【文档说明】广东省茂名地区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.431 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学一、选择题（每小题5分，共12小题，60分）1.已知向量()1,1,2a=−−及()4,2,0b=−则ab+等于（）A.()3,1,2−−B.()5,5,2−C.()3,1,2−D.()5,5,2−−【答案】

A【解析】【分析】根据空间向量加法运算，求得ab+.【详解】依题意()()()1,1,24,2,03,1,2ab+=−−+−=−−.故选：A【点睛】本小题主要考查空间向量加法的坐标运算，属于基础题.2.命题“对xR，都有20x”的否定为（）A.对xR

，都有20xB.xR，使得20xC.0xR，使得200xD.0xR，使得200x【答案】C【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的定义即可得出．【详解】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题

“对xR，都有20x”的否定为“0xR，使得200x”．故选：C．【点睛】熟练掌握全称命题与特称命题的定义是解题的关键，属于基础题．3.设集合21,2,MNa==，则“1a=”是“NM”的（）A.充分不必要条件B.必要不充

分条件-2-C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充

分不必要条件，选A.4.双曲线2213xy−=的焦点坐标是（）A.()2,0−，()2,0B.()2,0−，()2,0C.()0,2−，()0,2D.()0,2−，()0,2【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据

222cab=+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213xy−=，所以焦点坐标可设为(,0)c，因为222314,2cabc=+=+==，所以焦点坐标为(20)?，选B.【点睛】由双曲线方程22221(0

,0)xyabab−=可得焦点坐标为22(,0)()ccab=+，顶点坐标为(,0)a，渐近线方程为byxa=.5.椭圆22194xy+=的离心率是（）A.133B.53C.23D.59【答案】B【解析】【分析】由题可知，3a=，2b=，求出c，即可求出椭圆的离心率．-3-【详解】因为椭

圆22194xy+=中3a=，2b=，所以225cab=−=，得53cea==，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．6.已知向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)axbc=−==−.若()abc⊥−，则

x的值为（）A.2−B.2C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】先求解bc−rr的坐标，再利用坐标表示向量垂直，列出等式，即得解【详解】∵(2,3,1)bc−=−，∴()4320abcx−=++=，解得2x=−.故选：A【点睛】本题考查了空间向量垂直

的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题7.椭圆221259xy+=和椭圆221925xykk+=−−（09k）有（）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴【答案】B【解析】

【分析】判断出两个椭圆的焦点所在坐标轴，计算出两者的焦距，由此判断出正确选项.【详解】依题意知椭圆221925xykk+=−−的焦点在y轴上，椭圆221259xy+=的焦点在x轴上.-4-对于椭圆221925xykk+=−−有：()22598kk−−−=.对于椭圆221259xy+=有：焦

距22598=−=，所以两个椭圆有相等的焦距.长轴、短轴和离心率均不相等.故选：B【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于基础题.8.过抛物线24yx=的焦点的直线l交抛物线于11(,)Pxy、22(,)Qxy两点，如果126xx+=，则PQ=()A.9B.6C.7D.8【答案】D【

解析】【分析】根据抛物线的方程，算出焦点为(1,0)F，准线方程为1x=−，利用抛物线的定义求得弦长，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程为24yx=，可得2412pp==，所以抛物线的焦点为(1,0)F，准线方程为1

x=−，根据抛物线的定义，可得11221,122ppPFxxQFxx=+=+=+=+，所以12()2PFQFxx+=++，又因为PQ过抛物线的焦点F，且126xx+=，所以12()28PQPFQFxx=+=++=，故选D.【

点睛】本题主要考查了抛物线的定义的应用，以及抛物线的焦点弦问题，其中解答中熟记抛物线的定义，合理利用焦点弦的性质求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左右焦点为F1,F2离心率为33，过F2的直

线l交C-5-与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.22132xy+=B.2213xy+=C.221128xy+=D.221124xy+=【答案】A【解析】【详解】若△AF1B的周长为43,由椭圆的定义可知443a=,3a=,33cea==,1c

=,22b=，所以方程为22132xy+=，故选A.考点：椭圆方程及性质10.已知椭圆221369xy+=以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为()A.－12B.12C.－2D.2【答案】A【解析】【分析】由于()4,2P是弦的中点，根据点差法求

出弦所在直线的斜率.【详解】设以()4,2P为中点的弦的两个端点分别为()()1122,,,AxyBxy，所以由中点坐标公式可得121284xxyy+=+=，-6-把,AB两点坐标代入椭圆方程得2211222213691369xyxy+=+=两式相减可得

()()()()121212120369xxxxyyyy−+−++=所以()()121212129981363642xxyyxxyy+−=−=−=−−+，即所求的直线AB的斜率为12ABk=−.故选A项.【点睛】本题考查通过点差法求弦中点所在直线的斜率，属于中档题.11.若点O和

点F分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则OPFP的最大值为A.2B.3C.6D.8【答案】C【解析】【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，则OPFP＝(x

0，y0)·(x0＋1，y0)＝20x＋x0＋20y∵P为椭圆上一点，∴204x＋203y＝1.∴OPFP＝20x＋x0＋320(1)4x−＝204x＋x0＋3＝14(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2.∴OPFP的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.12.数学

中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：221||xyxy+=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：-7-①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“

心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.①B.②C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确

定图形面积的范围.【详解】由221xyxy+=+得,221yxyx−=−,2222||3341,10,2443xxxyx−=−−厔,所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1Cxyxy+=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,

1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221xyxy+=+得,222212xyxy+++„,解得222xy+,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2.结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1ABCD

−,四边形ABCD的面积13111122ABCDS=+=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCDS,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.-8-故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基

本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题（每小题5分，共4小题，20分）13.抛物线24xy=的准线方程是_______【答案】1y=−【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上

以及24p=，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为24xy=，焦点在y轴上，所以：24p=，即2p=，所以12p=，所以准线方程为：1y=−，故答案是：1y=−.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目

.14.已知椭圆焦点在x轴上，且4a=，2c=，则椭圆方程为______.【答案】2211612xy+=【解析】【分析】-9-根据已知条件，求得22,ab，结合椭圆焦点在x轴上，求得椭圆方程.【详解】依题意21

6a=，22216412bac=−=−=，又焦点在x轴上，故所求的椭圆方程为2211612xy+=.故答案为：2211612xy+=【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，属于基础题.15.设双曲线经过点（2,2），且与2214yx−=具有相同渐近线，则的方程为_________；渐近线

方程为_________.【答案】(1).221312xy−=(2).2yx=【解析】【详解】试题分析：因为双曲线的渐近线方程为，所以曲线的渐近线方程为，设曲线的方程为，将代入求得，故曲线的方程为.考点：双曲线的渐进线，共渐进线的双曲线方程的求法，容易题.16.已知双曲线C：22221(0

,0)xyabab−=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，120FBFB=，则C的离心率为____________．【答案】2.【解析】【分析】通过向量关系得到1FAAB=和1OAFA⊥，得到

1AOBAOF=，结合双曲线的渐近线可-10-得21,BOFAOF=02160,BOFAOFBOA===从而由0tan603ba==可求离心率.【详解】如图，由1,FAAB=得1.FAAB=又12,OFOF=得OA是三角形12FFB的中位线，即22//,2.BFOAB

FOA=由120FBFB=，得121,,FBFBOAFA⊥⊥则1OBOF=有1AOBAOF=，又OA与OB都是渐近线，得21,BOFAOF=又21BOFAOBAOF++=，得02160,BOFAOFBOA===．又渐近线OB的斜率为0tan603ba==，所以该双

曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa==+=+=．【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．三、解答题（共70分）17.求符合下列要求的曲线的标准方程：（1）已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率

为12；（2）已知双曲线经过点()7,62A−−，()27,3B=.【答案】（1）2213627xy+=（2）2212575xy−=【解析】【分析】（1）根据已知条件求得,ab的值，由此求得椭圆方程.-11-（2）设出双曲线的方程，代入点,AB的坐标，由此求得双曲线的方程.【详解】（1）由

已知条件可设所求的椭圆标准方程为22221xyab+=（其中0ab）则212a=，∴6a=，且离心率为12cea==，∴3c=∴222226327bac=−=−=故所求的椭圆的标准方程为2213627xy+=（2）设所求的双曲线方程为221mxny+=，由题意可得方程组497

212891mnmn+=+=，解之得125175mn==−故所求的双曲线标准方程为2212575xy−=【点睛】本小题主要考查椭圆方程和双曲线方程的求法，属于基础题.18.已知向量()1,2,2a=

−，()4,2,4b=−，()3,,cmn=.（1）求ab−（2）若//ac，求m，n.（3）求cos,ab【答案】（1）()3,4,6−−（2）6m=，6n=−（3）49−【解析】【分析】（1）利用向量减法的坐标运算求得ab−.（2）根据两个向量平行的条件列方程

，解方程求得,mn.-12-（3）利用cos,ababab=，结合向量数量积和模的坐标运算，求得cos,ab.【详解】（1）∵()1,2,2a=−，()4,2,4b=−∴()()()()1,2,24,2,414,22,24ab−=−−−=−−−−−()3,4,6=−−

（2）∵()1,2,2a=−，()2,,4cx=−，若ac∥，则3122mn==−，解之得6m=，6n=−（3）∵()1,2,2a=−，()4,2,4b=−∴()()1422248ab=+−+−=−()22

21223a=++−=，()2224246b=+−+=84cos,369ababab−===−【点睛】本小题主要考查空间向量减法、数量积和模的坐标运算，考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.19.直线

l：1ykx=−，双曲线C：2214yx−=，（1）当1k=时，直线l与双曲线C有两个交点A、B，求AB；（2）当k取何值时，直线l与双曲线C没有公共交点.【答案】（1）823（2）()(),55,k−−+【解析】【分析】（1）将直线l的方程代入双曲线方程，化简后写出根与系数关系

，利用弦长公式求得AB.（2）将直线l的方程代入双曲线方程，结合直线与双曲线没有公共交点列不等式，解不等式求得k的取值范围.【详解】（1）当1k=时，直线l：1yx=−代入2214yx−=，可得()22114xx−−=-13-化简整理得23250xx+−=，所以

1223xx+=−，1253xx=−所以()221212121124ABxxxxxx=+−=+−2252433=−−−823=（2）由1ykx=−代入2214yx−=可得()22114kxx−−=化简并整理可得()224250kxkx−

+−=若直线l与双曲线C没有公共交点，则有不等式组()()()2224024450kkk−=−−−解之得5k−或5k故当()(),55,k−−+时直线l与双曲线C没有公共交点【点睛】本小题主要考查直线和双曲线相交

所得弦长的求法，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.20.如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.-14-（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.【答案】（1）证明见解析

；（2）32【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11BC⊥侧面11ABBA，利用线面垂直的性质可以证明出11BCEB⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE⊥平面11EBC；（2）以点B坐标原点，以1,,BCBABB

分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为a，1BBb=，求出相应点的坐标，利用1BEEC⊥，可以求出,ab之间的关系，分别求出平面EBC、平面1ECC的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1BE

CC−−的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1BECC−−的正弦值.【详解】证明（1）因为1111ABCDABCD−是长方体，所以11BC⊥侧面11ABBA，而BE平面11ABBA，所以11BEBC⊥又1BEEC⊥，1111BCECC=，111,BCE

C平面11EBC，因此BE⊥平面11EBC；（2）以点B坐标原点，以1,,BCBABB分别为,,xyz轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，-15-1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bBCa

CabEa，因为1BEEC⊥，所以2210(0,,)(,,)002224bbbBEECaaaaba=−=−+==，所以(0,,)Eaa，1(,,),(0,0,2),(0,,)ECaaaCCaBEaa=−−==，设111(,,)mxyz=是平面BEC的法向量，所以111

110,0,(0,1,1)0.0.ayazmBEmaxayazmEC+===−−−==，设222(,,)nxyz=是平面1ECC的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.aznCCnaxayaznEC===−−==，二面角1BECC−−的余弦

值的绝对值为11222mnmn==，所以二面角1BECC−−的正弦值为2131()22−=.【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.21.已知点A(0，－2)，椭圆E：222

21xyab+=(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案】（1）2214xy+=（2

）722yx=−【解析】试题分析：设出F，由直线AF的斜率为233求得c，结合离心率求得a，再由隐含条件求-16-得b，即可求椭圆方程；（2）点lx⊥轴时，不合题意；当直线l斜率存在时，设直线:2lykx=−，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k的范围，再由弦长

公式求得PQ，由点到直线的距离公式求得O到l的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0Fc，因为直线AF的斜率为233，()0,2A−所以2233c=，3c=

.又2223,2cbaca==−解得2,1ab==，所以椭圆E的方程为2214xy+=.（2）解：设()()1122,,,PxyQxy由题意可设直线l的方程为：2ykx=−，联立221{42,xyykx+==−，消去y得()2214

16120kxkx+−+=，当()216430k=−，所以234k，即32k−或32k时1212221612,1414kxxxxkk+==++.所以()22121214PQkxxxx=++−222216481

1414kkkk=+−++222414314kkk+−=+点O到直线l的距离221dk=+-17-所以221443214OPQkSdPQk−==+，设2430kt−=，则2243kt=+，244414424OPQtSttt===++，当且仅当2t=，即2432

k−=，解得72k=时取等号，满足234k所以OPQ的面积最大时直线l的方程为：722yx=−或722yx=−−.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决

，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22.已知曲线上的点到点(0,1)F的距离比它到直线3y=−的距离小2.

（1）求曲线的方程；（2）曲线在点P处的切线l与x轴交于点A.直线3y=分别与直线l及y轴交于点,MN，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线上运动（点P与原点不重

合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.【答案】（1）24xy=.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）思路一：设(,)Sxy为曲线上任意一点，-18-依题意可知曲线是以点(0,1)F为焦点，直线1y=−为准线的抛物线，

得到曲线的方程为24xy=.思路二：设(,)Sxy为曲线上任意一点，由22(3)(0)(1)2yxy−−=−+−=，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为214yx=，设000(,)(0)Pxyx，得20014y

x=，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线l的方程为2001124yxxx=−.由20011240yxxxy=−=，得01(,0)2Ax.由20011243yxxxy=−=，得0016(,3)2M

xx+.根据(0,3)N，得圆心0013(,3)4Cxx+，半径0011324rMNxx==+，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定6AB=.试题解析：解法一：（1）设(,)Sxy为曲线上任意一点，依题意，点S到(0,1)F的距

离与它到直线1y=−的距离相等，所以曲线是以点(0,1)F为焦点，直线1y=−为准线的抛物线，所以曲线的方程为24xy=.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为214yx=，设000(,)(0)Pxyx，则20014yx=，由12y

x=，得切线l的斜率-19-001|2xxkyx===，所以切线l的方程为0001()2yyxxx−=−，即2001124yxxx=−.由20011{240yxxxy=−=，得01(,0)2Ax.由20011{243yxxxy=−=，得0016(,3)

2Mxx+.又(0,3)N，所以圆心0013(,3)4Cxx+，半径0011324rMNxx==+，222220000011313||[()]3()6244ABACrxxxxx=−=−++−+=.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）

设(,)Sxy为曲线上任意一点，则22(3)(0)(1)2yxy−−=−+−=，依题意，点(,)Sxy只能在直线3y=−的上方，所以3y−，所以22(0)(1)1xyy−+−=+，化简得，曲线的方程为24xy=.-20-（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，

直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.-21-