【文档说明】湘豫名校联盟2021届高三下学期5月联考数学文试题 含答案.docx，共(17)页，970.046 KB，由小赞的店铺上传

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12021年普通高等学校全国统一招生考试湘豫名校联考数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，集合14Axx=，28xBx=，则()UA

B=ð（）A.(1,3)B.(1,3]C.(2,3]D.(3,4)2.已知i为虚数单位，复数z满足1i(1)zz+=−，则z的模为（）A.1B.2C.2D.33.函数23()cosxfxxx=+的图像大致为（）A.B.C.D.4.若0,2，且

27coscos2210+−=，则tan2=（）A.3B.35C.2D.34−5.随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大、潜力最深、基础性最强，下图为连续9年我国国内旅游总收入统计图

：2假设每年国内旅游总收入y（单位：万亿元）与年份代号x线性相关，且满足1.21ybx=+，则估计第10年国内旅游总收入约为（）A.5.97万亿元B.6.07万亿元C.6.17万亿元D.6.37万亿元6.将函数()cos2fxx=−的图象沿x轴向右平移8个单位长度后得到函数()gx的图象，则

()gx的一个极值点可能为（）A.4x=B.38x=C.x=D.58x=7.已知直角梯形ABCD中，14DCAB=，2BEEC=，60BAD=，4AB=，则AEAC=（）A.16B.32C.34D.408.已知()fx为二次函数，

且2()()1fxxfx=+−，则()fx=（）A.221xx−+B.221xx++C.2221xx−+D.2221xx+−9.如图，直线:lykx=与双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=交于P，Q

两点，点M为双曲线C上异于P，Q，且不与P，Q关于坐标轴对称的任意一点，若直线PM，QM的斜率之积为34，则k的取值范围是（）3A.11,22−B.30,2C.33,22−D.33,,22−−+

10.如图，已知六个直角边长均为1和3的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随机投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率为（）A.13B.33C.23D.3411.执行下面的程序框图，则输出的S=（）A.41B.

48C.60D.7112.定义在R上的连续函数()fx的导函数为()fx，且cos()(cossin)()xfxxxfx+成立，则下列各式一定成立的是（）A.(0)0f=B.(0)0f4C.()0fD.02f=第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共

20分.13.已知函数()exfx=，则曲线()fx在点(0,1)处的切线在x轴上的截距为______.14.若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆()2222:144xyCaa+=的蒙日圆的半径为23，则椭圆C的离心率

为______.15.莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式（icosisine=+，其中i是虚数单位）可以实现指数式和复数式的互化，那么把1i+化成指数式为______.16.一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，

以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为32，则此正方体外接球的表面积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列nb的前n项和为nS，2nSnn=+，*nN，等比数列na中，11ab=，48

ab=.（1）求数列na的通项公式；（2）设()cosnnnca=，求数列nc的前2021项的乘积2021T.18.已知在四棱锥PABCD−中，90BAD=，//ABCD，22PAADCDAB====，E为PD的中点，若正视图方向与向量BA的方向相同时，四棱锥

PABCD−的正视图为三角形PAD.（1）证明：PD⊥平面ABE；5（2）若三角形PAD为直角三角形，求三棱锥EPBC−的体积.19.近几年，随着大众鲜花消费习惯的转变，中国进入一个鲜花消费的增长期.根据以往统计，某地一鲜花店销

售某种B级玫瑰花，在连续统计的320天的玫瑰花售卖中，每天的玫瑰花的销售量（单位：支）与特殊节日的天数如下表：非特殊节日的天数特殊节日的天数总计销售量在[120,160]内的天数160销售量在(160,200]内的天数1040总计170320（1）填写上表，判断是

否有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”?（2）若按分层抽样的方式，从上述表格的特殊节日中抽取5天作为一个样本，再从这个样本中抽取2天加以分析研究，求这两天玫瑰花的销售量在[120,160]内的概率.附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=

++++，其中nabcd=+++.()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820.直线l交椭圆22:142xyC+=于A，B两点，满足OAOB⊥，其中O为坐标原点.（

1）证明：直线l恒与一个定圆相切；（2）设椭圆C在A，B两点处的切线交于点P，求点P的轨迹方程.21.已知函数()(ln1)fxxx=−，()fx的反函数为()hx（其中()fx为()fx的导函数，ln20.69）.（1）判断函

数2()()32fxgxxx=+−+在(0,)+上零点的个数；（2）当(0,1)x，求证：3()1()fxxxhx−−.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]6已知曲线1C的参数方程为()22241,

1211kxkkyk=−++−=+（k为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin4a+=.（1）将曲线1C的参数方程化为普通方程；（2）设曲线1C与曲线2C交于两点A，B，14AB=，求实数a的值.23

.[选修4-5：不等式选讲]设a、b，c为正数，abcM++=，222222abbcca+++++的最小值为2.（1）求M的值；（2）求不等式3|||2|4xMxM++−的解集.72021年普通高等学校全国统招生考试湘豫名校联考数学（文科）答案第Ⅰ卷123456789101112BAA

DCDCBCABC一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】283xBxxx==3UBxx=ð，又14Axx=，则()(1,3]UAB=ð，故选B.2.【答案】A【解析】由已知可

得i11iz−−=−，于是|i1|||1|1i|z−−==−，故选A.3.【答案】A【解析】因为23()()cosxfxfxxx−=−=−+，所以()fx为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为

23()01f=−，所以排除C，故选A.4.【答案】D【解析】222222cossin212tan7coscos2cossin22sincostan110+++−=+===++，tan3

=或1tan7=−（舍）.22tan3tan21tan4==−−.故选D.5.【答案】C【解析】计算可得5x=，3.69y，将点(5,3.69)代入1.21ybx=+，8可得0.496b=，所以0.4961.21yx=+，将10x=代入，可得6.17y=

万亿元，故选C.6.【答案】D【解析】根据题意，得()cos2cos284gxxx=−−=−−，所以24xk−=，kZ，所以28kx=+，kZ，令1k=，可得58x=，故选D.7.【答案】C【解析】法一：由题意可得6AD=，22()33AEABBEABBC

ABBAADDC=+=+=+++1212112()3333423ABADDCABADABABAD=++=++=+，14ACADDCADAB=+=+，则211324AEACADABADAB=++2222212

21264cos604634383383ADABABAD=++=++=.法二：画出图形，由题意可得()4,33C，()4,23E，则44233334AEAC=+=，故选C.8.【答案】B【解析】由题意设2()fxxbxc=++，()2fxxb=+，9即2221xb

xcxxb++=++−，解得2b=，1c=，所以2()21fxxx=++，故选B.9.【答案】C【解析】设(,)Mxy，()00,Pxy，则()00,Qxy−−，则00PMyykxx−=−，00QMyykxx+=+，由题意知2222

022222022222001134PMQMxxbbaayybkkxxxxa−−−−====−−，所以双曲线C的渐近线方程为32yx=，所以3322k−.故选C.10.【答案】A【解析】由题意可得，外面的正六边形的面积为()23936342=，内部

的小正六边形的面积为23336142=，所以所求概率为33123932=.故选A.11.【答案】B【解析】执行程序框图，1k=，0S=，满足5k，1129m=−=，满足11k，9S=；2k=，满足5k，1147m=−=，满足11k，16S=；3k=，

满足5k，1165m=−=，满足11k，21S=；4k=，满足5k，1183m=−=，满足11k，24S=；5k=，不满足5k，10111m=−=−，满足11k，23S=；6k=，不满足5k，12

111m=−=，满足11k，24S=；7k=，不满足5k，14113m=−=，满足11k，27S=；8k=，不满足5k，16115m=−=，满足11k，32S=；9k=，不满足5k，18117m=−=，满足11k，3

9S=；1010k=，不满足5k，20119m=−=，满足11k，48S=；11k=，不满足5k，221111m=−=，不满足11k，输出S的值为48，故选B.12.【答案】C【解析】由题可得cos()sin()cos()xfxxfxxfx−，所以(c

os())cos()xfxxfx，设cos()()exxfxgx=则(cos())cos()()0exxfxxfxgx−=，所以()gx在R上单调递减.由(0)()2ggg可得()(0)0eff−，所以(0)0f，()0f，所以选项A、B错

误，选项C正确.把32x=代入cos()(cossin)()xfxxxfx+得02f，选项D错误，故选C.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】-1【解析】()exfx=，()exfx=，(0)1f=，

切线方程为1yx=+，切线在x轴上的截距为-1.14.【答案】22【解析】由题意得，当两切线分别为xa=和2y=时，也满足条件，2412a+=，28a=，222412aea−==，22e=.11

15.【答案】i42e（答案不唯一）【解析】由题意知，把1i+化成指数式需满足tan1=，例如当4=时，i41i2cosisin2e44+=+=，当54=时，5i4551i2cosisin2e44+=−+=−.16.【答案】3【解析】设

正方体的棱长为a，则正方体的体对角线长为3a，当正方体旋转到一条体对角线垂直于水平面时，容器内水的高度最大，又因为水的体积是正方体体积的一半，所以容器里水面的最大高度为体对角线的一半，即最大高度为32a.设外接球的球心为O，则球心O为体对角线的中点，设正方体为1111AB

CDABCD−，O为1BD的中点，取1AA，1CC的中点G，H，11AB，11BC的中点E，F，可证得1BDEF⊥，1BDGE⊥，进而可证1BD⊥平面GEFH，同理可得，水面截正方体各面形成的图形为正六边形，边长为22a，周长

为32a，所以3232a=，则1a=，所以正方体外接球的半径32R=，故正方体外接球的表面积为243R=.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.

17.【解析】（1）2nSnn=+.当2n时，12nnnbSSn−=−=，又112bS==，12()*2Nnbnn=，816b=，12a=，416a=，等比数列na的公比为2，()*2Nnnan=（2）()cosnnnca=，所以当n为奇数时，1nnca=，当n为

偶数时，nnca=，数列nc的前2021项的乘积2021T为：202024202113201920211aaaTaaaa=101010112021222−==.18.【解析】（1）根据正视图的概念，可得AB⊥平面PAD，ABPD⊥.E为PD的中点，PAAD=，A

EPD⊥.AEABA=，PD⊥平面ABE.（2）12(12)32ABCDS=+=四边形，1132233PABCDABCDVSPA−===四边形，又E为PD的中点，112EABCDPABCDVV−−==.又12212PAES=

=△，11111333EPABBPAEPAEVVSAB−−====△.122133EPBCPABCDEABCDEPABVVVV−−−−=−−=−−=.19.【解析】（1）填表如下：非特殊节日的天数特殊节日的天数

总计13销售量在[120,160]内的天数160120280销售量在(160,200]内的天数103040总计17015032022320(1603012010)14.5216.63517015040280K

−=，故有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”.（2）根据分层抽样，抽取销售量在[120,160]内的特殊节日有4天，记为A，B，C，D，销售量在(160,200]内的特殊节日有1天，记为a，则从中抽取2天的结果为(,)AB

，(,)AC，(,)AD，(,)Aa，(,)BC，(,)BD，(,)Ba，(,)CD，(,)Ca，(,)Da，共10种.其中这两天玫瑰花的销售量在[120,160]内的结果有(,)AB，(,)AC，(,)AD，(,)BC，(,)BD，(,)CD，共6种，所以所求概

率为63105=.20.【解析】（1）当直线的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm=+，代入22142xy+=得，()222124240kxkmxm+++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则122412kmxxk−+=+，21222412mxxk−=+（※）由O

AOB⊥得()()221212121210xxyykxxkmxxm+=++++=，将（※）代入化简得，()22341mk=+，14所以点O到直线l的距离2||2331mdk==+，直线l恒与定圆2243xy+=相切，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为233x=，也满足与定圆2243x

y+=相切，直线l恒与一个定圆相切.（2）设()00,Pxy，当A，B不在坐标轴上，且AB的斜率存在时，设直线()111:PAykxxy=−+，代入22142xy+=，由0=，得1112xky=−，直线11:142xxyyPA+=，同理可得，22:142xxyyPB+=，因为

它们都过点()00,Pxy，所以1010142xxyy+=，2020142xxyy+=，所以直线00142xxyy+=同时过点()11,Axy，()22,Bxy，即直线l为00142xxyy+=，即00022xxyyy=−+

，与ykxm=+对比得，002xky=−，02my=由（1）知，()2241mk=+，故有202200124xyy=+，即22001123xy+=，当A，B在坐标轴上，或AB斜率不存在时，经检验()00,Pxy仍满足2200112

3xy+=，所以点P的轨迹方程为221123xy+=.1521.【解析】（1）由题意得22()()32ln32gxxxxxfxx=+−+=+−+，则(2())1)1(xgxxx−−=.由()0gx=，得12x=或1x=.由()0gx

，得102x或1x；由()0gx，得112x.故当x在(0,)+上变化时，()gx，()gx的变化情况如下表：x10,2121,121(1,)+()gx+0-0+()gx单调递增极大值单调递减极小值单调递增根据上表知()13

ln2024ggx==−极大值，()(1)0ggx==极小值，1212ln20416g=−.根据零点存在性定理，函数()gx在10,2上存在唯一零点，又因为(1)0g=，所以根据()gx的单调性可知，函数2()()32gxfxxx=+−+在(0,)+上

零点的个数为2.（2）因为()lnfxx=，其反函数为()exhx=，所以原不等式为()33(ln1)1(ln1)1eexxxxxxxxxx−−−−−−.当(0,1)x时，()0fx，故函数()fx在(0,1)上单调递减，所以()(1)1

fxf=−.设函数()3()1exGxxx=−−，则()32()32exGxxxx=+−−.16设函数32()32pxxxx=+−−，则2()361pxxx=+−，易知()px在(0,1)上单调递增.因为

(0)(1)80pp=−，所以存在0(0,1)x，使得()00px=，从而函数()px在()00,x上单调递减；在()0,1x上单调递增.当()00,xx时，()0(0)2pxp=−，当(

)0,1xx时，()00px，(1)0p，故存在1(0,1)x，使得()10Gx=，即当()10,xx时，()0Gx，当()1,1xx时，()0Gx，从而函数()Gx在()10,x上单调递减；在()1,1x上单调递增.因为(0)1G=−，(1)eG=−，故当(0,1)x时

，()(0)1GxG=−，所以()3(ln1)1exxxxx−−−，故3()1()fxxxhx−−.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22

.【解析】（1）由()22211kyk−=+，得22121yk=−++，即22121yk+=+，又2411kxk+=+，两式相除得12xky+=+，代入2411kxk+=+，得21421112xyxxy++=++++，整理得22(1)

4(2)xyy++=−，即为1C的普通方程.17（2）曲线2C的极坐标方程sin4a+=化为直角坐标方程为20xya+−=，则圆1C的圆心(1,0)−到直线20xya+−=的距离为|12|2ad

−−=，则()22212224142aABrd+=−=−=，得0a=或2−.23.【解析】（1）222abab+，()2222222()abaabbab+++=+，即222()2abab++，两

边开平方得2222||()22ababab++=+同理可得222()2bcbc++，222()2caca++，三式相加，得2222222()2abbccaabcM+++++++=，当且仅当abc==时，等号成立，所以1M=.（2）由（1）可知求不等式|33||2|4xx++−

的解集，当1x−时，原不等式等价于(33)(2)4xx−++−，解得54x−，当12x−时，原不等式等价于(33)(2)4xx++−，解得122x−，当2x时，原不等式等价于(33)(2)4xx++−，解得2x，综上所述，原不等式的解集为51,,42−−

−+.