【文档说明】[26752056]精讲练06 垂径定理（提高）-2020-2021学年九年级数学寒假精讲练专题（沪教版）.docx，共(17)页，265.304 KB，由管理员店铺上传

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精讲练06垂径定理（提高）【学习目标】1．理解圆的对称性；2．掌握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂

直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分

线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过

圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【精讲例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD

，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂

直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．222+1=5【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴，，∴在Rt△BOM中，．【变式2】（安岳县月考）如图，⊙

O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=

2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，12MOHNCNCHCDCH==−=−11()(38)32.522CHDHCH=+−=+−=111()(46)5222BMABBHAH==+=+=2

2552OBBMOM=+=在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点

拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO

，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同

侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=1

0，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（乐山模拟）李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门

所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？【思路点拨】如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G

，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．运用垂径定理和勾股定理即可求解．【答案与解析】解：如图，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M．则MN为直

径．取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=320cm，GN=AB=CD=40cm∴AG=GC=160cm，设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣40）2+1602，解得R=340c

m，340×2=680（cm）．答：这个圆弧形门的最高点离地面的高度为680cm．【点评】本题考查了垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练勾股定理的表达式及垂径定理的内容，注意构造直角三角形．4.不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l

于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，

证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥

l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴AE∥OG∥BF．∵AB为直径，∴AO＝OB，∴EG＝GF，∴EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.【精练巩固】一、选择题1.如图所示，三角形ABC

的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③；④；⑤CD⊥AB．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．下面四个命题中正确的是()．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对

的弦C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心ACBC=ADBD=COBDAD．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=，BD=，则AB的长为（）A．2B.3C.4D.5第3

题第5题第6题4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数为()．A．15°B．45°C．75°D．15°或75°5.（河东区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点

C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．65°6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距

离之和为（）．A．3cmB．4cmC．8cmD．6cm二、填空题7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．

223237题图8题图9题图9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．10．（南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的

圆面的最小半径是mm．11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．(第12题)12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，PB，过点O分别作OE

⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF=.三、解答题13.（高安市一模）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保

留作图痕迹）；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．AEOFBP14．如图所示，C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，

若BC=10cm，且CE：BE=3：2，求弦AB的长．15．如图所示，已知O是∠MPN的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.⑴求证：PB=PD.⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若

不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.16.（杭州模拟）如图，⊙O的两条弦AB、CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BED=60°，EO=2，求DE﹣AE的值．ACBEODCBA【答案与解析】一、选择题1．【答案】D．【解析】由圆的对称性、等腰三角形

的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.2．【答案】D．【解析】根据垂径定理及其推论来判断.3．【答案】B．【解析】由垂径定理得HD=，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，则，由此得R=，所以AB=3.故选B.4.【答案】D．【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论

.5．【答案】C；【解析】连接CD，∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，∴∠ABC=90°﹣25°=65°，∵BC=CD，∴∠CDB=∠ABC=65°，∴∠BCD=180°﹣∠CDB﹣∠CBD=180°﹣65°﹣65°=50°，2

()()22221RR=+−32∴=50°．故选C．6．【答案】D．【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.二、填空题7．【答案】2．8．【答案】9．【答案】10.【答案】50．【解析】解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，∵直线l

是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．故答案为：50．.13.131

1．【答案】.【解析】连接OC,易求CF=CD=.12.【答案】5.【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=三、解答题13.【答案与解析】解：（1）如图：（2）过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，则AD=AB=4，OD=r﹣2，在Rt△AOD中，r2=42+（r﹣2）2，解得r=

5，答：这个圆形截面的半径是5cm．23cm3.23cm15.2AB=14.【答案与解析】因为C为的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以CD⊥AB.由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，设则解得，.15.【答案与解析】（1）证明：过O作OE⊥P

B于E，OF⊥PD于F.∵PO平分∠MPN∴OE=OF，PE=PF∴AB=CD，BE=DF∴PE+BE=PF+DF∴PB=PD（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.16.【答案与解析】解：（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图

1，ACB,,BPaCPb==22222221046abab+=−=−210a=2410ABacm==AAEEPOPOFFCCPA=PCPA=PC∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM=ON，∴AB=CD；（2）如图2所示，由

（1）知，OM=ON，AB=CD，OM⊥AB，ON⊥CD，∴DN=CN=AM=BM，在Rt△EON与Rt△EOM中，∵，∴Rt△EON≌Rt△EOM（HL），∴NE=ME，∴CD﹣DN﹣NE=AB﹣BM﹣ME，即AE=CE，∴DE﹣AE=DE﹣CE=DN+

NE﹣CE=CN+NE﹣CE=2NE，∵∠BED=60°，OE平分∠BED，图1NMEODCBAABCDOEMN图2∴∠NEO=BED=30°，∴ON=OE=1，在Rt△EON中，由勾股定理得：NE==，∴DE

﹣AE=2NE=2．