【文档说明】吉林省东北师范大学附属中学2020届高三第四次模拟考试数学（理）试题.doc，共(12)页，1.062 MB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年高三年级第四次模拟考试理科数学本试卷共8页．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选

择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保

持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{60},{21,}AxxxBxxkk=−−==−Z，则AB=A．{1,1}−B．{1,3}

C．{1,1,3}−D．{1,3}−2.在复平面内，复数z对应的点与3i+对应的点关于实轴对称，则iz=A．13i−−B．i3−+C．13i−+D．i3−−3．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提

高，2019年全年总收入与2018年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生相应变化，下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法错误的是A．该企业xyO..2O..2xyOxy..22..O

xy开始输入,ab输出n结束否是1nn=+bbb=+0n=2019年研发的费用与原材料的费用超过当年总收入的50%B．该企业2019年设备支出金额及原材料的费用均与2018相当C．该企业2019年工资支出总额比2018年多一倍D．该企业2018年与2019研发的总

费用占这两年总收入的20%4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那

么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题的个数是Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．45．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa==，，则d=A．12B．14C．4D．26．宋

元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a为松长，b为竹长，则菱形框与矩形框处依次填A．?;2aabaa=+B．?;2abaaa=

+C．?;2aabaa=+D．?;2abaaa=+7．函数ln()sinxfxxx=+的部分图象大致是A．B．C．D．8．已知双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右焦点为12,FF，过2F作x轴的垂线与C相交于,AB两点，1FB与y轴相交于D，若1BFAD⊥，则双曲线C的离心

率为A．2B．3C．2D．39．已知函数()yfx=是定义域为(,)−偶函数，且在(0,)单调递增，设(log3),af=1313(log9),()bfcf==，则,,abc的大小关系是A．bcaB．abcC．cbaD．bac10．把函数sin2yx=的图象沿x轴向左平

移6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()yfx=的图象，对于函数()yfx=有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin23yx=+；②该函数图象关于点,03对称；③该

函数在0,6上是增函数；④函数()yfxa=+在0,2上的最小值为3，则23a=．其中，正确判断的序号是A．①②B．②③C．①②③D．①②④11．已知圆C：22(1)12xy−+=，点P是圆C上的动点，点(1,0)M

−，线段PM的中垂线交PC于Q，当MQC最大时，QM所在直线的方程是A．2(1)yx=+B．2(1)yx=+C．1(1)2yx=+D．2(1)2yx=+12．已知()()sin(0)xxfxaeexa−=−−存在唯一零点，则实数a的取值范围A．(

,)2+B．[,)2+C．1(,)2+D．1[,)2+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知非零向量a，b满足||=||−aab，则1()2−=abb.14.二项式61(2)xx−的展开式的常数项是.（用数

字作答）15.设数列{}na的前n项和为nS，若1122nnnSa−−=，则2020S=.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚

国大臣、爱国主义诗人屈原.EABCMDPABCD如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2223题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC=，PAB为正三角形，6PC=，

E为线段AB的中点．（1）证明：PE⊥平面ABCD；（2）若3PMPD=，求二面角MECD−−的大小．18.（本小题满分12分）如图，点D在ABC的边BC上，,5,1.4ADCABBD===（1）求AD和sinB；（2）若(1tan)(1tan)2BC++=，求sinC.19.

（本小题满分12分）设函数()1fxmx=+（mR），()lngxx=.（1）求()()()hxfxgx=−的极值；（2）当01x时，函数1()(1)yagxx=++的图象恒在直线1y=的上方，求实数a的取值范

围；…………1122nnAB方案①：……1122nnAB方案②：20.（本小题满分12分）随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的

可靠性．现有n（*nN，2n）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为p（01p）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这2n个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作．（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立

的电路系统的可靠性1P、2P（用n和p表示）；（ii）比较1P与2P的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠；（2）设4n=，45p=，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．21.（本小题满分12分）已知O为坐标原

点，直线:1lxmy=+过椭圆22221(0)xyabab+=右焦点F且交椭圆于,AB两点，P为直线4x=上动点，当PFl⊥时，直线OP平分线段AB．（1）求椭圆方程；（2）记直线,PAPB斜率分别为12,kk，直线PF斜率为k，求证：122kkk+=．（二）选考题：共10分，请考生在22、

23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，将曲线11cos:2sinxCy=+=(为参数)上任意一点(,)

Mxy经过伸缩变换'2'xxyy==后得到曲线2C．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cossin)1+=．（1）求直线l的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线2C交于,AB

两点，(1,0)P，求||||||PAPB−的值.23.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲若关于x的不等式|22||21|0xxt+−−−在实数范围内有解．（1）求实数t的取值范围；（2）若实数t

的最大值为m，且正实数,,abc满足23abcm++=，求证：123acbc+++.2019—2020学年高三年级第四次模拟考试理科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共计60分）（1）C（2）A（3）B（

4）B（5）D（6）C（7）C（8）B（9）A（10）D（11）A（12）B二、填空题（每小题5分，共计20分）（13）0（14）240（15）101021(1)34−（16）23；1627三、解答题17.解：（1）证明：连接CE，∵PAB△是边长为2的正三角形，且E是AB中点，∴

3PE=又∵ABCD是边长为2的菱形，60ABC=，∴ABC△是正三角形，3CE=，又∵6PC=，∴222PCPECE=+，即PECE⊥，又PEAB⊥，CEABE=，∴PE⊥平面ABCD．………6分（2）由（1

）可得：以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Exyz−，则()000E，，，()100B，，，()003P，，，()030C，，，()230D−，，．设点M坐标为()xyz，，，由3PMPD=，得()()33233xyz−=−−，，，，，∴2323333M

−，，，∴2323333EM=−，，，()030EC=，，，设平面CEM的法向量为()xyz=，，n，ABCDPExyzM则2323033330EMxyzECy=−++=

==nn，解得()301=，，n．∵PE⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量()001=，，m，∴cos=11==212=，nmnmnm，∴二面角MECD−−的大小为60．………12分18.解：

解：（Ⅰ）344ADB=−=，设ADx=，在ABD中,2222cosABADBDADBDADB=+−，即22512()2xx=+−−，解得22x=−（舍），2x=，2AD=.在ABD中，22sin52sin55A

DADBBAB===.故2AD=，5sin5B=.………6分（Ⅱ）由(1tan)(1tan)2BC++=得tantan1tantanCBCB+=−，tantantantan()11tantanCBBACCBCB+=−+=−=−−(0,)BAC,34BAC=由（1）知5sin5B

=(0,)2B2125cos1sin155BB=−=−=，210sinsin()(cossin)4210CBBB=−=−=.………12分19.解：（1）∵()1lnhxmxx=+−，0x，∴11()mxhxmxx−=−=

，0x.当0m时，∵0x，∴()0hx，所以()hx在区间为(0,)+单调递减，所以()hx无极值；当0m时，令()0hx=，解得1xm=，当1(0,)xm时，()0hx，当1(,)xm+时

，()0hx所以()hx在区间为1(0,)m递减，在区间为1(,)m+递增，所以当1xm=时()hx取得极小值1()ln2hmm=+，无极大值.………5分（2）由题可知，不等式1()ln(1)1axx++对(0,1)x恒成立.当1a−时，取1(0,1)xa=−代入上述不等式，

此时01，不符合题意；当1a−时，因为110axaxx++=在(0,1)x上恒成立，所以不等式等价于ln(1)0(01)1xxxax+−+令()ln(1)1xFxxax=+−+，01x.则22[(12)]()(1)(1)xaxaFxaxx−−=++，0

1x.当0a=，()01xFxx−=+，所以()Fx在(0,1)递减，所以()(0)0FxF=，不符合题意；当2120aa−，即12a时，()0Fx，所以()Fx在(0,1)递增，所以()(0)0FxF=，01

x，符合题意；当2120aa−，即112a−且0a时，取0212min{,1}axa−=，当0(0,)xx时，必有()0Fx，所以()Fx在0(0,)x上递减，所以()(0)0FxF=，0(0,)xx，不符合题意.综上：a的取值范围是12a.………12分20.解：（1

）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性()()21112nnnPppp=−−=−；按方案②建立的电路系统的可靠性为()()22112nnnPppp=−−=−；（ii）()1222nnnPPppp−=−−

−．令()()22nnfxxx=−−−，*nN且2n，则()()112nnfxnxx−−=−−．当()0,1x时，()1121nnxx−−−，从而()0fx，所以()fx在()0,1上单调递增；当()0,1p时，(

)()10fpf=，即()220nnpp−−−．所以，12PP，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．………6分（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为()()12211311Cppp−=−−，由此可知，14,3XB

．()42160381PX===，()314123213381PXC===，()222412823327PXC===，()33412833381PXC===，()4114381PX===；所以，随机变量X

的分布列为X01234P16813281827881181()14433EX==．………12分21.解：（1）由222211xyabxmy+==+联立并化简得22222222()20bmaybmybab+++−=，设11

22(,),(,)AxyBxy，则222212122222222,bmbabyyyybmabma−−+==++，设AB中点00(,)Mxy，则2212000222222,12yybmayxmybmabma+−===+=++22222222(,)abm

Mbmabma−++，22OMbmka−=设(4,)Pn，3FPnk=，1lkm=，4OPnk=，依题意，OMOPkk=，即224bmna−=，13FPlnkkm==−，得2234ba=，又2221abc−==，解得224,3ab==，椭圆方程为22143xy+

=．………6分（2）由（1）知12122269,3434myyyymm−−+==++，3FPnkk==12121212124433ynynynynkkxxmymy−−−−+=+=+−−−−1212122121223

()()63()9myyyynmyynmyymyy−+−++=−++2222222218186634343491893434mmnmnmmmmmmm−++++++=−++++222266(34)2927363

nmnmnmm++==++，所以122kkk+=．………12分（22）解：（1）设曲线2C上任意一点(,)Mxy，则有'2(1cos)'2sinxy=+=.消去得2240xyx+−=.所以，曲线2C的直角坐

标方程为2240xyx+−=.由(cossin)1+=得l的普通方程为10xy+−=.………5分（2）直线l的参数方程为212()22xttyt=−=为参数.将其代入2240xyx+−=得2+230tt−=，设,AB对应

的参数分别为12,tt，则12122,3tttt+=−=−，1230tt=−所以，||||||=PAPB−1212||||||||2tttt−=+=.………10分（23）解：（Ⅰ）因为22210xxt+

−−−，所以2221xxt+−−，又因为222122(21)3xxxx+−−+−−=，等号成立当且仅当(22)(21)01|22||21|2xxxxx+−+−，所以3t.………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3m=，则12114()[()(22)]322acb

cacbcacbc+=++++++++，1224()1224()[14](142)3322322bcacbcacacbcacbc++++=+++++=++++，123acbc+++.………10分方法二：利用柯西不等式12114()[()(22)]322acb

cacbcacbc+=++++++++2114(22)3322acbcacbc+++=++,123acbc+++.方法三：设0xac=+，0ybc=+，则23xy+=，所以121221221()(5)(524)33

33xyyxacbcxyxy++=+=+++=++.