【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练57 双曲线的定义、标准方程及其几何性质.docx，共(11)页，89.567 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十七双曲线的定义、标准方程及其几何性质(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·青岛模拟)若点M在双曲线𝑥216-𝑦24=

1上,双曲线的焦点为F1,F2,且|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.12【解析】选B.双曲线中a2=16,得a=4,则2a=8,由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a=8,因为|MF1|=3|MF2|,所以3|MF2|-|MF2|=8,解得|MF2|=4.

2.(5分)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1的渐近线经过点(1,2),则双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.2D.√5【解析】选D.易知双曲线的渐近线方程为y=±𝑏𝑎x,由渐近线经过点

(1,2),可得𝑏𝑎=2,故离心率为e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑎2=√1+𝑏2𝑎2=√5.【加练备选】(2024·宁波模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),F1,F2分别为左、右焦点,点P在双曲线上,PF1⊥PF2,P到左焦点F1的距离是P到右焦点F2的距

离的3倍,则双曲线的离心率是()A.√2B.√102C.2D.√10【解析】选B.设双曲线C的半焦距为c>0,由题意可知:|PF1|=3|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,可得|PF1|=3|PF2|=3a,因为PF1⊥PF2,则|�

�𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2,即9a2+a2=4c2,整理得𝑐2𝑎2=52,所以双曲线的离心率是e=𝑐𝑎=√𝑐2𝑎2=√102.3.(5分)(2024·绍兴模拟)下列选项中的曲

线与𝑥212-𝑦224=1共焦点的双曲线是()A.𝑥224-𝑦212=2B.𝑦224-𝑥212=1C.𝑦226-𝑥210=1D.𝑥210-𝑦226=1【解析】选D.双曲线𝑥212-𝑦22

4=1的焦点在x轴上,半焦距c=√12+24=6,对于A,方程𝑥224-𝑦212=2,即𝑥248-𝑦224=1,是焦点在x轴上的双曲线,而半焦距为√48+24=6√2,A不是;对于B,C,方程𝑦224-𝑥212=1,𝑦226-𝑥210=1

都是焦点在y轴上的双曲线,B,C不是;对于D,方程𝑥210-𝑦226=1是焦点在x轴上的双曲线,半焦距为√10+26=6,D是.4.(5分)“m>1”是“方程𝑥2𝑚-𝑦2𝑚-1=1表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必

要条件【解析】选A.因为方程𝑥2𝑚-𝑦2𝑚-1=1表示双曲线,所以m(m-1)>0,解得m<0或m>1,因为由m>1可推出m<0或m>1,但是由m<0或m>1,不能推出m>1,所以“m>1”是“方程𝑥2𝑚-𝑦2𝑚-1=1表示双

曲线”的充分不必要条件.5.(5分)(多选题)(2024·深圳模拟)若方程𝑥23-𝑡+𝑦2𝑡-1=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中正确的是()A.若1<t<3,则C为椭圆B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则2<t<

3C.曲线C可能是圆D.若C为双曲线,则t<1【解析】选BC.方程𝑥23-𝑡+𝑦2𝑡-1=1所表示的曲线为C.A.当1<t<3,取t=2时,方程为x2+y2=1,表示圆,A错误;B.若C为椭圆,且焦点在y轴上,则t-1>3-t>0,即2<t<3,

所以B正确;C.t=2时,方程为x2+y2=1,表示圆,所以C正确;D.若C为双曲线,可得(3-t)(t-1)<0,解得t>3或t<1,所以D错误.6.(5分)(多选题)(2024·石家庄模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-y2=1(a>0),若圆M:(x-2)2

+y2=1与双曲线C的渐近线相切,则()A.双曲线C的渐近线方程为x±√3y=0B.双曲线C的实轴长为6C.双曲线C的离心率e=2√33D.过双曲线C的右焦点的直线与圆M交于A,B两点,则弦长|AB|=2【解析】选ACD.双曲线的渐近线方程为x±ay=0,

圆M的圆心为(2,0),半径为1,所以圆心到渐近线的距离d=2√1+𝑎2=1,得a=√3(负值舍去),所以双曲线的渐近线方程为x±√3y=0,故A正确;双曲线方程为𝑥23-y2=1,双曲线C的实轴长为2√3,故B错误;c2=a2+b2=3+1=4,所以双曲线的离心率e=𝑐𝑎=2√3=2√

33,故C正确;因为双曲线的右焦点是圆M的圆心,所以弦长为直径,所以|AB|=2,故D正确.7.(5分)(2024·齐齐哈尔模拟)与椭圆𝑥212+𝑦23=1有公共焦点,且离心率为32的双曲线方程为𝑥24-𝑦25=1.

【解析】由椭圆方程𝑥212+𝑦23=1,可得焦点坐标分别为(3,0),(-3,0),设双曲线的半焦距为c,则c=3,因为双曲线的离心率为32,则e=𝑐𝑎=3𝑎=32,故a=2,所以b=√𝑐2-𝑎2

=√5,所以双曲线的标准方程为:𝑥24-𝑦25=1.8.(5分)已知双曲线x2-𝑦28=1,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,P在双曲线上且在第一象限,圆M是△F1PF2的内切圆,则M的横坐标为1.若F1到圆M上点的最大

距离为4√3,则△F1PF2的面积为24√3.【解析】双曲线的方程为x2-𝑦28=1,则a=1,b=2√2,c=√1+8=3.设圆M分别与PF1,PF2,F1F2相切于B,C,A,根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2,根据内切圆的性质可知|PF1|-|PF2|=|PB|+|F1

B|-(|PC|+|F2C|)=|F1B|-|F2C|=|F1A|-|F2A|=2①,而|F1A|+|F2A|=|F1F2|=6②.由①②得,|F1A|=4,|F2A|=2,所以A(1,0),所以直线MA的方程为x=1,即M的横坐标为1.设M(1,r)(r>0),则F1到圆M上点的

最大距离为|MF1|+r=4√3,即√42+𝑟2+r=4√3,解得r=4√33.设直线PF1的方程为y=k(x+3)(k>0),即kx-y+3k=0.M到直线PF1的距离为|𝑘-4√33+3𝑘|√1+𝑘2=4√33,解得k=√3.所以直线PF1的方程为y=√3(x+3).由{𝑦=√

3(𝑥+3)𝑥2-𝑦28=1且P在第一象限,解得P(5,8√3).所以|PF1|=√(5+3)2+(8√3)2=16,|PF2|=|PF1|-2a=14.所以△F1PF2的面积为12×(|PF1|+|PF2|+|F1F2

|)·r=12×(16+14+6)×4√33=24√3.9.(10分)(2024·昆明模拟)求适合下列条件的双曲线标准方程.(1)虚轴长为12,离心率为54;(2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±32x;(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.【

解析】(1)设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1或𝑦2𝑎2-𝑥2𝑏2=1(a>0,b>0).由题知2b=12,𝑐𝑎=54,c2=a2+b2,所以b=6,c=10,a=8,所以标准方程为𝑥264-𝑦236=1或𝑦26

4-𝑥236=1.(2)当焦点在x轴上时,由𝑏𝑎=32且a=3,所以b=92.所以所求双曲线标准方程为𝑥29-𝑦2814=1;当焦点在y轴上时,由𝑎𝑏=32且a=3,所以b=2.所以所求双曲线方程为𝑦29-𝑥24=1.所以标准方程为𝑥29-𝑦2814=1或𝑦29-𝑥2

4=1.(3)设与双曲线𝑥22-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为𝑥22-y2=k(k≠0),将点(2,-2)代入得k=222-(-2)2=-2,所以双曲线方程为:𝑥22-y2=-2,双曲线的标准方程为𝑦22-𝑥24=

1.【能力提升练】10.(5分)(2024·徐州模拟)已知等轴双曲线的焦距为8,左、右焦点F1,F2在x轴上,中心在坐标原点,点A的坐标为(5,√3),P为双曲线右支上一动点,则|PF1|-|PA|的最大值为()A.2√2+2B.4√2+2C.2√2+4D.4√2+4【解析】选B.因

为等轴双曲线的左、右焦点F1,F2在x轴上,中心在坐标原点,所以可设双曲线的方程为x2-y2=a2,又因为双曲线的焦距为8,所以c=4,而2a2=c2,所以a2=8,故双曲线的标准方程为𝑥28-𝑦28=1.由双曲线的定义可知,|PF1|-|PA|=|PF2|-|PA|

+2a≤|AF2|+2a,由题意可知,F2(4,0),A(5,√3),a=2√2,所以|AF2|=2,故|PF1|-|PA|的最大值为|AF2|+2a=2+4√2,当且仅当P,A,F2三点共线且点P位于第一象限时取得最大值.【加练备选】(2024·成都模拟)已知F1,F2分别为双曲线�

�2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=2𝑏2𝑎,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2内心,若𝑆△𝐼𝑃𝐹1=𝑆△𝐼𝑃𝐹2+λ𝑆△𝐼𝐹1𝐹2,则λ的值为()A.√52B.12C.√5-12D.√5+1

2【解题策略】作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,可得IA=IB=IC=r,可以将𝑆△𝐼𝑃𝐹1=𝑆△𝐼𝑃𝐹2+λ𝑆△𝐼𝐹1𝐹2,转换为PF1=PF2+λF1F2,结合双曲线的定义以及|F1F2|=2𝑏2𝑎即可求

解.【解析】选C.如图所示:由题意知I为△PF1F2的内心,作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,△PF1F2内切圆半径为r,所以IA=IB=IC=r,又因为𝑆△𝐼𝑃𝐹1=𝑆△𝐼𝑃𝐹2+λ𝑆△𝐼�

�1𝐹2,即12r·PF1=12r·PF2+λ·12r·F1F2,化简得PF1=PF2+λF1F2,由双曲线定义可知PF1-PF2=2a=λ·(2c),因此有λ=𝑎𝑐;又因为|F1F2|=2𝑏2𝑎,且|F1F2|=2c以及c2=a2+b2,

联立并化简得a2+ac-c2=0,即(𝑎𝑐)2+𝑎𝑐-1=0,解得λ=𝑎𝑐=-1+√52或λ=-1-√52(舍去,因为λ=𝑎𝑐>0).11.(5分)(2024·广州模拟)已知双曲线C:𝑥2

𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),斜率为-√3的直线l过原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲线C的离心率为()A.√3+12B.√3+1C.2√3-1D.2√3-2【解析】选B.设

双曲线C的左焦点为F,右焦点为F',P为第二象限上的点,连接PF,PF',QF,QF',根据双曲线的性质和直线l的对称性知,四边形PFQF'为平行四边形.因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,所以PF⊥QF,即四边形PFQF'为矩形,由直线l的斜率

为-√3,得∠POF=60°,又|PO|=|FO|=c,则△POF是等边三角形,所以|PF|=c.在Rt△PFQ中,PQ=2c,则FQ=√3c,故|PF'|=√3c,又由双曲线定义知|PF'|-|PF|=2a,所以√3c-c=2

a,则e=𝑐𝑎=2√3-1=√3+1.12.(5分)(多选题)(2024·阜阳模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-y2=1(a>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线C右支上的动点,|F1F2|=4,则下列说法正确的是()A.双曲

线C的离心率e=2√33B.双曲线C与双曲线𝑦23-x2=1共渐近线C.若点P的横坐标为3,则直线PF1的斜率与直线PF2的斜率之积为25D.若∠F1PF2=π3,则△PF1F2的内切圆半径为4√33【解析】选AC.由题意,可得2c=|F1F2|=4,所以c=2

,则a2=c2-1=3,所以双曲线C:𝑥23-y2=1,其中a=√3,b=1,c=2,对于A中,双曲线C的离心率e=𝑐𝑎=2√3=2√33,故A正确;对于B中,双曲线C:𝑥23-y2=1的渐近线方程为y=±√33x,双曲线𝑦23-x2=1的渐近线方程为y=±√3x,故B错误;对于C中,

点P的横坐标为3,不妨记P在第一象限,则P(3,√2),因为F1(-2,0),F2(2,0),可得𝑘𝑃𝐹1·𝑘𝑃𝐹2=25,所以C正确;对于D中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a+|PF2|=2√3+x

,在△PF1F2中,由余弦定理得|𝐹1𝐹2|2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-2|PF1|·|PF2|·cosπ3,即x2+2√3x-4=0,解得x=√7-√3或x=-√7-√3(舍去),所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2√7+4,又由△PF1F2的面积为

12|PF1|·|PF2|·sin60°=√3,所以△PF1F2的内切圆半径为2𝑆△𝑃𝐹1𝐹2|𝐹1𝐹2|+|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=√21-2√33,所以D错误.13.(5分)(2024·无锡模拟)已知双曲线C:x2-�

�23=1.则其渐近线方程为y=±√3x;设A,B分别为双曲线C的左、右顶点,P为双曲线C上一点.若PA的斜率为1,则tan∠APB=12.【解析】双曲线C:x2-𝑦23=1中a=1,b=√3,所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x,设P(x,y

),由题意kAP=𝑦𝑥+1,kBP=𝑦𝑥-1,又因为x2-𝑦23=1,所以𝑦2𝑥2-1=3,即kAP·kBP=3,又kAP=tan∠PAB=1,所以kBP=tan(π-∠PBA)=3,所以tan∠APB=3-11+1×3=12

.14.(10分)(2024·合肥模拟)已知双曲线C:𝑥24-𝑦23=1.(1)求与双曲线C有共同的渐近线,且实轴长为6的双曲线的标准方程;(2)P为双曲线C右支上一动点,点A的坐标是(4,0),求|PA|

的最小值.【解析】(1)由题可设所求双曲线的方程为𝑥24-𝑦23=λ(λ≠0),①当λ>0时,方程为𝑥24𝜆-𝑦23𝜆=1,令4λ=(62)2得λ=94,即双曲线方程为𝑥29-𝑦2274=1;②当λ<0时,方程为𝑥24𝜆-𝑦23𝜆=1,令-3λ=(62)2得λ=-3,即

双曲线方程为𝑦29-𝑥212=1,所以双曲线的标准方程为𝑦29-𝑥212=1或𝑥29-𝑦2274=1.(2)设P点的坐标为(x0,y0)(x0≥2),则满足𝑥024-𝑦023=1,|PA|=√(𝑥0-4)2+𝑦02=√𝑥02+

𝑦02-8𝑥0+16=√𝑥02+3(𝑥024-1)-8𝑥0+16=√74𝑥02-8𝑥0+13=√74(𝑥0-167)2+277.则当x0=167时,|PA|有最小值为3√217.【素养创新练】15.(5分)双曲线具有光学性质,从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线

的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且cos∠BAC=-513,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0,则E的离心率为()A.√173B.√375C.√102D.√5【解析】选B.由题意知延长CA,DB,则必过点F1,如图:由双曲线的定义知{|𝐴𝐹1|-|𝐴𝐹2|=2𝑎|𝐵𝐹1|-|𝐵𝐹2|=2𝑎,又因为cos∠BAC=-513,所以cos∠

F1AB=513,因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以AB⊥BD,设|AF1|=13m,m>0,则|AB|=5m,|BF1|=12m,因此{|𝐴𝐹2|=13𝑚-2𝑎|𝐵𝐹2|=12𝑚-2𝑎,从而由|AF2|+|BF2|

=|AB|得13m-2a+12m-2a=5m,所以a=5m,则|BF1|=125a,|BF2|=25a,|F1F2|=2c,又因为|𝐵𝐹1|2+|𝐵𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2,所以(125𝑎)2+(25𝑎)2=(2

c)2,即37a2=25c2,即e=√375.