【文档说明】安徽省华大新高考联盟2024届高三下学期4月教学质量测评二模试题 数学 含解析.docx，共(18)页，919.380 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d2cfd4ebc42659743ccc9012e5f500c8.html

以下为本文档部分文字说明：

机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评数学命题：本试题卷共4页。满分150分，考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对

与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答

在试题卷上或答题卷指定区域外无效。4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合23160Axxx=−

，()ln52Bxyx==−，则ABI=A．502xxB．51623xxC．205xxD．21653xx2．已知()()()211zaaiaR=−++，则“2z=”是“25a=”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．

充要条件D．既不充分也不必要条件3．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为23，向右移动的概率为13，若该质点每次移动一个单位长度，记经过5次移动后，该质点位于X的位置，则()0PX=A．50243B．52243C．29D．1

7814．青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV=+，已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别

为1V，2V，则21VVA．()1.5,2B．()2,2.5C．()2.5,3D．()3,3.55．1tan1902cos701tan370sin40+−−=A．tan20°B．tan70°C．-tan10°D．-tan40°6．已知正方体1111ABCDABCD−中，

点E是线段1BB上靠近1B的三等分点，点F是线段11DC上靠近1D的三等分点，则平面AEF截正方体1111ABCDABCD−形成的截面图形为A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形7．已知数列na的前n项和为nS，11S=，

23S=，且132na+是2na，2na+的等差中项，则使得1509128niiia=成立的最小的n的值为A．8B．9C．10D．118．若关于x的不等式()2lnln2xaxae+在()0,+上恒成立，则实数a的取值范围为A．(0,eB．(0,2eC．(0,

eD．(20,e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．若函数()()221fxxmx=−−+在122,1−上单调

，则实数m的值可以为A．-1B．12−C．52D．310．已知函数()()()sin0fxx=+，则A．若3=，3=，则将函数()fx的图象向右平移518个单位后关于y轴对称B．若3=，函数()fx在63,上有最小值，无最大值，且

63ff=，则5=C．若直线4x=为函数()fx图象的一条对称轴，5,03为函数()fx图象的一个对称中心，且()fx在46,5上单调递减，则的最大值为1817D．若()12fx=在344,x上至少有2个解，至多

有3个解，则1643,11．已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，点M，N在抛物线C上，则A．若M，N，F三点共线，且34MFNF=，则直线MN的倾斜角的余弦值为37B．若M，N，F三点共线，且直线MN的倾斜角为45°，则OMN△的面积为222pC．若点()

4,4A在抛物线C上，且M，N异于点A，AMAN⊥，则点M，N到直线4y=−的距离之积为定值D．若点()2,2A在抛物线C上，且M，N异于点A，0AMANkk+=，其中1AMk，则25sinsin5FMNF

NM−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．关于双曲线C：()222210,0xyabab−=，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线C的实轴长为8；小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；小强：双曲线C的离心率为32；小同：双曲线C上的点到焦点距

离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______；双曲线C的方程为______．（第一空的横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）13．已知等边ABC△的外接圆O面积为36π，动点M在圆O上，若MAMBMBMC+，则实数

λ的取值范围为______．14．已知空间四面体ABCD满足ABACDBDC===，26ADBC==，则该四面体外接球的体积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（

13分）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化．天数x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414

（1）观察散点图可知，天数x与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天数x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+（其中ˆa，ˆb用分数表示）；（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm，请根据（1）中的结

果预测第22天该作物的高度的残差．参考公式：()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−．参考数据：101710iixy==．16．（15分）已知数列na的前n项和为nS，且23a=，()22nnSna=+．（1）求数列n

a的通项公式；（2）若存在*nN，使得112231111nnnaaaaaaa+++++成立，求实数λ的取值范围．17．（15分）已知四棱柱1111ABCDABCD−如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面1111ABCD内的投影为点1

A，且12ABAAAD==，∠ABC=120°．（1）求证：平面1ABD⊥平面11ADDA；（2）已知点E在线段1CD上（不含端点位置），且平面1ABE与平面11BCCB的夹角的余弦值为55，求1DEEC的值．1

8．（17分）已知函数()()1ln11fxxx=+=+．（1）求曲线()yfx=在()()0,0f处的切线方程；（2）若()1,x−，讨论曲线()yfx=与曲线2cosyx=−的交点个数．19．（17分）已知椭圆C：()222210xyabab

+=短轴长为2，左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，1MPPF=uuuruuur，1NQQF=uuuruuur，直线2PF与直线MO交于点1G，直线2QF与直线NO交于点2

G．（1）若1G的坐标为13,16，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点2F并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足2FA，2FB，2FD成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；（3）若2112354MNGNFGMNGSSS△△△，求实数a的取

值范围．机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评数学参考答案和评分标准一、选择题题号1234567891011答案DBDCACDBCDACDBCD1．【答案】D【命题立意】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合的运算，

考查数学运算、逻辑推理的核心素养．【解析】因为()16316003Axxxxx=−=，25205Bxxxx=−=，则21653ABxx=，故选D．2．【答案】B【命题立意】本题考查复数的概念、充要条件

的判定，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．【解析】因为()()222112zaa=−++=，化简得2520aa−=，解得0a=或25a=，故“2z=”是“25a=”的必要不充分条件，故选B．3．【答案】D【命题立意】本题考查互斥事件的概率、二项分布，考查数学运

算、逻辑推理、数学建模的核心素养．【解析】依题意，()()()()54321255112121705313333381PXPXPXPXCC==+=+==++=，故选D．4．【答案】C【命题立意】本

题考查指对数的运算，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．【解析】依题意，14.55lgV=+，24.95lgV=+，两式相减可得，2211lglg0.4lgVVVV=−=，故0.452110100VV==，而552.5981003243=，故()51002.5,3，故

选C．5．【答案】A【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】依题意sin1011tan1902cos701tan102sin202sin20cos10

sin101tan370sin401tan10sin402sin20cos201cos10+++−=−=−=−−−()222cos10sin1011sin201tan20cos10sin

10cos20cos20cos20++−=−=−，故选A．6．【答案】C【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】作出图形如图所示；不妨设AB=6，分别延长AE，1

1AB交于点G，此时13BG=，连接FG交11BC于H，连接EH，设平面AEF与平面11DCCD的交线为l，则Fl，因为平面11ABBA∥平面11DCCD，平面AEFI平面11ABBAAE=，平面AEFI平面11DCCDl=，所以lAE∥，设1lDDI=I，则FIAE∥，此时1

FDIABE∽△△，故143ID=；连接AI，则五边形AIFHE为所求截面图形，故选C．7．【答案】D【命题立意】本题考查数列的递推关系、等比数列的定义、累加法、错位相减法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．【解析】依题意，2132nnnaaa++=−，故()2112nnnnaaaa+++−=−，

而2121210aaSS−=−=，故数列1nnaa+−是公比为2的等比数列，则112nnnaa−+−=，由累加法可知，12nna−=，故011112222nniiina−==+++L，1021122222nniiina−−==+

++L，两式相减可得，11242nniiina−=+=−，令1250942128nn−+−，即1232128nn−+，∵122nn−+在()0,+上单调递减，解得10n，故选D．8．【答

案】B【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】依题意，()2ln2xaxaxxe，故()()ln2ln2axxeaxxe，令()xfxxe=，xR，由()()1xfxxe=+可得1x=−是()fx的

极小值点，()fx在(),1−−上单调递减，在()1,−+上单调递增，且当0x时，()0fx，当0x时，()0fx．由()()()ln20faxfxx，得()ln2axx，则2xeax对任意的()0,x+恒成立，令()2xegxx=，

()0,x+，则()()2221xxegxx−=，故当102,x时，()0gx，()gx单调递减，当2,1x+时，()0gx，()gx单调递增，故()min122gxge

==，则2ae，故(0,2ae，故选B．二、选择题9．【答案】CD【命题立意】本题考查二次函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】令()()221hxxmx=−−+，则21,2210,2mh−

或21,2210,2mh−−或21,2210,2hm−−−或21,2210,2mh−−解得932m或112m−

，故选CD．10．【答案】ACD【命题立意】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】55sin3sin3cos318632fxxxx−=−+=−=−，其图象关于y轴对称，故A正确；当6324x

+==时，()fx有最小值，所以sin143+=−，所以()32432kkZ+=+，所以()1483kkZ=+，因为()fx在区间63,上有最小值，无最大值，所以34−，即12，令0k=，得143

=，故B错误；令()()11222425355726412kkkkZTZ++=+==−=则617=或1817，故C正确；令()26kxZk=++或()526kkxZ=++，则()26kxkZ−++=或(

)256xkZk−++=，则需要上述相邻三个根的距离不超过2，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过2，即22832解得1643,，故D正确；故选ACD．11．【答案】BCD【命题立意】本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的

综合性问题，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】对A，设直线MN的倾斜角为，则31cos41cospMFpNF−==+或31cos41cospMFpNF+==−，解得1cos7=，故A错误；对B，22222si

n2222OMNppSp===△，故B正确；对C，此时抛物线C：24yx=，设直线AM：()()440xtyt−=−，设()11,Mxy，()22,Nxy，联立()2444yxtyx−=−=则()241

610ytyt−+−=，故4y=或44yt=−，则点M到直线4y=−的距离为144yt+=，则点N到直线4y=−的距离为144tt=−，故所求距离之积为4416tt=，故C正确；对D，此时抛物线C：22yx=，设直线AM：()22ykx−=−，与抛物线方程联

立可得22440kyyk−+−=，则442Mkyk−=，则22Mkyk−=，用k−替换可得22Nkyk+=−，则2221222MNMNMNNMMNMNyyyykyyxxyy−−====−−+−，则()222122,k

kMkk−−，()222122,kkNkk++−，故直线MN：()22212212kkyxkk−−−=−−，即21112yxk=−+−，则点F到直线MN的距离()22221222541525kkkdkk−−−==，而()1111

sinsin11112224MNMNMNMNxxFMNFNMdddFMFNxxxxxx−−=−=−=+++++324222244555432161616252416255542524516kkkkkkkkkkkkk−−−===−−+−++，令

451tkk=−，故21616116116125sinsin1616855551652tttttFMNFNtM−==+==++，当且仅当4t=时等号成立，故D正确；故选BCD．三、填空题12．【答案】小强；221169xy−=．【命题立意】本题考查双曲线的标准方程、双曲

线的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】分析可知，小明、小红、小强三个人中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即1ca−=，则小明和小红正确，即双曲线C：221169xy−=，故小强的说法错误．13．【答案】)72,+．【命题立意】本题考查平面向量的数

量积，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】依题意，236R=，故6R=，在ABC△中由正弦定理得12sin60AB=，则63AB=；取线段AC的中点N，()2MAMBMBMCMBMAMCMBMN+=+=；取线段BN的中点

P，则2214MPMBMNBN=−，()22223225624MPMPMOOP=+=+=，故225813644MBMN−=，则72．14．【答案】36π．【命题立意】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算、

逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】设E，F分别为BC，AD的中点，连接AE，DE，BF，CF，由已知，AB=DB，AC=BC，BC=BC，故ABCDBC≌△△；因为E是BC的中点，所以AE=DE；因为AF=DF，故EFAD⊥，即EF是线段AD的垂直平分线，同理可得，EF是线段BC的垂直平分线

，故球心在EF上，设球的半径为R，则36BCOAOBOCODAD+=+=即2326RR故3R，当且仅当O为线段AD的中点时等号成立，故所求外接球体积的最小值为36π．四、解答题15．【命题立意】本题考

查回归直线方程的概念与运算，考查数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养．【解析】（1）依题意，123456789105.510x+++++++++==，1123344101210y−++++++=+=，故()()()101011210102221110710105512

20ˆ38510553310..iiiiiiiiiixxyyxyxybxxxx====−−−−===−−−，201126ˆ123323a=−=，故所求回归直线方程为2026ˆ333yx=+．（2）由（1）可

知，当22x=时，2026ˆ2222cm333y=+=，故所求残差为21.3220.7cm−=−．16．【命题立意】本题考查数列的递推关系、裂项相消法，考查数学运算、逻辑推理的核心素养．【解析】（1）当1n=时，111222Saa==+，解得12a=；当3n时，()22

nnSna=+，()()11212nnSna−−=−+，两式相减可得，()()1212nnnana−−−−=−，则11121221nnaannnn−−=−−−−−−，121122332nnaannnn−−−

=−−−−−−，…，32121212aa−=−−．累加可得，242111naannn−−=−−，则1nan=+；而1n=，2时也符合题意，故1nan=+；（2）依题意，11111(1)(2)12nnaannnn+==−++++，故12231

1111111112334122(2)nnnaaaaaannn++++=−+−++−=+++；解法一：故1212231111(2)2(2)2(2)nnnannnaaaaaann++++++++；则2max2(2)nn+；而()21

14162224nnnn=+++（当且仅当2n=时取等号），故实数λ的取值范围为16,1−．解法二：故()()()222223111111111112222224162nnnaaaaaannnn++++=−+=−=−−++

+++，当24n+=即2n=时，2max1112(2)(2)16nn−=++，则116，故实数λ的取值范围为16,1−．17．【命题立意】本题考查空间线面的位置关系、向量法求空间角，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】不妨

设AD=1．（1）证明：因为1AD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，故1ADAD⊥；在ADB△中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，由余弦定理，222222cos21221cos603BDABADABA

DDAB=+−=+−=，得3BD=；故222ADBDAB+=，则ADDB⊥．因为1ADDBD=，所以AD⊥平面1ABD；而AD平面11ADDA，所以平面1ABD⊥平面11ADDA．（2）由（1）知，DA，DB，1DA两两垂直，以D为坐标原点，分别以向量DA，DB，1DA的方

向为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−．则()0,0,0D，()1,0,0A，()0,3,0B，()10,0,3A，()1,3,0C−，()2,3,0AC=−，11ACAC=，∴()12,3,3C−，

所以()10,3,3AB=−，()12,3,3DC=−，设()101DEDC=，则()123,3,DEDC==−，即()2,3,3E−．所以()12,3,33AE=−−；设()111,,nxyz=r为平面1AEB的一个法向

量，则1100nAnAEB==uuurruuurr即()1111133023330yzzxy−=−++−=令12z=，则12y=，1233x=−，取()233,2,2n=−r；易知DB⊥平面11BCCB，故()

0,1,0m=r为平面11BCCB的一个法向量；设平面1AEB与平面11BCCB的夹角为，则225cos520123nnmm===−+，解得14=，故113DEEC=．18．【命题立意】本题考查导数的几

何意义、利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】（1）依题意，()()3211121fxxx=+++，故()302f=，而()01f=−，故所求切线方程为312yx+=，即312yx=−

；（2）令()1l2s1on1cxxx+−=−+，故()cos1ln1201xxx++−=+，令()()1ln12cos1xgxxx=++−+，()()32sin112112xxgxx−=−+++，令

()()()32sin112112hgxxxxx−==−+++，()()()522cos132141xxhxx−=−−−++，①当1,2x−时，cos0x，2(1)0x+，()5210x−+，∴

()0hx，∴()hx在1,2−上为减函数，即()0gx在1,2−上为减函数，又()10102g=+，()321111112sin122022222g−=−+−+=，∴()

xg在()0,1上有唯一的零点，设为0x，即()()00001gxx=．∴()gx在(01,x−上为增函数，在02,x上为减函数．又()0210g=−，11()ln(1)2cos()ln(1)2044441144g−=−+−−

=−+−−−，1ln102212g=+−+，∴()gx在(01,x−上有且只有一个零点，在02,x上无零点；②当5,26x时，()()321111012gxxx−−+++，()gx单调递减，又02g，1255

5ln131ln430666g−=+−−+−，∴()gx在5,26x内恰有一零点；③当,56x时，()()()522cos132141xhxxx−=−−−++为增函数，∴()52251

35110646516hxh−=−+−++，∴()xg单调递增，又()0g，506g，∴存在唯一0,56x，使得()00gx

=，当056,xx时，()0gx，()gx递减；当()0,xx时，()0gx，()gx递增，()()5,max06ggxg，∴()gx在5,6内无零点．

综上所述，曲线()yfx=与曲线2cosyx=−的交点个数为2．19．【命题立意】本题考查圆锥曲线的方程、直线与圆锥曲线综合问题．考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．【解析】依题意，1b=，故椭圆C：2221xya+=；（1）易知点11136,G为12MFF△

的重心，则11312,OMOG==，故12,1M，代入椭圆方程得22114143aa=+=∴椭圆C的方程为22314xy+=；（2）∵2FA，2FB，2FD成等差数列，．∴22223FA

FDFB+==．设()11,Axy，()22,Dxy，AD中点()00,Mxy．2303,F，由弦长公式221112112111234334331333333xxyFAxxxx−+=−+=−−−2111231232323xx

==−−，∵1232333,x−，∴2123132FAx=−，同理2223132FDx=−，代入可得1202323xxx+==，①当AB斜率存在时22112222314314xyxy+=+=两式

作差可得()2222121234xxyy−−=−，1212121234xxyyyyxx+−−=+−，∴()000323304324ADkyyy=−=−，∴弦AD的中垂线方程为004333yyyx−=−，当0x=时

，03yy=−，即AD的中垂线的纵截距．∵033,My在椭圆C内，∴20114y+，得03322y−，且00y．②当AB斜率不存在时，此时AD：33x=，0y=．∴综上所述3366y−，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为3366,−．（

3）解法一：易知点1G，2G分别为12MFF△，12NFF△的重心，设121FFMSS=△，122FFNSS=△，设点()11,Mxy，()22,Nxy，则根据重心性质及面积公式得()21121133MNGMNFSSSS==+△

△，()11121121211123333NFGSSSSSSSS=+−−+=+△，而2112435MNNFGNGGMSSS△△△∴()()121212412533333SSSSSS+++，∴12121221222SSSSSS，∴12122yy−，1

212,2yy−−解法二：易知点2G为12NFF△的重心，223NGNO=，∴()2222233MNGMNOMOFNOFSSSS==+△△△△，111111NFGNOFNOGGOFSSSS+=+△

△△△，113NOGMNOSS=△△，此时，设点()11,Mxy，()22,Nxy，()1,0Fc−，()2,0Fc，则根据重心的性质可得11133,1Gxy，∴()212121122MNOSOFyycyy=−=−△，11221122NOFSOFycy==−△，111111

11236GOFSOFycy==△，∴()1121136NOGMNOSScyy==−△△，()11122121122116633NFGcccyyScyyycy=−−=−++△；()2121323MNGMN

OcSSyy==−△△；而2112354MNGNFGMNGSSS△△△，∴1124335NFGMNGSS△△∴121224533,yyyy−−，11221111222222112211,yyyyyyyyyyyy−−==−

−−−−；设直线l：xtyc=+，则联立椭圆方程得2221xtycxya=++=消元化简得，()222210taytcy++−=，∴12222tcyyta−+=+，12221yyta−=+，∴

()222221212121222211212245222,yyyyyyyytcyyyyyyta+−++===−−−−+，∴()2222222410892tcataat−+对任意的t恒成立，即2328

9014aa−，故实数a的取值范围为1,324．