【文档说明】陕西省榆林市2021届高三高考第三次测试数学（文科）试卷 含解析.doc，共(18)页，916.500 KB，由小赞的店铺上传

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2021年陕西省榆林市高三高考数学第三次测试试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{x|x2+x﹣6≤0}，N＝{x|﹣1＜x＜1}，则∁MN＝（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，2]C．[﹣3，﹣1]∪[

1，2]D．∅2．＝（）A．B．C．D．3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为

（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注：表中的数据为随机数表的第一行和第二行）A．24B．36C．46D．474．已知平面向量＝（1，），＝（t，﹣2），+＝（3，﹣），

则|3+|＝（）A．3B．3C．4D．45．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，则c＝（）A．1或2B．1或C．1D．37．已知函数f（x）＝x2﹣alnx+b的图

象在点（1，f（1））处的切线方程y＝x+2，则a+b＝（）A．2B．3C．4D．58．已知函数f（x）＝ln+asinx+2，且f（m）＝5，则f（﹣m）＝（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．39．如图，在直三棱柱A

BC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝2sin2

x（sin2x+cos2x）﹣1，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在[0，]上是增函数D．f（x）在[0，]上有4个零点11．阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底

面垂直的四棱锥．已知在阳马P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，且阳马P﹣ABCD的体积为9，则阳马P﹣ABCD外接球表面积的最小值是（）A．B．9πC．27πD．27π12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线交C

于A，B两点，点A在第一象限，P（0，6），O为坐标原点，则四边形OPAB面积最小时直线AB的方程是（）A．3x+4y﹣4＝0B．4x+3y﹣4＝0C．4x+5y﹣4＝0D．5x+4y﹣4＝0二、填空题：本题共4

小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值是．14．某产品的零售价x（元）与每天的销售量（个）统计如下表：x6789y40312421据上表可得回归直线方程为＝﹣6.4x+，＝.（用数字作答）

15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所围成）面积的计算公式：弧田面积＝（弦×矢+矢2）、公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成

的图形，若弧田的孤长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为．16．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段MF1交双曲线于点P

，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1+a2＝a3，3a2﹣a5＝1，b2＝a1a4，b2+b5＝36．（1）求{an}，{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．18．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能

源短缺．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．新能源汽车也越来越受到消费者的青睐．某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计150502

00（1）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品

的车主中至少有1位女性车主的概率．附：K2＝，n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.82819．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点

F在棱AB上，且AF＝2FB，设直线BD1、DE相交于点G．（1）证明：GF∥平面AA1D1D；（2）求B到平面GEF的距离．20．已知函数f（x）＝lnx．（1）点P为f（x）图象上一点，求点P到直线x﹣ey+6＝0的距离的最小值；（2）若关于x的不等式f（x）≤（x2+a﹣1）恒

成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为8，且点M（，﹣）在C上．（1）求C的方程；（2）若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．(二)选考题:共10分．请

考生在第2、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点P（0，﹣2），以直角坐标系的坐标原点为极

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PM|+|PN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|（a∈R）．

（1）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+|x﹣2a|≥a2﹣4a恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|x2+x﹣6≤0}，N＝{x|﹣1＜x＜1}，

则∁MN＝（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，2]C．[﹣3，﹣1]∪[1，2]D．∅解：∵M＝{x|﹣3≤x≤2}，N＝{x|﹣1＜x＜1}，∴∁MN＝[﹣3，﹣1]∪[1，2]．故选：C．2．＝（）A．B．C．D．解：＝．故选：A．3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用

随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774

246292428114572042533237321676（注：表中的数据为随机数表的第一行和第二行）A．24B．36C．46D．47解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：C．4．已知平面向量＝（1，），＝（t，﹣2），+＝

（3，﹣），则|3+|＝（）A．3B．3C．4D．4解：∵＝，∴．故选：A．5．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，排除选项B和C，当x＞1时，ln|x|＝l

nx＞0，∴f（x）＞0，排除选项A，故选：D．6．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝，A＝，则c＝（）A．1或2B．1或C．1D．3解：由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，∴1＝3+c

2﹣2•c•cos，化简得，c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故选：A．7．已知函数f（x）＝x2﹣alnx+b的图象在点（1，f（1））处的切线方程y＝x+2，则a+b＝（）A．2B．3C．4D．5解：函数f（x）＝

x2﹣alnx+b的导数为f′（x）＝2x﹣，可得图象在点（1，f（1））处的切线斜率为2﹣a，由切线的方程y＝x+2，可得2﹣a＝1，1+b＝3，解得a＝1，b＝2，所以a+b＝3，故选：B．8．已知函数f（x）＝ln+asinx+2，且f（m）＝5，则f（

﹣m）＝（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．3解：根据题意，函数f（x）＝ln+asinx+2，则f（﹣x）＝ln+asin（﹣x）+2＝﹣ln﹣asinx+2，则有f（x）+f（﹣x）＝4，故f（m）+f（﹣m）＝5，若f（m）＝5，则

f（﹣m）＝﹣1，故选：C．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝4，AB⊥AC，M为BB1的中点，点N在棱CC1上，CN＝3NC1，则异面直线A1N与CM所成角的正切值为（）A．B．C．D．解：在棱AA1

上取一点D，使得AD＝1，连结CD，DM，则CD＝DM＝，，CD∥A1N，所以∠DCM即为A1N与CM所成的角，取CM的中点E，连结DE，所以＝，故＝，所以异面直线A1N与CM所成角的正切值为．故选：D．10．已知函数f（x）＝2sin2x（sin2x

+cos2x）﹣1，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在[0，]上是增函数D．f（x）在[0，]上有4个零点解：函数f（x）＝2sin2x（sin2x+cos2x）﹣1＝2sin22x﹣1+2sin2xcos2x＝sin4x﹣cos4

x＝sin（4x﹣）．所以函数的周期为：T＝＝，所以A不正确；函数的最大值为，所以B不正确；，解得，所以f（x）在[0，]上是增函数，所以C正确；f（x）在[0，]上有2个零点，所以D不正确．故选：C．1

1．阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥．已知在阳马P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝3，且阳马P﹣ABCD的体积为9，则阳马P﹣ABCD外接球表面积的最小值是（）

A．B．9πC．27πD．27π解：由题意可知阳马的体积为：AB•BC•PD＝AB•BC＝9，设阳马的外接球的半径为R，则4R2＝AB2+BC2+PD2＝AB2+BC2+9≥2AB•BC+9＝27，当且仅当AB＝BC时等号成立，所以阳马的外接球的表面积4πR2≥27π．故选：C．12．已知抛物线C

：y2＝4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，P（0，6），O为坐标原点，则四边形OPAB面积最小时直线AB的方程是（）A．3x+4y﹣4＝0B．4x+3y﹣4＝0C．4x+5y﹣4＝0D．5x+4y﹣4＝0解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线AB的方程为x

＝my+1，联立，可得y2﹣4my﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，则y1y2＝﹣4，四边形OPAB的面积S＝＝．令f（x）＝，则f′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈

（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x＝1时，即当y1＝1时，四边形OPAB的面积最小，此时A（，1），B（4，﹣4），直线AB的方程为4x+3y﹣4＝0．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条

件，则z＝x+3y的最大值是5．解：由z＝x+3y得y＝﹣x+z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点C时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z也最大，，即C（2，1），代入目标函数z

＝x+3y，得z＝2+3×1＝5．故z＝x+3y的最大值为5．故答案为：5．14．某产品的零售价x（元）与每天的销售量（个）统计如下表：x6789y40312421据上表可得回归直线方程为＝﹣6.4x+，＝77.（用

数字作答）解：＝（6+7+8+9）＝7.5．＝（40+31+24+21）＝29．样本中心（7.5，29），样本中心代入回归直线方程，可得29＝﹣6.4×7.5+，＝77．故答案为：77．15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田（由圆弧和其所对弦所

围成）面积的计算公式：弧田面积＝（弦×矢+矢2）、公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离，如图，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形，若弧田的孤长为，弧所在的圆的半径为4，则利用九章算术中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为8+2﹣．解：如图所示，由题意可得：∠A

OB＝＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得：矢＝4﹣2＝2，由AD＝AO•sin＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝4，所以：弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（4×2+22）＝4+2．实际面积＝××4﹣＝﹣4．所以4+2﹣+4＝8+2﹣

．故答案是：8+2﹣．16．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为．解：设F1

（﹣c，0），F2（c，0），由，解得M（﹣，），因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，所以P为F1M的中点，所以P（﹣，），将P的坐标代入双曲线的方程，可得﹣＝1，化简可得c2＝2a2，则e＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17

题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1+a2＝a3，3a2﹣a5＝1，b2＝a1a4，b2+b5＝36．（1）求{an}，

{bn}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}中的公比为q，由于已知a1+a2＝a3，3a2﹣a5＝1，b2＝a1a4，b2+b5＝36．建立方程组，解得a1＝d＝1，b1＝1，q＝2，所以an＝n，．（2）由（1）得，所

以①，2②，①﹣②得，﹣，整理得．18．新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外所有的其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车产业必将成为未来汽车产业发展的导向与目标．新能源汽车也越来越受到消费者的青睐．

某机构调查了某地区近期购车的200位车主的性别与购车种类情况，得到数据如下：购置新能源汽车购置传统燃油汽车合计男性10020120女性503080合计15050200（1）根据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为是否购置新能源汽车与性别有关；

（2）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置新能源汽车的车主中选出6位，参加关于“新能源汽车驾驶体验”的问卷调查，并从这6位车主中随机抽取2位车主赠送一份小礼物，求这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率．附：K2＝，

n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828解：（Ⅰ）K2＝＞10.828，有99.9%的把握认为购置新能源汽车与性别有关，（Ⅱ）用分层抽样的方法按性别从被调查的购置

新能源汽车的车主中选出6位，男性4人，记为a，b，c，d，女性2人，记为1，2，选取2名学生共有（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（

1，2），共15种，符合题意有9种，所以这2位获赠礼品的车主中至少有1位女性车主的概率．19．如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是BB1的中点，点F在棱AB上，且AF＝2FB，设直线BD1、DE相交于点G．（1）证明：GF∥平面AA1D1D；（2

）求B到平面GEF的距离．解：（1）证明：连接AD1，则，∴FG∥AD1，∵AD1⊂平面AA1D1D，FG⊄平面AA1D1D，∴GF∥平面AA1D1D；（2）由题意，EF＝，GE＝DE＝×，＝，在△GEF中，由余弦定理可得cos，∴sin＝，∴，，G到平面BEF的距离为2，设B到平

面GEF的距离为h，由等体积法可得，VB﹣GEF＝VG﹣BEF，可得，解得h＝．故B到平面GEF的距离为．20．已知函数f（x）＝lnx．（1）点P为f（x）图象上一点，求点P到直线x﹣ey+6＝0的距离

的最小值；（2）若关于x的不等式f（x）≤（x2+a﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）设与直线x﹣ey+6＝0平行的直线与曲线f（x）＝lnx切于P（x0，lnx0），由f（x）＝lnx，得f′（x）＝，则f′（x0）

＝，由，得x0＝e，则切点P（e，1），点P到直线x﹣ey+6＝0的距离的最小值为；（2）f（x）≤（x2+a﹣1）恒成立，即a≥2lnx﹣x2+1在（0，+∞）上恒成立，令h（x）＝2lnx﹣x2+1，则h′（

x）＝，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）有最大值为h（1）＝2ln1﹣12+1＝0．∴实数a的取值范围是[0，+∞）．21．

已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为8，且点M（，﹣）在C上．（1）求C的方程；（2）若直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．解：（1）由焦距为8，可知c

＝4，将点M（，﹣）代入椭圆C，可得，解之得a2＝20，b2＝4，所以C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为（x0，y0），则，相减化简可得，设直线方程为：，联立直线和椭圆方程可得，则△＝20（

64﹣m2）＞0，即m2＜64．，点O到直线AB的距离为，，当且仅当m2＝32时取等号．即△AOB面积的最大值为2．(二)选考题:共10分．请考生在第2、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂

、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角为a，且过点P（0，﹣2），以直角坐标系的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方

程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点M，N，求|PM|+|PN|的最大值．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，根据，转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．（2）直线l的倾斜

角为α，且过点P（0，﹣2），转换为参数方程为（t为参数），代入（x﹣2）2+y2＝4，得到：t2﹣4（sinα+cosα）t+4＝0，由于△＝16×（sinα+cosα）2﹣16＝16sin2α＞0，所以，故|PM|+|PN|＝4（sin＝4，当时，取得最大值为4．[选修4-5：不等式选

讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+|x﹣2a|≥a2﹣4a恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）若f（x）≥|2x﹣1|的解集

为[0，2]，即为|x+a|≥|2x﹣1|，即（3x+a﹣1）（x﹣1﹣a）≤0的解集为[0，2]，可得0，2是方程（3x+a﹣1）（x﹣1﹣a）＝0的两根，则（a﹣1）（﹣1﹣a）＝0，（a+5）（1﹣a）＝0，解得a＝1；（2）对任意x∈R，不等式f（x）+|x﹣2a

|≥a2﹣4a恒成立，等价为a2﹣4a≤（|x+a|+|x﹣2a|）min，由|x+a|+|x﹣2a|≥|x+a﹣x+2a|＝|3a|，当（x+a）（x﹣2a）≤0时，取得等号》所以a2﹣4a≤3|a|，当a≥0时，a2﹣7a≤0，解得0≤a

≤7；当a＜0时，a2﹣a≤0，该不等式无解．综上可得，a的取值范围是[0，7]．