【文档说明】重庆市渝北中学2024届高三上学期9月月考数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.258 MB，由小赞的店铺上传

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渝北中学2023-2024学年高三9月月考质量监测数学试题（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3.请按题号顺序在答题

卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合14Axx=−N

，2230Bxxx=−−，则AB=（）A.1,2B.0,1,2C.1,2,3D.0,1,2,3【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.【详解】集合0,1,2,3A=，解不等式2230xx−−可得集合13Bxx=−，所以0

,1,2AB=.故选：B2.sin47sin103sin43cos77+=（）A.32−B.32C.12−D.1【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式化简求值.【详解】sin47sin103sin43cos77+cos43sin77sin43

cos77=+()sin7743=+sin120=32=故选：B3.已知直线yx=是曲线()lnfxxa=+的切线，则=a（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()fx的导数，再利用导数的几何意义

求解作答.【详解】函数()lnfxxa=+，求导得1()fxx=，令直线yx=与曲线()lnfxxa=+相切的切点为00(,ln)xxa+，于是011x=且00lnxax+=，所以01ax==.故选：B4.设命题甲：xR，2

210xax++是真命题；命题乙：函数21logayx−=在()0,+上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出命题甲和命题乙对应的a的范围，然

后根据充分性和必要性的概念求解即可.【详解】对于命题甲：因为221yxax=++是开口向上的二次函数，所以对于xR，2210xax++是真命题，则221yxax=++与x轴无交点，从而2(2)40a=−，解得11a−；对于命题乙：函数21logayx−=在()0,+上单调递减是

真命题，由对数函数单调性可知，0211a−，解得112a，因为1{|1}{|11}2aaaa−Ü，所以甲是乙的必要不充分条件.故选：B.5.函数()()()ln1ln1fxxxx=+−−的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】

分析函数()fx的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数()()()ln1ln1fxxxx=+−−，有1010xx+−，可得11x−，所以，函数()fx的定义域为()1,1−，()1,

1x−，()()()()()()ln1ln1ln1ln1fxxxxxxxfx−=−−−+=+−−=，所以，函数()fx为偶函数，排除AB选项；当01x时，110xx+−，则()()ln1ln1xx+

−，此时()()()ln1ln10fxxxx=+−−，排除D选项.故选：C.6.已知π,π2，且3cos2sin2−=，则（）A.sinπ523−=B.π5cos24−=C.2cos(π)3−=D.2tan(π)4

−=【答案】D【解析】【分析】根据倍角公式可得1sin3=，进而可得cos,tan，利用诱导公式逐项分析判断.【详解】因为3cos2sin2−=，可得26sinsin10+−=，解得1sin3=或1sin2=−，又因为π,π2

，则1sin3=，可得222sin2cos1sin,tan3cos4=−−=−==−.对于选项A：π22sincos23−==−，故A错误；对于选项B：π1cossin23−==，故B错误；对于

选项C：()22cosπcos3−=−=，故C错误；对于选项D：2tan(π)tan4−=−=，故D正确；故选：D.7.李明开发的小程序经过t天后，用户人数()500ektAt=，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过5

0000名至少经过的天数为（）（取lg20.30=）A.31B.32C.33D.34【答案】D【解析】【分析】依题意知()102000A=，从而求得104ek=，再令()50000At，结合对数运算可求得结

果.【详解】∵经过t天后，用户人数()500ektAt=，又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴102000500ek=，即104ek=，可得10lg4lgek=，∴lg410lgek=①当用户超过500

00名时有50000500ekt，即100ekt，可得lg100lgekt，∴2lgekt②联立①和②可得lg4102t，即2lg2102t，故101033.3lg20.3t=，∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.故选：D.8.设ln5ln3a=

−，232e5b=，23c=，则（）A.bcaB.abcC.acbD.cab【答案】A【解析】【分析】要比较,ac的大小只需比较2ln13+与23的大小，故考虑构造函数()()ln1fxxx=+−，利用函数的单调性比较其大小，要比

较,bc的大小，只需比较23e与213+的大小，故考虑构造函数()e1xgxx=−−，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为52ln5ln3lnln133a=−==+，又23c=由函数()()ln1fxxx=+−，01x，可得()1

1011xfxxx−=−=++，所以函数()()ln1fxxx=+−在()0,1上为减函数，所以()203ff，所以22ln1033+−，故2ln5ln33−，所以ac，因为232e5b=，23c=，故要比较,bc的大小只需比较23e与53的大

小，故只需比较23e与213+的大小，故考虑构造函数()e1xgxx=−−，其中01x，由()e1xgxx=−−求导可得()e10xgx=−，所以函数()e1xgxx=−−在()0,1上单调递增，所以()203gg

，所以232e103−−，所以232e13+，即235e3，所以2322e53，即bc，所以bca，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造函数，利用函数的单调性确定

被比较的数的大小.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数4π()sin23fxx=+，则（）A.函数()

fx的最小正周期为πB.直线7π12x=是函数()fx图象的一条对称轴C.函数π+3fx是偶函数D.函数()fx的递减区间为()5πππ,πZ1212kkk−+【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，

即可求解.详解】由函数4π()sin23fxx=+，对于A中，由三角函数的性质，可得()fx的最小正周期为2ππ2T==，所以A正确；对于B中，当7π12x=时，可得7π7π4π5π()sin2sin1121232f=+

==，所以7π12x=是函数()fx图象的一条对称轴，所以B正确；对于C中，由ππ4π()sin2()sin(22π)sin2333fxxxx+=++=+=，此时函数π(+)3fx为奇函数，所以C错误；对于D中，令π4π3π2π

22π,Z232kxkk+++，解得5ππππ,Z1212kxkk−+，即函数的递减区间为5πππ,π,Z1212kkk−+，所以D正确.故选：ABD.10.下列命题中的真命题有（）A.当1x时，11xx+−的最小值是3B.2254xx++的最小值是2C.当010x

时，(10)xx−的最大值是5D.若关于x的不等式20axbxc++的解集为23xx∣，则0abc−+【答案】AC【解析】【分析】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断

.【详解】对于选项A：因为1x，则10x−，【所以111(1)12(1)1311(1)xxxxxx+=−++−+=−−−，当且仅当111xx−=−，即2x=时，等号成立，故选项A正确；对于选项B：因为222222541142444x

xxxxx+++==+++++，等号成立的条件是23x=−，所以等号不成立，不能使用基本不等式，令242tx=+，则1ytt=+在)2,+上单调递增，所以2t=时取得最小值52，故选项B错误；对于选项C：因为010x，则100x−所以(10)(10)52xxxx+−−

=，当且仅当10xx=−，即5x=时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：因为关于x的不等式20axbxc++的解集为23xx∣，所以20axbxc++=的根为2,3，则056abaca−==，解得056abaca=−=，所以

56120abcaaaa−+=++=，故选项D错误.故选：AC.11.已知函数()21e2xfxx=−，下列说法正确的是（）A.()fx在0x=处的切线方程为10xy−+=B.()3ln222fC.若函数()gx的图象与()fx的图象关于坐标原点对称，则()21e2xg

xx−=−−D.()fx有唯一零点【答案】ABD【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算(ln2)f即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.【详解】对于A，函数()21e2xfxx=−，求导得(

)exfxx=−，有()()01,01ff==，所以()fx在0x=处的切线方程为10yx−=−，即10xy−+=，A正确；对于B，函数()21e2xfxx=−，有()()()22ln211ln2eln22ln222f=−=−，而0ln21，所以

()3ln222f，B正确；对于C，函数()21e2xfxx=−，函数()gx的图象与()fx的图象关于坐标原点对称，所以2211()()[e()e2]2xxgxfxxx−−=−−=−−−=−+，C错误；对于D，函数()21e2xfxx=−的定

义域为R，求导得()exfxx=−，令()()exgxfxx==−，()e1xgx=−，当0x时()0gx，当0x时，()0gx，则函数()fx在(0,)+上递增，在(),0−上递减，于是min()(0)10fxf

==，函数()fx在R上单调递增，而()()11010,10e2ff=−=−，由零点存在性定理知()fx在()1,0−内存在唯一零点，所以()fx有唯一零点，D正确.故选：ABD12.已知函数()fx，()gx的定义域均为R，

且满足对任意实数x，()()33fxgx+−=，()()11gxfx−−=，若()fx是偶函数，()02f=，则（）A.()fx是周期为2的周期函数B.()11fx+−为奇函数C.()gx是周期为4的周期函数D.()202314046ngn==【答案】BCD【解析】【分析

】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，()()33fxgx+−=①，()()11gxfx−−=②，以3x−替换②中的x得()()321gxfx−−−=③，由①③得()()22fxfx+−=④，令0

x=得()()()()022,200ffff+==，A选项错误.由④得()()1210fxfx−+−−=⑤，以1x+替换⑤中的x得()()11110fxfx+−+−+−=，所以()11fx+−为奇函数，B选项正确，且()

()()011110,11fff+−=−==，以1x−替换②中的x得()()()()111gxfxgxfx−−−=−−=⑥，由①⑥得()()314gxgx−+−=⑦，以x替换⑦中的1x−得()()()()24,24gxgxgxgx++=+=−+

，所以()()()()()4222444gxgxgxgxgx+=++=−++=−−++=，所以()gx是周期为4的周期函数，所以C选项正确.由()()33fxgx+−=，令0x=，得()()()033,31fgg+==，令2x=，得()()()2113fgg+==，由()

()11gxfx−−=，令0x=，得()()()()()()0101011,02gfgfgg−−=−=−==，()()402gg==令2x=，得()()()()21211,22gfgg−=−==，所以()()()()123432128gggg+++=++

+=，所以()202312020832140464ngn==+++=，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好

的办法，如()()11fxfx+=−这是对称性，并且是轴对称；()()11fxfx+=−−这也是对称性，且是中心对称.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设函数()sin2fxxx=，则π2f=_____________.【答案

】π−【解析】【分析】根据导数的运算法则，求得()sin22cos2fxxxx=+，代入即可求解.【详解】由导数的运算法则，可得()sin2cos22sin22cos2fxxxxxxx=+=+，所以ππsinπ2cosππ22f=+=−.故答案为：π−.14.已知π

tan24−=，则2sin22cos−=______.【答案】45−##-0.8【解析】【分析】根据正切的差角公式得出tan，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan1tan2tan341tan

−−===−+，又222222sincos2cos2tan2sin22cossincostan1−−−==++，代入tan3=−得24sin22cos5−=−

.故答案为：45−15.已知函数()()lg3fxax=−的图象经过定点()2,0，若k为正整数，那么使得不等式()22()lgfxkx在区间3,4上有解的k的最大值是__________.【答案】1【解析】【分析

】由()20f=可得出2a=，由已知不等式结合参变量分离法可得出29124kxx−+，令111,43tx=，求出函数()29124gttt=−+在11,43上的最大值，即可得出实数k的取值范围，即

可得解.【详解】由已知可得()()2lg230fa=−=，则231a−=，解得2a=，故()()lg23fxx=−，由()22()lgfxkx得()()22lg23lgxkx−，因为3,4x，则224129kx

xx−+，可得29124kxx−+，令111,43tx=，()29124gttt=−+，则函数()gt在11,43上单调递减，所以，()max125416gtg==，2516k.因此，正整数k的最

大值为1.故答案为：1.16.已知函数21()()2xfxaexaR=−，若函数有两个极值点1x，2x，且212xx，则实数a的取值范围为_____.【答案】ln2(0,2【解析】【分析】对函数()fx求导，函数有两个极值点1x，2x，则1212e0e0xxaxax−=−=

，化简得到2121exxxx−=，利用换元法令212xtx=…，则12ln1ln1txtttxt=−=−，构造函数ln(),21thttt=−…，利用导数求出1(0,ln2]x，结合11exax=将参数a分离出来，构造函数(),0ln2

exxxx=„，即可得出.【详解】()xfxaex=−Q()1122111222e0e,e0exxxxaxaxxxaxax−==−==所以2121exxxx−=，令212xtx=…，所以12ln1ln1txtttxt=−=−令ln(

),21thttt=−…，则211ln()(1)tthtt−−=−令1()1ln,2utttt=−−…，则21()0tutt−=所以()ut在[2,)+上单调递减，所以1()(2)ln202utu=−„所以()ht在[

2,)+上单调递减，1(0,ln2]x所以111,(0,ln2]exxax=令(),0ln2exxxx=„，则1()0exxx−=恒成立所以()x在(0,ln2]上单调递增，即ln20,2a【点睛】已知函数有零点，求

参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解四、解答题（本大题共6小题，共

70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设函数()sincos(R)fxxxx=+.（1）求函数2π2yfx=+的最小正周期；（2）将函数()yfx=的图象向右平移π2个单位长度得到函数()gx，求()gx在0,π上的最大值.【答案】（1

）π（2）2【解析】【分析】（1）化简函数π()2sin4fxx=+，得到2π1sin22yfxx=+=−，进而求得函数的最小正周期；（2）根据三角函数的图象变换，得到π()2sin()4gxx=−，结合三

角函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数π()sincos2sin4fxxxx=+=+，则222π3π3π3π2sin2sin1cos21sin22442yfxxxxx=+=+=+=−+=−

，所以该函数2π2yfx=+的最小正周期2ππ2T==;【小问2详解】解：将函数π()2sin4fxx=+的图象向右平移π2个单位长度可得函数ππ()()2sin()24gxfxx=−=−，由0,πx，可

得ππ3π,444x−−，所以当ππ42x−=，即3π4x=时，函数()gx取得最大值，最大值为max3π()4g=2.18.某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得

到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为3:2.（1）求m，n的值（结果用分数表示）；（2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值0.001=的2独立性检验，能否判断学生性别和是否有

飞天宇航梦有关？有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计男女合计（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.附临界值表及参考公式

：0.100.050.010.0050.001x27063.8416.6357.87910.828()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，nabcd=+++.【答案】（1）711m=，917n=；（2

）列联表见解析，不能（3）分布列见解析，()95EX=【解析】【分析】（1）根据得到被调查的男女上的人数，以及有飞天宇航梦和无飞天宇航梦的男生和女生的认识，进而求得,mn的值；（2）根据（1）中的数据列出22的列联表，求得2的值，结合题意，即可得到结论；（

3）根据题意，得到随机变量X的可能取值为1,2,3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】解：由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，男生有飞天宇航梦的学生有6000.7420=

人，无飞天宇航梦的学生有6000.3180=人，女生有飞天宇航梦的学生有4000.6240=人，无飞天宇航梦的学生有4000.4160=人，所以420742024011m==+，180918016017n==+.【小问2详解】解：根据

（1）中数据填表，有飞天宇航梦无飞天宇航梦合计.男420180600女240160400合计6603401000可得()221000420160240180200010.69510.828660340

400600187−==根据小概率0.001=的独立性检验，所以没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即不能判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关.【小问3详解】解：根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3

，可得()123235CC31C10PX===，()213235CC32C5PX===，()303235CC13C10PX===，故随机变量X的分布列为X123P31035110所以X的数学期望()3319123105105EX=

++=.19.已知函数()()3sin0,22fxx=+−的图象关于直线3x=对称，且图象相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若322463f=，求3cos2+的值.【答案】（1）=2

，6=−；（2）1538+．【解析】【分析】（1）根据对称轴和周期可求和的值．（2）由题设可得1sin64−=，利用同角的三角函数的基本关系式可得1cos456−=，利用诱导公式和两角和的正弦可求3cos

2+的值．【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，所以2=，故=2．又图象关于直线3x=，故2,32kkZ++=，所以,6kkZ=−+，因为22−，故6=−．（2）由（1）得()3sin26x

fx=−，因为324f=，故1sin64−=，因为263，故062−，故115cos16164−=−=．又3cossinsin266+=

=−+13151153sincoscossin666642428+=−+−=+=．【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的

方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.20.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小

时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折

线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若||0.75r则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较

大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量x（单位：小时）3050X5070X70X光照控制仪最多可运台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元：若某台光照控制仪未运行，则

该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式()()()12211()niiinniiiixxpyrxxyy===−−=−−，参考数

据0.30.55,0.90.95．【答案】（1）0.95r，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【解析】【分析】（1）由题意求出x，y，521iix=，51iiixy=，代入公式求

值，从而得到回归直线方程；（2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪，安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；安装2台或3台光照控制仪的情况，分别列出分布列算出期望，然后作比较可得答案.【详解】（1）由已知数据可得2456855x++++==，

3444545y++++==，因51()()(3)(1)000316iiixxyy=−−=−−++++=，52222221()(3)(1)01325iixx=−=−+−+++=，52222221()(1)00012i

jyy=−=−++++=，所以相关系数12211()()690.9510252()()niiinniiijxxyyrxxyy===−−===−−，因为0.75r，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）记商家周总利润为Y元，由条

件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元②安装2台光照控制仪的情形当70X时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y=−=元，当3070X剟时，

2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y==元，故Y的分布列为：Y20006000P0.20.8所以()20000.260000.8=5200EY=+元．③安装3台光照控制仪的情形当

70X时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润3000210001000Y=−=元，当5070X剟时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润2300010005000Y=−=元，当3050X时，3台光照控制仪都运行，此时周总利润330009000Y=

=元，故Y的分布列为：Y900050001000P0.10.70.2所以()10000.250000.790000.14600EY=++=元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．

为【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列的求法，利润的计算，属于中档题．21.已知函数2()2ln4fxxax=−+，()4()2fxgx−=.（1）若()fx在1x=处取得极值，求()fx的的单调区间；（2）若()gx在[1,]e上没有零点，求a的取值范围.【答案】（1）(

)fx增区间为(1,)+，减区间为(0,1)；（2）(,)e−.【解析】【分析】（1）若()fx在1x=处取得极值，则()01f=，求出1a=，再代入求单调区间；（2）因为1(1)02g=，所以只需证明在[1,]e满足min()0gx，对a

进行分类讨论即可.【详解】（1）2()2ln4fxxax=−+的定义域(0,)+，2()2afxxx=−，(1)220,1faa=−==22(1)(1)()2xxfxxxx−+=−=，()0,1f

xx，()fx递增区间为(1,)+，()0,01fxx，()fx递减区间(0,1)，所以()fx递增区间为(1,)+，()fx递减区间为(0,1).（2）22()42ln442ln()222fxxaxxaxgx−−+−−

===，2()axagxxxx−=−=，因为1(1)02g=，所以只需证明在[1,]e满足min()0gx.当ae时，2()0xagxx−=在[1,]e恒成立，()gx在[1,]e上递减，min11()()022gx

geea==−，得ae，与ae矛盾；②当1ae时，2()0,(1,)xagxxax−=，()gx递减，2()0,(,)xagxxaex−=，()gx递增，为min1()()(1ln)0,02gxgaaaae==−，所以1ae③1a，2()0xa

gxx−=在[1,]e恒成立，()gx在[1,]e上递增，min1()(1)02gxg==，满足题意，综上有，(,)ae−.【点睛】考查求函数的单调区间以及根据函数的零点情况求参数的范围，函数的零点情况转化为研究函数的值域，进一步确定参数范围；属于较难题.22.（

1）求证：当0x时，21e12xxx++；（2）若关于x的方程e1sin1xaxx−=+在()0,π内有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,2+【解析】【分析】（1）对函数求导后，再构造函数，求导后()hx在()0,x+上为增函数，再由()(

)00hxh=，得()hx在()0,x+上为增函数，从而可证得结论；（2）先证得sinxx，则令()esin1xgxaxxx=−−−，原问题等价于()gx在()0,π内有零点，由（1）可知当12a时，函数没有零点，当12a时，连续两次求导

结合零点存在性定理求出()gx的单调区间，再判断函数的零点，从而可求得结果.【详解】（1）证明：令()21e1(0)2xhxxxx=−−−，则()e1xhxx=−−，令()()e1xxhxx==−−，则()e1xx=−，因为()0,x

+，所以()0x，即()e1xhxx=−−在()0,x+上为增函数，所以()()00hxh=，故()21e12xhxxx=−−−在()0,x+上为增函数，所以()()00hxh=，即21e12

xxx++成立（2）解：设sinyxx=−，由于()0,πx，则1cos0yx−=，所以sinyxx=−在()0,π上为增函数，所以0y，即sinxx..方程e1sin1xaxx−=+等价于()(

)esin100,πxaxxxx−−−=.令()esin1xgxaxxx=−−−，原问题等价于()gx在()0,π内有零点，由()0,πx，得2sinxxx.由（1）知当12a时，()21esin1e102xxgxaxxxxx=−−−−−−，此时，

当()0,πx时，函数()ygx=没有零点，不合题意，故舍去.当12a时，因为()esin1xgxaxxx=−−−，所以()()ecossin1xgxaxxx=+−−，令()()()ecossin1xtxgxaxxx=−+=−，则()()esi

n2cosxtxaxxx=+−.当π,π2x时，()0tx恒成立，所以()gx单调递增.当π0,2x时，令()()()esin2cosxsxtxaxxx==+−，则()()e3sincosxsxaxxx=++.因为e0x，()3sincos0a

xxx+，所以()0sx，所以()tx单调递增.又()0120ta=−，π2ππe022ta=+，因此()tx在π0,2上存在唯一的零点0x，且00,2x.当()00,xx时，()0tx

，所以()gx单调递减；当()0,xx时，()0tx，所以()gx单调递增.又()00g=，()()000gxg=，()ππeπ10ga=+−，因此()gx在()0,π上存在唯一的零点1x，且()10,πxx.当()

10,xx时，()0gx，所以()gx单调递减；当()1,πxx时，()0gx，所以()gx单调递增.又()00g=，()()100gxg=，由（1）知21e112xxxx+++，所以()ππeπ10g=−−，所以

()gx在()10,x上没有零点，在()1,πx上存在唯一零点，因此()gx在()0,π上有唯一零点.综上，a的取值范围是1,2+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，

考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题有关键是对方程化简变形后构造函数()esin1xgxaxxx=−−−，将原问题转化为()gx在()0,π内有零点，然后利用导数和零点存在性定理求解，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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