【文档说明】2021-2022高中数学人教A版选修2-1作业：2.4.2抛物线的简单几何性质 （系列二）含解析.docx，共(8)页，74.990 KB，由小赞的店铺上传

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2.4.2抛物线的简单几何性质基础巩固一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小()A．小于90°B．等于90°C．大于90°D．不能确定[答案]C[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦

AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为p2，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是()A．y＝2x2或y2＝－4xB．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－12yD．y2

＝－4x[答案]A[解析]∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．∴22＝－2p(－1)．

∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝－4x.当抛物线的焦点在y轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∴(－1)2＝2p·2，∴p＝14.∴抛物线的方程为x2＝12y.[点评]将点(－1,2

)的坐标代入检验，易知选A．3．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．16[答案]B[解析]根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4

，选B．4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．12B．1C．2D．4[答案]C[解析]本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－p2，由题意知，3＋p2＝4，p＝

2.5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A．34B．1C．54D．74[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF

|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋12＝3，∴x1＋x2＝52，∴线段AB的中点到y轴的距离为x1＋x22＝54.6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(

p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()A．1B．32C．2D．3[答案]C[解析]本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积．∵ca＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3x，不妨设A(－p2，3p2)，B(

－p2，－3p2)，则AB＝3p，又三角形的高为p2，则S△AOB＝12×p2×3p＝3，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.二、填空题7．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点中一定在抛物线上的是________.①(a，－b)；②(－a，b)，③(－a

，－b)[答案]②[解析]抛物线x2＝2py关于y轴对称，∴点(a，b)关于y轴的对称点(－a，b)一定在抛物线上．8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.[答案](－9，－

6)或(－9,6)[解析]由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F－p2，0，准线方程为x＝p2，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将

M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．9．(2015·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则|FA||FB|＝________.[答案]3＋22[解

析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x－1，y2＝4x，消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋22，x2＝3－22，故由抛物线的定义可得|FA||FB|

＝x1＋1x2＋1＝3＋22.三、解答题10．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析]如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)

，设B(2，y)，由262＝－2p×(－6.5)得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－126，∵6.5－126>6，∴能安全通过．一、选择题1．直线y＝kx－2交

抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3[答案]C[解析]由y2＝8xy＝kx－2，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则4k＋2k2＝4，即k＝2.2．双曲线x2m－y2n＝1(mn≠0)离心率为

2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A．316B．38C．163D．83[答案]A[解析]由条件知m＋nm＝2m＋n＝1，解得m＝14n＝34.∴mn＝316，故选A．3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，

O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2[答案]B[解析]设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由y＝x，y2＝2px，得A(2p,2p)．则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.所以S△ABO＝

12·4p·2p＝4p2.4.过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则OA→·OB→的值是()A．12B．－12C．3D．－3[答案]D[解析]设A(y214，y1)，B(y224，y2)，则OA→＝(y214，y1)，OB→＝(y224，y2)，则OA→·OB→＝(

y214，y1)·(y224，y2)＝y21y2216＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴OA→·OB→＝y1y2216＋y1y2＝－4216－4＝－3，故选D．二、填空题5．已知直线y＝a交抛物线y＝

x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.[答案]a≥1[解析]本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(a，a)，B(－a，a)，C(x0，x20)，则CB→＝(－a－x0，a－x20)，CA→＝(a－x0，

a－x20)，∵∠ACB＝90°.∴CA→·CB→＝(a－x0，a－x20)·(－a－x0，a－x20)＝0.∴x20－a＋(a－x20)2＝0，则x20－a≠0.∴(a－x20)(a－x20－1)＝0，∴a－x20－1＝0.∴x20＝a

－1，又x20≥0.∴a≥1.6．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为________.[答案]328[解析]设P(x0，x20)为抛物线上的点，则P到直线y＝x－

1的距离d＝|x0－x20－1|2＝|x20－x0＋1|2＝x0－122＋342.∴当x0＝12时，dmin＝328.三、解答题7．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长．[解析]设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF

|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2，∴A点坐标为(2,22)，则直线AB的斜率为k＝22－02－1＝22.∴直线AB的方程为y＝22(x－1)．由y2＝4x，y＝22x－1，消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝12

.∴|BF|＝x2＋1＝32.8．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB长度的最小值．[解析]由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点

F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋p2，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±23.∴点A的坐标为(3,23)或(3，－23)．(2)当直线l的斜率存在时

，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得y＝kx－1，y2＝4x，消去y整理得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1、x2，∴x1＋x2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4

＋4k2>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB长度的最小值为4.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com