【文档说明】高中数学人教B版必修4教学教案：1.2.1 三角函数的定义 （4） 含答案【高考】.doc，共(7)页，208.500 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-1.2.1三角函数的定义一、教学内容解析《数学课程标准》指出：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。本节是学生在初中锐角三角函数和高中任意角的概念的基础上进行的扩展，是本章教学内容的基本概念，是这一章最重要的一节

课。三角函数的定义对三角函数的整体学习至关重要；同时它又是以后学习平面向量、解析几何、极坐标等内容的必要准备，通过这部分内容的学习可以进一步帮助学生理解函数这一基本概念。因此本节内容具有承上启下的作用。本节课的重点是任意角的三角函数的定义，它是以初中学过的锐角三角函数为认知的起点，借助象限角及单

位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，它们是本节乃至本章的基本概念，解决这一重点的关键是在直角坐标系中，借助直角三角形、象限角、单位圆等知识，抽象概括出三角函数，在这一过程中，学生可以感受到数形结合、运动变化、类比等数学思想方法，体现了认知的基本规律：特殊到一般、一般到特殊

，唤醒学生数学元认知，保证学生思维的自主活动。简化后的定义可以更好地反映三角函数的本质，使得三角函数反映的数形关系更加直接，为后面学习三角函数线作铺垫。二、教学目标设置(一)知识与技能目标:（1）掌握任意角的三角函数定义；（2）已知角或终边上一点的坐标,

能根据定义求角的各三角函数值；（3）能根据任意角的三角函数定义探究出定义域。(二)方法与过程目标:（1）借助直角三角形中锐角三角函数定义抽象出任意角的三角函数定义，借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。（2）在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、探究、解决问题的能力。(三)情感态度与

价值观:在定义的生成过程中渗透数形结合、类比、分类讨论、从-2-特殊到一般、从一般到特殊的思想，领悟直角坐标系的工具功能，让学生去感受数学的自然美与简洁美，培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。三、学生学情分析学生在

初中的时候，是以直角三角形为背景去学习锐角三角函数，学生习惯了用直角三角形的边的比值去定义三角函数，对于用角终边上点的坐标来定义三角函数和从函数的角度认识任意角三角函数是一个数集到另一个数集的对应关系是本节课的两个难点。我校的学生以文科为主,数学

基础相对较差，多数学生对数学的学习没有兴趣、积极性不高。学生的学习能力、理解能力较差，对初中学习过的以直角三角形为背景的锐角三角函数有一定的印象，对数形结合思想有一定的认识，对于用角终边上点的坐标来定义三

角函数在认识上存在着一定的障碍。因此需要在老师的指导下发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。教学过程中利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，使学生能够更好地数形结合地进行思维，引导学生利用相似得出在给定角的终边上取点的任意性，帮助学生理解任意角

的三角函数定义，使学生自主经历学习过程，从而收获成果、提高学生的学习积极性和主动性。四、教学策略分析本节课是“函数概念”的下位概念，我利用以直角三角形为载体的锐角三角函数定义来引课，并根据任意角的概念，以圆周

运动这一数学模型为教学起点，从该模型中寻找变量抽象概括出任意角三角函数的概念，突出本节课的重点，结合我校学生的知识水平、年龄特点，我没有按照课本的设置顺序讲解,通过几何画板演示圆周运动，借助“数形结合”的思想，通过问题串引导学生突破难点，先由锐角的终边上任意一点的坐标表

示锐角三角函数，再由角的任意性推广到任意角的三角函数,以学生活动为主线,给学生留下思考、自主发现的空间，最后特殊化抽象概括出单位圆中用坐标表示的任意角的正弦、余弦、正切的定义，得出三角函数定义的简化形式，使学生的学习过程

成为在我的指导下的“再创造”过程，体现学生的主体地位。根据本节课内容及高一学生的认知特点，本节课采用“问题探讨、自主探究、讲练结合”的方法组织教学，在练习及作业的设置上，分层次布置，使不同层次的学生都能学有所获。-3-五、教学过程

（一）复习引入、提出问题问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．在直角△ABC中，∠A是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠A的正弦、余弦和正切分别是什么？设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义，从原有的认知基础出发，点明主题，激发学习兴趣，为后面探索任意角

三角函数的定义做铺垫.问题2：现在，角的概念推广到了任意角，任意角给你留下了什么样的印象？设计意图：回顾任意角的概念，转动过程中形成的,作圆周运动,让学生体会角的周而复始的变化规律。用几何画板演示终边每旋转2弧度，P点就回到原来位置,并

且P点可以无限地旋转下去，体现了周期性，所以我们可以用任意角去刻画P点的周期变化规律。问题3：能不能继续在直角三角形中定义任意角的三角函数？将锐角的概念推广到任意角时，我们是把角放在哪里进行研究的？在平面直角坐标系中，sin、cos、tan的值分别如何表示？设计意图：引导学生

在平面直角坐标系内用坐标定义锐角的三角函数．进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论，体会类比的数学思想。问题4：这三个比值会不会随着P点在角的终边上的位置的变化而变化？设计意图：利用相似得出三角函数值不会随着P点的变化而变化，只要角不变，比值

就不会发生变化，便于让学生从函数的角度理解三角函数。（学生得出后，教师用几何画板演示）问题5：到目前为止，我们在角和函数方面做了两项工作，一是推广了角的概念，二是给出了锐角三角函数的坐标表示，那么，将这两个工作结果结

合起，你能给任意角定义各三角函数吗？请交流讨论给出你们的观点.设计意图：由学生得出任意角的三角函数定义。问题6：三个基本量x,y,r到底能组成几种比值关系？-4-设计意图：引导学生感受三角函数还有另外的三种，不要让学生误解只有这三种关系，只是在高中阶段对另外三种关

系不作研究，拓宽学生的视野。（二）合作交流、解读探究1.任意角的三角函数定义一般的，设角终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则(1)ry叫做的正弦(sine),记做sin,即ry=sin；（2）rx叫做的余弦(cosine),记做cos；即co

s=rx（3）xy叫做的正切(tangent),记做tan,即tanxy=.设计意图：从函数角度理解任意角的三角函数定义。任意一个角确定,比值唯一确定,与点P（x,y）在终边上的位置无关，比值只随着角的变化而变化，它们都是以角为自变量，以比值为函

数值（就是以实数为函数值）的函数，而角的集合与实数集是一一对应的，三角函数可以看成是自变量为实数的函数，是函数的一种，体会函数思想和数形结合思想，强调sin的整体性。问题7：大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点？设计意图

：一般到特殊，将圆单位化，引导学生借助单位圆定义任意角的三角函数，为后面三角函数线的学习作铺垫。(1)y叫做的正弦(sine),记做sin,即siny=；（2）x叫做的余弦(cosine),记做cos,即cosx=；（3）yx叫做的正切(tangent),记做tan,即xy=t

an.问题8：学习一个新的函数，就要研究它的定义域，你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计意图：通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念。2.实例剖析例1.求下列三角函数值。

（口算）-5-(1)sin2700(2)cos(3)tan3设计意图：从最简单的问题入手，让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与几何的联系，体会数形结合的思想．例2.求35的正弦、余弦和正切值.设计意图：能根据已知角，求出角

的终边上任一点的坐标，或求出角的终边与单位圆的交点坐标，利用定义求解.[]变式训练：把角53改为76，求角的正弦、余弦、正切值。（实物投影学生的书写，并让学生讲解）例3.已知角的终边经过点P0(-3,-4)，求角的正弦、

余弦和正切值.3.课堂练习：已知角的终边经过点P(-12,5),求角的正弦、余弦和正切值.设计意图：已知角的终边上任意一点的坐标（不在单位圆上），能求角的三角函数值。4．课后自测【层次一】1.角34与单位圆的交点坐标为,则3sin4=，3cos4=，3tan4=.2.已知角的终边经

过点P（2，-3）,求2sin+cos+tan的值.【层次二】3.已知点(3,4)Paa−(0)a在角α的终边上，则tan=.-6-4.cos(30)−=.【层次三】5.如果角的顶点在原点

，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数5(0)yxx=的图象上，那么tan的值为（）.A.5B.－5C.15D.15−设计意图：分层练习，使不同层次的学生都能学有所获。5．课时小结（学生完成，教师点评）：同学们，

通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？（1）内容总结：①任意角的三角函数的定义.②任意角的三角函数的定义域.（2）方法总结：运用了定义法、数形结合法解题.（3）体现的数学思想：数形结合的思想、类比的思想、从特殊到一般、一般到特殊的数学思想设计意图：学生回

顾和总结本节课的主要内容，教师作适当补充，培养学生总结及解决问题的能力。6.作业设计：（1）教科书P.20习题1.2A组第2、4题．（2）完成学案上的课后自测部分设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应

用的几个方面，通过作业让学生进一步理解三角函数的概念，使学生继续加深对三角函数的概念的理解及应用，为后续学习打好基础。7.教学反思：本节课的教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的定义的理解上。借助于初中锐角三角函数的定义，引入在平面直角坐标系中，将锐角三角函数的定义向任

意角的三角函数过渡，从直角三角形中的锐角三角函数，到直角坐标系中的锐角三角函数，再到任意角的三角函数，最后到单位圆中的任意-7-角的三角函数，通过角与比值、角（实数）与坐标（实数）之间的关系揭示了函数的本质，符合学生的认知规律，从特殊到一

般，再从一般到特殊，渗透了逻辑推理、数学抽象的核心素养，用到了类比、数形结合的数学思想方法。例题的设置方便学生进一步理解任意角的三角函数定义，渗透了数学运算的核心素养。对定义的介绍补充了高中阶段没有涉及到的余切

、正割、余割，解释了学生对定义的理解上的疑问，扩充学生的视野。在教学过程中，教师与学生的互动比较多，对优生和差生都有提问,教师能及时纠正学生出现的问题，以问题吸引学生的注意力，让学生讲解自己的解题过程，提高学生的自信心。不足之处在于：教学中问题

的设置有点多，引课的时候花费了较多的时间，导致后面预设的例题3及对应的练习没有完成,预设目标与生成没有达到一致。8.板书设计：课题:任意角的三角函数正弦Rry=，sinr=1y=sin余弦Rrx=,cos单位圆x=cos正切Zkkxy+=,

2|,tanxy=tan任一角定，余切yx=cot例题比值ry定正割xr=sec余割yr=csc