【文档说明】福建省南平市2020届高三上学期第一次综合质量检查数学（文）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.741 MB，由小赞的店铺上传

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南平市2019—2020学年高中毕业班第一次综合质量检测文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本

大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合1Axx，2Bxx，则BARð（）A.|21xxB.|21xxC.|21xxD.2

|1xx【答案】B【解析】【分析】先求集合A的补集，再进行交集运算，即可得答案.【详解】因为集合1Axx，所以{|1}AxxRð，所以|21BAxxRð.故选：B.【点睛】本题考查集合的基本运算，即补集和交集，考查基本运算能力

，属于基础题.2.若复数i1iaz为纯虚数，则实数a的值为（）A.2B.1C.1D.2【答案】B【解析】【分析】对得复数进行除法运算，再利用纯虚数的概念，求得a的值.【详解】因为i(i)(1i)(1)(1)i1i

(1i)(1i)2aaaaz，所以101aa.故选：B.【点睛】本题考查复数的运算及纯虚数的概念，考查基本运算求解能力，属于基础题.3.已知1ln2a，1ln2b，12ec（其中e为自然对数的底数），则（）A.c

abB.acbC.bcaD.cba【答案】C【解析】【分析】引入中间变量0和1，易得1,0,01abc，即可得到答案.【详解】因为10ln211ln2，则1a；因为1ln

ln102，则0b；因为1020ee1，则01c；所以bca.故选：C【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较式子的大小，考查数形结合思想的应用.4.已知平面向量a与b满足3,1a，4b，且2aba，则ab（）A.2B.3C.4D

.5【答案】C【解析】【分析】对式子abrr进行平方，再将已知条件代入计算求解，即可得答案.【详解】因为3,1a，所以24a，因为22220abbaabaaa，所以2222abaabb44

1616，所以4ab.故选：C【点睛】本题考查向量的模的计算、向量数量积、向量垂直关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5.一个盒子中装有4个大小、形状完全相同的小球，其中1个白球，2个红球，1个黄球，若从中随机取出1个球

，记下颜色后放回盒子，均匀搅拌后，再随机取出1个球，则两次取出小球颜色不同的概率是（）A.58B.18C.56D.16【答案】A【解析】【分析】列出所有等可能结果，计算两次取出小球颜色不同事件所含的基本事件总数，再利用古

典概型概率计算公式求解.【详解】记白球为1，红球为2，3，黄球为4，则试验的基本事件总数有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4)共16个基本事件，则两次取出小球颜色不同的基本事件有：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共10个基本事件，所以两

次取出小球颜色不同的概率为58.故选：A.【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查基本运算求解能力，求解时注意区分有放回和无放回的区别.6.已知椭圆E：222210xyabab过点23,22P，椭圆E的离心率为22，则椭圆E的焦距为（）A.1B.2

C.2D.22【答案】B【解析】【分析】将点23,22P代入椭圆方程得2213124ab，结合离心率22ca及222abc，求得c的值，即可得到答案.【详解】因为椭圆E的离心率

为22，所以22ca，因为椭圆过点23,22P，所以2213124ab，又222abc，解得：1c，所以焦距为22c.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率及焦距的概念，考查基本运算求解能力，求解时注意焦距是2c而不是c.7.已知函数3sin

2cos2fxxx，把函数fx的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到函数gx的图象．下列关于函数gx的说法正确的是（）A.在π,π2上是减函数B.在区间π2,6π3上值域为1,1C.函数

gx是奇函数D.其图象关于直线π2x对称【答案】D【解析】【分析】先通过平移得到2cos2gxx，再一一对照选项进行验证，即可得到答案.【详解】对A，因为2cos2gxx，所以222,2kxkkxkkZ，所以()g

x的递减区间为[,],2kkkZ，π,π2不是递减区间的子区间，故A错误；对B，因为π6π23x，所以3ππ234x，利用单位圆三角函数线可得，函数的值域为1[1,]2，故B错误

；对C，因为()()gxgx，所以函数为偶函数，故C错误；对D，当π2x时，π()2cos22g，故D正确；故选：D.【点睛】本题考查函数图象的平移、三角函数的单调性、奇偶性、周期性，考查逻辑推理能力和数形结合思想的应用，求解时注意左右平移是针对自变量x而言的.8.宋

元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”下图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长、b为竹长，则输出的n（）A.5B.3C.4D.2【答案】C【解析】【分析】根据,ab的输入值分

别为6,2，1n，执行程序中的循环结构，从而得到输出值n.【详解】由题意得：,ab的输入值分别为6,2，1,9,4nab，272,,82nab，813,,164nab，2434,,328nab，此时，

243328终止循环，输出4n.故选：C【点睛】本题考查数学文化与程序框图的交会，考查阅读理解能力和有条理思考问题的能力，求解时注意根据判断框的条件，得到何时终止循环.9.函数2sincosxxfxxx在π,π上的图象大致为（）A.B.C.

D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数为奇函数，排除B,C选项，再根据(,0)x函数值的正负，排除D选项，从而得到正确答案.【详解】因为2sin()()cos()()xxfxfxxx

，所以函数为奇函数，故排除B,C选项；当(,0)x时，2sin0,cos0xxxx，所以0fx，故排除D；故选：A【点睛】本题考查利用函数解析式挖掘函数的性质，考查数形结合

思想的应用，求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项.10.给出下列四个命题：①0x*N，使得0πsin12x；②0a是210axax+-<恒成立的充分条件；③函数lnxfxx在点1e,e处不存在切线；④函数

29lnfxxx存在零点．其中正确命题个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】对①，存在01x成立；对②，求出使210axax+-<恒成立的a的取值范围，再根据子集关系判断；对③，利用导数的几何意义可求出切线方程；对④，利用零点存在定理判断零点存在

性.【详解】对①，当01x时，πsin12显然成立，故①正确；对②，当210axax+-<恒成立时，0a或20,40,aaa解得：40a-<?，因为0a推不出40a-<?，所以0a不是210ax

ax+-<恒成立的充分条件，故②错误；对③，因为'221ln1ln()xxxxfxxx，所以'()0fe，所以切线方程为1ye，故③错误；对④，因为2110,()90ffee，所以函数在(1,)e存在零点，故④正确；

故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断、简易逻辑知识的运用、导数的几何意义、零点存在定理，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.在ABC中，120ABC，D是线段AC上的点，30DBC，若ABC的面积为23，则BD的最大值是（）A.2B.3C.5D.6【答案】B【解析】【分

析】将ABC的面积分成两个小三角形面积和，得到关于BD的方程，再利用基本不等式求最值.【详解】因为ABCABDBCDSSS，所以11sin90sin302322ABBDBDBC，即23

124BDBCAB，因为1323822ABBCABBC，所以232331224BDBCAB，等号成立当且仅当2,4ABBC.故选：B【点睛】本题考查三角形面积公式、基本不等

式的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.12.已知定义在R上的连续函数fx满足4fxfx，且20f，fx为函数fx的导函数，当2x时，有0fxfx，则不等式0xfx的解集为（）A.0,6B

.2,0C.,2D.,20,6【答案】D【解析】【分析】根据不等式构造函数()(),(2)xgxefxx，再利用导数研究函数()gx在(,2)的单调性，再根据对称性得到()gx的图象特征，将不等式0xfx化

为：0,()0,xfx或0,()0,xfx即可得到答案.【详解】()(),(2)xgxefxx，()()()()()0xxxgxefxefxefxfx，()gx在(,2)单调递

增，2(2)(2)0gef，当(,2)x时，()0gx，当(2,2)x时，()0gx，又0xe，当(,2)x时，()0fx，当(2,2)x时，()0fx

，又()fx满足4fxfx，()fx图象关于直线2x对称，当(2,6)x时，()0fx，当(,2)(6,)x时，()0fx，不等式0xfx等价于0,()0,xfx或0,()0,xfx解得：,20,6x.故选：

D【点睛】本题考查抽象函数不等式的求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是根据题目所给的不等式构造函数，再利用导数研究所构造函数的性质，进而求解不等式.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～第21

题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2cos44，则sin2__________．【答案】34【解析】∵2c

os44∴22(cossin)24，即1cossin2∴221cossinsin24∴3sin24故答案为34.14.已知函数na是公差为2等差数列，若21a，51a，61a成等比数列，则

8a________；【答案】4【解析】【分析】利用等比中项性质得25261)(1)(1)(aaa，再利用等差数列的通项公式求得1a，进而得到8a的值.【详解】因为21a，51a，61a成等比

数列，所以25261)(1)(1)(aaa，所以1112][14(2)25(21]())1[aaa，解得：110a，所以817107(2)4aad.故答案为：4【点睛】本题考查等比数列中项的性质、等差数列通项公式的应用，

考查基本量法的运用.15.已知直三棱柱111ABCABC的高为23，3BC，120BAC，则该三棱柱外接球的表面积为________；【答案】16【解析】【分析】根据三棱柱的特征，先确定其外接球球心的位置，再列出关于外接球半径R的

方程，解方程即可得到答案.【详解】设上下底面的外心分别为12,OO，则球心O为12OO的中点，则121OOAA，因为底面外接圆半径为12sinBCrA外接球的半径222111342RrAA所以外接球的表面积为：2416R.故答案为：16.【点睛】本题

考查余弦定理、正弦定理的应用、柱体体积、球的表面积计算公式、三棱柱与其外接球的关系，考查空间想象能力和运算求解能力.16.已知点1F，2F分别为双曲线C：222210,0xyabab的左、右焦点，A为直线43xa与双曲线C的一个交点，若点A在以12FF为直

径的圆上，则双曲线C的离心率为________．【答案】322【解析】【分析】求出点4,3aAy，再由点A在以12FF为直径的圆上得12FAFA，接着利用向量数量积为0，从而得到关于,ac的方程，进而得到离心率.【详解】设4,3aAy，代入22221xyab

化简得2279yb，由已知得12FAFA，则210FAAF.因为2144(,),(,),33aaFAcyFAcy所以2204444733339acacyacacb

，又222abc，整理得：22222932922aacce，故答案为：322【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用及向量知识的应用.三、解答题：解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．17.国家大力提倡科技创新，某工厂为提升甲产品的市场竞争力，对生产技术进行创新改造，使甲产品的生产节能降耗．以下表格提供了节能降耗后甲产品的生产产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对照数据

．x（吨）4567y（吨）2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa；（1221ˆniiiniixynxybxnx，ˆˆaybx）（2）已知该厂技术改造前生产8吨甲产品的生产

能耗为7吨，试根据（1）求出的线性回归方程，预测节能降耗后生产8吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨？【答案】（1）ˆ0.70.35.yx（2）1.75吨.【解析】【分析】（1）直接利用最小二乘法求回归直线方程；（2）将8x代入回归方程可预测相应的生产能耗，从而

求得生产能耗比技术改造前降低的吨数.【详解】(1)45672.5344.55.5,3.544xy,4142.5536474.580.5,iiixy42222214567126,iix4142221480.545.53.50.7,12

645.54ˆiiiiixyxybxx3.50.7ˆˆ5.50.35,aybx则所求的方程为ˆ0.70.35.yx(2)把8x代入回归方程可预测相应的生产能耗是0.780.355.25y吨，75.251.75吨，所以，预测生产8吨甲

产品的生产能耗比技术改造前降低1.75吨.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，考查数据处理能力和运算求解能力.18.已知等比数列na的前n项和为nS，且*21,nnSaanRN．（1）求数列na的通项公式；（2）设11nnnnabSS

，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）12nna-=（2）11121nnT【解析】【分析】（1）利用临差法得到12nnaa，再根据11aS求得1a，从而求得数列通项公式；（2）由题意得1112121nnnb，再利用裂项相消法求和.【详解】（1）当

1n时，1121aSa.当2n时，112nnnnaSSa,因为na是等比数列，所以121aa满足式，所以21aa，即1a，因此等比数列na的首项为1,公比为2,所以等比数列na的通项公式12nna-=.（

2）由（1）知21nnS，则11nnnnabSS,即1121121212121nnnnnnb，所以121111111113377152121nnnnTbbb

,所以11121nnT.【点睛】本题考查数列的通项公式、裂项相消法求和，考查方程思想、转化与化归思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先对通项进行改写，再决定选用

什么方法求和.19.如图，在几何体111ABCABC中，四边形11ABBA为矩形，11AACC且112AACC，E为1AB的中点．（1）求证：CE平面111ABC；（2）若平面11ABBA平面ABC，ABBC，12ABBCCC，求三棱锥1EACC的体积．【答案】（1）证明见解析（2

）23【解析】【分析】（1）取A1B1中点F，连接EF，FC1，证明CE∥C1F，即可证明线面平行；（2）根据三棱锥的等积法得11111111222EACCBACCBACCCABCVVVV，即可求得答案.【详解】(1)证明如图，取A1B1

中点F，连接EF，FC1，∵E为AB1中点，∴EF//A1A且EF=12A1A，∵AA1∥CC1且AA1=2CC1，∴EF//CC1且EF=CC1，即四边形EFC1C为平行四边形，∴CE∥C1F.∵111CEABC平面，1111CFABC平面，∴CE∥平面A1B1C

1.(2)∵平面ABB1A1⊥平面ABC，交线为AB又矩形ABB1A1中AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∵AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∵BB1∥CC1，111BBCAC平面，111CCCAC平面，∴BB1∥11

CAC平面，∴11111111222EACCBACCBACCCABCVVVV11122222323【点睛】本题考查线面平行判定定理、三棱锥体积的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意等积法的应用.20.已知抛物线C：24yx准线为l，焦点为F，

点A是抛物线C上位于第一象限的动点，直线AO（O为坐标原点）交l于B点，直线BF交抛物线C于D、E两点，M为线段DE中点．（1）若5AF，求直线BF的方程；（2）试问直线AM的斜率是否为定值，若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）

210xy（2）是，定值0【解析】【分析】（1）由AF=5及抛物线定义得A点横坐标为4，求出直线OA的方程，进而求得(1,1)B，利用点斜式方程即可得到直线BF的方程；（2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程

为ykx，与准线1x联立解得(1,)Bk；由M为线段DE中点，得M坐标为284(1,)kk，将直线OA的方程与抛物线方程联立可得244(,)Akk，计算直线AM的斜率即可得到答案.【详解】（1）抛物线C：24yx

的准线为1x，C的焦点为(1,0)F，由5AF及抛物线定义得A点横坐标为4，由A点位于第一象限内且在抛物线C：24yx上得A点坐标为(4,4)，于是OAk=1，则直线OA的方程为yx，与准线1x联立解得(1,1)B，因此BFk=12，所以直

线BF的方程为1122yx，即210xy.（2）由已知直线OA的斜率存在，设直线OA的方程为ykx，与准线1x联立解得(1,)Bk，于是2BFkk，由已知0k，故设直线BF的方程为21xyk，与24yx联立并消去x得，2840yyk，其中264160k

.设1122(,),,DxyExy（），则128yyk，则212162xxk，由于M为线段DE中点，于是M点坐标为284(1,)kk，直线OA的方程0ykxk（），与24yx联立解得244(,)Akk，所以直线AM的斜率为0，综上可知直线AM的斜率为定值

0.【点睛】本题考查直线方程的求解、直线与抛物线中的定值问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是通过坐标法思想，将点的坐标及斜率转化成用变量k表示.21.已知函数lnafxxx，其中aR．（1）试讨论函数fx的单调性；（2）若1a，试证明：ecosxxf

xx．【答案】（1）()fx在区间0,a上为减函数；()fx在区间,a上为增函数．（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导得2()xafxx，再对a分成0a和0a两种情况讨论

，从而得到函数的单调性；（2）将不等式等价于ln1ecosxxxx，再对x分成01x和1x两种情况讨论.【详解】（1）由221()axafxxxx(0)x知：（i）若0a，2()0(0)xafxxx，∴()fx在区间

0,上为增函数．（ii）若0a，∴当x0,a时，有()0fx，∴()fx在区间0,a上为减函数．当x,a时，有()0fx，∴()fx在区间,a上为增函数．综上：当0a

时，()fx在区间0,上为增函数；当0a时，()fx在区间0,a上为减函数；()fx在区间,a上为增函数．（2）若1a，则1()ln(0)fxxxx要证ecos()xxfxx，只需证ln1ecosxxxx

，即证：lnecos1xxxx.（i）当01x时，ln0xx，而ecos11cos11cos10xx∴此时ln<ecos1xxxx成立.（ii）当1x时，令()ecosln1xgxxxx，0,x，

∵()esinln1xgxxx，设()()esinln1xhxgxxx，则1()ecosxhxxx1x，∴1()ecose110xhxxx∴当1x时，()hx单调递增

，∴()(1)esin110hxh，即()0gx∴()gx在1,单调递增，∴()(1)ecos110gxg即()ecosln10xgxxxx，即ln<ecos1xx

xx，∴ecos()<xxfxx综上：当0x时，有ecos()<xxfxx成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属

于难题.请考生在第22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22.在平面直角坐标系中xOy，以原点O为极点，以x轴正

半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为π2cos14，曲线C的参数方程为：2cossin,cossin,xy（为参数），A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点且不在直线l上．（1）求曲线C的普通方程及直

线l的直角坐标方程．（2）求PAB△面积的最大值．【答案】（1）直线l的直角坐标方程为10xy,曲线C的普通方程为22182xy（2）252【解析】【分析】（1）直线l的极坐标方程2cos()14利用两角差的余弦公式展开，再利用公式cos,sinxy

，将方程化成普通方程形式；对曲线C的参数进行消参，从而得到普通方程；（2）设点P(2cos2sin,cossin)，将点到直线的距离转化为三角函数的值域问题.【详解】（1）直线l的极坐标方程2cos()14化成cossin1，cos,sinx

y，直线l的直角坐标方程为10xy，曲线C的参数方程化成：cossin,(2cossinxy为参数）.平方相加得2224xy，即22182xy（2）设点P(2cos2sin,cossin)，则P到直线

l的距离为：3cossin12d10sin()12，当sin()1时，max252d，设PAB的面积为S，则max12(5)22SAB252.【点睛】本题考查极坐

标方程、普通方程、参数方程的互化、利用三角函数的值域求点到直线距离的最大值，考查转化与化归思想的运用，考查运算求解能力.23.已知函数2fxxt，若1fx的解集为1,0．（1）求t并解不等式

2fxx；（2）已知：,abR，若222fxabx对一切实数都成立，求证：21ab．【答案】（1）1t，不等式解集为(,1)(1,)（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集，可得1t，再利用分类讨论求解绝对值不等式；（2）由2

1222xxab对一切实数x恒成立，即min2(2122)abxx将问题转化为证明23()13aabab成立.【详解】（1）由()1fx可得：121xt，即1122ttx，解集为(1,0)

，所以1t.当21x时，不等式()2fxx化成212xx，解得：1x当21x时，不等式()2fxx化成212xx，解得：1x综上所述，解集为(,1)(1,)…（2）由题意得21222xxab对一切实数x恒成立，从

而min2(2122)abxx，2122(21)(22)3xxxx，2122xx的最小值为3.23ab，又,abR，23()13aabab.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、不等式的证明，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推

理能力、运算求解能力.