【文档说明】《九年级全册数学举一反三系列(人教版)》专题2.4 圆章末达标检测卷（人教版）（解析版）.docx，共(22)页，314.645 KB，由管理员店铺上传

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1第24章圆章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019春•西湖区校级月考）下列说法：①三角形的外心到三角形三边的距离相等②若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等③三点确定一个圆④平分弧的直径

垂直于弦⑤等弧所对的圆周角相等⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，三角形外心的性质，圆周角定理，弦、圆心角、弧的

关系判断即可．【答案】解：①三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；故不符合题意；②在同圆或等圆中，若两个扇形的圆心角相等，则它们所对的弧长也相等，故不符合题意；③不在同一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；

④平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦；故不符合题意；⑤等弧所对的圆周角相等，故符合题意；⑥在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧或劣弧相等，故不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，熟练掌

握各定理是解答此题的关键．2．（3分）（2019•海口模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】首先由AD∥OC可以得

到∠AOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【答案】解：∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°，2又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．故选：D．【点睛】此题比较简单，主要考查了平行线

的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．3．（3分）（2020•武汉模拟）在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】先根据勾股定理

求出OP的长，再与⊙O的半径为10相比较即可．【答案】解：∵圆心P的坐标为（﹣10，1），∴OP=√(−10)2+12=√101．∵⊙O的半径为10，∴√101＞10，∴点P在⊙O外．故选：B．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．4．（3分）（

2020•滨州）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．6B．9C．12D．15【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．【答案】解：如图所示：连接OD，∵直径A

B＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC=√𝐷𝑂2−𝐶𝑂2=6，∴DE＝2DC＝12．故选：C．3【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．5．（3分）（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50

°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55°B．65°C．60°D．75°【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案】解：连接

CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC＝65°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，

垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．6．（3分）（2020•十堰）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，4则BC＝（）A．2B．4C．√3D．2√3【分析】连接OC，根据圆周角定

理求得∠AOC＝60°，在Rt△COE中可得OE=12OC＝OC﹣1得到OC＝2，从而得到CE=√3，然后根据垂径定理得到BC的长．【答案】解：连接OC，如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA⊥BC，∴

CE＝BE，在Rt△COE中，OE=12OC，CE=√3OE，∵OE＝OA﹣AE＝OC﹣1，∴OC﹣1=12OC，∴OC＝2，∴OE＝1，∴CE=√3，∴BC＝2CE＝2√3．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

一半．也考查了垂径定理．7．（3分）（2020•牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若𝐴𝐶̂=𝐵𝐶̂，∠BDC＝50°，则∠5ADC的度数是（）A．125°B．130°C．135°D．140°【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC＝100

°，再根据𝐴𝐶̂=𝐵𝐶̂得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．【答案】解：连接OA，OB，OC，∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，∵𝐴𝐶̂=𝐵𝐶̂，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，∴∠ABC=12∠AOC＝50

°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．8．（3分）（2020•凉山州）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）6A．

2√2：√3B．√2：√3C．√3：√2D．√3：2√2【分析】连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH＝BH=12AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝60°，AH

＝BH=12AB，得出AD=√2OA，AH=√32OA，则AB＝2AH=√3OA，进而得出答案．【答案】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH=12AB，∵等边三角形ABC和正

方形ADEF，都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH=12×120°＝60°，∴AD=√2OA，AH＝OA•sin60°=√32OA，∴AB＝2AH＝2×

√32OA=√3OA，∴𝐴𝐷𝐴𝐵=√2𝑂𝐴√3𝑂𝐴=√2√3，故选：B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．9．（3分）（2020•毕节市）如

图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为13π，则图中阴影部分的面积为（）7A．16πB．316πC．124πD．112π+√34【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得∠COD＝6

0°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，根据S扇形=𝑛𝜋𝑟2360求解即可．【答案】解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△

OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为13𝜋，∴60𝜋⋅𝑟180=13𝜋，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD=60𝜋⋅12360=𝜋6．故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇

形OCD的面积，难度一般．10．（3分）（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（）8A

．（9，2）B．（9，3）C．（10，2）D．（10，3）【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、D

B，便可得D点坐标．【答案】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE

＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，

∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，9∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D（9，2）．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出CG的长度．二．填空题（共6

小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2020•蔡甸区模拟）已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为3＜r≤4或r=125．【分析】根据直线

与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【答案】解：当以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点时，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．，∴AB＝5，∴CD×

AB＝AC×BC，∴CD＝r=125，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3＜r≤4，10故答案为：3＜r≤4或r=125．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．12．（3分）（2020•青海）已知⊙O的直径

为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算

出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE．【答案】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE=1

2AB＝4cm，CF＝DF=12CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE=√𝐴𝑂2−𝐴𝐸2=√52−42=3cm，在Rt△OCF中，OF=√𝐶𝑂2−𝐶𝐹2=√52−32=4cm，当点O在A

B与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；11综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点睛】本题考查了垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．13．（3分）（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于60°或120°．【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BO

C＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．【答案】解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或

120°．故答案为：60°或120°．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．14．（3分）（2020•吉林）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，B

D相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则𝐸𝐹̂的长为12𝜋（结果保留π）．12【分析】利用SSS证明△ABD≌△CBD，根据全

等三角形的对应角相等即可得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，即可求得∠ABC＝60°，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AC，且AO＝CO，进一步求得∠ACB＝60°，即可求得∠BCD＝90

°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得OB，然后根据弧长公式求得即可．【答案】解：在△ABD与△CBD中，{𝐴𝐵=𝐶𝐵𝐴𝐷=𝐶𝐷𝐵𝐷=𝐵𝐷，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30

°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，

∴OD=12CD=12，∴OB＝BD﹣OD＝2−12=32，∴𝐸𝐹̂的长为：60𝜋⋅32180=12𝜋，故答案为12𝜋．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键．131

5．（3分）（2020•广东）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为13m．【分析】求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．【答案】解：如图，连接OB，OC，OA，

∵OB＝OA，OA＝OC，AB＝AC，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO＝∠CAO＝60°，∵AO＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝AO＝1，由题意得，阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：120𝜋×1180，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周

长，因此有：2πr=120𝜋×1180，解得，r=13，故答案为：13．【点睛】本题考查圆锥的有关计算，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．1416．（3分）（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠

，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC

的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5−2．【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．【答案】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，

∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE=12MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2√5−2确定最小值）故答案

为2√5−2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019秋•蔡甸区期中）如图，射线AM交⊙O于点B、C，射线AN交⊙O于点D、E，且𝐵𝐶̂=𝐷𝐸̂，求证

：AB＝AD．15【分析】连接BD、CE．由已知条件得到𝐵𝐶̂+𝐵𝐷̂=𝐷𝐸̂+𝐵𝐷̂，推出𝐶𝐷̂=𝐵𝐸̂，推出∠ACE＝∠AEC，根据等腰三角形的性质得到AC＝AE．于是得到结论．【答案

】证明：连BD、CE．∵𝐵𝐶̂=𝐷𝐸̂，∴𝐵𝐶̂+𝐵𝐷̂=𝐷𝐸̂+𝐵𝐷̂，∴𝐶𝐷̂=𝐵𝐸̂，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE．∵𝐵𝐶̂=𝐷𝐸̂，∴BC＝DE．∴AC﹣BC＝AE﹣DE，即AB＝AD．【点睛】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．18．（8分）（2020•安徽模拟）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6

m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）16【分析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可．【答案】解：如图，连接OC，AB交C

D于E，由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，所以OC＝OB＝6，OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=√𝑂𝐶2−𝑂𝐸2=√62−2

2=4√2，∴CD＝2CE＝8√2≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．19．（8分）（2020•昆明）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线

段OP的中点．（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．17【分析】（1）利用尺

规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交一点C，再根据已知条件可得OE＝EC＝EP，根据三角形内角和可得∠ECO+∠ECP＝90°，进而证明PC是⊙O的切线；（2）在（1）的条件下，根据BP＝4，EB＝1，可得EP的长，进而可得半径，再根据勾股定理即

可求PC的长．【答案】解：（1）如图，点C即为所求；证明：连接OC，∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP，∵EC＝EP，∴OE＝EC＝EP，∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P

＝180°，∴∠ECO+∠ECP＝90°，∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）∵BP＝4，EB＝1，∴OE＝EP＝BP+EB＝5，∴OP＝2OE＝10，∴OC＝OB＝OE+EB＝6，18在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC=√𝑂𝑃2−𝑂𝐶2=8．则PC的长

为8．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．20．（8分）（2020•海门市校级模拟）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：𝐴𝐵̂=𝐵𝐶̂（2）

如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；【答案】（1）证明：连BO并延长BO

交AC于T．∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB＝90°，∴∠BAC+∠OBA＝90°，∴∠BTA＝90°，∴BT⊥AC，∴𝐴𝐵̂=𝐵𝐶̂．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∴∠OAB+∠AED

＝90°，∵∠OAB+∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，∵AF为⊙O直径，19∴∠ACF＝90°，同理：∠FCE＝∠BAC，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，∵AO＝3，AE＝4，∴OE＝1，FE＝FC＝2，在Rt△F

CA中∴AC=√62−22=4√2【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21．（10分）（2

020•九龙坡区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）证明：AD＝3BD；（2）求弧BD的长度；（3）求阴影部分的面积．【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论

；（2）直接利用弧长公式求解即可；（3）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD”求解即可．20【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝12

0°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD；（2）由（1）得∠B＝60°，∴OC＝OD＝OB＝2，∴

弧BD的长为60𝜋×2180=23𝜋；（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，∴CD=√32BC＝2√3，图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD=120𝜋×22360−12×2√3×1=4𝜋3−√3．【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题

的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．22．（10分）（2019秋•香洲区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连

结PC，BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：BD=√2PA；（3）若PC＝6√3，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据三角形的内角和和切线的判定定理即可得到结论；21（2）连结AD．根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°．求得AD＝BD．推出△AC

O为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论．【答案】解：（1）连接OC，∵∠BAC＝60°，且OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝60°．∵AP＝AC，且∠P+∠PCA＝∠BAC＝60°，∴∠P＝∠PCA＝30°

．∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°．∴PC为切线；（2）连结AD．∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．∴AD＝BD．∵在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2．∴AD＝BD=√22AB，又∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴A

C＝CO＝AO．∴PA＝AC＝AO=12AB．∴BD=√2PA；（3）∵∠PCE＝∠PCA+∠ACD＝75°，∠P＝30°，∴∠PEC＝75°，∴PC＝PE＝6√3．又在Rt△PCO中，OP＝OA+PA＝2OC，PO2＝

PC2+CO2，∴CO＝6，PO＝12．∴OE＝OP﹣PE＝12﹣6√3，∴AE＝OA﹣OE＝OC﹣OE＝6﹣（12﹣6√3）＝6√3−6．22【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线定义，

正确的作出辅助线是解题的关键．