【文档说明】【精准解析】第13章参数方程与极坐标检测A卷【高考】.docx，共(17)页，888.367 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)选修系列—坐标系与参数方程章节验收测试卷A卷姓名班级准考证号1．在平面直角坐标系xOy中,设倾斜角为的直线l的参数方程为3cos(2sinxtyt=+=+为参数）．在以坐标原点O为极点

，以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2213cos=+，直线l与曲线C相交于不同的两点,AB．（1）若6=，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若OP为PA与PB的等比中项，其中()3,2P，求直线l的斜率．【答案】（1）330xy−+=,2244xy

+=；（2）455.【解析】（1）因为6=，所以直线l的参数方程为332122xtyt=+=+（t为参数）.消t可得直线l的普通方程为330xy−+=.因为曲线C的极坐标方程2213cos=+可化为()221

3cos4+=，所以曲线C的直角坐标方程为2244xy+=.（2）设直线l上两点,AB对应的参数分别为1t，2t，将3cos2sinxtyt=+=+代入曲线C的直角坐标方程2244xy+=可得224(3cos)(2sin)4

tt+++=，化简得()2224cossin(83cos4sin)120tt++++=，-2-因为122212||||4cossinPAPBtt==+，2||7OP=，所以221274cossin=+，解得216tan5=.因为()222(83cos4

sin)484cossin0=+−+即2sin(23cossin)0−，可知tan0，解得45tan5=，所以直线l的斜率为455.2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sinxtyt

=−+=+（t为参数，0,），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos=−.（Ⅰ）写出当34=时直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()1,1P−，直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求11

PAPB+的最大值.【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为0xy+=，曲线C的直角坐标方程为2240xyx++=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）当34=时，由212212xtyt=−−=+，消去参数t

可得：0xy+=，即直线l的普通方程为0xy+=，由4cos=−得24cos=−，得224xyx+=−，∴曲线C的直角坐标方程为2240xyx++=.（Ⅱ）显然，点()1,1P−在直线l上，联立221cos1sin40xtytxyx=−+=+++=

得：()22cossin20tt++−=，-3-设A，B对应的参数为1t，2t，则()122cossintt+=−+，122tt=−，∴()212121212121241111ttttttPAPBtttttt+−−

+=+==()24cossin84sin21222+++==，∴当sin21=时，11PAPB+取得最大值2.3．在直角坐标系xOy中，曲线1C：5cos25sinxy==+（为参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C：24c

os3=−.（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若曲线1C与2C交于A，B两点，A，B的中点为M，点()0,1P−，求PMAB的值.【答案】（1）1C的普通方程为()2225xy+−=，2C的直角坐标方程为22430xyx+−+=；（2

）3.【解析】（1）曲线1C的普通方程为()2225xy+−=.由222xy=+，cosx=，得曲线2C的直角坐标方程为22430xyx+−+=.（2）将两圆的方程()2225xy+−=与22430xyx+

−+=作差得直线AB的方程为10xy−−=.点()0,1P−在直线AB上，设直线AB的参数方程为22212xtyt==−+（t为参数），代入22430xyx+−+=化简得23240tt−+=，所以1232tt+=，124tt=.-4-因为点M对应的参数为1

23222tt+=，所以()21212121232422ttPMABtttttt+=−=+−32184432=−=.4．已知平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为23cos13sinxy=+=+（为参数）

.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）过点(2,1)−的直线l与曲线C交于A，B两点，且2AB=，求直线l的方程.【答案】（Ⅰ）24cos2sin40−−−=；（Ⅱ）

10xy++=或30xy−+=.【解析】（Ⅰ）消去参数，可得曲线C的普通方程为22(2)(1)9xy−+−=，224240xyxy+−−−=.由cossinxyrqrqì=ïí=ïî所以曲线C的极坐标方程为24cos2sin40−−−=.（Ⅱ）显然直线l的斜率

存在，否则无交点.设直线l的方程为1(2)ykx−=+，即210kxyk−++=.而2AB=，则圆心到直线l的距离2291222ABdr=−=−=.又2|4|1kdk=+，所以2|4|221kk=+，解得1k=.所以直线l的方程为10xy++=或30xy

−+=.5．在直角坐标系xOy中，(2,0)A，(0,1)B，以O为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：222412cosp−=.(1)求曲线C的直角坐标方程；-5-(2)动点P是曲

线C在第一象限的点，当四边形OAPB的面积最大时，求点P的直角坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）四边形APBO的面积时，P点为31,2.【解析】(1)2224412xyx+−=,整理得22143xy+=(2)由动点P是

曲线C在第一象限的点，设点(2cos,3sin)02P设四边形APBO的面积为S，则11π23sin12cos2sin226OAPOBPSSS=++=+=所以当3

=时，S最大，此时P点31,26．在直角坐标系xOy中，曲线1cos:1sinxtCyt==+（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方

程为2cos333−=.（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）已知点()2,0M，直线l的极坐标方程为6=，它与曲线1C的交点为O，P，与曲线2C的交点为Q，求MPQ的面积.【答案】（1）1:2sinC=（2）1【解析】（1）1cos

:1sinxtCyt==+，其普通方程为()2211xy+−=，化为极坐标方程为1:2sinC=（2）联立1C与l的极坐标方程：2sin6==，解得P点极坐标为1,6-6-联立2C与

l的极坐标方程：2cos3336−==，解得Q点极坐标为3,6，所以2PQ=，又点M到直线l的距离2sin16d==，故MPQ的面积112SPQd==.7．在直角坐标系中，圆C的参数方程为：12cos32sinxy

=+=+（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l：costsinxty==（t为参数）被圆C截得的弦长为23，求直线l的倾斜角.【答案】（1）4cos3

=−；（2）6或2【解析】（1）圆C：12cos32sinxy=+=+，消去参数得：()()22134xy−+−=，即：222230xyxy+−−=，∵222xy=+，cosx=，siny=.∴22cos23sin0

−−=，4cos3=−.（2）∵直线l：cossinxtyt==的极坐标方程为=，当=时4cos233=−=.即：3cos32−=，∴36−=或36−=−.∴2=或6π=，-7-∴直线l的倾斜角为6

或2.8．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为0xya+−=，曲线C的参数方程为2cos,sinxy==（为参数）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方

程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且直线OA与OB的斜率之积为54，求a.【答案】（1）l:cossin0arqrq+-=，C：()2224sincos4+=；（2）12a=.【解析】（1）将cosx=，siny=代入0xya+−=的方程中，所以直线l的极坐标

方程为cossin0arqrq+-=.在曲线C的参数方程中，消去，可得2214xy+=，将cosx=，siny=代入2214xy+=的方程中，所以曲线C的极坐标方程为()2224sincos4+=.（2）直线l与曲线C的公共点

的极坐标满足方程组()222cossin04sincos4a+−=+=，由方程组得()()22224sincos4cossina++=，()2222224sincos4si2

cosnsincosaa+=++，两边同除2cos，可化为22224tan48tan4tanaa+=++，即()22244tan8tan40aa−−+−=，设()()1122,,,AB，则212245tan

tan444OOBAakka−===−，解得12a=.9．在直角坐标系xOy中，直线1:2lx=，曲线2cos:22sinxCy==+（为参数）.以O为极点，-8-x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为(3

,)6.（1）求直线1l和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l=与1l,C的公共点分别为A,B，且83OAOB=，求MOB的面积．【答案】（1）直线1l：cos2=；曲线

C的极坐标方程为4sin=；（2）332.【解析】（1）∵cos{sinxy==，∴直线2x=的极坐标方程是cos2=，曲线C的普通方程为22(2)4xy+−=，即2240xyy+−=.所以曲线C的极坐标方程为4sin=.（2）将=分别代入cos2=，4sin

=得：2cosAOA==，4sinBOB==.∴8tan83OAOB==，∴tan3=.∵02，∴3=.∴23OB=，3OM=，6MOB=.所以1sin2MOBSOMOBMO

B=1133323222==.即AOB的面积为332．10．直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1cossinxy=+=（为参数），曲线222:13xCy+=．（1）在以O为极点，x轴的正

半轴为极轴的极坐标系中，求1C、2C的极坐标方程；-9-（2）射线OT：(0)6=与1C异于极点的交点为A，与2C的交点为B，求AB的大小．【答案】(1)1C的极坐标方程为2cos=,2C的

极坐标方程为2222cossin13+=;(2)32−.【解析】（1）由1cossinxy=+=得()2211xy−+=，即2220xyx+−=，所以1C的极坐标方程为220cos−=，即2cos=；由2213xy+=得2C的极坐标方程为：2

222cossin13+=（2）联立2cos6==得1||2cos36OA===，联立2222cossin136+==得2||2OB==，所以32AB=−.11．在平面直角坐标系xOy

中，曲线1C的参数方程是cos5sinxtyt==+（t是参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C的极坐标方程是42sin2cos4=+−.（Ⅰ）写出圆2C的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C与2C有且仅有三个公共点，求

sincossincos−+的值.【答案】（Ⅰ）22240xyxy+−−=；（Ⅱ）3.【解析】-10-（Ⅰ）2242sincos2cos4sin2cos22=+−=+

，24sin2cos=+，∴2242xyyx+=+，∴圆2C的直角坐标方程是22240xyxy+−−=.（Ⅱ）因为曲线1C与2C有且仅有三个公共点，说明直线()tan5tan0yx=−+与圆2C相切，2C圆心为（1，

2），半径为5，则2|tan3|51tan−=+，解得tan2=-，所以sincostan13sincostan1−−==++.12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为232252xtyt=−=+(t为参数)。在极坐标系(与

直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为25sin=。（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P的坐标为(3,5)，求PAPB+。【答案】（1）直线l的普通方

程为35yx=−++；圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=；（2）32.【解析】(1)由直线l的参数方程232252xtyt=−=+(t为参数)得直线l的普通方程为35yx=−++由

25sin=,得22250xyy+−=,即圆C的直角坐标方程为22(5)5xy+−=。-11-(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2222(3)()522tt−+=，即23240tt−+=，由于2(32)440=−＞>0,故可设1t，2t是上述方程的两个实根，所以1212

324tttt+==又直线l过点P(3,5)，故121232PAPBtttt+=+=+=。13．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为312132xtyt=−=−+（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为23sin=−.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设点()1,3P−，直线l与曲线C相交于两点A、B，求11PAPB+的值.【答案】(1)直线l的普通方程为320xy++=；曲线C的直角坐标方程

是22230xyy++=.(2)112【解析】（1）消去参数t得直线l的普通方程为320xy++=；因为23sin=−，所以223sin=−，由,xcosysin==所以曲线C的直角坐标方程是22230xyy++=.（2）点()1,3P−是直线l上的点，设A，B两

点所对应的参数分别为12,tt，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得2320tt−−=.-12-方程判别式，可得123tt+=，122tt•=−.于是()21212121212411||||11||||||||2ttttttPAPBPAPBPAPBtttt+−−++

====•.14．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31212xtyt=−=（t为参数），曲线C的极坐标方程为4cos=．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点()1,0P，直线l与曲线C相交于A，B，求11PAPB+的值．【答案】（Ⅰ）:3

10lxy+−=，()22:24Cxy−+=；（Ⅱ）153.【解析】（Ⅰ）由31212xtyt=−=（t为参数），消去参数t，可得310xy+−=．∵cos=4，∴24cos=，即2

240xyx+−=．∴曲线的直角坐标方程为()2224xy−+=；（Ⅱ）把31212xtyt=−=31212xtyt=−=代入2240xyx+−=，得2330tt+−=．设A，B两点对应的参数分别为1t，2t则123t

t+=−，123tt=−．不妨设10t，20t，∴()212121212121241111153ttttttPAPBtttttt+−++=+===．-13-15．已知曲线C的参数方程为12cos12sinxy=−+=+（为参数），直线l的极坐标方程为3()4Rpqr=

?，直线l与曲线C相交于M，N两点，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）记线段MN的中点为P，求OP的值.【答案】（1）222cos24++=

；（2）2OP=【解析】（1）∵曲线C的参数方程为12cos12sinxy=−+=+（为参数），∴所求方程为222(1)(1)2xy++−=，∵cossinxy==，∴22cos2

sin2+−=，∴曲线C的极坐标方程为222cos24++=.（2）联立34=和22cos2sin20+−−=，得22220−−=，设()1,M，()2,N

，则1222+=，由12||2OP+=，得2OP=.16．在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为2,1xtyt=−−=+（t为参数），曲线21:1Cyx=−.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为42sin4

=−.（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在1C上，求BABP的取值范围；（Ⅱ）若直线l与2C交于M，N两点，点Q的直角坐标为()2,1−，求QMQN−的值.【答案】（Ⅰ）[0,21]+；-14-（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）由题意可知：直线l的普通方程为10,(1,0),(0,

1)xyAB++=−−.1C的方程可化为221(0)xyy+=，设点P的坐标为(cos,sin),0，cossin12sin1[0,21]4BABP=−++=−++.（Ⅱ）曲线2

C的直角坐标方程为：22(2)(2)8xy++−=.直线l的标准参数方程为222212xmym=−−=+（m为参数），代入2C得：2270mm−−=设,MN两点对应的参数分别为12,mm12122,70mmmm+==−,故12,mm异号122QMQNm

m−=+=‖‖.17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知,AB是曲线C上任意两点，且3AOB=，求OAB面积的最大

值.【答案】(1)=4cos；(2)33.【解析】（1）消去参数，得到曲线C的普通方程为：()2224xy−+=故曲线C的极坐标方程为：=4cos（2）在极坐标系中，不妨设()10A，，203+B，，其中1200,022

−，，由（1）知：104cos=，204cos3+=.-15-OAB面积12001sin43coscos233S==+()200000023cos6sincos31cos23sin223cos233+=S

=−=−++当0203+=时，即06=−，0cos23+有最大值1.此时max33S=故OAB面积的最大值为3318．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22cos,2sin,xy=+

=（为参数）.以O为极点x，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系Ox.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知,AB是曲线C上任意两点，且4AOB=，求OAB面积的最大值.【答案】（1）4cos=；（2）222+.【解析】（1）消去参数，得到曲线C的标

准方程为：()2224xy−+=，()()22cos2sin4−+=()222sincos4cos44+−+=24cos0−=故曲线的极坐标方程为4cos=。（2）极坐标系Ox中，不妨设()1020,,,4AB+，其中1200,0,22

−.由（1）知：10204cos,4cos4==+OAB面积，12001sin42coscos244S==+20004cos4sincosS

=−002cos22sin22=−+022cos224=++-16-当024=−时，即00,cos284=−+有最大值1，此时min222S=+.故OAB面

积的最大值为222+.19．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22252xtyt=−−=+（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为222sin=−．（1）求曲线1C的

普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（2）求曲线2C上的动点M到曲线1C的最短距离．【答案】(1)曲线1C:28xy+=，曲线2C：2212yx+=．(2)见解析【解析】（1）曲线1C为()1y5x22−=−+即+2=8xy，由xcosysin==得曲线2

C为2212yx+=．（2）设曲线2C上动点()cos,2sinM，则动点M到曲线1:28Cxy+=的距离为()cos22sin83sin8555d+−+−==．∴动点M到曲线1:28Cxy+=的最短距离为520．在平面直角坐标系xOy中

，直线l的普通方程是tan2yx=，曲线1C的参数方程是1cossinxy=+=（为参数）。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程是2sin=。（1）

求直线l及曲线1C的极坐标方程；-17-（2）已知直线l与曲线1C交于,OM两点，直线l与曲线2C交于,ON两点，求MN的最大值。【答案】(1),2R=;2cos=.(2)1

2xx.【解析】（1）将cos,sinxy==代入tan2yx=得tantan=，∴直线l的极坐标方程是,2R=，∵曲线1C的参数方程是1cossinxy=+

=（为参数），∴曲线1C的普通方程是()2211xy−+=，即2220xyx+−=，∴曲线1C的极坐标方程是2cos=；（2）将,2R=分别代入曲线1C和2C的极坐标

方程，则2cos,2sinOMON=−=，∴2sin2cos22sin4MN=−=−，∵2，∴当34=，sin4−取最大值1，∴MN的最大值为12xx.