【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 3．2 函数的基本性质 Word版含解析.docx，共(23)页，1.390 MB，由小赞的店铺上传

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第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质例1根据定义，研究函数()fxkxb=+（0k）的单调性.分析：根据函数单调性的定义，需要考察当12xx时，()()12fxfx还是()()12fxfx.根据实数大小关系的基

本事实，只要考察()()12fxfx−与0的大小关系.解：函数()fxkxb=+（0k）的定义域是R.1x，2xR，且12xx，则()()()()1212fxfxkxbkxb−=+−+()12kxx=−.由12xx，得12

0xx−.所以①当0k时，()120kxx−.于是()()120fxfx−，即()()12fxfx.这时，()fxkxb=+是增函数.②当0k时，()120kxx−.于是()()120fxfx−，

即()()12fxfx.这时，()fxkxb=+是减函数.例2物理学中的玻意耳定律kpV=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.分析：根据

题意，只要证明函数kpV=（(0,)V+）是减函数即可.证明：1V，2(0,)V+，且12VV，则21121212VVkkppkVVVV−−=−=.由1V，2(0,)V+，得120VV；由12VV，得

210VV−.又0k，于是120pp−，即12pp.所以，根据函数单调性的定义，函数kpV=，(0,)V+是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.例3根据定义证明函数1yxx=+在区间(1,)+上单调递增

.证明：1x，2(1,)x+，且12xx，有()12121212121111yyxxxxxxxx−=+−+=−+−()()2112121212121xxxxxxxxxxxx−−=−+=−.由1x，2(1,)x+，得11x，21x

.所以121xx，1210xx−.又由12xx，得120xx−.于是()12121210xxxxxx−−，即12yy.所以，函数1yxx=+在区间(1,)+上单调递增.例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它

达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为2()4.914.718httt=−++，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数2()4.914.718htt

t=−++的图象如图显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数2()4.914.718httt=−++，我们有：当14.71.52(4.9)t=−=−时，函数有最大值24(4.9)1814.7294(

4.9)h−−=−.于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.例5已知函数2()1fxx=−（[2,6]x），求函数的最大值和最小值.分析：由函数2()1fxx=−（[2,6]x）的图象，如图可知，函数2

()1fxx=−在区间[2,6]上单调递减.所以，函数2()1fxx=−在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：1x，2[2,6]x，且12xx，则()()12122211fxfxxx−=−

−−()()()()211221111xxxx−−−=−−()()()2112211xxxx−=−−.由1226xx??，得210xx−，()()12110xx−−，于是()()120fxfx−，即()()12fxfx.所以，函数

2()1fxx=−在区间[2,6]上单调递减因此，函2()1fxx=−在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.在2x=时取得最大值，最大值是2；在6x=时取得最小值，最小值是0.4.例6判断下列函数的奇偶性：（1）4()fxx=；（2）5()fxx=；（3）1()fxxx=+；（4

）21()fxx=.解：（1）函数4()fxx=的定义域为R.因为xR，都有x−R，且44()()()fxxxfx−=−==，所以，函数4()fxx=偶函数（2）函数5()fxx=的定义域为R.因为xR，都有x−R，且55()()()fxxxfx−

=−=−=−，所以，函数5()fxx=为奇函数.（3）函数1()fxxx=+的定义域为|0xx.因为|0xxx，都有|0xxx−，且11()()fxxxfxxx−=−+=−+=−−，所以，函数1()fxxx=+奇函数

.（4）函数21()fxx=的定义域为|0xx.因为|0xxx，都有|0xxx−，且2211()()()fxfxxx−===−，所以，函数21()fxx=为偶函数.3.2.1单调性与最大（小）值练习1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.【答案】见

解析.【解析】【分析】为为根据函数图象分析生产效率与生产线上工人数量间的关系.【详解】解：该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数，当工人数为零时，生产效率为零；在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率随之升高；超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而随之降低.【点睛】本

题考查函数图象的实际意义，属于基础题.2.根据定义证明函数()32fxx=+是增函数.【答案】见解析.【解析】【分析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.【

详解】证明：12,Rxx，且12xx，则()()()()()12121232323fxfxxxxx−=+−+=−.12xx，120xx−，()()120fxfx−，即()()12fxfx.∴函数()32fxx

=+在R上是增函数.【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.3.证明函数2()fxx=−在区间(,0)−上单调递增.【答案】见解析.【解析】【分析】利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.【详解】证明：12,(,

0)xx−，且12xx，则()()()121212211222222xxfxfxxxxxxx−−=−−−=−=.12,(,0)xx−，120xx.又12xx，120xx−.()()120fxfx−，即()()12fxfx.∴函数2

()fxx=−在区间(,0)−上单递增.【点睛】本题考查函数单调性的证明，属于基础题.4.画出反比例函数kyx=的图象.（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域Ⅰ上的单调性是怎样的？证明你的结论.【答案】（1）定义域为(,0)(0,)−+；（2）见解析

.【解析】【分析】（1）分0k和0k两种情况分别画出图象，根据图象即可得到函数的定义域.（2）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论，这样的步骤完成即可.【详解】解：当0k时，图象如图（1）.

当0k时，图象如图（2）.（1）定义域为(,0)(0,)−+.（2）当0k时，()kfxx=在(,0)−，(0,)+上都是减函数.当0k时，()kfxx=在(,0)−，(0,)+上都是增函数.证明如下：当0k时，12,(,0)xx−且

12xx，则()()()21121212kxxkkfxfxxxxx−−=−=.12,(,0)xx−，12xx，120xx.210xx−.()()120fxfx−，即()()12fxfx.∴当0k时，()kfxx=在(,0)−上是减函数，

类似地，可以证明其他三种情况.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，属于基础题.练习5.整个上午（8:00～12:00）天气越来越暖，中午时分（12:00～13:00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18:00）才又

开始转凉.画出这天8:0～20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间.【答案】图见解析，单调增区间：[8,12)，[13,18)；单调减区间：[12,13)，[18,20].【解析】【分析】依题意得到函数的大致图象，结合图象分析单调性.【详解】解

：依题意可得函数的一个可能图象如下图所示.单调增区间：[8,12)，[13,18)；单调减区间：[12,13)，[18,20].【点睛】本题考查函数图象以及函数的单调性及应用，属于基础题.6.设函数()fx的定义域为[6,11]−.

如果()fx在区间[6,2]−−上单调递减，在区间[2,11]−上单调递增，画出()fx的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f−是函数()fx的一个______.【答案】最小值.【解析】【分析】根据函数的最大（小）值的定义即可得解

.【详解】解析：依题意，()fx在区间[6,2]−−上单调递减，在区间[2,11]−上单调递增从函数图象上可得，图象在[6,2]−−上从左至右下降，在[2,11]−上从左至右上升，从而可得()fx在[6,11]−上的大数图象如图所示.由图可知(2)f−是函数()fx的一个最小值故答

案为：最小值.【点睛】本题考查函数的单调性的应用，函数的最值的概念，属于基础题.7.已知函数1()fxx=，求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值.【答案】max1()2fx=，min1()6fx=.【解析】【分析】首先证明函数在给定的区间上

的单调性，即可得到函数的最值.【详解】解：12,[2,6]xx，且12xx，则()()2112121211xxfxfxxxxx−−=−=.12,[2,6]xx，120xx.又12xx，210xx−.()()120fxf

x−，即()()12fxfx.1()fxx=在[2,6]上是减函数，max1()(2)2fxf==，min1()(6)6fxf==.【点睛】本题考查函数单调性的证明，函数单调性的应用，属于基础题.3.2.2奇偶性练习8.已知()fx是偶函数,()gx是奇函数,

试将下图补充完整.【答案】见解析【解析】【分析】利用奇偶函数的对称性补充完整图象得解.【详解】解:因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示.【点睛】本题主要考查奇偶函数的对称性的应用，

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.判断下列函数的奇偶性：（1）()4223fxxx=+；（2）()22fxxx=−．【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的定

义域，计算出()fx−、()fx的关系，由此可得结论；（2）求出函数()fx的定义域，计算出()fx−、()fx的关系，由此可得结论.【详解】（1）函数()4223fxxx=+的定义域为R，()()()()42422323

fxxxxxfx−=−+−=+=，所以，函数()fx为偶函数；（2）函数()22fxxx=−的定义域为R，()()()2222fxxxxx−=−−−=+，则()()fxfx−且()()fxfx−−，所以，函数()fx为非奇非偶函数.10.(1)从偶函数的定义出发

,证明函数()yfx=是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;(2)从奇函数的定义出发,证明函数()yfx=是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得证.【详解】

证明:(1)充分性:若()yfx=的图象关于y轴对称,设()()00,Mxfx为图象上任意一点,则M关于y轴的对称点()()'00,Mxfx−仍在该图象上,即()()00fxfx−=.所以()yfx=为偶函数,必要性:若()yfx=为偶函数,设()()'00,Mxfx为()fx图象上任意一点,

M关于y轴的对称点为()()'00,Mxfx−,由于()fx为偶函数,所以()()00fxfx=−,所以()()00,Mxfx−−在()fx的图象上,所以()fx的图象关于y轴对称.(2)充分性:若()yfx=的图象关于原点对称,设()()00,Mxfx为其图象上任意一点,则M关于原点的对

称点()()'00,Mxfx−−仍在该图象上,所以()()00fxfx−=−,所以()yfx=为奇函数.必要性:若()yfx=为奇函数,设()()00,Mxfx为其图象上任意一点,则M关于原点的对称点为()()'00,Mxfx−−,由于()yf

x=为奇函数,所以()()00fxfx−=−,所以()()'00,Mxfx−−仍在()yfx=的图象上,所以()yfx=的图象头于原点对称.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

习题3.2复习巩固11.根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.【答案】单调区间为：[1,0)[0,2),[2,4),[4,5]−,；在区间[0,2)和[4,5]上单调递增，在区间[1,0)−和[2,4)上单调递减.【解析】【分析】根据图象写出单调区间以及每一单调区间上的单调性.【

详解】由图象可知该函数的单调区间为：[1,0)[0,2),[2,4),[4,5]−，；其中在区间[0,2)和[4,5]上单调递增，在区间[1,0)−和[2,4)上单调递减.【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，属于基础题.12.画出下列函数的图象，并根据图象说

出函数()yfx=的单调区间及在每一单调区间上的单调性.（1）256yxx=−−；（2）29yx=−.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】根据二次函数的性质画出函数的图象，由图象

说出函数的单调区间以及单调性.【详解】解：（1）函数256yxx=−−的图象如图（1）所示.由图象可知：单调区间有55,,,22−+.其中()yfx=在区间5,2−上是减函数，在区间5,2+

上是增函数.（2）函数29yx=−的图象如图（2）所示.由图象可知：单调区间有(,0],(0,)−+.其中()yfx=在区间(,0]−上是增函数，在区间(0,)+上是减函数.【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数的单调性，

属于基础题.13.证明：（1）函数()21fxx=−+是减函数；（2）函数2()1fxx=+在(0,)+上单调递增；（3）函数1(1)fxx=−在(,0)−上单调递增.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【

解析】【分析】利用函数单调性的定义证明即可.【详解】证明：（1）12,xxR且12xx，则()()()()12122121212fxfxxxxx−=−+−−+=−，即()()12fxfx.()2

1fxx=−+是减函数.（2）120xx，则()()()()()()221212121211fxfxxxxxxx−=+−+=+−.()()121212120,0,0,0xxxxxxfxfx+−−，即()()12

fxfx，2()1fxx=+在(0,)+上单调递增.（3）120xx，则()()1212122112111111xxfxfxxxxxxx−−=−−−=−=.1212120,0,0xxxxxx−，()()1212120xxfxfxxx−−=，即(

)()12fxfx.1()1fxx=−在(,0)−上单调递增.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题.14.某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为21622100050xyx=−+−，那么

，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】4050元，最大月收益307050元【解析】【分析】将函数21(4050)30705050yx=−−+化为顶点式，由二次函数的性质即可得出结论.【详解】解：21(4050

)30705050yx=−−+，∴当4050x=时，max307050y=.即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元.【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题，属于中等题.15.判断下列函数的奇偶性：（1）2()1fxx=+；

（2）2()1xfxx=+.【答案】（1）偶函数；（2）奇函数.【解析】【分析】根据奇偶函数的定义证明即可.【详解】解：（1）定义域为R，22()()11()fxxxfx−=−+=+=，2()1fxx=+为偶函数.（2）定义域为R，22

()()()11xxfxfxxx−−−===−−++，2()1xfxx=+为奇函数.【点睛】本题主要考查了证明函数的奇偶性，属于基础题.综合运用16.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减

退，心率再次慢慢升高，画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.【答案】图像见解析【解析】【分析】以服药的时间作为横坐标，以心率作为纵坐标，根据题意，画出图象即可.【详解】解：心率关于时间的一个可能的图象如图所示.【点睛】本题主要考查了根据实际问题作函数图象，属于基础题

.17.已知函数()22fxxx=−，()2()22,4gxxxx=−.（1）求()fx、()gx的单调区间；（2）求()fx、()gx的最小值.【答案】（1）函数()yfx=的减区间为(,1−，增区间为()1,+，函数()ygx=的增区间为2,4；（2）函数

()yfx=的最小值为1−，函数()ygx=的最小值为0.【解析】【分析】（1）分析二次函数()22fxxx=−图象的开口方向和对称轴，可得出函数()yfx=的减区间和增区间，以及函数()ygx=的增区间；（2）由函数()yfx=和函数()ygx=的单调性可得出这两个

函数的最小值.【详解】（1）函数()22fxxx=−的图象开口向上，对称轴为直线1x=，所以，函数()yfx=的减区间为(,1−，增区间为()1,+，函数()ygx=的增区间为2,4；（2）由（1）知，函数()yfx=在1x

=处取得最小值1−，由于函数()ygx=在定义域2,4上单调递增，则函数()ygx=在2x=处取得最小值0.【点睛】本题考查二次函数的单调区间与最值的求解，解题时要分析二次函数的图象的开口方向和对称轴及函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，

属于中等题.18.（1）根据函数单调性的定义证明函数9yxx=+在区间[3,)+上单调递增.（2）讨论函数9yxx=+在区间(0,)+上的单调性.（3）讨论函数(0)kyxkx=+在区间(0,)+上的单调性.【答案】（1）证明见解析（2）讨论见

解析（3）讨论见解析【解析】【分析】利用函数单调性的定义证明函数的单调性即可.【详解】（1）证明12,[3,)xx+且12xx，则12121299yyxxxx−=+−+()()()1212121212999xxxxxxxxxx−−=−+−=.1212

12,[3,),0,9xxxxxx+.又121212,0.0xxxxyy−−即12yy.9yxx=+在区间[3,)+上单调递增.（2）解：12,(0,)xx+且12xx.()()121212121212999xxxxyyxxxxxx−−−=+−+=.①

当12,(0,3]xx时，12120,90xxxx−，又120xx−，120yy−即12yy.9yxx=+在(0,3]上为减函数.②当12,[3,)xx+时，12120,90xxxx−，又120xx−.120yy−即12

9yyyxx=+在[3,)+上为增函数.（3）12,(0,)xx+且12xx，则()()121212121212xxxxkkkyyxxxxxx−−−=+−+=.①当12,(0,]xxk时，12120,0xxxxk−，又120xx−，12

0yy−即12yy.(0)kyxkx=+在(0,]k上为减函数.②当12,[,)xxk+时12120,0xxxxk−，又120xx−，120yy−，即12yy.(0)kyxkx=+在[,)k+上为增函数.【点睛】本题主要考查了

利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题.19.设函数()yfx=的定义域为I，区间DI，记()()1212,xxxyfxfx=−=−.证明：（1）函数()yfx=在区间D上单调递增的充要条件是：1

212,xxDxx，，都有0yx；（2）函数()yfx=在区间D上单调递减的充要条件是：1212,xxDxx，，都有0yx.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出

()fx在D上单调递增，再证必要性，不妨设12xx，则120xxx=−，由函数()yfx=在D上单调递增，得出1212,0yyyyy=−，即可证明0yx；（2）先证明充分性，利用函数单调性的定义以及题设条件得出()fx在D上单调递减，再证必要性，不妨设12

xx，则120xxx=−，由函数()yfx=在D上单调递减，得出()()120yfxfx=−，即可证明0yx；【详解】证明：（1）充分性：不妨设12xx，则120xxx=−()()120,0yyfxfxx=−即()()12,fxfx()fx

在D上单调递增.必要性：若()yfx=在D上单调递增.则12,xxD，不妨设1212,0xxxxx=−，则1212,0yyyyy=−.0yx.即1212,,xxDxx，都有0yx.（2）充分性：不妨设12xx

，则120xxx=−，()()120,0yyfxfxx=−，即()()12fxfx，()fx在D上单调递减.必要性：若()yfx=在D上单调递减.12,xxD，不妨设1212,0xxxxx=−，则()()1200yyfxfxx=−，.即12

12,,xxDxx，都有0yx.【点睛】本题主要考查了利用函数单调性的定义证明单调性以及利用单调性比较函数值的大小，属于中档题.20.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那

么宽x（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？【答案】当5x=时，37.5y=【解析】【详解】3032xyx−=，当5x=时，37.5y=21.已知函数()fx是定义在R上的

奇函数，当0x时，()()1fxxx=+，画出函数()fx的图像，并求出()fx的解析式．【答案】图像见解析，()22,0,0xxxfxxxx−+=+【解析】【分析】先利用奇函数的图像关于原点对称画

出函数图像，再利用奇函数的定义求出解析式．【详解】因为函数()fx是定义在R上的奇函数，所以图像关于原点对称且()()fxfx−=−，图像如图所示当0x时，()()1fxxx=+，所以当0x时，0x−

，则()()()()1fxxxfx−=−−=−，整理有()()21fxxxxx=−=−+，所以()fx的解析式为()22,0,0xxxfxxxx−+=+【点睛】本题考查由奇偶性求函数的解析式，属于简单题．拓广探索22.已知函

数()fx是偶函数，而且在(0,)+上单调递减，判断()fx在(,0)−上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.【答案】单调递增，证明见解析【解析】【分析】任取120xx，则120xx−−，根据函数()fx在(0,)+

的单调性，得出()()12fxfx−−，结合函数()fx的奇偶性，得出()()12fxfx，由函数单调性的定义作出判断即可.【详解】解：()fx在(,0)−上单调递增任取120xx，则120xx−−.()fx在(0,)+上单调递减，()()12fxf

x−−.()fx是偶函数，()()()()1122,fxfxfxfx−=−=.()()12fxfx，故()fx在(,0)−上单调递增.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义以及函数奇偶性的应用，属于中档题.23.我

们知道，函数()yfx=的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()yfx=为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()yfx=的图象关于点(,)Pab成中心对称图形的充要条件是函数()yfxab=+−为奇函数.（1）求函

数32()3fxxx=−图象的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数()yfx=的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数()yfx=为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）(1,2)−；（2）见解析【解析】【分析】（1）将函数()fx的解析式经过适当的变形，得

出3(1)23yfxxx=++=−，构造函数()gx，利用奇偶性的定义证明()gx为奇函数，根据题设条件即可得出函数32()3fxxx=−图象的对称中心；（2）将“函数()yfx=的图象关于点(,)Pab成中心对称图形

”，类比为“函数()yfx=的图象关于直线xa=成轴对称图形”，再将“函数()yfxab=+−为奇函数”，类比为“函数()yfxa=+为偶函数”，即可写出结论.【详解】解：（1）3233()3(1)3(1)2,(1)23

fxxxxxyfxxx=−=−−−−=++=−.设3()3gxxx=−，则33()()3()3()gxxxxxgx−=−−−=−+=−.()gx为奇函数.32()3fxxx=−的图象关于点(1,2)−对称.即32()3fxxx=−的图象的对称中心是点(1,2)−.（2）函数

()yfx=的图象关于直线xa=成轴对称图形的充要条件是函数()yfxa=+为偶函数.