【文档说明】四川省雅安市雅安中学2022-2023学年高二下学期期中数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.448 MB，由管理员店铺上传

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雅安中学高2021级高二下期第二次月考数学试题（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上.第I卷（选择题）一、单选题（共60分）1.复数2(i1i−为虚数单位)的模为（）A.1B.2C.2D.

12【答案】C【解析】【分析】应用复数除法化简复数，即可得模.【详解】22(1i)1i1i(1i)(1i)+==+−−+，故模为2.故选：C2.下列求导运算正确的是（）A.()1xxaa−=B.2311xx=−C.()1ln33xx+=+

D.()cossinxx=−【答案】D【解析】【分析】根据导数运算公式逐项求解即可.【详解】()1lnxxaaa−=，故A错误；2312xx=−，故B错误；()1ln3xx+=，故C错

误；()cossinxx=−，故D正确.故选：D.3.对于命题p，q，若pq是假命题，pq是假命题，则下列判断正确的是（）A.p，q都是真命题B.p，q都是假命题C.p是真命题，q是假命题D.p是假命题，q是真命题【答案】D【解析】【

分析】根据命题的真值表即可判断．【详解】因为pq是假命题，所以命题p，q中至少有一个为假命题，又因为pq是假命题，所以p，q都是假命题，所以q为真命题，故选：D．4.曲线()ln1yxx=−在点()2,0处的切线方程为（）A

.24yx=−B.24yx=+C.2yx=+D.2yx=−【答案】A【解析】【分析】求函数()ln1yxx=−在点()2,0处的导数值，根据点斜式求切线方程..【详解】因为()ln1yxx=−，所以()ln11

xyxx=−+−，所以()22ln21221xy==−+=−，所以曲线()ln1yxx=−在点()2,0处的切线斜率为2，所以曲线()ln1yxx=−在点()2,0处的切线方程为()22yx=−，即24yx=

−，故选：A.5.在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若,,DAaDBbDCc===，则BE=（）A.1144abc−+B.1122abc−+C.1144abc++D.12abc−+【答

案】A【解析】【分析】利用空间向量的运算法则即可得()14DEac+=rruuur，再由三角形法则即可求得1144BEabc=−+rruurr.【详解】根据题意可得()()1122DFDADCac+==+uuuruuruu

rruru，()1124DEDFac+==rruuuruuur；再由()14BEBDDEDBDEbac=+=−−++=+rrruuruuuruuuruuuruuur，可得1144BEabc=−+rruurr.故选：A6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次

．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（）不同的排列A.36B.54C.60D.72【答案】B【解析】【分析】利用特殊元素

特殊位置优先考虑，结合分步乘法计数原理即可求解.【详解】分三步完成：冠军有13A种可能，乙的名次有13A种可能，余下3人有33A种可能，所以5人的名次排列有113333AAA3332154==种不同情况.故选：

B.7.命题“[1,2]x，20xa−”是真命题的充要条件是（）A.4aB.4aC.1aD.1a【答案】B【解析】【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数a的取值范围．【详

解】命题“[1,2]x，20xa−”为真命题，则2ax在[1,2]上恒成立，∵[1,2]x，∴21,4x，则4a.故选∶B．8.直线l的方向向量为(1,1,0)m=，且l过点(1,1,1)A，则点(2,2,1)P−到直线l的距离为（）A.2B.3C.2D.

3【答案】C【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】∵()1,1,1A，()2,2,1P−，∴()1,1,2AP=−，又()1,1,0m=，∴AP在m方向上的投影cos222APmAPAPmm===，∴P到l距离22||(2)622dAP=−=−=.故选：C

9.函数()2sin2xyxx−=−的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值，以及函数的变化趋向，即可判断选项.【详解】函数定义域为R，满足()()()2sin2xfxxxfx−−−=−+=−，所以函数是奇函数，故排除B，设()()2sin,0

gxxxx=−，()2cos0gxx=−，所以()gx在()0,+上单调递增，()()00gxg=，20x−，所以当0x时，()02sin2xyxx−=−，故排除D；当x→+时，12022xxxxy−→=→，故排除A.故选：C10.三名男

生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A.72种B.108种C.36种D.144种【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A

种方法，再与另一个男生排列，则有22A种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144AAAA=种.故选：D．【点睛】本题考查乘法原理的运用和排列知识，还运

用了捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，考查学生分析解决问题的能力．11.设ea=，3ln3b=，2e2c=，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bacC.acbD.abc【答案】D的【解析】【分析】构造函数()(0)lnxfxxx=，研究其单调性，进而可以比较a，b

，c的大小.【详解】令()(0)lnxfxxx=，则()2ln1()lnxfxx−=，所以()0,ex时，()0fx，()fx单调递减，()e,+x时，()0fx，()fx单调递增，()eeelneaf===，(3)ln33bf==，2222ee(e)2lnecf===，因为

2ee3，所以abc.故选：D.12.已知()fx是偶函数()()Rfxx的导函数，()11f=．若0x时，()()0fxxfx+，则使得不等式()()202320231xfx−−成立的x的取值范围是（）A.()20

23,+B.()(),20232023,−−+C.()2024,+D.()(),20242024,−−+【答案】C【解析】【分析】设()()Fxxfx=，求导得()()()Fxfxxxf=+，进而可得0x时，()Fx单调递增，由于()fx为偶函数

，推出()Fx为奇函数，进而可得()Fx在(),−+上单调递增，由于()11f=，则()11F=，由于()()202320231xfx−−，则()()20231FxF−，推出20231x−，即可得出答案．【详解】设()()Fxxfx=，()(

)()Fxfxxxf=+，由题意得0x时，()0Fx，()Fx单调递增，因为()fx为偶函数，所以()()=fxfx−，所以()()()()()FxxfxxfxFx−=−−=−=−，所以()Fx为奇函数，所以()Fx在(),−+上单调递增，因为()11f=，所以()()()1111

1Fff===，因为()()202320231xfx−−，所以()()20231FxF−，所以20231x−，所以2024x，故选：C．第II卷（非选择题）二、填空题（共20分）13.方程230x+=的复数根是__________.【答案】3i【解析】【分析】利用复数单位i的性质，解

方程即可求得答案.【详解】由题意得方程230x+=即223(3i)x=−=，故3ix=，故230x+=的复数根是3i，故答案为：3i14.已知向量()()1,1,0,1,0,abc==−，且5,abkab+=+与2ab−互相垂直，则实数k=_________

_.【答案】75##1.4【解析】【分析】求出()0,1,bac+=，根据向量模长公式列出方程，求出2c=.再分2c=与2c=−两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值.【详解】()()()01,0,1,1,0,1,bca

c=−++=，所以215abc+=+=，解得2c=.当2c=时，()()()01,0,2,,1,,2kbkkkak+=−−=+，()()()2202,21,0,2,,23,ab−=−=−−，因为kab+与2ab−互相垂直，所以()231220kk−+−=，解得75k=.当2c=−时，()()()

210,1,2,,0,,kakkkbk+=−+−−−=，()()()2202,21,0,2,,23,ab−=−=−−因为kab+与2ab−互相垂直，所以()231220kk−+−=，解得75k=，综上：75k=.故答案为：7515.如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色

，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，符合这些要求的不同着色的方法共有____．（用数字填写答案）【答案】540【解析】【分析】利用分步计数原理并按AD同色和AD不同色分类讨论，即可求得符合这些要求的不同着色的方法数.【详解】按照ABCDE→

→→→的顺序依次着色：当AD同色时，不同着色的方法有54313180=；当AD不同色时，不同着色的方法有54323360=则符合这些要求的不同着色的方法共有180360540+=（种）故答案为：54016.已知函

数()2ln2fxxx=−在点()()1,1f处的切线过点(),,0,0abab，则13ab+的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】根据导数的几何意义求得函数()2ln2fxxx=−在点()()1,1f处的切线方程，可推出31ab+=，将13ab+化为13()(3)ab

ab++，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由函数()2ln2fxxx=−可得()14fxxx=−，则()(113,)2ff=−=−，故函数()2ln2fxxx=−在点()()1,1f处的切线方程为23(1)yx+=−−，即310xy+−=，则由题意可得310,31abab+−=+=，

故1313()(3)6961292baabababababab+=++=+++=，当且仅当9baab=，即11,62ab==取等号，即13ab+的最小值为12，故答案为：12三、解答题（共70分）17.已知复数()()()222762iRzmm

mmm=−++−−.（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；（2）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）32（2）312m−【解析】【分析】（1）直接根据实部为零，虚部

不为零列式计算即可；（2）直接根据实部大于零，虚部小于零列不等式计算即可；【小问1详解】()()()222762iRzmmmmm=−++−−，且复数z为纯虚数，22276020mmmm−+=−−，解得32m=；【小问2详解】复数z在复平

面内对应点在第四象限，22276020mmmm−+−−，解得312m−.18.已知函数3()395fxxx=−+.（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在3,3−上最大值和最小

值.【答案】（1）递增区间为(),1−−，()1,+；递减区间为()1,1−（2）最大值59，最小值为-49【解析】【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.【小问1详解】()fx的定义域为

R，且()()2()99911fxxxx=−=+−，令()0fx得11xx−或，令()0fx得11x−，所以递增区间为(),1−−，()1,+，递减区间()1,1−；【小问2详解】x-3(-3，-1)-1(-1，1

)1(1，3)3()fx+0-0+()yfx=-49单调递增极大值11单调递减极小值-1单调递增59所以函数()fx在3,3−上的最大值为59，最小值为-49.19.设p：实数x满足22430xaxa−+，q：实数x满足()2log21x−.（

1）若1a=，且pq为真，求实数x的取值范围；的的为（2）若0a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）()2,3（2）4,23【解析】【分析】（1）根据pq为真

，则p真且q真，即可求实数x的取值范围；（2）根据p是q的充分不必要条件，列出不等式即可求实数a的取值范围．【小问1详解】由22430xaxa−+得()()30xaxa−−，当1a=时，13x，即p为真时，实数

x的取值范围是()1,3，由()2log21x−，解得24x，即q为真时，实数x的取值范围是()2,4，若pq为真，则p真且q真，故实数x的取值范围是()2,3.【小问2详解】由22430xaxa−+得()()30xaxa−−，又0a，∴3axa

.若p是q的充分不必要条件，则pq，且qp¿.∴qp，且pq¿.∴q是p的充分不必要条件.设3Axaxa=，24Bxx=，则BA.∴342aa且等号不同时取到，解得423a.∴实数a的取值范围是4,23.2

0.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1222AAABBC===，M是棱1CC上任意一点．（1）求证：AMBD⊥；（2）若M是棱1CC的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，

利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【小问1详解】证明：以A为原点，AB，AD，1AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为1222AAABBC===，所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,

0,1,1,ABDMm，02m，()()1,1,,1,1,0AMmBD==−，()()1,1,1,1,0110AMBDm=−=−+=，所以AMBD⊥；【小问2详解】M是棱1CC的中点，故()()1,1,0,1,1,1CM

，则()()1,1,1,0,1,0AMBC==，设异面直线AM与BC所成角的大小为，则()()1,1,10,1,03coscos,33AMBCAMBCAMBC====，故异面直线AM与BC所成角的余弦值为33.21.如图，

在直三棱柱111ABCABC-中，13ABACAA===，点D是BC的中点，点E在1AA上，//AD平面1BCE.（1）求证：平面1BCE⊥平面11BBCC；（2）当三棱锥11BBCE−的体积最大时，求直线AC与平面1BCE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6

6【解析】【分析】（1）取1BC中点M，连接EM、MD，由三角形的中位线定理可得1//DMCC，进而由直三棱柱可得//DMAE，所以DM⊥平面ABC，再由//AD平面1BCE，得ADME//，再由线面垂直的性质可得AD⊥平面11BBCC，从而推出ME⊥平面11BBCC，再由面面垂直的性质即可证明；

（2）由（1）知ME⊥平面11BBCC，当三棱锥11BBCE−的体积最大时，设出2BCa=，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出322a=，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线AC的方向向量与平面1

BCE的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解.【小问1详解】取1BC中点M，连接EM、MD，如图所示：ABAC=，点D是BC的中点，ADBC⊥，又M是1BC的中点，1//DMCC，又在直三

棱柱111ABCABC-中，有11//AACC，1AA⊥平面ABC//DMAE，DM⊥平面ABC，//AD平面1BCE，且AD面ADME，平面ADME平面1BCEEM=，AD//ME，1CC⊥平面ABC，且AD

平面ABC，1CCAD⊥，又1CCBCC=，且1CC、BC平面11BBCC，AD⊥平面11BBCC，又//ADME，ME⊥平面11BBCC，MEQ平面1BCE，面ABC⊥平面11BBCC.【小问2详解】由（1）知ME⊥平面11BBC

C，则111113BBCEBBCVSME−=，设2BCa=，则BDa=，29ADa=−，1112332BBCSaa==，1122219939322BBCEaaVaa−+−=−=，由基本不等式知，当且仅当29aa=−时等号成立，即三棱锥11BBCE−的体积最大，

此时，322a=以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有32,0,02A，320,,02C−，320,,02B，323,0,22E，1320,,32C

−，3232,,022AC=−−，()10,32,3CB=−，32323,,222BE=−，设平面1BCE的一个法向量为()111,,xnyz=，则有1111113230323230222nCByznBExyz=−==−+=

，取12y=，解得()0,2,2n=，设直线AC与平面1BCE所成的角为，36sincos,6324nAC===+，故直线AC与平面1BCE所成角的正弦值为66.22已知函数()ln2Rafxxax=+−()．（1）讨论()fx的单调性；（2）若方程

()2afxaxx=+有两个不同的实数根，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）510,2e【解析】【分析】（1）对()fx求导，分类讨论0a和0a时()fx的正负，即可得出()fx的单调性

；（2）解法一：“方程()2afxaxx=+有两个不同的实数根”等价于“函数()2ln2gxxax=−−有两个零点”．对()gx求导，讨论()gx的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程()2afxaxx=+得2l

n2xax−=，转化为()2ln2xkxx−=与ya=的图象有两个交点，对()kx求导，得出()kx的单调性和最值即可得出答案.【小问1详解】由条件知()2211xafxaxxx−=−+=，0x

，当0a时，()0fx¢>在()0,+上恒成立，所以()fx在()0,+单调递增．当0a时，令()0fx，得xa，令()0fx¢>，得xa，所以()fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增．.【小问2详解】解法一：由方

程()2afxaxx=+得2ln20xax−−=，“方程()2afxaxx=+有两个不同的实数根”等价于“函数()2ln2gxxax=−−有两个零点”．()21122axgxaxxx−==−，0x．①当0a时，()0gx，()gx在()0,+上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；

②当0a时，由()0gx=得12xa=，当102xa时，()0gx，()gx在10,2a上单调递增，当12xa时，()0gx，()gx在1,2a+上单调递减．（ⅰ）若512ea，则()115l

n0222gxgaa=−，最多只有一个零点；（ⅱ）若512ea，因为521e12a，且102ga，()120ga=−−，所以()gx在区间内11,2a有一个零点．令函数()ln1hxxx

=−+，则()11hxx=−，0x．当01x时，()0hx，()hx在()0,1上是增函数；当1x时，()0hx，()hx在()1,+上是减函数.所以()()10hxh=，故ln1xx−．所以1111ln

21230gaaaa=−−−−=−，又112aa，所以()gx在区间11,2aa内有一个零点．综上可知：当5102ea时，()gx有两个零点，即方程()2afxaxx=+有两个

不同的实数根，故a的取值范围为510,2e．解法二：由方程()2afxaxx=+得2ln2xax−=．设函数()2ln2xkxx−=，则()()24312ln252lnxxxxxkxxx−−−==，0x．令()0kx

=，得52ex=，设520ex=，则当00xx时，()0kx，当0xx时，()0kx，所以()kx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，所以()kx的极大值也就是最大值为()051

2ekx=，且当0x，x趋近于0时，()kx趋近于负无穷，当x趋近于正无穷时，()0kx，且()kx趋近于0．方程()2afxaxx=+有两个不同的实数根，转化为直线ya=与()ykx=的图象有两个交点，结合函数图

象可知a的取值范围是510,2e．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com