【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.13 平面向量的综合运用大题专项训练（30道）（学生版）.docx，共(10)页，92.206 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.13平面向量的综合运用大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022秋·广东江门·高二期中）已知点𝐴(

1,−2,0),𝐵(2,𝑘,−3),𝐶(2,0,2)，向量𝑎⃗=(−3,4,5)．(1)若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑎⃗，求实数k的值；(2)求向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗与向量𝑎⃗所成角的余弦值．2．（2023·高一单元测试）已知向量

𝑎⃗=(2,1)，𝑏⃗⃗=(−1,1)，𝑐⃗=(1,2)．(1)当k为何值时，𝑘𝑎⃗+𝑐⃗与2𝑏⃗⃗−𝑎⃗平行；(2)若向量𝑑⃗满足(𝑑⃗−𝑐⃗)⊥(𝑎⃗+𝑏⃗⃗)，且|𝑑⃗−𝑐

⃗|=√5，求𝑑⃗．3．（2022春·广西贺州·高一阶段练习）（1）若向量𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=(1,−1)，求2𝑎⃗+𝑏⃗⃗与𝑎⃗−𝑏⃗⃗的夹角；（2）已知|𝑎→|=√2,|𝑏→|=3,|𝑎→−𝑏→|=√7，求𝑎⃗与𝑏⃗⃗夹角的余

弦值.4．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一期末）已知𝑒1⃗⃗⃗⃗=(1,0)，𝑒2⃗⃗⃗⃗=(0,1)，𝑎⃗=2𝑒1⃗⃗⃗⃗+𝜆𝑒2⃗⃗⃗⃗，𝑏⃗⃗=𝑒1⃗⃗⃗⃗−𝑒2⃗⃗⃗⃗，且𝑎⃗//𝑏⃗⃗.(1)求𝜆的值；(2)求向量𝑎⃗与向量𝑐⃗=𝑒1⃗⃗⃗⃗+2𝑒2⃗⃗

⃗⃗夹角的余弦.5．（2023·高一课时练习）已知𝑎⃗=(3,−2)，𝑏⃗⃗=(−4,−3)，𝑐⃗=(−5,2)，𝑚⃗⃗⃗=2𝑎⃗−𝑏⃗⃗+3𝑐⃗．求：(1)𝑚⃗⃗⃗；(2)|𝑚⃗⃗⃗|；

(3)𝑚⃗⃗⃗的单位向量𝑚0⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标．6．（2022秋·内蒙古·高二阶段练习）已知向量𝑎⃗,𝑏⃗⃗,若|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=1,𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=−1(1)求𝑎→与𝑏→的夹角𝜃；(2)求|2𝑎→−𝑏→

|.7．（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚⃗⃗⃗+2𝑛⃗⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−4𝑚⃗⃗⃗−𝑛⃗⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5𝑚⃗⃗⃗−3𝑛⃗⃗，试判断四边形ABCD的形状（其中𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗为不平行的非零向量）．8．（2023·高一

课时练习）已知A，B，C分别为△𝐴𝐵𝐶三边a，b，c所对的角，向量𝑚⃗⃗⃗=(sin𝐴,sin𝐵)，𝑛⃗⃗=(cos𝐵,cos𝐴)，且𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=sin2𝐶．(1)求角C的大小；(2)若sin𝐴+sin𝐵=2

sin𝐶，且𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=18，求边c的长．9．（2022春·山东聊城·高一期中）已知平面向量𝑎⃗=(𝑚,1),𝑏⃗⃗=(−𝑚,2𝑚+3),𝑚∈R．(1)若𝑚=1,𝑐

⃗=(−1,23)，求满足𝑐⃗=𝜆𝑎⃗+𝜇𝑏⃗⃗的𝜆和𝜇的值；(2)若𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗，求m的值．10．（2023·高一课时练习）已知𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,−4)，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,−3)，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(5−𝑚,−3−�

�)．(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．11．（2023秋·北京昌平·高一期末）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑁⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗.(1)用𝑎⃗,𝑏⃗⃗表示𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗；(2)若𝑃为△𝐴𝐵𝐶内

部一点，且𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=512𝑎⃗+14𝑏⃗⃗.求证：𝑀,𝑃,𝑁三点共线.12．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，若𝐷(1,2)，𝐸(−5,−1)，𝐹(4,−4)，点𝑋

,𝑌,𝑍分别在线段𝐸𝐹,𝐹𝐷,𝐷𝐸上，且满足𝐸𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑋𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐹𝑌⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑌𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑍⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑍𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗.(1)求|𝐸𝑌⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑋⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|；(2)求cos⟨𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐹𝑍⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩.13．（2022春·广西柳州·高一阶段练习）已知|𝑎⃗|=4，|𝑏⃗⃗|=3，(2𝑎⃗−3𝑏⃗⃗)⋅(2𝑎⃗+𝑏⃗⃗)=61．(1)求|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|；(2)求𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角；1

4．（2023·高一课时练习）已知|𝑎⃗|=1，|𝑏⃗⃗|=2．(1)若𝑎⃗∥𝑏⃗⃗，求𝑎⃗·𝑏⃗⃗；(2)若⟨𝑎⃗,𝑏⃗⃗⟩=60°，求|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|；(3)若𝑎⃗−𝑏⃗⃗与𝑎⃗垂直，求当k为何值时，

(𝑘𝑎⃗−𝑏⃗⃗)⊥(𝑎⃗+2𝑏⃗⃗)？15．（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐴=6，𝐴𝐵=8，∠𝐵𝐴𝐶=π2，𝐷为边𝐵𝐶中点．(1)求𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值；(2)若点𝑃满足𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=𝜆𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝜆∈𝑅)，求𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值；16．（2023秋·北京丰台·高一期末）如图，在平行四边形ABCD中，𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗，

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗⃗．(1)用𝑎⃗，𝑏⃗⃗表示𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗；(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．17．（2023·高一单元测试）已知|𝑎⃗|=2，|𝑏⃗⃗|=3，𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为60∘．求：(1)𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗；(2)(2𝑎

→−𝑏→)·(𝑎→+3𝑏→)；(3)|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|．18．（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知|𝑎⃗|=4，|𝑏⃗⃗|=2，且𝑎⃗与𝑏⃗⃗夹角为120°，求：(1)|2𝑎⃗−𝑏⃗⃗|；(2)𝑎⃗与𝑎⃗+𝑏⃗⃗

的夹角；(3)若向量2𝑎⃗−𝜆𝑏⃗⃗与𝜆𝑎⃗−3𝑏⃗⃗平行，求实数𝜆的值．19．（2023秋·北京房山·高一期末）已知向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗不共线，且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎⃗−𝑏⃗⃗，𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑎⃗+𝑏⃗⃗，𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗+𝜆𝑏⃗

⃗．(1)将𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗用𝑎⃗，𝑏⃗⃗表示；(2)若𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求𝜆的值；(3)若𝜆=−3，求证：A，B，C三点共线．20．（2023·高一课时练习）已知|𝑎⃗|=4，|𝑏⃗⃗|=5，

𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为𝜃．满足下列条件时，分别求𝑎⃗与𝑏⃗⃗的数量积．(1)𝑎⃗∥𝑏⃗⃗；(2)𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗；(3)𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为30°时.21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知𝑐sin𝐴cos𝐵=45𝑎sin𝐶，且△ABC的面积

为9．(1)求𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗；(2)若𝑐=65𝑎，求b．22．（2022秋·广东深圳·高三阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且2cos2𝐴−𝐵2cos𝐵−sin(

𝐴−𝐵)sin𝐵+cos(𝐴+𝐶)=−35.(1)求cos𝐴的值；(2)若𝑎=4√2，𝑏=5，记𝑒⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，求向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗在𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量.（用𝑒⃗表示）

23．（2023·北京·高三阶段练习）已知非零平面向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗的夹角为2𝜋3，|𝑎⃗|=|𝑎⃗+𝑏⃗⃗|=1.(1)证明：|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=√3|𝑏⃗⃗|；(2)设𝑡∈𝑅，求|𝑎⃗+𝑡𝑏⃗⃗|的最小

值.24．（2022秋·内蒙古兴安盟·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点𝐴(−1,−2)，𝐵(2,3)，𝐶(−2,−1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数𝑡满足(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑡𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗⃗)⋅𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，求𝑡的值.25．（2022秋·辽宁大连·高一期末）如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，D为BC边上一点，且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，

与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．(1)用𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗；(2)若𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜇𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求1𝜆

+2𝜇的值．26．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量𝑚⃗⃗⃗=(√3sin𝑥,cos𝑥),𝑛⃗⃗=(cos𝑥,−cos𝑥)，定义函数𝑓(𝑥)=𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗−12.(1)

求函数𝑓(𝑥)的最小正周期；(2)在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑓(𝐶)=0，且𝐴𝐵=3,𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的高，求𝐶𝐷长度的最大值.27．（2022·浙江杭州·模拟预测）△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,

𝑐,已知𝑎=𝑐cos𝐵+12𝑏,(1)若𝐷为𝐵𝐶边上一点,𝐷𝐵=4,𝐴𝐵=5,且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12,求𝐴𝐶;(2)若𝐶𝐴=3,𝐶𝐵=4,𝑀为平面上一点,2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑡𝐶𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗⃗+(1−𝑡)𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,其中𝑡∈R,求𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值.28．（2022秋·浙江·高二期中）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=8,𝐴𝐶=6,𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，M，N分别为𝐴𝐵,𝐴𝐶的中点．(1)若

𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−6，求|𝐵𝐶|．(2)若𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5，求∠𝐵𝐴𝐶的大小．29．（2022春·山东·高一阶段练习）平面内向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,5),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(7,1),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．(1)若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标．(2)已知BC中点为D，当𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗取最小值时，若AD与CP相交于点M，求𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角的余弦值．30．（2023·高一单元测试）在平面直角坐标系中，令𝑒1⃗⃗⃗⃗=(1,0)，

𝑒2⃗⃗⃗⃗=(0,1)，动点P从𝑃0(−1,2)出发，沿着与向量𝑒1⃗⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗⃗相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|𝑒1⃗⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗⃗|；另一动点Q从𝑄0(−2,−1)出发，沿着与向量3𝑒1⃗⃗⃗⃗+2𝑒2⃗⃗⃗⃗相同

的方向作匀速直线运动，速度大小为|3𝑒1⃗⃗⃗⃗+2𝑒2⃗⃗⃗⃗|．设P、Q在时刻𝑡=0时分别在𝑃0、𝑄0处．(1)动点P和Q的运动速度大小分别是多少？(2)当t的值为多少时，𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑃0𝑄0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗？