【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第三章第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数含答案【高考】.doc，共(8)页，602.000 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d48bfc328de0aee03bcb211d66360306.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作

任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．(2)角α的弧度数公式：|α|＝lr．(3)角度与弧度的换算：360°＝2π

rad，1°＝π180rad，1rad＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝12l·r＝12α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P

(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．-2-(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中

有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α，cos(α＋k·2π)＝cos__α，tan(α＋k·2π)＝tan__α(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的

符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝

|OP|，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α

＋2kπ，k∈Z.(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.[四基自测]1．(基础点：弧长公式)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10D．10π9答案：D2．(易错点：终边相同的角的概念)下列与9π4的终边

相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案：C3．(基础点：象限符号)若角θ满足tanθ

＞0，sinθ＜0，则角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C-3-4．(基础点：三角函数定义)已知角α的终边过点(－4，3)，则cosα＋sinα＝________．答案：－15授课提示：对应学生用书第51

页考点一终边相同的角及象限角挖掘1求写终边相同的角或区域角/自主练透[例1](1)(2020·福州模拟)与－2010°终边相同的最小正角是________．[解析]因为－2010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2010°终边相同，又终

边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2010°终边相同，故与－2010°终边相同的最小正角是150°.[答案]150°(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分)．[解析]①射线y＝x表示α＝π4的终边，y轴上半轴表示β＝π2的终边，其区域

角为{α|2kπ＋π4≤α≤π2＋2kπ，k∈Z}．②x轴正半轴表示α＝0的终边，其区域角为{α|kπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z}．③{α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z}．④{α|－π2＋kπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z}．[破题技法

]1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终

止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．挖掘2已知角α的象限，求分角αn的象限/自主练透[

例2]已知sinα＞0，cosα＜0，则12α所在的象限是()A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限-4-[解析]因为sinα＞0，cosα＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2kπ＜α＜π＋2

kπ，k∈Z，则π4＋kπ＜12α＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，12α为第一象限角；当k为奇数时，12α为第三象限角，故选C.[答案]C[破题技法]象限角的两种判断方法(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已

知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[拓展]求θn或nθ(n∈N＋)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．(2)两边同除以n或乘以n.

(3)对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N＋)所在的象限．考点二扇形弧长、面积公式的应用挖掘求扇形的弧长、面积、圆心角、半径/自主练透[例](1)(2020·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步

．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为()A．120平方步B．240平方步C．360平方步D．480平方步[解析]由题意可得：S＝12×8×30＝120(平方步)．[答案]A(2)(2020·太原模拟)

已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1[解析]如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12A

B＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，即r＝1sin1，从而弧AB的长为l＝α·r＝2sin1.-5-[答案]C(3)(2020·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．[解析]设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为2R，因此

该圆心角的弧度数是α＝lR＝2RR＝2.[答案]2(4)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为________时，扇形面积最大，最大值为________．[解析]由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S

扇＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25.[答案]525[破题技法]应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最

值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．考点三三角函数的定义挖掘1用三角函数的定义求值/互动探究[例1](1)(2020·大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝

－513，则x的值为________．[解析]∵cosα＝－x（－x）2＋（－6）2＝－xx2＋36＝－513，∴x>0，x2x2＋36＝25169，解得x＝52.[答案]52(2)已知角α的终边在直线y＝－3x

上，则10sinα＋3cosα的值为________．[解析]设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝k2＋（－3k）2＝10|k|.当k＞0时，r＝10k，∴sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10，∴10sinα＋3cosα＝－310＋310＝0；当

k＜0时，r＝－10k，-6-∴sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10，∴10sinα＋3cosα＝310－310＝0.[答案]0[破题技法]1.利用角α终边上一点的坐标求三角函数值，由于点P

象限不定，故讨论象限位置．2．已知角α的终边求三角函数值，其关键点为：(1)已知角α终边上点P的坐标①求P到原点的距离．②利用三角函数定义求解．(2)已知角α终边所在的直线方程①根据象限位置，设出α的终边上点P的坐标．②利用三角函数定义求解．挖掘2三角函数值符号的判断/

自主练透[例2](1)(2020·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在[解析]∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.

[答案]A(2)已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由题意可得cosα<0，tanα<0，则sinα>0，cosα<0，所以角α的终边在第二象限

，故选B.[答案]B[破题技法]判断三角函数值符号的关键点(1)确定α的终边所在的象限位置．(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．考点四三角函数线的应用[例

](1)(2020·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小是()A．sinα<tanα<cosαB．cosα<sinα<tanαC．sinα<cosα<tanαD．tanα<sinα<cosα[解析

]如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sinα<cosα<tanα.-7-[答案]C(2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB︵，CD︵，EF︵，GH︵是圆x2＋y2＝1上的

四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是()A.AB︵B.CD︵C.EF︵D．GH︵[解析]由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限

的弧，在AB︵上，tanα＞sinα，不满足；在CD︵上，tanα＞sinα，不满足；在EF︵上，sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，且cosα＞tanα，满足；在GH︵上，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，不满足．[答案]C(3)y＝sinx－32的定义域为________

．[解析]∵sinx≥32，作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为x2kπ＋π3≤x≤

2kπ＋2π3，k∈Z.-8-[答案]x2kπ＋π3≤x≤2kπ＋2π3，k∈Z[破题技法]1.利用三角函数线可求特殊角的三角函数值如sin0＝MP＝0，cos0＝OM＝1，tan0＝0.sinπ2＝MP＝1，cosπ2＝OM＝0.sinπ＝MP＝0，cosπ

＝OM＝－1.2．判断三角函数值符号如：若α在第一象限，sinα＝MP与y轴方向一致，为正；cosα＝OM与x轴方向一致，为正；若α在第二象限，sinα＝MP与y轴方向一致，为正；cosα＝OM与x轴方向相反，为负．3．研究三角函数定义域如sinα，cosα不论α终边在何处，MP、OM都

有意义，故α∈R；而tanα，当α＝±π2时，作不出正切线，故α≠π2＋kπ(k∈Z)．若α∈(0，π2)，tanα、sinα及α的大小如何？答案：tanα＞α＞sinα