解

得|PF1|·|PF2|＝4.二、填空题5．若方程x2m－1＋y2m2－4＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________.[答案](－∞，－2)[解析]由题意，方程可化为y2m2－4－x2

1－m＝3，∴m2－4>01－m>0，解得m<－2.6．已知双曲线x2－y22＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1→·MF2→＝0，则点M到x轴的距离为________.[答案]233[解析]由条件知c＝3，∴|F1F2|＝23，∵MF1→·MF2→＝0，∴|MO|＝12|

F1F2|＝3，设M(x0，y0)，则x20＋y20＝3x20－y202＝1，∴y20＝43，∴y0＝±233.故所求距离为233.三、解答题7．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的

焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解析]椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，又点A(x0,4)在椭圆x

227＋y236＝1上，∴x20＝15，又点A在双曲线y2a2－x2b2＝1上，∴16a2－15b2＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：y24－x25＝1.8.当0°≤α≤180°时，方程x2

cosα＋y2sinα＝1表示的曲线如何变化？[解析](1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行直线x＝±1.(2)当0°<α<90°时，方程为x21cosα＋y21sinα＝1.①当0°<α<45°时，0<1cosα<1sinα，它表示焦点在y轴上的椭圆．

②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝2.③当45<α<90°时，1cosα>1sinα>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y21sinα－x21－cosα＝1，它表示焦点在y轴上

的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com