【文档说明】重庆市外国语学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.711 MB，由小赞的店铺上传

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重庆外国语学校2019-2020学年(下)高2022届期末考试数学试题一､选择题1.已知等差数列na满足364,2aa==−，则na的公差是（）A.1B.1−C.2D.2−【答案】D【解析】【分

析】根据等差数列的通项公式即可求解.【详解】因为等差数列na满足364,2aa==−，所以633aad=+，即243d−=+，解得2d=−，故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.2.已知直线2

0axya++=与直线10xaya++−=垂直，则实数a的值是（）A.0B.1−C.1D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合直线垂直的性质可得0aa+=，即可得解.【详解】因为直线20axya++=与直线10xaya++−

=垂直，所以0aa+=即0a=，所以实数a的值是0.故选：A.【点睛】本题考查了直线垂直的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.3.过点(32)−，且与22194xy+=有相同焦点的椭圆的方程是（）A.2211510xy+

=B.221225100xy+=C.2211015xy+=D.221100225xy+=【答案】A【解析】试题分析：椭圆22194xy+=，∴焦点坐标为：（5，0），（-5，0），c=5，∵椭圆的焦点与椭圆2219

4xy+=有相同焦点设椭圆的方程为：2222+xyab=1，∴椭圆的半焦距c=5，即a2-b2=5结合2294+1ab=，解得：a2=15，b2=10∴椭圆的标准方程为2211510xy+=，故选A．考点：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质．点评：常见题型，围绕a,b,c布列方程组．4.已

知单调递减的等比数列na满足142318,32aaaa+==，则5a=（）A.32B.16C.2D.1【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质可得23aa=14aa，联立方程即可求出1416,2aa

==，求出公比即可求解.【详解】递减的等比数列na中，由3232aa=可得，1432aa=,又1418aa+=，等比数列单调递减，解得1416,2aa==，所以34118aqa==，故12q=，所以54

112aa==，故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列的性质，属于中档题.5.已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，30,45AB==，则ab=（）A.2B.22C.62D.23【答案】B【解析】【

分析】利用正弦定理直接求解即可.【详解】由正弦定理知，sinsinabAB=,即sinsin302sinsin452aAbB===，故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于容易题.6.已知定点()00,Pxy在单位圆221xy+=内部，

则直线001xxyy+=与圆221xy+=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据点在圆的内部可得22001xy+，再利用圆心到直线的距离与半径关系判断即可

.【详解】()00,pxyQ在圆221xy+=的内部22001xy+因为圆心为(0,0)，半径为r，所以圆心到直线的距离220011drxy==+直线与圆相离，故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位

置关系，点到直线的距离，属于中档题.7.已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足222bcabc+=−，则A=（）A.6B.3C.23D.56【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求A的值.【详解】222bcabc+=−，

222bcabc−+=−，2221cos222bcabcAbcbc+−−===−，0A，23A=，故选：C.【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.8.过点()1,2M作直线16yxm

=−+与椭圆()222210xyabab+=相交于,AB两点，若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率是（）A.23B.63C.1112D.336【答案】B【解析】【分析】设()11,Axy，()22,Bxy，由直线的斜率公式、

中点坐标公式及点差法可得2213ba=，再由椭圆离心率公式即可得解.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，由直线AB的斜率为16−可得121216yyxx-=--，由线段AB的中点为()1,2M可得1212xx+=，1222yy+=，

由点,AB在椭圆上可得22112222222211xyabxyab+=+=，作差得22221212220xxyyab−−+=，所以()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，即()()121222240

xxyyab−−+=，所以()212212213yybaxx−=−=−，所以该椭圆的离心率22613cbeaa==−=.故选：B.【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用、点差法的应用及椭圆离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.9.已知正实数,xy满足2xy

+=，则12xy+的最小值是（）A.322+B.22C.3D.42【答案】A【解析】【分析】由题意结合基本不等式可得12312222yxxyxy++，即可得解.【详解】因为正实数,xy满足2xy+=，所以(

)1211212312332222222yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=+，当且仅当222yx=即222x=−，422y=−时，等号成立.所以12xy+的最小值

是322+.故选：A.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10.已知非直角ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足()4,3,cos3sin30acbCbCac==+−+=，则b=（）A.7

B.31C.1943+D.1943−【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理把()cos3sin30bCbCac+−+=中的边统一成角，化简求出角B，再利用余弦定理可求出b.【详解】解：因为()cos3sin30bCbCac+−+

=，所以由正弦定理得，()sincos3sinsinsin3sin0BCBCAC+−+=,因为ABC++=，所以()ABC=−+，所以sinsin[()]sin()sincoscossinABCBCBCBC=−+=+=+,所以

3sinsincossin3sin0BCBCC−−=，因为sin0C，所以3sincos3BB−=，所以3ππ5πsin,62666BB−=−−，所以63B−=或263B−=，解得2B

=（舍去），或56B=，由余弦定理得，22232cos163243()312bacacB=+−=+−−=，所以31b=，故选：B【点睛】此题考查了正弦定理和余弦定理，三角函数恒等变换公式，考查了计算能力，属于中档题.11.已知12,FF分别是椭圆()222210xy

abab+=的左右焦点，过1F的直线与椭圆交于,PQ两点，2PQPF⊥，且234PFPQ=，则11PFQF=（）A.32B.43C.54D.3【答案】D【解析】【分析】由题意设()23,0xPFx=，由平面几何的知识可得4PQx=、25QFx=，由椭圆的定义可得3ax=

，再由椭圆的定义可得1QFx=、13PFx=，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图：设()23,0xPFx=，则4PQx=，由2PQPF⊥可得22225QFPFPQx=+=，所以121222412aPFPFQFQFPQPFQFx=+++=

++=，所以3ax=，所以122aFxQQF=−=，1223axPFPF=−=，所以1133PFxQFx==.故选：D.【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.1

2.在平行四边形ABCD中，11,BC分别是边,BCCD中点，22,BC分别是线段11,BBCC中点，…,nnBC分别是线段()*11,,2nnBBCCnNn−−中点，设数列,nnbc满足：向量nnnnBCbABcAC→→→=+，则下列

命题正确的是（）①nb为常数列，nc为递增数列；②nnbc+为等比数列，其前n项和为112n−；③nnbc为等比数列，其前n项和为112nn−+−；④若平行四边形ABCD为菱形，23πBAD=，设nnnaBC→=，则数列na不单

调.A.①④B.②④C.③④D.①【答案】D【解析】【分析】根据向量的加法、减法运算可归纳出nnBC→，得到数列nb、nc的通项公式11,12nnnbc=−=−，根据通项公式可逐项判断，即可得出结论.【详解】在平行四边形ABC

D中，11,BC分别是边,BCCD中点，22,BC分别是线段11,BBCC中点，…,nnBC分别是线段()*11,,2nnBBCCnNn−−中点，可得112BCBC→→=,234BCBC→→=,378BCBC→→=，，即有212nnnBCBC→→−=，112CCAB→→=−，214

CCAB→→=−，318CCAB→→=−，，即有12nnCCAB→→=−，所以2112111122222nnnnnnnnnnnBCABABCBCCCCABABABAC→→→→→→→→→→−−=−=−−=−+−+

=11,12nnnbc=−=−，所以nb为常数列，nc为递增数列正确，故①正确；111122nnnnbc+=−+−=−Q，数列nnbc+为等比数列，前n项和为11112211212nn−−=−−−，故②错误；112nnnbc=−Q，显然

不是等比数列，故③错误；设菱形边长为a，222222222(cos)3nnnnnnnnnaBCbABcACabacbcaa→→→==+=+++211122nna=−+，令11(0,]22nt=为减函数，则21ytt=−+在1(0,]2t上为减函

数，又12nt=为减函数，所以211122nnnaa=−+为单调递增数列，故④错误.故选：D【点睛】本题考查数列与向量的综合问题的解法，注意运用向量的加减和数乘运算，考查数列的单调性和最值，以及转化思想和化

简运算能力，属于难题.二､填空题13.1和4的等比中项是.【答案】2【解析】试题分析：设1和4的等比中项是a，则2144,2aa===.考点：等比中项的性质.14.已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，13,26,cos3bcC===，则

a=__________.【答案】5【解析】【分析】由题意结合余弦定理可得2924163aa+−=，解方程即可得解.【详解】由余弦定理得2221cos23abcCab+−==即2924163aa+−=，解得5a=或3a=−（舍去），所以5a=.故答

案为：5.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.已知数列na满足递推公式1121,1nnaaa+=+=.设nS为数列na的前n项和，则na=__________，471nnnnSa+−−+的最小值是

__________.【答案】(1).21n−；(2).174【解析】【分析】由题意可得()1121nnaa++=+，由等比数列的性质可得21nna=−；利用分组求和法可得122nnSn+=−−，进而可得4792212nnn

nnnSa+−−=+−+，再由对勾函数的性质即可得解.【详解】因为121nnaa+=+，所以()1121nnaa++=+，所以数列1na+是首项为112a+=，公比为2的等比数列，所以12nna+=，所以21nna=−

；所以()23121222222212nnnnSnnn+−=++++−=−=−−−，所以()1427472222921nnnnnnnnnnSan++−−+−−==+−+−−，由对勾函数的性质可得，当1n=时，22n=，9992222222nn+−=+

−=；当2n时，24n，所以9222nny=+−单调递增，当2n=时，9917922422442nn+−=+−=；所以471nnnnSa+−−+的最小值是174.故答案为：21n−；174.【点睛】本题考查了构造新数列求数列的通项公式、等比数列的应用，考查了分组求和法

求数列前n项和的应用及对勾函数的应用，属于中档题.16.已知点M在直线3230xy+−=上，若在圆22:1Oxy+=上存在点N，使得30OMN=，点M的横坐标的取值范围是__________.【答案】[1,2]【解析】【分析】根据圆的切线的性质,可知当过M点作圆的切线，切线与OM所成角是

圆上的点与OM所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，转化为||2OM„即可，建立不等式求解即可得出结论.【详解】设00(,)Mxy，过M作O切线交圆于P，如图，根据圆的切线性质，有∠OMN≦∠OMP.如果∠OMP≥30°

则O上存在一点N使得∠OMN=30°若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°||1OP=,||2OM„,又()222222000000||3241212OMxyxxxx=+=+−=−+Q200412124xx−+，解得：012x，故答案为：

[1,2]【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质,以及一元二次不等式的解法,综合考察了学生的转化能力，计算能力，属于中档题.三､解答题17.已知等差数列na的前n项和为nS，728S=，且248,,aaa成等比数列.（1）求na的通项公式n

a；（2）若na的公差不为0，求数列11nnaa+的前n项和nT.【答案】（1）nan=或4na=；（2）1nnTn=+.【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，由等比数列的性质可得2428aa

a=，再由等差数列通项公式及前n项和公式列方程即可得1a、d，由等差数列的通项公式即可得解；（2）由题意11111nnaann+=−+，由裂项相消法即可得解.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由2

48,,aaa成等比数列可得2428aaa=，则()()()71211176728237Sadadadad=+=+=++，解得111ad==或140ad==，所以nan=或4na=；

（2）若na的公差不为0，则nan=，所以()1111111nnaannnn+==−++，所以111111111122334111nnTnnnn=−+−+−++−=−=+++

.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了裂项相消法求数列前n项和的应用，属于基础题.18.已知圆C经过点()1,4P和点()5,0Q且圆心在直线1xy+=上.（1）求圆C的标准

方程；（2）若过点()1,4−的直线l与圆C相交于,AB两点，且120ACB=，求直线l的方程.【答案】（1）22(1)16xy−+=；（2）1x=−或34130xy+−=..【解析】【分析】（1）求得线段PQ的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心C，根据4

CQ=，求得圆的半径，即可求得圆C的方程；（2）根据题意，得到圆心到直线l的距离为2d=，①当直线l的斜率不存在时，直线方程为1x=−，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为40kxyk−++=，根据点到直线的距

离公式，列出方程，求得k，进而得出直线的方程.【详解】（1）设PQ的中点为00(,)Cxy，因为点()1,4P和点()5,0Q，所以0015403,222xy++====，即()3,2C，又由40115PQk−==−−，所以PQ的垂直平分线的斜率为1k=，所以线段

PQ的垂直平分线方程为10xy−−=，联立方程组1010xyxy+−=−−=，解得1,0xy==，即圆心坐标(1,0)C，又由4CQ=，即圆的半径为4r=，所以圆C的方程为22(1)16xy−+=.（2）过点()1,4−的直线l与圆C相交于,AB两点，且120ACB=，所以圆心到直线

l的距离为2d=，①当直线l的斜率不存在时，此时直线方程为1x=−，则圆心到直线l的距离为2d=，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为4(1)ykx−=+，即40kxyk−++=，则圆心到直线

的距离为22242(1)kdk+==+−，解得34k=−，此时直线l的方程为34130xy+−=，综上可得，直线l的方程为1x=−或34130xy+−=.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中

档试题.19.如图，在ABC中，点D为边BC上一点满足,ADACBADC⊥=，且1sin7C=.（1）求sinB的值；（2）求BDDC的值.【答案】（1）4749；（2）147.【解析】【分析】（1）由平面几何的知识结合诱导公式可得sincos2BC=，再由余弦的二倍

角公式即可得解；（2）设(),0ADxx=，则7CDx=，由正弦定理可得747xBD=，即可得解.【详解】（1）因为1sin7C=，ADAC⊥，BADC=，所以()2sinsinsincos212s

in2BADCBADCCCC=−=−−==−24714949=−=；（2）设(),0ADxx=，则7CDx=，所以在ABD△中，由正弦定理可得4947sinsin4749BDADxxBADB===，所以747xBD=，所以7147747BDDCxx==.【点睛】本题考查了三

角恒等变换的应用及正弦定理解三角形的应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.20.已知数列na的前n项和为nS，且满足21nnSa=−.（1）求na的通项公式na；（2）设()()*14nnnnbnNa−=−，则是否存在实数使得数列nb为递增数列？若存在，求出的取

值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）13nna=；（2）存在，413−.【解析】【分析】（1）由题意结合数列na与nS的关系可得113nnaa−=，再由等比数列的性质即可得解；（2）由题意结合数列的单调性可得当2n时

，10nnbb−−恒成立，即()()11341133nnn−−−−−−恒成立，按照n为偶数、n为奇数分类讨论即可得解.【详解】（1）当1n=时，111221aSa=−=，解得113a=；当2n时，()()11122211nnnnn

nnaSSaaaa−−−=−−=−−−=，即113nnaa−=，所以数列na是首项为13，公比为13的等比数列，所以13nna=；（2）由题意()()14413nnnnnnnba−=−=−−，若数列nb为递增数列，则当2n时，()()11

114134130nnnnnnnnbb−−−−−=−−−−−，即()()1113433110nnnn−−−+−−−恒成立，所以()()11341133nnn−−−−−−对

于任意的2n恒成立，当n为偶数时，14433n−−−，当2n=时，1433n−−取最大值213443−−=−，所以44−−，1；当n为奇数时，14433n−−，当3n=时，1433

n−−取最大值31416333−−=−，所以1643−，43−；综上，413−.【点睛】本题考查了数列na与nS的关系的应用、等比数列性质的应用，考查了数列单调性的应用及运算求解能力，属于

中档题.21.已知ABC的三个内角,,ABC所对的边分别为,,abc，其面积为15cR，其中R为ABC的外接圆半径.（1）求sinsinAB的值；（2）若7coscos,1510ABc==，求ABC的周长.【答案】（1）15（2）19

15+【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角形面积即可求解；（2）由三角恒等变换可求出cos,sinCC，由正弦定理可求R，由余弦定理可求+ab，即可求解.【详解】（1）1sin2ABCSabC=，又2sincRC=,sin2cCR=，225ABCabcc

RSR==V，245Rab=，又2sinsinabRAB==，252sin2sin4RARBR=，1sinsin5AB=（2）由（1）知，711cos()coscossinsin1052ABABAB+=−=−=，1coscos

(())2CAB=−+=−，0C23C=，315sin22CR==5R=，2445Rab==，2222coscababC=+−，即222ababc++=,22()19abcab+=+=，19ab+=，1915labc=++=+，【点睛】本题主

要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=，其短轴长为2，右焦点为()3,0，动点M在椭圆C上，点T

满足2MTMO=−，设点T的轨迹为曲线C.（1）求椭圆C的方程和曲线C的方程；（2）过点M的直线()0ykxmm=+交C于,PQ，求PQT△面积的最大值.【答案】（1）椭圆C的方程为：2214xy+=；曲线C的方程为221369xy+=；（2）18.【解析】【分析】（1）

根据题意得：1b=，3c=，进而用222abc=+求得a即可得椭圆C的方程；设00(,)Mxy，(),Txy通过已知条件得到220014xy+=与0033xxyy==，消去00,xy即可得到曲线C的方

程.（2）设()()1122,,,PxyQxy，由()0ykxmm=+与221369xy+=联立解方程得到()2221484360kxkmxm+++−=，通过韦达定理得到12xx+与12xx，通过判别式得到220914mk+，通过弦长公式求得PQ，通过点到直线的距离公式求得高d，即可表示

PQT△的面积，通过函数的换元法与函数的单调性求得面积的最大值即可.【详解】解：（1）由题知：1b=，3c=，所以()22222134abc=+=+=，所以椭圆C的方程为：2214xy+=.设00(,

)Mxy，(),Txy，因为2MTMO=−，所以000022xxxyyy−=−=，所以0033xxyy==.又因为动点M在椭圆C上，所以220014xy+=，所以223143xy+=

，化简得：221369xy+=，所以曲线C的方程为221369xy+=.（2）因为点00(,)Mxy的过直线()0ykxmm=+，所以()000ykxmm=+.设()()1122,,,PxyQxy，由()22013

69ykxmmxy=++=消去y，并整理得：()2221484360kxkmxm+++−=.因为直线()0ykxmm=+交C于,PQ，所以，所以()()()22284144360kmkm−+−，化简得：229(1

4)km+，所以220914mk+.所以21212228436,1414kmmxxxxkk−+=−=++.由（1）知：00(,)Mxy时，()003,3Txy.()22121214PQkxxxx=++−222

228436141414kmmkkk−−=+−++()()()222222264443614114kmmkkk−−+=++()()222229144114kmkk+−=++，点()003,3Txy到直线()0ykxmm=+的距离：()000

022233332111kxkxmmkxymmdkkk−++−+===+++，所以1122PQTSPQd==()()222229144114kmkk+−++221mk+()()22229142214kmmk+−=+(

)()22222914414kmmk+−=+2222491414mmkk=−++设2214mtk=+，则09t，则()229814949424PQTSttttt=−=−+=−−+所以当92t=时，max8

19441842PQTS===.所以PQT△的面积最大值为18.【点睛】本题主要考查轨迹方程，椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，面积的最值，考查学生的计算能力，属于较难题.