【文档说明】山东省滨州市2022-2023学年高三上学期期末数学试题 含解析.docx，共(24)页，4.760 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试题2023.1一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,4,Ax=，21,Bx=，且ABB=，则x的所有取值组成的集合为（）A.

2,0−B.0,2C.2,2−D.{}2,0,2-【答案】D【解析】【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解.【详解】因为ABB=，所以BA，所以2xA，若24x=，则2x=或2x=−，经检验均满足题意，若2xx=，则0x=或1x=，经检验0x

=满足题意，1x=与互异性矛盾，综上x的所有取值为：2−，0,2，故选:D.2.已知()1i3iz+=−，其中i为虚数单位，则z=（）A.5B.5C.2D.2【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算，化简求复数z的代数形式，再利

用复数模的计算公式，即可求解．【详解】由复数z满足()1i3iz+=−，则3i(3i)(1i)24i12i1i(1i)(1i)2z−−−−====−++−，则()22125z=+−=，故选：B．3.若“12x”是“不等式2()1xa−成立”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A.)1,2B.(1,2C.1,2D.()1,2【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】解：由2()1xa−得11axa−+，12xQ是不等

式2()1xa−成立的充分不必要条件，满足1112aa−+，且等号不能同时取得，即21aa，解得12a，故选：C．4.在四边形ABCD中,ABCD∥,4ABCD=,点E在线段CB上,且3CEEB=

,设ABa=,ADb=,则AE=（）A.5182ab+B.5142ab+C.131164ab+D.13184ab+【答案】C【解析】【分析】画出图象,根据向量加减法则及向量共线定理即可得出结果.【详解】解:由题知,ABCD∥,4ABCD=，画出示意图如下:因为3CEEB=,ABa=,ADb=,所以

AEABBE=+14ABBC=+()14ABBAADDC=+++311444ABADDC=++3114416ABADAB=++131164ABAD=+131164ab=+.故选:C5.设a，b为正数，若圆224210xyxy

++−+=关于直线10axby−+=对称，则2abab+的最小值为（）A.9B.8C.6D.10【答案】A【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，得到,ab的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210xyxy++−+=，即()()22214xy++−=，所以圆心

为(2,1)−，所以210ab−−+=，即21ab+=，因为0a、0b，则22222(2)(2)22522259ababababababababababab++++++===…，当且仅当13ba==时

，取等号．故选：A．6.甲、乙为完全相同的两个不透明袋子，袋内均装有除颜色外完全相同的球．甲袋中装有5个白球，7个红球，乙袋中装有4个白球，2个红球．从两个袋中随机抽取一袋，然后从所抽取的袋中随机摸出1球，则摸出的球是红球的概率为（）A.12B.1124C.712D.13【答案】

B【解析】【分析】判断摸出的球是红球的事件为全概率事件，则只需讨论摸出的红球是甲袋还是乙袋两种情况，再分别求出其概率，即可得出结论.【详解】设事件A为“取出甲袋”,事件B为“取出红球”,分两种情况进行讨论.

若取出的是甲袋,则1()()PPAPBA=,依题意可得17(),()212PAPBA==,所以1177()()21224PPAPBA===，若取出的是乙袋,则2()()PPAPBA=,依题意可得1()2PA=,1()3PBA=，所以2111()()236PPAPB

A===，综上所述,摸出的球是红球的概率为121124PPP=+=.故选：B.7.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.∥，m∥，则m∥B.m，n，m∥，n∥，则∥C.l=，m，ml⊥，则m⊥D.

m⊥，mn∥，∥，则n⊥【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，性质定理、线面垂直的性质定理判断即可.【详解】对于A，∥，m∥，则m∥或m，A错误；对于B，若m，n，m∥，n∥，则∥或,相交，只有加上条件,m

n相交，结论才成立，B错误；对于C，l=，m，ml⊥无法得到m⊥，只有加上条件⊥才能得出结论，C错误；对于D，m⊥，mn∥，则n⊥，又因为∥，所以n⊥，D正确.故选:D.8.某钟表的秒

针端点A到表盘中心O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间0=t时，点A与表盘上标“12”处的点B重合．在秒针正常旋转过程中，A，B两点的距离d（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为（）A.π10sin(0)60dtt=B.π10cos(0)

60dtt=C.()π10sin,12060120,N60π10sin,601201201,N60tktkkdtktkk+=−++D.π10cos,12030120,N60π10cos,3012090120,N60tktkkdtktkk+=

−++【答案】C【解析】【分析】由条件分析函数的性质，由此判断正确选项.【详解】由已知函数()dt的定义域为)0,+，周期为60s，且()30st=时，()10cmd=，对于选项A，函数π10sin(0)60dtt=周期为()2π120sπ60=，A错误；对于选项B，

函数π10cos(0)60dtt=周期为()2π120sπ60=，B错误；对于选项D，当30t=时，0d=，D错误；对于选项C，()2ππ25sin10sin26060dttt==｜｜｜｜，所以函数()π10sin,12060120,N60π10sin,601201201,N60tktkk

dtktkk+=−++，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为X，Y）均服从正态分布，()21

1,:XN，()222,:YN，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（）参考数据：若()2,ZN，则()0.6827PZ−+≤≤，()220.9545PZ−+≤≤．A.()

111120.8186PX−+B.对于任意的正数t，有()()PXtPYt≤≤C.()()12PYPYD.()()12PXPX【答案】ABD【解析】【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．【详解】解：对于

A：()11112PX−+()()111111111222PXPX=−++−+1(0.68270.9545)0.81862+=，故A正确；对于B：对于任意

正数t，由图象知()PXt表示的面积始终大于()PYt表示的面积，所以()()PXtPYt，故B正确，对于C：由正态分布密度曲线，可知12，所以21()()PYPY<≥≥，故C错误；对于

D：由正态分布密度曲线，可知12，所以21()()PXPX>≤≤，故D正确；故选：ABD．10.已知函数()()sin(0,0,0)fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列关于函数()()2gxfx=的结论中，正确

的是（）的A.()gx的最小正周期为2B.()gx的单调递增区间为()511,,242242kkk++ZC.当,06x−时，()gx的最大值为1D.()gx在区间0,2上有且仅有7个零点【答案】BC【解析】【分析】根据图像求

出函数()fx的解析式，从而可得三角函数()gx的解析式，根据三角函数的性质对各个选项逐一验证即可.【详解】由题可知1A=，22,,22362TTT=−====，()sin(2)=+fxx，sin063f=+=，即222,33

kkk+=+=+Z，0，23=，故2()sin(2)3fxx=+，()()2gxfx=，()2sin(4)3gxx+=，()gx的最小正周期为242T==，故A错误；()272422322422

42kkkxkxk−+++−+−+Z，即()511242242kkxk++Z，故B正确；22,040,633xx−+，当2432x+=时，max()1gx=，故C正确；22,040,6

33xx−+，当2432x+=时，max()1gx=，故C正确；令()24,364kxkxk+==−+Z，0,2x，零点可取值为：当1k=时，

12x=；当2k=时，3x=；当3k=时，712x=；当4k=时，56x=；当5k=时，1312x=；当6k=时，43x=；当7k=时，1912x=；当8k=时，116x=，符合题意；当9k=时，25212x=，不符合题意；故()gx在区间0,2上有且

仅有8个零点，故D错误；故选：BC.11.已知数列na的前n项和为nS，若23a=，12nnSSn+=+，则下列结论正确的是（）A.1nnaS+B.1na+是等比数列C.2nnS是单调递增数

列D.2nnSa【答案】AC【解析】【分析】由已知得出1nnaSn+=+，可判断A选项的正误；利用等比数列的定义可判断B选项的正误；利用数列的单调性可判断C选项的正误；利用作差法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由12nnSSn+=+得1nnaSn+=+，故1nnaS+，A正确

；对于B选项，将12nnSSn+=+，()1212nnSSnn−=+−两式相减得121nnaa+=+，即()1121nnaa++=+()2n，又令1n=，得21111213212SSaaa=++=+=，()21121aa

++，所以1na+从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n时，()221212nnnaa−+=+=，即21nna=−，所以，2,121,2nnnan==−，故B选项错误；对于C选项，因为2,

121,2nnnan==−.当1n=时，12S=，当2n时，()()()()2312122222112112nnnnSnnn+−=++++−−=−−=−−−.所以，12,121,2nnnSnn+=

=−−，令1,1122,22nnnnnScnn===+−，则2n时，1111211222022222nnnnnnnnnnnncc++++++++−=−−−=−=，即1nncc+，而2154cc=，所以数

列nc单调递增，C选项正确；对于D选项，当2n时，()112212211nnnnSann++−=−−−−=−−，112Sa显然成立，故2nnSa恒成立，D选项错误.故选：AC.12.设点A，1F，2F的坐标分别为()1,1−，()1,0−，()1,0，动点P满足124PFPF+=，则

下列说法正确的是（）A.点P的轨迹方程为22143xy+=B25PAPF+C.11PAPF+D.有且仅有3个点P，使得2PAF△面积为32【答案】ACD【解析】【分析】A选项，由题易得点P的轨迹方程为22143xy+=；B选项，211445PAPFPAPFAF+=+−+=，可取等号

；C选项，12244451PAPFPAPFAF+=+−−=−；D选项，利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，联立方程即可判断.【详解】由题知，点P的轨迹是2a=，1c=，焦点在x轴上的椭圆，则3b=，椭圆方程为2214

3xy+=，故A选项正确；对于B选项，211445PAPFPAPFAF+=+−+=，当点P为F1A的延长线与椭圆的交点时，等号成立，故B选项错误；对于C选项，124PAPFPAPF+=+−，因为22|||||AF|PAPF−，所以.的222||||||AFPAPFAF

−−，所以12244451PAPFPAPFAF+=+−−=−当点P为AF2的延长线与椭圆的交点时，等号成立，1PAPF+取最小值45−，故C选项正确；对于D选项，设使得2PAF△的面积为32的P点坐标为0

0(,)xy，由2,AF坐标知，25=AF，直线2AF的方程为210xy+−=，则0021135225xy+−=，解得00240xy+−=或00220xy++=，联立002200240143xyxy+−=+=，化简得200

41290yy−+=，则Δ0=，因此存在一个交点；同理可得直线00220xy++=与椭圆有两个交点；综上，有且仅有3个点P，使得2PAF△面积为32，故D选项正确；故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.

已知双曲线2222xyab−＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________.【答案】221916xy−=【解析】【分析】圆的半径就是c，

再由点(3,4)在渐近线上可得34ba=，这样可求得,ab，得双曲线方程．【详解】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝bax上，因此有222543abba+==，解得34ab==所以此双曲线的方程为221916xy−=．故答案为

：221916xy−=．的【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，寻找两个等式是必由之路．本题中两个已知条件：圆的半径等于双曲线的半焦距，点(3,4)在渐近线上．联立后可解得,ab得双曲线方程．14.“中国天眼”（如图1）

是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是R，球冠的高度是h，则球冠的面

积2πSRh=）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为_________米．（参考数值410.52π−）【答案】130【解析】【分析】由()222250Rh

R−+=，结合2πSRh=求解.【详解】由题意得：()222250RhR−+=，则222250Rhh=+，则222ππ250π250000Rhh=+=，所以222250000250π42501πh−==−，所以425012500.521

30πh=−=，故答案：130.15.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有______种【答案】420【解析】【分析】先从7个人中选2人调整到前排，再把2人在5个位置选2个进行排列，

按照乘法计数原理计算即可.【详解】先从7个人中选2人调整到前排有27C种选法，为调整后前排有5个人，把2人在5个位置选2个进行排列由25A种站法，其他3人的相对顺序不变站到剩余3个位置，按照乘法计数原理得总共有

2275CA420=种方法.故答案为：42016.已知函数()()e,02e1,0xxkkxxfxxx−−+=+（e为自然对数的底数），若关于x的方程()()fxfx−=−有且仅有四个不同的解，则实数k的取值范围是_________．【答案】()2e

,+【解析】【分析】设()()()Fxfxfx=+−，由题可得当0x时，()Fx有两个零点，进而可得2e2xxkxk=−有两个正数解，令()()2e0xgxxx=，考查直线2ykxk=−与曲线()()2e0xgxxx=相切时k的值，数形结合

可得出实数k的取值范围.【详解】令()()()Fxfxfx=+−，可得()()()()FxfxfxFx−=−+=，所以函数()Fx为偶函数，因为()010f=，则()()0200Ff=，所以，当0x时，函数()

Fx有两个零点，且当0x时，0x−，可得()()1eee22xxxkkFxxkxxkx=+−−+=−+，令()0Fx=，可得22exkxkx−=，令()2exgxx=，其中0x，则()()21e0xgxx=+，故函数()gx在(

)0,+上为增函数，下面考查直线2ykxk=−与函数()gx的图象相切的情形：设直线2ykxk=−与函数()gx的图象相切于点()(),tgt，其中0t，函数()gx的图象在xt=处的切线斜率为()21ett+，故曲线()ygx=在点()(),tgt的切线的方程为(

)()2e21ettyttxt−=+−，即()221e2ettytxt=+−，由题意可得()2221e2e0ttktktt=+−=−，解得1t=，2ek=，结合图形可知，当2ek时，直线2ykxk=−与曲线()ygx=在()0,+上的图象有两个交点，即此时函

数()Fx在()0,+上有两个零点，因此，实数k的取值范围是()2e,+.故答案为：()2e,+.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，

根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参

变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，且3sin3cosbaCcA−=．（1）求C；（2）若3c=，ACB的平分线CD交AB于点D，且2CD=．求ABC的面积．【答案】（1）π3（2）332【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）依题意得π6ACDBCD==，由A

BCACDBCDSSS=+△△△，可得()32abab=+，再由余弦定理得到29()3abab=+−，即可求出ab，最后根据面积公式计算可得.【小问1详解】解：因为3sin3cosbaCcA−=，由正弦定理可得3sinsinsin3sincosBACCA−=，即()

3sinsinsin3sincosACACCA+−=，即3sincos3cossinsinsin3sincosACACACCA+−=，所以3sincossinsinACAC=，又()0,πA，所以sin0A，所以3cossinCC=，则sintan3cosCCC==，又()0,πC，所以π

3C=.【小问2详解】解：由题意，得π6ACDBCD==，又ABCACDBCDSSS=+△△△，所以1π1π1πsin2sin2sin232626abba=+，即()32abab=+，由余弦定理得22π92cos3abab=+−

，即29()3abab=+−，于是23932abab=−，解得6ab=或2ab=−（舍），所以133sin22ABCSabC==．18.设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，若39S=，且2a，5a，14a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求满足条件()

*231111013111,22023nnnSSS−−−N的正整数n的最大值．【答案】（1）()*21nann=−N（2）674【解析】【分析】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为()0dd，然后根据题意列方程组可求出1,ad，

从而可求出通项公式；（2）由（1）得2nSn=，则()()21111nnnSn−+−=，从而可求出23111111nSSS−−−，再解不等式可得结果.【小问1详解】设等差数列na的首项为1a，公差为()

0dd，因为39S=，且2a，5a，14a成等比数列，所以125214339adaaa+==，12222111138161413adaaddaadd+=++=++，即11320adda+=−=，解得11,2.ad==所以数列na的通项公式为()*

21nann=−N．【小问2详解】由（1）知21nan=−，易得()21212nnnSn+−==，则()()22221111111nnnnSnnn−+−−=−==，所以222222231112131111123nnSSSn−−−−−−=．()()2

221113241232nnnnn−++==，因为()*231111013111,22023nnnSSS−−−N，所以1101322023nn+，

解得20233n，所以正整数n的最大值为674．19.如图1，在平面六边形ADCFBE中，四边形ABCD是边长为的2正方形，ABE和BCF△均为正三角形，分别以AC，BC，AB为折痕把ADCBCFABE，，折起，使点D，F，E重合于点P，得到如图2所示的三棱锥PABC-．（1）证明：

平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M是棱PA上的一点，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角MBCA--的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31111【解析】【分析】（1）根据题意证明OB⊥平面PAC，即可得

结果；（2）根据题意可知直线BM与平面PAC所成的角为BMO，利用正切值分析可得当M为PA的中点时，直线BM与平面PAC所成的角最大，建系，利用空间向量求二面角.【小问1详解】取AC的中点O，连接,POOB，∵,PAPCABAC==，O为AC的中

点，∴,POACBOAC⊥⊥，又∵1,2POOBPB===，则222POOBPB+=，∴POOB⊥，,,POACOPOAC=平面PAC，则OB⊥平面PAC，OB平面ABC，故平面PAC⊥平面ABC.【小问2详解】

连接OM，由（1）可知：OB⊥平面PAC，则直线BM与平面PAC所成的角为BMO，即1tanBOBMOOMOM==，当BMO取到最大时，则OM取到最小，即OMPA⊥，且OAOP=，故当M为PA的中点时，直线BM与平面PAC所成的角最大，以O为坐标原点

建立空间直角坐标系，则()()110,,,0,1,0,1,0,022MCB−，设平面MBC的法向量为(),,nxyz=，∵()311,1,0,0,,22CBCM==uuruuur，则有031022nCBxynCMyz=+==+=，令1x=，则1,3y

z=−=，即()1,1,3n=−，由题意可得：平面ABC的法向量为()0,0,1m=，∵3311cos,1111nmnmnm===rurrurrur，由图可得二面角MBCA--为锐角，故二面角MBCA--的余弦值为31111.20.某市工业部门计划对所辖中小

型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖的400家企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果：支持不支持合计中型企业602080小型企业180140320合计240160400（1）依据小概率值0.005=的独立性检验，能否认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关

；（2）从上述支持技术改造的中小型企业中，按分层随机抽样的方法抽出12家企业，然后从这12家企业中随机选出9家进行奖励，中型企业每家奖励60万元，小型企业每家奖励20万元．设X为所发奖励的总金额（单位：万元），求X的分布列和均值．附：(

)()()()22()nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++．0.010.0050.001x6.6357.87910.828【答案】（1）推断犯错误的概率不大于0.005．（2）分布列见解析，270【解析】【分析】(1)提出零假设，计算2，比

较其与临界值的大小，确定是否接受假设；(2)求随机变量X的所有可能取值，确定其取各值的概率，再由期望公式求期望即可.【小问1详解】零假设为0H：“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”无关根据列联表中的数据，计算得到22400(6014018020)9.3578

0320240160−==，27.8790.005P=．根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为“支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005

．【小问2详解】由（1）可知支持节能降耗技术改造的企业中，中型企业与小型企业的数量比为1:3．所以按分层随机抽样的方法抽出的12家企业中有3家中型企业，9家小型企业．选出的9家企业的样本点是()0,9，()1,8，()2,

7，()3,6（前者为中型企业家数，后者为小型企业家数）．故X的所有可能取值为180，220，260，300．()0939912CC1180C220PX===，()1839912CC27220C220PX===，()2739912CC10827260C22055PX

====，()3639912CC8421300C22055PX====，故X的分布列为X180220260300P12202722027552155X的均值为()1272721180220260300270

2202205555EX=+++=．21.已知抛物线2:4Cxy=，点M为直线1y=−上的动点（点M的横坐标不为0），过点M作C的两条切线，切点分别为,AB．（1）证明：直线AB过定点；（2）若以点()0,4N为圆心

的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形AMBN的面积．【答案】（1）证明见解析（2）66．【解析】【分析】（1）根据题意结合导数分别求点,AB处的切线，分析可得直线AB的方程为220txy−+=，即可得结果；

（2）根据题意结合韦达定理求得四边形AMBN的面积()222164424Sttt=++++，再根据由NEAB⊥求得22t=，代入即可.【小问1详解】设()(),10Mtt−，()11,Axy，()22,Bxy，因为24xy=，则2xy=，所以11|

2xxxy==，则切线MA的斜率为12x，故11112yxxt+=−，整理得11220txy−+=，同理可得22220txy−+=，故直线AB的方程为220txy−+=，所以直线AB过定点()0,1.【小问2详解】由（1）知直线AB的方程为12tyx=+，2

11,4xAx，222,4xBx，由2124tyxxy=+=整理得2240xtx−−=，于是122xxt+=，124xx=−，2Δ4160t=+，则()21212222tyyxxt+=++=+，故2221241Δ422ttABxxt+=+

−==+．设1d，2d分别为点M，N到直线AB的距离，则221222414tdtt+==++，222416414dtt−+==++，四边形AMBN的面积()()2212211644224SABddttt=+=+

+++，()*设E为线段AB的中点，则22,2tEt+．由NEAB⊥，得22612ttt−=−，解得22t=，将22t=代入()*式解得66S=，故四边形AMBN的面积为66S=．【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根

与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)面积问题常采用12S=×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底

很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．22.已知函数()esin1xfxaxx=−+−．（1）若函数()fx在()0,+上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）当12a时，证明：函数()()()2gxxfx=−有且仅有3个零点．【答案】（1）2a；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由()cosxfxeax=−+，根据条件即cosxaex+在()0,x+上恒成立，设()cosxhxex=+，求出其导数，得出

单调性，求出最小值，可得答案.（2）由()()2=00=0gg，，所以2x=，0x=是()()()2gxxfx=−的两个零点．因为12a，由（1）知，函数()fx在()0,+上为增函数，()()00

fxf=，无零点．所以即证函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点，分(,πx−−和()π,0x−分别讨论即可证明.【详解】（1）因为()cosxfxeax=−+，由函数()fx在()0,+上为

增函数，则cosxaex+在()0,x+上恒成立.令()cosxhxex=+，()0,x+，()sinxhxex=−当0x时，e1x，所以()sin0xhxex=−恒成立.所以()hx在()0,+为增函数．所以()()02hxh=所

以2a．（2）由()()()()()2sin12xeaxgxfxxxx−+=−−−=，则()()2=00=0gg，所以2x=，0x=是()()()2gxxfx=−的两个零点．因为12a，由（1）知，函数()fx在()0,+上为增

函数，()()00fxf=，无零点．所以下面证函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点．①当(,πx−−时，∵12a，∴πax−，∴()πsin10xfxex++−．无零点．②当()π,0x−时，∵sin0x，设()()()','sin0xuxfx

uxex==−，∴()fx在()π,0−上递增，又∵()020fa=−，()ππ10fea−−=−−，∴存在唯一零点()0π,0x−，使得()00fx=．当()0π,xx−时，()0fx，()fx在()

0π,x−上递减；当()0,0xx时，()0fx¢>，()fx在()0,0x上递增．所以，函数()fx在()π,0−上有且仅有1个零点．故函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点．综上：当12a时，函数()()()2g

xxfx=−有且仅有3个零点．【点睛】关键点睛：本题考查由函数单调性求参数范围和利用导数讨论函数零点个数问题，解答本题的关键是将问题转化为cosxaex+在()0,x+上恒成立，以及由()()2=00=0gg，，所以2

x=，0x=是()()()2gxxfx=−的两个零点．因为12a，由（1）知，函数()fx在()0,+上为增函数，()()00fxf=，无零点．所以即证函数()fx在(),0−上有且仅有1个零点，属于难题.获

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