【文档说明】2023届数学一轮复习函数与导数：4.零点与应用【高考】.docx，共(13)页，669.259 KB，由小赞的店铺上传

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1第4讲：函数零点的综合应用一．设计思路若对零点及其应用设计大单元的微专题设计，就必须深入思考零点及其应用的教学意义和价值，它究竟在高中函数板块的学习中起着什么样的作用？我认为其价值有：1.凸显了函数的应用价值，即方程求

根实际上并不是普遍的方法，随着方程形式越发复杂，求精确根已经是次要的了，重要的是探讨根的存在性，只要存在，总可以设计算法求出近似解，这已经是现代计算数学的基本特点了.而存在性的分析就需要借助整体的性态.若零点存在是一个局部现象的话，我们对局部问题的分析从整体角度入手，这是数学发展中最重要的思想

.2.既然零点的分析凸显函数的价值，那么零点问题实际就是一个分析函数整体形态的问题，这也就是为何零点是必考内容的原因了.考察零点，就是考察学生分析函数的能力.3.着重提高直观想象能力，分析零点离不开函数图象，而作图能力又进一步会提升分析函数形态的逻辑推理能力.基于上述三点分析，可以肯

定的是：零点是函数应用中最重要的载体，零点的微专题拔高设计就应该突出对作图能力的提升，以及对函数性质的分析.在上述目标之下，再引入一些常见的零点问题的处理手法，分离参数，多变量零点的处理等常见题型，为后续学完导数后再次应用零

点奠定坚实的基础.于是，我将在导数之前常见的零点问题做了如下归类，即图象分析类的选填部分与函数性态分析综合解答题部分两块，然后再梳理一些常见题型.二.图象分析的零点题型题型1.已知函数)(xf，讨论一元二次型方程0)()(2=++cxbfxf根的个数.解法剖析：换

元，一元二次方程根的分布.例1.已知函数()1221,0log,0xxfxxx++=若关于x的方程()()2220fxafx−+=有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）．A．110,6B．111,6C．32,2D．32,2

2【详解】令()fxt=，则()222gttat=−+，作()fx的图象如图所示，设()222gttat=−+的零点为1t、2t，由图可知，要满足题意，则需()222gttat=−+在(1,

3上有两不等的零点，则()()213132031160480agagta=−=−=−，解得322a．因此，实数a的取值范围是32,2.故选：D.小结：对于复合函数()yfgx=的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数()ugx=和外层函数()yfu=；（2）确定外层函数()yfu=的零点()1,2,3,,iuuin==；（3）确定直线()1,2,3,,iuuin==与内层函数()ugx=图象的交

点个数分别为1a、2a、3a、、na，则函数()yfgx=的零点个数为123naaaa++++.3例2.已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且满足()()12xfxgx−−=.（1）求()fx、()gx；（2）若()()()112hxfxgx=+−

，且方程()()21202hxkhxk−++=有三个解，求实数k的取值范围.【详解】（1）因为()fx为偶函数，()gx为奇函数，由已知可得()()12xfxgx+−−−=，即()()12xfxgx++=，所以，()()()()1122xxfxgxfxgx−+−=+

=，解得()()2222xxxxfxgx−−=+=−；（2）()()()12,01121221,0xxxxhxfxgxx−=+−=−=−，作出函数()hx的图象如下图所示：由(

)()21202hxkhxk−++=可得()()1202hxhxk−−=，由图可知，方程()12hx=有两个不等的实根，由题意可知，方程()2hxk=有且只有一个根，故20k=或21

k，解得0k=或12k.因此，实数k的取值范围是10,+2.4题型2.kxff=))((型方程例3.已知函数222,0()43,0xxxfxxxx−−=−+，,0()||,0xexgxlnxx=

，则函数()(())1hxgfx=−的零点个数为()个．A．7B．8C．9D．10解：令()0hx=得(())1gfx=，令()1gx=得10xex=或||10lnxx=，解得0x=或xe=或1xe=．()0fx=或()fxe=或1()fxe=．作出()fx的函数图象如

图所示：由图象可知()0fx=有4个解，()fxe=有两个解，1()fxe=有4个解，()hx共有10个零点．故选：D．练习.（多选）已知函数21,0()log,0kxxfxxx+=，下列是关于函数[()]1yffx=+的零点个数的4个判断，其中正确的是()A．当0k

时，有3个零点B．当0k时，有2个零点C．当0k时，有4个零点D．当0k时，有1个零点5【解答】解：由[()]10yffx=+=，得[()]1ffx=−，设()fxt=，则方程[()]1ffx=−等价为()1ft=−，①若0k，作出

函数()fx的图象如图：()1ft=−，此时方程()1ft=−有两个根其中20t，101t，由2()fxt=，0，知此时x有两解，由1()(0,1)fxt=知此时x有两解，此时共有4个解，即函数[()]1yffx=+有4个零点．②若0k，作出函数()fx的

图象如图：()1ft=−，此时方程()1ft=−有一个根1t，其中101t，由1()(0,1)fxt=知此时x只有1个解，即函数[()]1yffx=+有1个零点．故选：CD．小结：求解复合函数[()]ygfx=零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为

紧密，在处理问题的开始要作出(),()fxgx的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于()fx的方程[()]0gfx=中()fx解的个数，再根据个数与()fx的图像特点,分配每个函数值()ifx被几个x所对应,从而确

定()ifx的取值范围,进而决定参数的范围.6题型3.分段函数的零点例4．已知函数()ln,0,0xxxfxex=，()()gxfxxb=+−.若()gx存在2个零点，则b的取值范围是（）A．)1,0−B．(,1−C．)1,+D．(0,1

【答案】B【详解】由()0gx=得()fxxb=−+，作出函数()fx和yxb=−+的图象如图：当直线yxb=−+的截距1b„，两个函数的图象都有2个交点，即函数()gx存在2个零点，故实数a的取值范围是(−，1]，故选：B．例5．已知函数21log|2|,1()(1)5,1axxfxx

ax+−=−+(0a，且1a)在区间(,)−+上为单调函数，若函数|()|2yfxx=−−有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．13,55B．12,55C．1313,55

20D．1213,5520【答案】C7【详解】因为函数()fx在区间(,)−+上为单调函数，且()fx在(1,)+上为单调递增函数，所以()fx在(,1]−上也为单调递增函数，因为|2|yx=−在(,1]−上为单调递减

函数，所以01a，且21log|12|(11)5aa+−−+，即15a，所以115a，若函数|()|2yfxx=−−有两个不同的零点，则函数|()|yfx=的图像与直线2yx=+有两个不同的交点，作出函数|()|yfx=的图像与直线2yx=+，如图：由图可知，当125a+，即1355

a时，符合题意；当125a+，即35a时，直线2yx=+与抛物线2(1)5yxa=−+相切也满足，联立直线2yx=+与抛物线2(1)5yxa=−+，消去y得23510xxa−+−=，所以94(51)0a=−−=，解得1320a

=，符合.综上所述：实数a的取值范围是1313,5520.故选：C练习．已知函数2(43)3,0()log(1)1,0axaxaxfxxx+−+=++(0a且1a)在R上单调

递减，且关于x的方程|()|23xfx=−恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．20,3B．23,34C．12,33D．12,33【答案】D题型4.整点问题例6．设函数()22()xeefxxax=−−.若只存在唯一非负整数0x，使得

()00fx，则实数a取值范围为A．(2,0ee−B．()2,1e−C．(,0−D．()2,eee−【答案】A【详解】8令()22()xgxeex=−，()hxax=，则()()()fxgxhx=−，()22()xgxeex=−，令()=0gx，解得

=0x或=2x，2x时，有()0gx02x时，有()0gx0x，时有()0gx，可以描绘出()22()xgxeex=−的草图：()hxax=为过点()0,0的直线，如图可知：当0a不成立当0a时，01x=，所以(1

)0f，得2aee−所(2,0xee−.故选：A4.多变量零点问题92．已知函数2log(),0,()2,0,xxfxxx−=−若函数()()gxafx=−有四个零点1234,,,xxxx，且1234xxxx<<<，则3412xxaxxa++的取值范围是（）A．

(1,)+B．[4,)+C．)1,4D．)1,2【答案】B【详解】函数()()gxafx=−有四个零点1234,,,xxxx，即方程()fxa=有四个根1234,,,xxxx.作出函数()yfx=的图像如图.根据函数图像

，方程()fxa=有四个根，则02a()()2122loglogxx−=−，则121=xx3422xx−=−，则344xx+=所以34124xxaxxaaa++=+由对勾函数4yxx=+在(0,2上单调递减，所以44aa+，当2a=时等号成立则3412xxaxxa++的取值范围是)4+

，故选：B9．已知ln,0()2ln,xxefxxxe=−，若,,abc互不相等，且()()()fafbfc==，则2eabc++的范围是（）A．()2,eeB．13,2ee+C．1[22,2)ee+D．[22,)+10【答案】

B【详解】解：画出ln,0()2ln,xxefxxxe=−的图像，如图所示，设abc＜＜，则|ln||ln|ab=，有lnln0ab+=，1ab=，且11ae＜＜,1be＜＜,当xe时，2lnyx=

−单调递减，可得其与x轴交于2(,0)e点，可得2ece＜＜，故可得：211abecee＜＜＜＜＜＜，由ln=2lnbc−，可得2bce=，故可得21==2=2ebcabababbccb++++++，由对勾函数性质

及1be＜＜，可得1122bebe++3＜＜，故可得2eabc++的范围是13,2ee+，故选：B.3.零点综合问题14．已知函数()()2log41xfxkx=++是偶函数.11（1）求实数k的值；（2）设()()24log23xgxaaaR=+

，若函数()()yfxgx=−有唯一的零点，求实数a的取值范围.解：（1）()fx是偶函数，()()fxfx−=，()()22log41log41xxkxkx−+−=++，220xkx+=.此式对于一切xR恒成立，1k=−（2）函数()fx与()gx的图像有且只有一个公

共点，等价于方程()()fxgx=有唯一的实数解，等价于方程441223xxxaa+=+有唯一实数解，且0a，令2xt=，则此问题等价于方程24(1)103atat−+−=只有一个正实根，且0a.当1

0a−=，即1a=时，则3t4=成立；当10a−，即1a时，①若2164(1)09aa=+−=，即34a=或3a=−，当34a=时，代入方程2t=得成立；当3a=−时，得12t=−，不符合题意；②若方程有一

个正根和一个负根，即101a−−，即1a，符合题意.综上所述，实数a的取值范围是3[1,)4+.16．已知函数()24axaxbfx=−+在区间0,1上的最大值为1，最小值为2−.(1)

求a，b的值；(2)若函数()fx在区间0,1上为单调递减函数令函数()()fxgxx=，若方程()()42210xxxgm−−−−=在(20,log3上有两个不同实数根，求实数m的取值范围.【详解】(1)可知0a，当0a时，()fx在0,1上是单调递减，所以()01fb==，(

)142faab=-+=-，解得1a=，1b=.当0a时，()fx在0,1上是单调递增，12所以()02fb==−，()141faab=−+=，解得1a=−，2b=−.(2)因为()fx在0

,1上是单调递减，由(1)知1a=，1b=.则()14xxxg=+−.()()()42214442210xxxxxxxgmm−−−−−−=+−−−−=，()()22222210xxxxm−−−−−−−=.令22xxt−=−，易知

函数()tx在(20,log3上是单调递增，所以80,3t.即220tmtm−+−=在区间80,3上有2个不同的实数解.224(2)0,80,2320,8820,33mmmmmm=−−−

−+−解得46215m.17．已知函数()24()log21xfxmx=++的图象经过点233,log324P−+.（1）求m的值，并判断()fx的奇偶性；（2）设()4()log2()xgxxaa=++R，若关于x的方程()()

fxgx=在[2,2]x−上有且只有一个解，求a的取值范围.【详解】（1）由于函数()yfx=的图象经过点233,log324P−+，得()2322442233333log3log21log9log3log342222mmmm−=++=+=+=+，所以3342−=，解得12m=−

.所以()()()24411log21log4122xxfxxx=+−=+−，且定义域为R，13又()()()()44414111log41loglog412422xxxxfxxxxfx−+−=++=+=+−=，因此，函数()yfx=是偶函

数；（2）因为()()()4444141log41log41log2log22xxxxxfxx+=+−=+−=，当()()fxgx=时，()4441log2log2xxxxa+++=，得41202xxxxa+++=

，整理得12xax=−，因为当2,2x−时，函数12xyx=−单调递减，所以71642xx−−，所以使方程有唯一解时a的取值范围是7,64−

．