【文档说明】天津市河西区2023届高三一模数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.713 MB，由小赞的店铺上传

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河西区2022—2023学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、和座位号填写在答题卡上，

并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小

题，每小题5分，共45分．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7,UPQ===()UPCQ则=A.{1,2}B.{3

,4,5}C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5}【答案】A【解析】【详解】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，∴P∩（∁UQ）=

{1，2，3，4，5}∩{1，2}={1，2}．故选A2.“等式22(1)(2)0xy−++=成立”是“等式(1)(2)0xy−+=成立”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先分别解出两个方程，再根据

充分条件与必要条件的定义进行求解.的【详解】由22(1)(2)0xy−++=得，1x=且=2y−，由(1)(2)0xy−+=得1x=或=2y−，所以等式22(1)(2)0xy−++=成立是等式(1)(2)0xy−+=成立”的充分不必要条件，

故选：A3.若函数()yfx=的大致图象如图所示，则()fx的解析式可能是（）A.()1xfxx=−B.()1xfxx=−C.()21xfxx=−D.()21xfxx=−【答案】C【解析】【分析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当(0,1)x时，()0fx，取1

2x=，则对于B，112()101212f==−，所以排除B，对于D，1122()012314f==−，所以排除D，当0x时，对于A，()1111xfxxx==+−−，此函数是由1yx=向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x时，()1fx恒成立，而图中，

当1x时，()fx可以小于1，所以排除A,故选：C4.某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结

论中正确的是（）A.图中a的值为0.020；B.同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；C.估计样本数据的75%分位数为88；D.由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上

）的人数约为5000人．【答案】B【解析】【分析】A.根据频率和为1，计算a的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判断C；计算体测成绩在[80]100，内的频率，再结合总人数，即可判断D

.【详解】A.由频率分布直方图可知，()100.0050.020.040.021a++++=，得：0.015a=，故A错误；B.()550.005650.015750.02850.04950.0210805

++++=.，故B正确；C设75%百分位数x，易得)80,90x，则()100.005100.015100.02800.040.75x+++−=，解得：88.75x=，故C错误；D.则体测成绩在80,100的频率为100.04100.020.6+=，估计全市高一

学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为120000.67200=人，故D错误.故选：B.5.设1.612a=，3log6b=，238c−=，则（）A.cbaB.abcC.c<

a<bD.bac【答案】C【解析】.【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可【详解】11.6.6122a−==，()232323228c−−−===，因为2xy=在R上为增函数，且21.60−−，所以21.6002221−−=，即01ca，因为3log

yx=在(0,)+上为增函数，且63，所以33log6log31=，即1b，所以c<a<b，故选：C6.已知34,abm==1122ab+=，则m的值为（）A.36B.6C.6D.46【答案】C【解析】【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、

法则化简即可得解.【详解】340abm==，34log,logambm==，111log3log4log6222mmmab+=+==，26m=，即6m=或6m=−（舍去）故选：C7.已知抛物线245yx=−，12,FF分别是双曲线22221(0,0)xyabab−=的

左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的右焦点2F，与双曲线的渐近线交于点A，若21π4FFA=，则双曲线的标准方程为（）A.2214yx−=B.2214xy−=C.22116xy−=D.22116yx−=【答案】A【解析】【分析】由抛物线方程确定准线，即

知2(5,0)F，再由双曲线的渐近线为byxa=，令5(5,)bAa，结合已知有212||||AFFF=，进而求出双曲线参数，即可得方程.【详解】由题设，抛物线准线为5x=，则2(5,0)F，1(5,0)F−，双曲线的渐近线为byxa=，不妨令5(5

,)bAa，又21π4FFA=，易知：△12AFF为等腰直角三角形，即212||||AFFF=，所以5225bca==，即2ba=，又225ab+=，可得2214ab==，故双曲线为2214yx−=.故选：A8.

截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A.62B.2023C.4623D.162【答案】C

【解析】【分析】求出棱长为1的正四面体的体积结合条件即得.【详解】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，因为棱长为1的正四面体的高22361323h=−=，则棱长为1的正四

面体的体积211362134312V==，所以该截角四面体的体积为332246264212123V=−=．故选：C．9.已知函数()sin()fxAxB=++(0,0,)2A的部分图象如图所示，则下列正确个数有（）①

()fx关于点π(,3)6对称；②()fx关于直线π3x=对称；③()fx在区间π5π[,]26上单调递减；④()fx在区间5ππ(,)1212−上的值域为(1,3)．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象确定参数,,,AB求出()fx的解析式，计算π

()6f的值，可判断①；计算π()3f的值，可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；根据5ππ(,)1212x−，确定π2(π,0)6x−−，结合正弦函数的值域，可判断④.【详解】由图象可得1(51)22A=−=,则()()2sinfxxB=++，()fx的最大值为25

3BB+==，，∴()()2sin3fxx=++，()fx过点(0,2)，∴()02sin32f=+=，∴1sin2=−，∵π2，π6=−，∴π()2sin()36fxx=−+，()fx过点π(,1)6−，∴πππ()

2sin()31666f−=−−+=，即πππππsin()1,2π,Z66662kk+=+=+，∴212,Zkk=+，由图像可知π46T，即2π3T，故2π2π3，03,2=，∴π()2sin(2)36fxx=−+，ππ()2sin3436

6f=+=，()fx的图象不关于点π,36对称，①错误；ππ()2sin3532f=+=，()fx取得最值，则()fx的图象关于直线π3x=对称，②正确；令ππ3π2π22π,Z262kxkk+−+，∴π5πππ,Z36kxkk+

+，故()fx的单调递减区间为Z[π5π,π],36kkk++，当0k=时，()fx在π5π,36上单调递减，π5ππ5π,,2636，故()fx在区间π5π,26上单调递减，③正确；5ππ(,)

1212x−，∴π2(π,0)6x−−，πsin(2)1,0)6[x−−，()[)1,3fx，④错误，故选：B第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空

题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个给的3分，全部答对的给5分．10.已知i是虚数单位，化简113i12i+−的结果为______．【答案】15i+##5i1+【解析】【分析】利用复数除法化简复数即可.【详解】

113i(113i)(12i)525i15i12i(12i)(12i)5++++===+−−+.故答案为：15i+11.8xyyx−的展开式中22xy的系数为________.【答案】70.【解析】【

详解】试题分析：设8xyyx−的展开式中含22xy的项为第1r+项，则由通项知()8118822221881rrrrrrrrrrTCxyxyCxy−−−−−+−−++=−=−．令822rr−+−=

，解得4r=，∴8xyyx−的展开式中22xy的系数为()448170C−=．考点：二项式定理．12.与直线40xy−−=和圆22220xyxy++−=都相切的半径最小的圆的方程是___________．【答案】()()22112xy−++=【解析】【分析】根据题意可知所求圆与圆

22220xyxy++−=外切，且在直线40xy−−=与圆22220xyxy++−=之间，结合圆的性质求圆心和半径.【详解】因为圆22220xyxy++−=的圆心()1,1C−，半径为2，圆心()1,1C−到直线40xy−−=的距离()221143211d−−−==+−，

可知所求最小圆的半径32222r−==，设与直线40xy−−=垂直的直线方程为:0lxym++=，又因为直线l过圆心()1,1C−，则110−++=m，即0m=，则:0lxy+=，联立方程040xyxy+=−−=，解得22xy==−，即0xy+=与40xy−−=的交点()2,2M−，设

所求圆的圆心为()(),2aaa−，则()()224211aa−−−=+−，解得1a=或3a=（舍去），即圆心为()1,1-，故所求圆的方程为()()22112xy−++=.故答案为：()()22112xy−++=.13.某校高三1班第一小组有男生4人

，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率____

__________．【答案】①.815②.89【解析】【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.【详解】

由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率114226CC8C15=，至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率21224226CCC3C5+=，所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率8381559=.故答案为：815，8914.在梯形ABCD

中，//ABCD，且2ABCD=，M，N分别为线段DC和AB的中点，若ABa=，ADb=，用a，b表示MN=__________．若MNBC⊥，则DAB余弦值的最小值为__________．【答案】

①.14ab−②.223【解析】【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；空（2）以a与b为基底，用数量积的形式表示出MNBC⊥，再由基本不等式求解即可.【详解】如图，由已知，MNANAM=−()12ABADDM=−+1122ABADDC=−−111222A

BADAB=−−14ABAD=−14ab=−.∴MN14ab=−.设DAB=，即a与b的夹角为，BCBAADDC=++12ABADAB=−++12ABAD=−+12ab=−+，若MNBC⊥，则0M

NBC=，∴1142abab−−+221384aabb=−+−2213cos84aabb=−+−0=，又∵0a，0b，∴由基本不等式，∴228cos6abab+=866baab=+8222636baab=.当且仅当866baab=，即22

ab=时，等号成立.故答案为：14ab−，223.【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以DAB为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.15.已知()212,0e,0xaxxxfxx−−−=，且函数()1yfx

=−恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】(0,1【解析】【分析】当0x时，由()10fx−=得1x=，可转化为当0x时，()10fx−=恰有2个不同的零点，利用根的分布可得答案.【详解】当0x时，()1exfx−=，所以由1()1e10xyfx

−=−=−=得1x=，所以当0x时，()21210fxaxx−=−−−=恰有2个不同的零点，令()()2121gxfxxxa=−=−−−+，则()gx在0x时恰有2个不同的零点，可得()()2Δ4410002

010aga=−−=−−−，解得01a，综上，实数a的取值范围是01a.故答案为：(0,1.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程根，再通过解不等式确定参数范围；的（2）分离参数法：先将参数分离

，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

．16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos6bAaB=−.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和()sin2AB−的值.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)7b=，3314.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦

定理边化角结合同角三角函数基本关系可得3tanB=，则B=π3．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=7．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()33214sinAB−=．详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理absinAsinB=

，可得bsinAasinB=，又由π6bsinAacosB=−，得π6asinBacosB=−，即π6sinBcosB=−，可得3tanB=．又因为()0πB，，可得B=π3．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=

2，c=3，B=π3，有22227bacaccosB=+−=，故b=7．由π6bsinAacosB=−，可得37sinA=．因为a<c，故27cosA=．因此43227sinAsinAcosA==，212217cosAcosA=−=．所以，()222sinABsinAc

osBcosAsinB−=−=4311333727214−=．点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意

角的限制范围．17.已知四棱锥PABCD−中，DA⊥平面PAB，DABC∥，120BAP=，222DAAPABBC====，E线段DP的中点．（1）求证：直线//CE平面PAB；（2）求直线BE与平面PC

D所成角的正弦值；（3）求平面PCD与平面PAD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）510（3）155【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出直线CE的方向向量和平面PAB的法向量，利用线

面平行的条件即可求解;（2）求出直线BE的方向向量和平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式，结合线面角与向量夹角的关系即可求解；（3）根据（2）的得出平面PCD的法向量，再求平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式，结合

面面角与向量夹角的关系即可求解.【小问1详解】以点A为坐标原点，以AB，AD所在直线分别为x，z轴，以与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系Axyz−，如下图所示，则()0,0,0A，()1,0,0B，()1,0,1C，()0,0,2D，()1,3,0P−

，13,,122E−．所以33,,022CE=−，()0,0,2AD=.因为DA⊥平面PAB，,所以平面PAB的法向量为()0,0,1n=，所以330001022CEn

=−++=，所以CEn⊥，由因为CE平面PAB，所以直线CE∥平面PAB．【小问2详解】由题意知，33,,022CE=−，()1,0,1CD=−，设(),,mxyz=为平面PCD的法向量,则

00mCEmCD==，即330220xyxz−+=−+=，令1x=，则3,1yz==，所以()1,3,1m=，因为33,,122BE=−，设直线BE与平面PCD所成角为，则331522sincos,1052mBE

−++===，所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为510．【小问3详解】由题意知，()0,0,2AD=，()1,3,0AP=−设平面PAD的法向量为()0,,nxyz=，则00mADmAP==，即2030zxy−=−+=，令3

x=，则3,0yz==，所以()03,3,0n=，又因为平面PCD的法向量()1,3,1m=，设平面PCD与平面PAD的夹角为，则033015coscos,5523mn++===．所以平面PCD与平面PAB夹角的余弦值为155．18.已知椭

圆222:14xyCb+=的左顶点A与上顶点B的距离为6.（1）求椭圆C的方程和焦点的坐标；（2）点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q，若PAQ△为等边三角形，求点的P

横坐标.【答案】（1）椭圆方程为22142xy+=，焦点坐标为(2,0)；（2）25−．【解析】【分析】（1）由6AB=，求得b，得椭圆方程，再计算c得焦点坐标；（2）设AB方程为(2)ykx=+，0k，代入椭圆方程求得

P点坐标，然后求出AP的中垂线方程，得N点坐标，再利用APAN=求得k后得P点横坐标．【小问1详解】由题意左顶点A与上顶点B的距离为24b+=6，解得2b=，所以2c=，椭圆方程为22142xy+=，焦点坐标为(2,0)；【小问2详解】由已知(2,0)A−，设AB方程为(2)

ykx=+，0k，代入椭圆方程并整理得：2222(12)8840kxkxk+++−=，由2x=−是此方程的一个解得224212Pkxk−=−+，所以2412Pkyk=+，AP的中点坐标为22242(,)1212kkkk

−++，AP的垂直平分线方程为222214()1212kkyxkkk−=−+++，令0x=得2212Nkyk=−+，PAQ△等边三角形，则APAQ=，所以2222222242422(2)121212kkkkkk−−++=−+−

+++，解得234k=，所以3422435124Px−=−=−+．19.数列{}na是公差为1的等差数列，其前7项的和为492，数列{}nb是等比数列，13211,28bb

b=−=−．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）令21(N)nnncbnb=+，求数列22nncc−的通项公式；为（3）求22121[(1)]()nkkkkkkaacc+=−−−．【答案】（1）()*21N2nnan−=

，()*1N2nnbn=（2）2122nnncc+−=（3）2(3n1)4169n+−+【解析】【分析】（1）应用等差数列前n项和公式、等比数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；（2）由（1）得

2122nnnc=+，即可得22nncc−的通项公式；（3）由2211211[(1)]()4nnkkkkkkkkaacck++==−−−=，利用错位相减法及等比数列前n项和公式求114nkkk+=，即可得结果

.【小问1详解】由数列na是公差d为1的等差数列，其前7项的和为492，所以114977622ad+=，解得112a=，所以()*121(1)N22nnann−=+−=；由数列nb是等比数列，112b=，3218bb−=−，得2441qq−=−，解得12q=，所以()*1N2

nnbn=．【小问2详解】因为12nnb=，所以221122nnnnncbb=+=+，所以22241221122222nnnnnnncc+−=+−+=．【小问3详解】因为()()212221221212(21)21222(2)

(1)(1)4kkkkkkkkkkkaaccaacck−+−−−+−−−+−−−=，所以2211211[(1)]()4nnkkkkkkkkaacck++==−−−=，设114nknkTk+==，则23

114244nnTn+=+++①，所以342414244nnTn+=+++②，①－②，得：()()2223122414(13)416344444143nnnnnnnTnn++++−−−−=+++−=−=−，所以2

(31)4169nnnT+−+=，即222121(31)416[(1)]()9nnkkkkkknaacc++=−+−−−=．20.已知函数()2ln,fxaxxa=−+211()().22gxax=−−（1）当1a=时，①求曲线()yfx=的单调区间和极值；②求曲线()yfx=在点(e,(e)

)f处的切线方程；（2）若函数()()()hxfxgx=−有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）①函数()fx的单调递增区间为()0,2，单调递增区间为()2,+；()fx的极大值为2ln21−，无极小值；②211eyx=−+（

2）1110,,442a【解析】【分析】（1）①求函数()yfx=的定义域和导函数，解方程()0fx=，分区间研究导数的正负，由此确定函数的单调性和极值；②利用导数的几何意义，求切线的斜率，结合点斜式即可求切线方程；（

2）首先求函数()hx的导函数可得[(12)2](1)()xaxaxhx−−−=，讨论12a，和12a两种情况研究函数的单调性结合零点存在性定理确定函数的零点个数由此确定a的取值范围.【小问1详解】①当1a=时，()2ln

1fxxx=−+，函数()2ln1fxxx=−+的定义域为()0,+，2()1fxx=−，令()0fx=得2x=．当02x时，()0fx¢>，函数()fx在()0,2上单调递增，当2x时，()0fx，函数(

)fx在()2,+上单调递减，所以，函数()fx的单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+；函数()fx在2x=时取极大值，极大值为()22ln21f=−，无极小值．②由（i）可知当(e)2lnee13ef=−+=−，2(e)1ef=−．则所求切线方程为2(3

e)1(e)eyx−−=−−，即211eyx=−+．【小问2详解】由已知可得，方程2112ln022axaxxa−−−++=在()0,+内有两个不等实根，设211()2ln22hxaxaxxa=

−−−++，则函数()hx定义域为()0,+且()10h=，(12)2(1)2()(21)1axaxahxaxxx−−−=−−−=．当120a−，即12a时，若01x，则()0hx，()hx单调递增；若1x，则()0hx

，()hx单调递减，所以()()10hxh=，则所求方程只有一个解1x=，不符合题意，舍去．当120a−，即12a时．(12)2()(1)12aahxxxxa−=−−−，①当2012aa−，即0a时，若01x，则()0hx，()hx单调递减；若1x，则()0h

x，()hx单调递增，所以()()10hxh=，则所求方程只有一个解1x=，不符合题意，舍去；②当2112aa=−，即14a=时，若0x，则()0hx，当且仅当1x=时，取等号，所以函数()hx()0,+上单调递增，又

()10h=，则所求方程只有一个解1x=，不符合题意，舍去；③当20112aa−，即10a4时，若2012axa−，则()0hx，()hx单调递增；若2112axa−，则()0hx，

()hx单调递减；若1x，则()0hx，()hx单调递增．又()10h=，可知2012aha−．因为21111211e2lneee22aaahaaa−−−−=−+−−+1311e22eaaa−=−−++−．因为10a4

，所以13115115e1022e42e4aaaa−−−++−−+−−+，即1e0ah−．因为2,112axa−时，()0hx，因为11ae−，所以12e0,12

aaa−−，所以()hx在区间12e,12aaa−−单调递增，在由零点存在定理，可得存在唯一102e,12aaax−−，使得()00hx=，又()10h=．此时，所求方程有2个

不同解，符合题意．④当2112aa−，即1142a时，若01x，则()0hx，()hx单调递增；若2112axa−，则()0hx，()hx单调递减；若212axa−，则()0hx，()hx单调递增．又()10h=，于是2012aha−，令1()ln1mxx

x=+−，22111()xmxxxx−=−=，()mx在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增，所以()()10mxm=，所以1ln1xx−，所以2211111()2ln212222hxaxxaaxaxaaxx

=−+−−+−−+−−+，所以2121()322ahxaxxax−−−++设2121()322anxaxxax=−−−++，则226123661213

122(12)1232aaaaanaaaa−−=−−++−−−，261212131212326(12)44921aaanaaaaaa−=−++=−−++−−因为1142a，所以120a−，函数244921aay−+=

+在11,42单调递增，当1142a时，21144921449210164yaa−++−+=+，6601212aahnaa−−，因为()hx在2,12aa+−上单调递增

，由零点存在定理，得存在唯一12,12axa+−，使得()10hx=，又()10h=．此时，所求方程有2个不同解，符合题意．综上所述，当1110,,442a时，函数()hx有两个不同零点．【点睛】知识点点睛：本题主要考查了导数的几何意

义，同时也考查了求导分析函数单调性最，值，零点存在性定理，由零点个数求参数范围等方面，属于难题获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com