【文档说明】广东省东莞市光明中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题含答案.doc，共(9)页，689.429 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年度第二学期高一年级第一次月考数学科试卷命题人：考生注意：本卷共四大题，22小题，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：（本大题8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1.已知平面向量a=(1,1)，b=(

1，-1),则向量21a－23b＝（）A(-2,1)B(-2,1)C(-1,0)D(-1,2)2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（）A.1B.2C.1或2D.-13.在中，已知，，，则a等于()A．B．

6C．或6D．4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线。若AB=（2,4）,AC=(1,3),则BD=()A（-2,4）B（-3，-5）C（3,5）D（-3，-7）5.下列命题中，不正确的是()A

．a=2aB．λ(ab)=a(λb)C．（a−b）c=ac−bcD．a与b共线ab=ab6.已知P1（2，3），P2（−1，4），且12PP2PP=，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为()A．（34，−35）B．（−34，35）C．（4，

−5）D．（−4，5）7.设P（3，−6），Q（−5，2），R的纵坐标为−9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为()A．−9B．−6C．9D．68．已知a3=，b4=，且（a+kb）⊥（a−kb），则k等

于()A．34B．43C．53D．54二、多项选择题：（本大题4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全选对的给5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分,请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑）29.已知两点()()2,1

,3,1AB−，与AB平行，且方向相反的向量a可能是（）A．()1,2a=−−B．()9,3a=C．()1,2a=−D．()4,8a=−−10.在ABC中，下列命题正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．若sin2sin2AB=，则AB

C定为等腰三角形或直角三角形C．在等边ABC中,边长为2,则=2D．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角11.点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若0=++OCOBOA，则点O是ABC的重心。B.若0)||||()

||||(=−=−BABABCBCOBABABACACOA，则点O是ABC的内心。C.若0)()(=+=+BCOCOBABOBOA，则点O是ABC的外心。D.若OAOCOCOBOBOA==，则点O是ABC的

垂心。12.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知coscos2BbCac=−，334ABCS=△，且b=3，则（）A．1cos2B=B．3cos2B=C．3ac+=D．ac32+=三、填空题:(本大

题共4小题，每小题5分，满分20分，把正确的答案写在答题卡对应的位置上．)13．若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，则向量a的模为________14．在△ABC中，已知A=60O，b=4，c=5，则sinB=.15．已知e

为一单位向量，a与e之间的夹角是120O,而a在e方向上的投影向量为－2e，则a=.16.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔间的距离为_________km.3四、解答题,本大题共6小题

，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本题满分10分）已知复数1z满足1(2)(1)1zii−+=−（i为虚数单位），复数2z的虚部为2，12zz是实数，求2z。18．（本题满分12分）在△ABC中，已知b＝63，c＝6，C＝30°，

求a.19．（本题满分12分）已知1||=a，3||=b，(3,1)ab+=,试求:(1)||ba−(2)ab+与ab−的夹角.20.（本题满分12分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90

°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|PA→＋3PB→|的最小值.21.（本题满分12分）据气象台预报,在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成,并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270km以内的地区将受到台

风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.22.（本题满分12分）在△ABC中，若|AC→|＝23，且AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sinB.(1)求角B的大小；(2)求△ABC的面积S.42020

-2021学年度第二学期高一年级第一次月考数学科试卷命题人：考生注意：本卷共四大题，22小题，满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：（本大题8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）1已知平面向量a=(1,1)，b=(1，-1),则向量

21a－23b＝（D）A(-2,1)B(-2,1)C(-1,0)D(-1,2)2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（B）A.1B.2C.1或2D.-13.在中，已知，，，则a等

于(A)A．B．6C．或6D．4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线。若AB=（2,4）,AC=(1,3),则BD=(B)A（-2,4）B（-3，-5）C（3,5）D（-3，-7）5.下列命题中，不正确的是(D)A．a=2aB．λ(ab)=a(λ

b)C．（a−b）c=ac−bcD．a与b共线ab=ab6.已知P1（2，3），P2（−1，4），且12PP2PP=，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为(D)A．（34，−35）B．（

−34，35）C．（4，−5）D．（−4，5）7.设P（3，−6），Q（−5，2），R的纵坐标为−9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为(D)A．−9B．−6C．9D．68．已知a3=，b4=，且（a+kb）⊥（a−kb），则k等于(B)A．

34B．43C．53D．54二、多项选择题：（本大题4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全选对的给5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分,请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑）59.已知两点(

)()2,1,3,1AB−，与AB平行，且方向相反的向量a可能是（AD）A．()1,2a=−−B．()9,3a=C．()1,2a=−D．()4,8a=−−【解析】()1,2AB=，A选项，()1,2aAB=−−=−，故满足题意D选项，()4,84a

AB=−−=−，故满足题意B、C选项中的a不与AB平行故选：AD10.在ABC中，下列命题正确的是（ABD）A．若AB，则sinsinABB．若sin2sin2AB=，则ABC定为等腰三角形或直角三角形C．在等边ABC中,边长为2

,则=2D．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角11.点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（ABCD）A.若0=++OCOBOA，则点O是ABC的重心。B.若0)||||()||||(=−=−BABABCBCOBABA

BACACOA，则点O是ABC的内心。C.若0)()(=+=+BCOCOBABOBOA，则点O是ABC的外心。D.若OAOCOCOBOBOA==，则点O是ABC的垂心。12.在ABC中，a，b

，c分别为角A，B，C的对边，已知coscos2BbCac=−，334ABCS=△，且b=3，则（AD）A．1cos2B=B．3cos2B=C．3ac+=D．ac32+=【解析】∵cossincos22sinsinBbBCacAC==

−−，整理可得：sincos2sincossincosBCABCB=−，可得()sincossincossinsin2sincosBCCBBCAAB+=+==，6∵A为三角形内角，sin0A，∴1cos2B=，故A正确，B错误，∵()0,B，∴

3B=，∵334ABCS=△，且3b=，∴331133sin42224acBacac===，解得3ac=，由余弦定理得()()2222939acacacacac=+−=+−=+−，解得ac32+=，故C错误，D正确.故选：AD.三、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，满分2

0分，把正确的答案写在答题卡对应的位置上．)13．若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，则向量a的模为___5______14．在△ABC中，已知A=60O，b=4，c=5，则sinB=.15．已知e为一单位向量，a与e之间

的夹角是120O,而a在e方向上的投影向量为－2e，则a=4.16.一船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时

船与灯塔间的距离为30km.解析:如图所示,在△ABC中,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,∠ACB=105°,所以∠ABC=45°.根据正弦定理,得BC===30(km).四、解答题,本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步

骤．17．（本题满分10分）已知复数1z满足1(2)(1)1zii−+=−（i为虚数单位），复数2z的虚部为2，12zz是实数，求2z。解：1(2)(1)1zii−+=−12zi=−……………4分7设22,zaiaR=+，则12(2)(2)(22)(4)zziaiaai=−+=

++−，……………8分∵12zzR，∴242zi=+……………10分18．（本题满分12分）在△ABC中，已知b＝63，c＝6，C＝30°，求a.解：由正弦定理，得bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝32.………

……4分因为b>c，所以B>C＝30°，所以B＝60°或120°.……………6分当B＝60°时，A＝90°，a＝csinAsinC＝6sin90°sin30°＝12.……………9分当B＝120°时，A＝30°，a＝csinAsinC＝6sin30°sin30°＝6.……………1

1分所以a＝6或12.……………12分19．（本题满分12分）已知1||=a，3||=b，(3,1)ab+=,试求:(1)||ba−(2)ab+与ab−的夹角.解:由(3,1)ab+=得2ab+=,所以22()4abab+=+=

,……………4分所以2224aabb++=,所以0ab=所以2ab−=……………6分设ab+与ab−的夹角为,则22()()131cos222||||||||ababababababab+−−−====−+−+−……………11分所以夹角为120°……………12分20.（本题满分12分）已知

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|PA→＋3PB→|的最小值.[解析]以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，∴D(0,0)，

A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).PA→＝(2，－x)，PB→＝(1，a－x)，……………4分∴PA→＋3PB→＝(5,3a－4x)，……………6分|PA→＋3PB→|2＝25＋(3a－4x)2≥25，……………10分8当x＝3a4时取等号.∴|PA→＋3

PB→|的最小值为5.……………12分21.（本题满分12分）据气象台预报,在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成,并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到

台风的影响?持续时间多久?说明理由.解:如图所示,设台风中心经过th到达点B,由题意得∠SAB=90°-30°=60°.……………2分在△SAB中,SA=300,AB=30t,由余弦定理,得SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)

2-2×300×30tcos60°.……………6分若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|≤270,即SB2≤2702,化简整理得t2-10t+19≤0,解得5-≤t≤5+,……………1`0分所以从现在起,经过(5-)hS岛开始受到影响,(5+)h后影响结束,持

续时间:(5+)-(5-)=2(h),即S岛受到影响,从现在起经过(5-)hS岛开始受到台风影响,且持续时间为2h.……………12分22.（本题满分12分）在△ABC中，若|AC→|＝23，且AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sinB.(1)求角B的

大小；(2)求△ABC的面积S.[解](1)因为AC→＝AB→＋BC→，所以AB→·cosC＋BC→·cosA＝AC→·sinB＝(AB→＋BC→)·sinB，即(cosC－sinB)AB→＋(cos

A－sinB)·BC→＝0.……………2分而向量AB→，BC→是两个不共线向量，所以cosC＝sinB，cosA＝sinB，所以cosC＝cosA，……………4分因为A，C∈(0，π)，所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，所以2A＋B＝π，A＝π2－B2.9所以

cosA＝cosπ2－B2＝sinB2＝sinB，所以sinB2＝2sinB2cosB2，因为sinB2≠0，所以cosB2＝12.综合0<B2<π2，所以B2＝π3，B＝2π3.……………6分(2)由(1)知，则A＝C＝π6，由正弦定理得，|AC→|

sin2π3＝|BC→|sinπ6，所以|BC→|＝2，…………9分S△ABC＝12|AC→||BC→|sinπ6＝12×23×2×12＝3.……………12分