【文档说明】重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题答案.pdf，共(8)页，753.051 KB，由小赞的店铺上传

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第1页，共8页重庆八中2024—2025学年度（上）半期考试高二年级数学试题参考答案题号1234567891011答案ACBCDDCAABDABACD12.213.3314.261．A【解析】直线l的方向向量是(3,1)

e=，故倾斜角的正切值为13tan33==；又[0)，，则l的倾斜角为6=．2．C【解析】因为sincos=，所以tan1=，所以2222sin(sincos)tan11sin(sincos)1111tansincostan++++====+++

．3．B【解析】设圆心(2)Caa，，则由所求的圆经过点()13，和点()40，得2222(21)(3)(24)aaaa−+−=−+，求得1a=，可得圆心为(21)，，故半径为5．4．C【解析】正四棱台的侧面为等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边

长为4，6，高为3，所以侧面梯形的斜高为()2231h=+=，所以棱台的侧面积为114()4(46)24022Sabh=+=+=．5．D【解析】如图，由点G是ABC的重心，可得211121()()323333GBBGBABCAB

ACABABAC=−=−+=−−=−，结合GBABAC=+，可得23=，13=−，所以13+=．6．D【解析】对A选项，由//l，则l与和相交或平行或在面内，所以A选项错误；对B选项，当l=时，l

⊥且l且l，所以B选项错误；对C选项，当l时，l与，可以成任意角，所以C选项错误；对D选项，如图，易得l⊥，所以D选项正确；{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}第2页，共8页7．C【解

析】易知B在A监测范围内行驶的总距离为22122530402−=km，故B在A监测范围内行驶的总时长为2h．8．A【解析】椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右顶点(,0)Aa，上顶点(0,)Bb，设()00Mxy，，

由2MBMA=可得()()00002axyxyb−−=−，，，解得233abM，，又由OPOM=，所以233abP，，将P代入椭圆方程22221xyab+=，得22222331abab+=，

即224199+=，解得355=或()355−舍，所以355=．9．ABD【解析】圆221:(1)(1)4Cxy+++=，其圆心1(11)C−−，，半径12r=，圆222:(3)(2)9Cxy−+−=，其圆心2(32)C，，半径23r=，对

于A，直线12CC的方程为112131yx++=++，即3410xy−−=，所以A正确；对于B，因为2212||(31)(21)5CC=+++=，当12||CC为圆的直径时，该圆面积最小，面积的最小值为2525()24=，所以B正确．对于C，因为12||5CC

=，且12235rr+=+=，可得1212||CCrr=+，所以圆1C与圆2C外切，所以两圆的公切线共有3条，所以C错误；对于D，当12MCCN，，，共线时MN取得最大值121210CCrr++=，所以D正确．10．AB【解析】对于A，由题意，2a=，2c=，故周长为422+，所以

A正确；对于B，当点P位于上下顶点时，12FPF为直角，所以B正确．对于C，当1260FPF=时，12232tan303FPFS==，所以C错误；对于D，若12FPF△是以P为顶点的等腰三角形，点P位于上下顶点；若12FPF△是以1F为

顶点的等腰三角形，则11222FPFF==，此时满足条件的点P有两个；同理，若12FPF△是以2F为顶点的等腰三角形，满足条件的点P有两个；故使得12FPF△为等腰三角形的点P共六个，所以D错误．{#

{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}第3页，共8页11．ACD【解析】对于A，当平面PAM⊥平面ABCM时，四棱锥PABCM

−的体积最大，此时四棱锥PABCM−的高为点D到AM的距离，直角梯形ABCM的面积为13()22ABCMBC+=，四棱锥PABCM−体积的最大值为13223224=，所以A正确；对于B，若AMPB⊥，又AMBM⊥，则AMPBM⊥平面，即AM

PM⊥，矛盾，所以B错误；对于C，由题，AMOP⊥，AMOE⊥，所以POE为二面角PAMC−−的平面角，在POE中，222123,,cos2224OPOEPEPEOPOEPOEOPOE+−=====，所以C正确；对于D，取AB中点E，连接EN，NC，EC，则//ENAP，12

ENPA=，且四边形AECM为平行四边形，//ECAM，ECAM=，所以NECPAM==，即，AP，AM不变，由余弦定理知CN定值，所以D正确．12．2【解析】将方程2240xyym+−+=整理，

可得22(2)4xym+−=−，则2422rmd=−===，解得2m=．13．33【解析】解：设2F是椭圆C的右焦点，连接2AF，2BF，由对称性可知：||||OAOB=，2||||OFOF=，则四边形2FAFB为平行四边形，则2||||AFBF=，即2||2||AFAF=，且2

3FAF=，因为22||||3||2AFAFAFa+==，则22||3AFa=，4||3AFa=在△2FAF中，由余弦定理可得2222222||||||2||||cosFFAFAFAFAFFAF=+−，即2224164142993223caaaa=+−，解

得2213ca=，所以椭圆C的离心率为33cea==．14．26【解析】在正四面体ABCD中，2ADBD==，1142DMCD==，60ADMBDM==，在,ADMBDM中，222111132cos4()222222AMBMBDDMBDDMBDM==

+−=+−=，取AB中点N，连接,MNDN，如图，,DNABMNAB⊥⊥，{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}第4页，共8页而3DN=，222133()122MNAMAN=−=−=，令正BCD△的中心为

1O，连接111,,AOBOMO，1BO的延长线交CD于点E，则E为CD中点，有12233BOBE==，122211113333232646BOMBEMBEDBCDSSSSBC=====，1322ABMSABMN==，显然1AO⊥平面BCD，正四面体ABCD的外接球球心

O在1AO上，连接BO，则BOAOR==，而222112264()33AOABBO=−=−=，在1RtBOO△中，222262()()33RR=−+，解得62R=，且134AOAO=，令点1O到平面MAB的距离为h，由11OABMABOMVV−−=得：11

1133ABMBOMShSAO=，即3326263h=，解得229h=，因此球O的球心O到平面MAB的距离d有1dAOhAO=，即3246dh==．15．（1）证明：由(1)(12)30mxmy++−−=，可得(2)(

3)0mxyxy−++−=，令202301xyxxyy−==+−==，所以直线l过定点(2,1)M；························5分（2）由（1）知，直线1l恒过定点(2,1)M，由题意可设直线1l的方程为1(2)(0)ykxk−=−，设直线1l与x轴，y

轴正半轴交点为A，B，令0x=，得12Byk=−；令0y=，得12Axk=−，所以△AOB面积111111|(12)(2)||(4)()4|(2(4)()4)4222Skkkkkk=−−=−+−+−−+=，当且仅当14kk−

=−，即12k=−时，△AOB面积最小值为4.·················13分16．（1）证明：由2cosaccB−=，则sinsin2sincosACCB−=，()sinsin2sincosBCC

CB+−=，即有sincoscossinsin2sincosBCBCCCB+−=sincoscossinsin2sincosBCBCCCB+−=，所以sincoscossinsinBCBCC−=，即sin()sinBCC−=，显然BC，

故02C，22BC−−，所以2BC=．·······························································································6分{#{QQABZYC

AoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}第5页，共8页（2）在BCD中，由正弦定理可得sinsinaBDBDCC=，6a=，即6sinsinBDBDCC=，所以6sin6sin3sinsin

2cosCCBDBDCCC===，··············10分因为ABC是锐角三角形，且2BC=，所以0,202,203,2CCC−解得64C，可得23cos22C，所以2332BD，所以线段BD长度的取值范围是(2332)，．··

··································15分17．【解析】（1）①直线l的斜率不存在时，4AB=，不满足．②直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：()10ykxk=+，由85|

|5AB=，2222451()()251k+=+，解得12k=，故直线1:12lyx=+．····································································

···························7分（2）①直线l的斜率不存在时，11||42422ABMESABx===，不满足．②直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：()10ykxk=+，则22222134||

22()211kABkk+=−=++，M到直线l的距离22||1kkd=+，故22211342||||22211ABMkkSABdkk+==++2222(34)2(1)kkk+=+，············12分由352AB

MS=可得2222(34)352(1)2kkk+=+，化简得421942450kk−−=，即()()22319150kk−+=，解得3k=，故直线:31lyx=+．·········15分18．（1）证明：连结BD交AC于点F，连结EF，因为底面ABCD是

矩形，所以F为BD中点，因为//PD平面ACE，PD平面PBD，平面PBD平面ACEEF=，所以//PDEF，又因为F为BD中点，所以E为PB中点．····················································

·················4分{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}第6页，共8页（2）取CD的中点O，连结PO，FO，因为底面ABCD为矩形，所以BCCD⊥，因为

PCPD=，O为CD中点，所以POCD⊥，//OFBC，所以OFCD⊥，又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD=，PO平面PCD，POCD⊥，所以PO⊥平面ABCD，所以POOF⊥，所以OF，OC，OP两两垂直，······························

·····················6分如图，建立空间直角坐标系Oxyz−，则由题意可得：()1,1,0A−，()0,1,0C，()1,1,0B，()0,0,1P，111(,,)222E，()0,1,0D−，则(1,2,0)AC=−

，131(,,)222AE=−，(0,0,1)OP=，由上可知(0,0,1)OP=为平面ACD的一个法向量，····························8分设平面ACE的法向量为(,,)nxyz=，201310222ACnxyAEnxyz=−+==−++=，令

1y=，则2x=，1z=−，所以(2,1,1)n=−，所以222116cos,6||||6121(1)OPnOPnOPn−−====−++−，············11分所以平面EAC与平面ACD夹角的正弦值为306．·········

···················12分（3）由（2）(0,1,1)PD=−−，(1,1,1)AP=−，因为点M在棱PD上（含端点）所以设(0,1,1)(0,,)PMPD==−−=−−，[0,1]则(1,1,1

)(0,,)(1,1,1)AMAPPMAPPD=+=+=−+−−=−−−，设AM与平面ACE所成角为，则2222|2|2sin|cos,|||||6(1)(1)(1)6243AMnAMnAMn−====−+−+−−+，()22

26,336211=−+，所以直线AM与平面ACE所成角的正弦值的取值范围为26,33．····17分{#{QQABZYCAoggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQN

ABAA=}#}第7页，共8页19．【解析】（1）直线22:220ABxy+−=，由14220yxxy=+−=，解得4133P，，直线()1:24MNyx=+，故102M，，直线11:82MPyx=−+，故()40H，．由22

4214xyxy=−+=化简得2540yy−=，解得6455N，，故直线7:52NPyx=−+，由2251724xyyx+=−+=化简得22570480xx−+=，故648525Qx=，解得85Qx=，故8355Q−，·········

······················································································6分（2）直线HQ与直线OP相互平行，证明如下：证明1//HBOP，再证明H，1B，Q三点共线即可．

①证明1//HBOP：由220ykxxy=+−=，解得221212kPkk++，，直线1AM的方程为(2)ykx=+，则()02Mk，，故直线2:22MPykxk=−+，故10Hk，，即10(1)10HBkkk−−==−，故

1//HBOP．···············································9分②证明H，1B，Q三点共线：设11()Nxy，，由221214xykxy=−+=，得2220144yykkk+−=，解得12414kyk=+，故212281

4kxk−=+；直线1HB的方程为1ykx=−，设1HB交C于122)(Qxy，，由22114ykxxy=−+=，得22(14)80kxkx+−=，解得22814kxk=+，故2224114kyk−=+；····

···························································································12分{#{QQABZYCA

oggoAAIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}第8页，共8页12222222222412(41)(12)2(14)4411412828(12)2(14)8821

412PPPQkkyykkkkkkkkkkxxkkkkkkk−−−−+−+−−++====−+−++−−++，23222122232212422(12)(14)444411412282(14)(12)(14)882882141

2PPPNkkyykkkkkkkkkkkkkxxkkkkkkkkkk−−+−+−++−−++=====−−−+−+−−++−−++，所以1PPQNkk=，即N，P，1Q三点共线，又有直线NP交C于点Q，故Q与1Q重合，即H

，1B，Q三点共线．由①②可知//HQOP．·······························································································17分{#{QQABZYCAoggoA

AIAAQhCEQXwCkEQkhCAAagGQEAAoAABCQNABAA=}#}