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姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题第五章三角函数全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知扇形

的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是()A.4B.2C.14D.122.已知角θ的终边经过点(-1,-3),则sin(−𝜃)+2cos(π-𝜃)3sin(−π-𝜃)+4cos(3π+𝜃)=()A.15B.-15C.-1D.13.函数f(x)=𝑥sin𝑥2|𝑥

|-1的图象大致为()4.已知α∈(π2,π),且3cos2α-sinα=2,则()A.cos(π-α)=23B.tan(π-α)=√24C.sin(π2-α)=√53D.cos(π2-α)=√545.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移

π6个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则函数y=f(x)g(x)的最大值为()A.2+√24B.√3C.34D.√346.已知f(x)=sinωx+cosωx,ω>0.若存在x1,x2∈(0,π2),且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2√2,则实数ω的取值范围是()

A.(52,+∞)B.(92,+∞)C.(12,52)D.(52,92)7.在锐角三角形ABC中,sinA=3cosBcosC,则tanAtanBtanC的最小值是()A.275B.3C.163D.128.已知函数f(x)=4cos(π2-𝜔𝑥2)·co

s(𝜔𝑥2-π6)-1(ω>0)在区间[-π3,3π4]上单调递增,且在区间[0,π]上只取得一次最大值,则ω的取值范围是()A.[0,34]B.(0,89]C.[23,89]D.[34,89]二、多项选择题(本题共3小题,每

小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知α∈R,sinα+cosα=√22,那么tanα的值为()A.2+√3B.-2+√3C.2-√3D.-2-√310.设函数f(x)=Acos(2𝑥+2π3),则下

列结论正确的是()A.f(x)的一个周期为-πB.f(x)在区间(π2,π)上单调递减C.f(𝑥+π2)的一个零点为-π12D.f(x)的图象关于直线x=5π3对称11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(𝜔>0,|𝜑|<π2)的部分图象如图所示,则()A.ω=2B.直线x=π6是

f(x)图象的一条对称轴C.[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0在x∈(0,π2)上有两个不相等的解,则a∈(-12,12)密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题D.已知函数g(x)=f(x)+12sin2x,当g(x)取最大值时,sin2x=2√39

13三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.若函数f(x)=tan(𝜔𝑥+π3)(ω≠0)的最小正周期是π2,则ω=.13.方程lg(√3sinx)=lg(cosx)的解构成的集合为.14.若关于x的方程sinx+2cosx+2-m=0在x∈[0,π2]上有且只有

一个实数解,则实数m的取值范围为.四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知函数f(x)=sin(π-𝑥)sin(3π2+x)cos(2024π+𝑥)tan(2024

π-𝑥).(1)化简f(x)的解析式;(2)若π4<β<π<α<3π2,且f(α+β)=-√210,f(π2-2β)=45,求α-β.16.(15分)已知函数f(x)=sin(2𝑥+π3)+cos

(2𝑥+π6)-2sinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程;(2)将函数y=f(x)的图象先向左平移π12个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数

y=g(x)的图象,求y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间.17.(15分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)直接写出f(x)在区间[0,π]上的单

调区间;(3)已知∀x∈R,f(a-x)=f(a+x)都成立,直接写出一个满足题意的a的值.18.(17分)如图所示,在等腰直角△OAB中,∠AOB=π2,OA=√2,M为线段AB的中点,点P,Q分别在线段AM,BM上运动,且∠POQ=π4,设∠AOP=θ.(1

)设PM=f(θ),求θ的取值范围及f(θ);(2)求△OPQ面积的最小值.姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题19.(17分)已知定义在R上的函数f(x)=-2𝑥+b2𝑥+1+a是奇函数.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)的单调性并证明;(3)若

对任意的θ∈(-π2,π2),不等式f(k)+f(cos2θ-2sinθ)≤0恒成立,求实数k的取值范围.答案全解全析1.B设扇形的圆心角为αrad,则半径为2𝛼,所以扇形的面积为12×2×2𝛼=1,可得α=2.故

选B.2.C因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tanθ=3,所以sin(−𝜃)+2cos(π-𝜃)3sin(−π-𝜃)+4cos(3π+𝜃)=-sin𝜃-2cos𝜃3sin𝜃-4cos𝜃=-tan𝜃-23tan𝜃-4=-3-2

3×3−4=-1.故选C.3.A易知函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-𝑥sin(−𝑥)2|-𝑥|-1=𝑥sin𝑥2|𝑥|-1=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除C,D;当x∈(0,π)时,sinx>0,

2|x|-1>0,则f(x)>0,故排除B.故选A.4.B因为3cos2α-sinα=2,所以3(1-2sin2α)-sinα=2,即6sin2α+sinα-1=0,解得sinα=-12或sinα=13,又α∈(π2,π),所以sinα=13,所以cosα=-√1

−sin2α=-2√23,tanα=sin𝛼cos𝛼=-√24.则cos(π-α)=-cosα=2√23,tan(π-α)=-tanα=√24,sin(π2-α)=cosα=-2√23,cos(π2-α)=sinα=13,故选B.5.C易得g

(x)=sin[2(𝑥-π6)]=sin(2𝑥-π3),则y=f(x)g(x)=sin2x·sin(2𝑥-π3)=sin2x·sin2xcosπ3-cos2x·sinπ3=sin2x·12sin2x-√32cos2x=12sin22x-√32sin2xcos2x=1

2×1−cos4𝑥2-√32×12sin4x=14-(14cos4𝑥+√34sin4𝑥)=14-12sin(4𝑥+π6),所以当sin(4𝑥+π6)=-1时,y=f(x)g(x)取得最大值,为14-12×(-1)=34.故选C.6.Bf(x)=sinωx+cosωx=√2sin(𝜔𝑥

+π4),∴f(x)max=√2,f(x)min=-√2,∴若存在x1,x2∈(0,π2),且x1<x2,使得f(x1)-f(x2)=-2√2,则f(x1)=-√2,f(x2)=√2.当0<x<π2,ω>0时,π4<ωx+π4<π𝜔2+π4,∴π𝜔2

+π4>5π2,解得ω>92.故选B.7.A∵sinA=sin(B+C)=3cosBcosC,∴sinBcosC+cosBsinC=3cosB·cosC,∴tanB+tanC=3,∴tanBtanC≤(tan𝐵+tan𝐶2)2=

94,当且仅当tanB=tanC,即B=C时,等号成立.易知tanAtanBtanC=-tan(B+C)tanBtanC=tan𝐵+tan𝐶tan𝐵tan𝐶-1·tanBtanC=3tan𝐵tan𝐶tan𝐵tan𝐶-1=3+3tan𝐵tan𝐶-1,密○封○装○订○线密○封○装○

订○线密封线内不要答题∵tanBtanC≤94,∴tanAtanBtanC≥275.故选A.8.Cf(x)=4cos(π2-𝜔𝑥2)·cos(𝜔𝑥2-π6)-1=4sin𝜔𝑥2√32cos𝜔𝑥2+12sin𝜔𝑥2-1=2√3sin𝜔𝑥2cos𝜔𝑥2+2sin2𝜔𝑥

2-1=√3sinωx-cosωx=2sin(𝜔𝑥-π6).由x∈[-π3,3π4],ω>0,得ωx-π6∈[-π3ω-π6,3π4ω-π6].因为f(x)在区间[-π3,3π4]上单调递增,所以-π3ω-π6≥-π2且3π4ω-π6

≤π2,所以0<ω≤89.当x∈[0,π],ω>0时,ωx-π6∈[-π6,ωπ-π6].要使函数f(x)在[0,π]上只取得一次最大值,则π2≤ωπ-π6<5π2,解得23≤ω<83.综上,ω的取值范围为[23,89].故选C.9.BD由{sin𝛼+cos𝛼=√22,sin2

α+cos2α=1,得{sin𝛼=√2-√64,cos𝛼=√2+√64或{sin𝛼=√2+√64,cos𝛼=√2-√64,所以tanα=-2+√3或tanα=-2-√3.故选BD.10.ACD函数f(x)的最小正周期为2π2

=π,所以-π也为函数f(x)的周期,故A正确;当x∈(π2,π)时,2x+2π3∈(5π3,8π3),又y=cost在(5π3,2π)上单调递增,在(2π,8π3)上单调递减,所以函数f(x)在区间(π2,π)上不单调,故B错误;f(𝑥+π2

)=Acos[2(𝑥+π2)+2π3]=Acos(2𝑥+2π-π3)=Acos(2𝑥-π3),因为f(-π12+π2)=Acos[2×(-π12)-π3]=0,所以f(𝑥+π2)的一个零点为-π12,故C

正确;由于f(5π3)=Acos(2×5π3+2π3)=Acos4π=A,所以f(x)的图象关于直线x=5π3对称,故D正确.故选ACD.11.ABD对于A,由题图知,函数f(x)的最小正周期T=2×(11π12-5π12)=π,又ω>0,所以ω=2,故A正确;对于B,由“五点作图法”得2

×5π12+φ=π,解得φ=π6,所以f(x)=sin(2𝑥+π6),令2x+π6=π2+kπ(k∈Z),得x=12kπ+π6(k∈Z),所以直线x=π6是f(x)图象的一条对称轴,故B正确;对于C,因为[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0,所以f(x)=1或f(x)=a,令t=2x+π

6,因为x∈(0,π2),所以t∈(π6,7π6),所以sint=1或sint=a共有两个不相等的解,结合y=sint的图象(图略),可知直线y=1与函数y=sint的图象有一个交点,当a∈(-12,12]时,直线y=a与函数y=sint的图象有

一个交点,共两个交点,故C错误;对于D,g(x)=sin(2𝑥+π6)+12sin2x=√32sin2x+12cos2x+1−cos2𝑥4=√32sin2x+14cos2x+14=√1342√3913sin2x+√1313cos2x+14,令cosθ=2√3913,sinθ=√1313,

所以g(x)=√134sin(2x+θ)+14,所以当2x+θ=2kπ+π2(k∈Z)时,g(x)取到最大值,此时sin2x=sin(2𝑘π+π2-θ)=cosθ=2√3913,故D正确.故选ABD

.12.答案2或-2解析由题知,T=π|𝜔|=π2,即|ω|=2,解得ω=±2.13.答案{𝑥|x=2kπ+𝜋6,k∈Z}解析由lg(√3sinx)=lg(cosx),得√3sinx=cosx,即tanx=√33,所以x=kπ+π6,k∈Z.

①易知sinx>0,cosx>0,所以2kπ<x<2kπ+π2,k∈Z.②由①②得x=2kπ+π6,k∈Z,故方程的解构成的集合为{𝑥|x=2kπ+𝜋6,k∈Z}.14.答案[3,4)∪{2+√5

}姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题解析方程sinx+2cosx+2-m=0在x∈[0,π2]上有且只有一个实数解,即方程sinx+2cosx+2=m在x∈[0,π2]上有且只有一个实数解,即函数y=sinx+2

cosx+2的图象和直线y=m在x∈[0,π2]上有且只有一个交点.令f(x)=sinx+2cosx+2=√5sin(x+θ)+2,其中tanθ=2,不妨设θ为锐角,由x∈[0,π2],可得x+θ∈[𝜃,π2+θ],所以当x+θ=π2,即x=π2-θ时,f(x)max=√5+2.当x=0时,

f(0)=0+2+2=4;当x=π2时,f(π2)=1+0+2=3.函数y=f(x)的图象如图所示,由图可知,3≤m<4或m=2+√5,即实数m的取值范围为[3,4)∪{2+√5}.15.解析(1)f(x)=sin(π-𝑥)sin(3π2+x)cos(20

24π+𝑥)tan(2024π-𝑥)=sin𝑥(-cos𝑥)cos𝑥tan(−𝑥)=-sin𝑥cos𝑥-cos𝑥tan𝑥=sin𝑥cos𝑥cos𝑥·sin𝑥cos𝑥=sin𝑥cos𝑥sin𝑥=cosx.(5分)(2)由题意得cos(α+β)=-

√210,cos(π2-2β)=sin2β=45.(7分)由于π4<β<π,所以π2<2β<2π,又sin2β=45>0,所以π2<2β<π,所以π4<β<π2,又π<α<3π2,所以π2<α-β<5π

4,5π4<α+β<2π.又cos(α+β)=-√210,所以5π4<α+β<3π2.(9分)由上述分析得cos2β=-35,sin(α+β)=-7√210,(10分)所以sin(α-β)=sin[(α+β)-2β]=sin(α+β)cos2β-cos(α+β)si

n2β=-7√210×(-35)-(-√210)×45=√22,所以α-β=3π4.(13分)16.解析(1)f(x)=12sin2x+√32cos2x+√32cos2x-12sin2x-sin2x=√3cos2x-sin2x=2(cos2𝑥cosπ6-sin2𝑥sinπ6)=2c

os(2𝑥+π6),(3分)所以函数f(x)的最小正周期为π.(5分)令2x+π6=kπ,k∈Z,得x=-π12+𝑘π2,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴方程为x=-π12+𝑘π2,k∈Z.(7分)(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个

单位长度后所得图象对应的函数解析式为y=2cos[2(𝑥+π12)+π6]=2cos(2𝑥+π3),(9分)所以g(x)=2cos(2×12x+π3)=2cos(𝑥+π3).(11分)令2kπ≤

x+π3≤π+2kπ,k∈Z,得-π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z,(13分)所以y=g(x)在[0,2π]上的单调递减区间为[0,2π3],[5π3,2π].(15分)17.解析(1)由题图可知,𝑇2=5π12-(-π12)=π2,所以T=π,所以ω=2.(3分)因为f(x)的图

象过点(-π12,2),所以2sin[2×(-π12)+φ]=2,即sin(-π6+φ)=1,所以-π6+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+2π3,k∈Z.(5分)又因为0<φ<π,所以φ=2π

3.所以f(x)=2sin(2𝑥+2π3).(7分)(2)在区间[0,π]上,函数f(x)的单调递增区间为[5π12,11π12],(9分)单调递减区间为[0,5π12],[11π12,π].(11分)(3)因为∀x∈R,f(a-x)=f(a+x)都成立,所以函数f(x)的图象关于直线x

=a对称,(14分)由题图可知,a=5π12符合题意(答案不唯一).(15分)18.解析(1)因为△OAB为等腰直角三角形,OA=√2,M为线段AB的中点,所以OM=1,∠AOM=π4,OM⊥AB.(3分)因为点P在线段AM上运动,所以θ∈[0,π4].

(4分)密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题因为∠AOP=θ,所以∠POM=π4-θ,(5分)所以PM=OM·tan∠POM=tan(π4-θ),即f(θ)=tan(π4-θ),θ∈[0,π4].(8分)(2)因为∠POQ=π4,所以∠QOM

=θ,所以QM=OM·tan∠QOM=tanθ,(10分)所以PQ=PM+QM=tan(π4-θ)+tanθ,(12分)所以S△OPQ=12PQ·OM=12[tan(π4-θ)+tan𝜃]=12(1−tan𝜃1+tan𝜃+ta

n𝜃)=12(21+tan𝜃+1+tan𝜃-2)≥12(2√2-2)=√2-1,当且仅当tanθ=√2-1时,等号成立,(15分)所以△OPQ面积的最小值为√2-1.(17分)19.解析(1)因为定义在R上的函数f(x

)=-2𝑥+b2𝑥+1+a是奇函数,所以f(0)=-20+b2+𝑎=0,所以b=1,所以f(x)=-2𝑥+12𝑥+1+a.(2分)又f(-1)=-f(1),所以-2-1+120+a=--2+122+a,解得a=2,所以f(x)=-2𝑥+12�

�+1+2.(4分)经检验,a=2,b=1符合题意.(5分)(2)f(x)在R上单调递减.证明如下:由(1)知f(x)=-2𝑥+12𝑥+1+2=1−2𝑥2(2𝑥+1)=-(2𝑥+1)+22(2𝑥+1)=-12+12𝑥+1.(6分)任取

x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=12𝑥1+1-12𝑥2+1=2𝑥2-2𝑥1(2𝑥1+1)(2𝑥2+1).因为函数y=2x在R上单调递增,x1<x2,所以2𝑥2>2𝑥1,又2𝑥1+1>0,2𝑥2+1>0,所以f(x1)-f(x2)=2𝑥2-2𝑥1

(2𝑥1+1)(2𝑥2+1)>0,即f(x1)>f(x2),(9分)所以f(x)在R上单调递减.(10分)(3)因为函数f(x)在R上单调递减,且f(x)为奇函数,所以不等式f(k)+f(cos2θ-2sinθ)≤0,即

f(k)≤-f(cos2θ-2sinθ)=f(-cos2θ+2sinθ),即k≥-cos2θ+2sinθ=sin2θ+2sinθ-1=(sinθ+1)2-2.(12分)因为对任意的θ∈(-π2,π2),不等式f(k)+f(cos2θ-2sinθ)≤0恒

成立,所以对任意的θ∈(-π2,π2),k≥(sinθ+1)2-2恒成立.因为θ∈(-π2,π2),所以sinθ∈(-1,1),所以(sinθ+1)2-2∈(-2,2),(15分)所以k≥2,即实数k的取值范围是[

2,+∞).(17分)