【文档说明】重庆市巴蜀中学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.347 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d2992af15f4bae6ae5dba6149d9c78e9.html

以下为本文档部分文字说明：

高2024届高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合220Axxx=−++，1Bxx=，则AB=（）A.1,2−B.(1,2C.1,2D.)1,−+【答案】B【解析】【分析

】解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式220xx−++，即220xx−−，解得12x−，即[1,2]A=−，而(1,)b=+，所以(1,2AB=.故选：B2.函数()2ln2

fxxx=+在点()1,2处的切线方程为（）A.31yx=−B.53yx=−C.35yx=−+D.57yx=−+【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据条件即可求出结果.【详解】因为()2ln2fxxx=+，所以()14fxxx=+，故()114

51f=+=，由导数的几何意义知，函数()2ln2fxxx=+在点()1,2处的切线方程为25(1)yx−=−，即53yx=−.故选：B.3.nS为等差数列na的前n项和，5612aa+=，945S=，则该等差数列的公差

d=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列前n和公式以及等差数列定义即可得到答案.【详解】()1995556699455,1272aaSaaaaa+====+==,故752d=−=.故选：B.4.已知函数()21110x

fxxx−=−，则()fx的解析式为（）A.()22fxxx=−B.()2fxxx=−C.()2fxxx=+D.()22fxxx=+【答案】D【解析】【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果.【详解】因为222111

2111(1)2(1)2(1)xfxxxxxx−=−=−+−=−+−，所以2()2fxxx=+.故选：D.5.已知a，Rb且ab¹，命题p：ab，命题q：3322ababab++，则命题p是命题q成立的（）条件A.充分不必要B.必要不

充分C充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】对命题q进行等价转化为ab−，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案.【详解】3322ababab++，即()()()22aaababbbab−+++，即()()()22aaababbbab−+++，则命题3322:qaba

bab++等价于2()()0abab−+，因为ab¹，则2()0ab−，则0ab+，即ab−，而||ab可以推出ab−，反之，举例2,3ab=−=−，但||ab，则反推无法推出，.故||ab是ab−成立的充分不必要条件，故选：A.6.函数()fx的定义域为R，

且()11f=，对任意的12xx，有()()12121fxfxxx−−−，则不等式()121fxx−−−的解集为（）A.()2,2−B.()1,1−C.()0,1D.()0,2【答案】D【解析】【分析】化简得()

()1122fxxfxx++，则得到()yfxx=+的单调性，对原不等式变形为()()1111fxxf−+−+，利用其单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】对任意的12xx,有()()12121fx

fxxx−−−,则()()()()12211122fxfxxxfxxfxx−−++，则()yfxx=+在R上单调递增，因为()121fxx−−−，且()11f=，()()1111fxxf−+−+，则|1|102xx−，故选：D.7

.已知有甲乙两个盒子.盒中装有大小.形状完全相同的小球.甲盒中装有3个红球和2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球.现在从甲盒中摸出2个小球放入乙盒中，再从乙盒中摸出2个小球，则这2个小球为红球的概率为（）A.720B.925C.37

100D.1950【答案】C【解析】【分析】由全概率公式求解即可【详解】记“从甲盒中取出2个红球”为事件1C，“从甲盒中取出2个白球”为事件2C，“从甲盒中取出1个红球和1个白球”为事件3C，“从乙盒中取出的2个球均为红球”为事件D，显然，

事件1C，2C，3C两两互斥，且123CCC++正好为“从甲盒中任取2个球”的样本空间，由全概率公式得()()()13iiiPDPCPDC==21122223323422222222555555CCCCCC

C37CCCCCC100=++=，从甲盒中摸出2个小球放入乙盒中，再从乙盒中摸出2个小球，则这2个小球为红球的概率为37100.故选：C8.若()1,x+时，关于x的不等式1lne0axaxx−−恒成立，则a的取值

范围为（）A.1,e−B.(,e−C.10,eD.1,ee【答案】B【解析】【分析】依题意可得lnlneeaaxxxx在()1,x+上恒成立，设()exfxx=，则(ln)()afxfx在(1,

)+上恒成立，利用导数说明()fx的单调性，再分0a和0a两种情况讨论，当0a时需lnaxx在(1,)+上恒成立，参变分离可得lnxax在(1,)+上恒成立，令()lnxgxx=，(1,)x+，利用导数求出()gx的最小值，即可求出参数a的取值范围.【详解】

由1lne0axaxx−−在()1,x+上恒成立，可得lneaxaxxx在()1,x+上恒成立，即lneaaxxxx在()1,x+上恒成立，即lnlneeaaxxxx在()1,x+上恒成立，设()exfxx=，则(ln)()afxfx在(1,)+上恒成立，又ee(e

)(1)xxxxxfx=+=+，所以当1x−时()0fx，当1x−时()0fx，所以函数()fx在(,1)−−上单调递减，在(1,)+上单调递增，且当0x时，()0fx，当0x时

，()0fx，当0a时，由于(1,)x+，则ln0ax，此时(ln)0fax，()0fx，满足(ln)()afxfx在(1,)+上恒成立；当0a时，由于(1,)x+，则ln0ax，要使(

ln)()afxfx在(1,)+上恒成立，则需lnaxx在(1,)+上恒成立，即lnxax在(1,)+上恒成立，设()lnxgxx=，(1,)x+，则()2ln1()lnxgxx−=，易知当()1,ex时，()0gx，()gx单调递减，当(e,)x+时，()0gx

，()gx单调递增，所以()min()eegxg==，则ea，又0a，所以0ea综上，实数a的取值范围为(,e−．故选：B．【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将不等式同构成lnlneeaaxxx

x，再构造函数，结合函数的单调性说明.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9.已知二项式81axx−（0a）的展开式中，5x的系数为28，下列说法正确的有（）A.2a=

B.2x的系数为70C.展开式中没有常数项D.展开式中二项式系数最大的项为第4项【答案】BC【解析】【分析】根据条件，求出81axx−展开式的通项公式38218(1)C(08,N)rrrrTxrr−+=−，再对各个选

项分析判断即可得出结果.【详解】因为81axx−展开式通项公式为：388821881C()()(1)C(08,N)rrrrrrrrTaxaxrrx−−−+=−=−，由3852r−=，得到2r=，由题知28228(1)C28a−−=，得到1a=，故38218(1)C(08,N)

rrrrTxrr−+=−，选项A，因为1a=，所以选项A错误；选项B，由3822r−=，得到4r=，所以2x的系数为448(1)70C−=，所以选项B正确；选项C，由3802r−=，得到16N3r

=，所以不存在常数项，所以选项C正确；选项D，因为8n=，所以由二项式系数性质知，二项式系数最大的项为第5项，所以选项D错误.故选：BC.10.近年来，随着人工智能技术的不断发展，各种AI应用也不断普及，ChatGPT就是一款具有人类沟通能力的智能AI工具.随

着人工智能的加入，各类传媒、影视、游戏行业迎来了高速的发展，AI技术降低了这些行业的人力成本，提高了效率.如图是某公司近年来在人力成本上的投入资金变化情况的散点图，其中x为年份代号（第1年-第7年），y（单位：万元）为人力成本的投入资金，小明选用2个模型来拟合，模

型一：5yxa=−+，已知71490iiy==，其中决定系数210.7325R=，模型二：()122ln0yccxc=+，其中决定系数220.9183R=，则下列说法正确的有（）A.90a=B.模型一中解释变量增加1个单位，响应变量则大致减少5个单位C.模型一中第7年的残差为5D.

模型一的拟合效果更好【答案】AB【解析】【分析】根据条件，求出,xy，进而得出模型一：590yx=−+，从而得出选项A正确，再利用590yx=−+，对B和C逐一分析即可判断出选项B和C的正误；对于选项D，利用题设中22120.73250.9183RR==，即可判断选项D的正误.【详解】选项A，因

为71490iiy==，所以70y=，又4x=，代入5yxa=−+，得到7054a=−+，解得90a=，故选项A正确；选项B，因为模型一为：590yx=−+，故解释变量x增加1个单位，响应变量y则大致减

少5个单位，故选项B正确.选项C，令7x=，则579055y=−+=，则残差为50555−=−，故选项C错误；选项D，因为22120.73250.9183RR==，故模型二拟合效果更好，故选项D错误.故选：AB.11.已知过点()2,0的直线l交抛物线2:4C

yx=于A，B两点，设()11,Axy，()22,Bxy，P点是线段AB的中点，则下列说法正确的有（）A.12yy为定值－8B.OABS的最小值为4C.OAOBkk+的最小值为22D.P点的轨迹方程为224yx=−【答案】ACD【解析】【分析】设直线AB的方程，与抛物线

的方程联立，可得两根之和及两根之积，再一一判断即可．【详解】由题意可得直线AB斜率不为0，设直线AB的方程为2xmy=+，显然A，B两点在x轴的两侧，设20y，且1>0x，20x，联立224xmyyx=+=，整理可得2480ymy−

−=，显然0，124yym+=，128yy=−，21212()416yyxx==，21212()444xxmyym+=++=+，所以A正确；所以2212121212||()41632422OABSyyyyyym=−=+−=+，当且仅当0m=时取等号，所以B不正确；因为11OA

ykx=，22OBykx=，所以12122112121212||||||||||||OAOByyyyxyxykkxxxxxx−+=+=−=21121212(2)(2)2myymyyyyxx+−+−==2212

122()41632222222yyyymm+−+===+，当且仅当0m=时取等号，所以C正确；的由题意可得AB的中点()222,2Pmm+，设(,)Pxy，则2222xmym=+=，消参可得2122yx=−

，整理可得224yx=−，所以D正确．故选：ACD．12.“紫藤挂穗，蓝楹花开，黄桷新绿，菩提葱蔚”，巴蜀中学即将迎来90周年校庆，学校设计了3个吉样物“诚诚”，“盈盈”，“嘉嘉”.现在袋中有6个形状.大小完全相同的小球，每一个小球上写有一个字（其中有2

个小球写着“诚”，2个小球写着“盈”，2个小球写着“嘉”），现在有四位同学，平均分成甲、乙两队，进行比赛活动，规则如下：每轮参与活动的队伍每位同学抽取1次小球，每次抽取后小球放回袋中，若两次抽取的球上的字组成了吉样物名称（如：诚诚），则该队得1分，

并且该队继续新一轮比赛活动，否则，该队得本轮得0分，由对方组接着抽取，活动开始时由甲队先抽取，若第n轮由甲队抽取的概率为nP，n轮结束后，甲队得分均值为nK，则下列说法正确的有（）A.213P=B.1112223nnP−=+−

C.()249EK=D.113nnnKPK−=+【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，利用古典概率公式即可求解出结果；对于选项B，利用题设得出nP与1nP−间的关系并适当变形得出1111()232nnPP−−=−−，从而判断出选项B的正误；

对于选项C，通过条件求出第二轮结束后，甲队可能的得分及对应概率，再利用均值的定义即可求出结果，从而判断出选项的正误；对于选项D，根据条件，第n轮结束后，甲队得分可以分2种情况，从而得出113nnnKPK−=+，判断出选项D

的正误.【详解】选项A，第一轮甲轮两名成员必须抽到“诚诚”，“盈盈”，“嘉嘉”，则第二轮继续由甲队抽取，则2121663P==，故选项A正确；选项B，第n轮由甲队抽取，可分两类情况：第一类是第n1−轮由甲抽取并且下一轮继续由甲抽取；第二类是n1

−轮由乙抽取并且下一轮由甲抽取，则1111212(1)3333nnnnPPPP−−−=+−=−+，可变形为1111()232nnPP−−=−−，又易知111022P−=，故数列12nP−是以12为首项，13−为公比的等比数列，所以1111()223nnP−−=−，即1111()

232nnP−=−+，故选项B错误；选项C，第二轮结束后，甲队可能的得分为2,1,0，2111(2)339PK===，2122(1)339PK===，22(0)3PK==，所以21224()210

9939EK=++=，故选项C正确；选项D，第n轮结束后，甲队得分可以分2种情况：一类是第n轮甲队的得分加上1分，则第n轮必须由甲抽取且得1分，一类是第n轮甲队的得分加上0分，则第n轮由甲抽取且不得分，或第n轮由乙抽取，则1111112111(1)(1)(1)(1)33333nnn

nnnnnnnnnKPKPPKPKPKPK−−−−−=+++−=++−=+，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：解题的关键有两个，一是选项B，根据题意得到1111()232nnPP−−=−−，从而可得数列12nP−

是以12为首项，13−为公比的等比数列，二是选项D，第n轮结束后，甲队得分可以分2种情况：一类第n轮甲队的得分加上1分，一类是第n轮甲队的得分加上0分，从而得出113nnnKPK−=+.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20

分.13.已知函数()1fx+的定义域为1,2，则()2fx的定义域为_________.【答案】31,2【解析】【分析】先由题意求出函数()fx的定义域为2,3，再由223x求解，即可得出结果.【详解】因为函数()1fx+的定义域为1,2，所以213+x；即函数(

)fx的定义域为2,3；由223x解得312x，因此()2fx的定义域为31,2.故答案为：31,214.不等式102xx−+的解集为____________.【答案】()()

2,11,−−+【解析】【分析】分0x、0x两种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可得解.【详解】不等式102xx−+，当0x时即102xx−+，等价于()()1200xxx−+，解得1x，当0x时即102xx−−+，等价于()(

)1200xxx−−+，解得2<<1x−−，综上可得不等式102xx−+的解集为()()2,11,−−+.故答案为：()()2,11,−−+15.已知椭圆()222210xyabab+=，过左焦点1

F作直线l在x轴上方交椭圆于点A，过右焦点2F作直线xc=交直线l于点B（B在椭圆外），若2ABF△为正三角形，则椭圆的离心率为_____________.【答案】32【解析】【分析】根据正三角形的性质可推出21π6AFF=，12π6AFF=，则12AFAF=，再根据椭圆的定义可求得1AF，

再解在1RtAOF即可.【详解】因为2ABF△为正三角形，所以22222π,3ABAFBFABFAFBBAF=====，因为2BFx⊥轴，所以21π6AFF=，12π6AFF=，所以12AFAF=，又122AFAFa+=，所以12A

FAFa==，在1RtAOF中，11213cos2OFcAFFAFa===，所以椭圆的离心率为32.故答案为：32.16.对任意的正实数a，b，c，满足1bc+=，则23121ababca+++的最小值为_____________.【答案】1226−【解析】【分析

】根据条件1bc+=，得到2312412(2)11ababcabcacba++=+++++，利用基本不等式得到231212611abaabcaa+++++，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.【详解】因为2222223

12(31)12[3()]12(42)121111abaababbcabcbcbcabcabcabca+++++++=+=+=+++++4124121212(2)(22)66(1)6111bcbcaa

aacbacbacaa=+++++=+=++−++++1226(1)612261aa+−=−+，当且仅当21,2acb=−=时取等号.故答案为：1226−.【点睛】关键点晴：解答本题关键在于，利用条件将23121ababca+++变形成22[3()]121

abbcbca++++，再整理成412(2)1bcacba++++，再利用均值不等式即可求出结果.四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知正项数列na的前n项和为nS，满足：222nnnSaa=+−.（1）计算1a并求数列na的通项公式；（2）令32nnnba=+，求nb的前n项和nT.【答案】（1）1nan=+（2）()135222nnnnT++=+−【解析】【分析】（

1）根据11,1,2nnnSnaSSn−==−求解即可；（2）利用分组求和法求解即可.【小问1详解】由222nnnSaa=+−①，当1n=时，21111222Saaa==+−，解得12a=（11a=−舍去），当2

n时，211122nnnSaa−−−=+−②，由①−②得22112nnnnnaaaaa−−=+−−，即()()111nnnnnnaaaaaa−−−+=+−，又0na，所以11nnaa−−=，的所以数列na是以2为

首项，1为公差的等差数列，所以1nan=+；【小问2详解】由（1）得32312nnnnban=++=+，则()()()121243135222122nnnnnnnT+−+++=+=+−−.18.“五一”假期，各地掀起了旅游的热浪，“淄博烧烤”，“洪崖洞宠粉”等等冲上热搜.现调查性别因素是否

对市内外旅游的选择有影响，在某旅行团抽取了五一期间出行旅游的100名游客，男性50人，女性50人，其中男性有40%选择在重庆市内旅游，在重庆市外旅游的游客中，男女的比例为2∶1，完成下列的2×2列联表，并回答相关问题.性别旅游地选择合计重庆市内重庆市外男性女性合计（1）依据小

概率0.010=的独立性检验，能否认为性别对重庆市内外旅游的选择有关联？（2）从选择重庆市外旅游的游客中按性别进行分层抽样，抽取了6名游客，再从这6名游客中抽取3名游客，记X为其中女性游客的人数，求()1PX.附：参

考公式及数据：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.400.250.100.0100.0050.0010k0.7081.3232.7066.6357.87910.

828【答案】（1）能认为性别对重庆市内外旅游的选择有关联（2）45【解析】【分析】（1）根据题意，得出22的列联表，求得21009,09111K=，结合附表，即可得到结论；（2）根据题意求得男性4人，女性2人，利用对立事件的概率公式

，即可求解.【小问1详解】解：根据题意，得到22的列联表：性别旅游地选择合计重庆市内重庆市外男性203050女性351550合计5545100则()22100201530351009,0916.6355545505011K−==，所以依据小概率0

.010=的独立性检验，能认为性别对重庆市内外旅游的选择有关联.【小问2详解】解：抽取的6名游客中，男性有2643=人，女性有1623=人，从这6名游客中抽取3名游客，记X为其中女性游客的人数，则()3436C14

11(0)11C55PXPX=−==−=−=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，ABCD为平行四边形，PAPB=，平面PAB⊥平面ABCD，2AD=，3AB=，30BAD=.（1）求证：平面PBD⊥平面PAB；（2）若AP与平面ABCD所成角为60，E

为PC的中点，求锐二面角BADE−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）利用勾股定理证明ABBD⊥，再根据面面垂直的性质可得BD平面ABCD，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）先说明PAB即为AP与平面ABCD所成角的平面角，再以点B为原点建立空间直角坐

标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】在ABD△中，2AD=，3AB=，30BAD=，则234322312BD=+−=，所以1BD=，则222BDABAD+=，所以ABBD⊥，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAB，又B

D平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB；【小问2详解】作PQAB⊥于点Q，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PQ平面PAB，所以PQ⊥平面ABCD，则PAB即为AP与平面ABCD所成角的平面角，所以60PAB=，

又PAPB=，所以PAB为等边三角形，故32PQ=，如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，则()()()()3330,3,0,0,0,0,1,3,0,1,0,0,0,,,0,,0222ABCDPQ−，则133,,244E−，则(

)15331,3,0,,,244ADAE=−=−，因为PQ⊥平面ABCD，所以30,0,2QP=即为平面ABD的一条法向量，设平面ADE的法向量为(),,nxyz=，则3015330244nADxynAExyz=−==−+=，令1y=

，则3,3xz==，所以()31,3n=,，则33212cos,3772QPnQPnQPn===，即锐二面角BADE−−的余弦值217.20.某商店搞促销活动，消费满1000元即可选择下列某一种活动赢得现金.活

动一：掷三颗均匀骰子，若三颗骰子点数一样，则获得200元：若三颗骰子有且仅有2颗骰子点数一样，则获得100元；若三颗骰子均不一样则获得50元，用X表示该消费者在该活动中获得的奖金数.活动二：消费者先选择1至6的某一个整数，然后掷三颗均匀骰子，若所选择的数在骰子上出现了i次，则赢得604

0i+元（0i=，1，2，3），用Y表示该消费者在该活动中获得的奖金数.（1）求X的分布列及数学期望；（2）求Y的分布列及数学期望，为了能获得更高的奖金，从概率学的角度来看应该选择哪个活动？【答案】（1）分布列见解析，()7

5EX=（2）分布列见解析，()70EY=，选择活动一【解析】【分析】（1）依题意X可能的取值为50，100，200，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；（2）由已知，每一个点数每次出现的概率为16，则选中的那个点数出现的次数1

~3,6iB，则Y可能的取值为：40，100，160，220，计算对应概率，写出分布列与期望，比较()EY，()EX，从而确定哪个活动更合适．小问1详解】根据题意可知，X可能的取值为50，100，200，则36

A205(50)666369PX====，23C65155(100)6663612PX====，61(200)66636PX===，则X的分布列为：X50100200P59512136所以551()501002007591236EX=++=；【小问2详解】由已知，每一

个点数每次出现的概率为16，则选中的那个点数出现的次数1~3,6iB，则Y可能的取值为：40，100，160，220，35125(40)(0)6216PYPi=====，2131575(100)(

1)C66216PYPi=====，2231515(160)(2)C66216PYPi=====，311(220)(3)6216PYPi=====，所以Y的分布列为：Y40100

160220P125216752161521612161~3,6iB，()11362Ei==，()1()(6040)60406040702EYEiEi=+=+=+=，因为()()EY

EX，故应该选择活动一．21.已知双曲线C：22221xyab−=(),0ab的渐近线方程为12yx=，其左右焦点为1F，2F，点D为双【曲线上一点，且12DFF△的重心G点坐标为43,33.（1）求该双曲线的标准方程；（2）过x轴上一动点(),0Pt作直

线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A（A与B不重合），连接BA并延长交x轴于点Q，问OQOP是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）2214xy−=（2）4【解析】【分析】（1）根据双曲线方程设224xy−=，()

00,Dxy，根据重心坐标公式求出(4,3)D，代入原方程即可得到的值，则得到双曲线方程；（2）设l的方程为()ykxt=−，()()1122,,,AxyBxy，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出直

线BA的方程，令0y=，解出x，将韦达定理式代入整理得4xt=，则得到定值.【小问1详解】因为双曲线的渐近线方程为12yx=，故可设双曲线的方程为224xy−=，设()00,Dxy，因为12DFF△的重心G点的坐标为43,33

，所以00433333xy==，解得0043xy==，所以(4,3)D，则代入得1=，所以双曲线的标准方程为2214xy−=【小问2详解】由题意知直线l的斜率必存在，设l的方程为()ykxt=−，()

()1122,,,AxyBxy，则()11,Axy−，联立22()440ykxtxy=−−−=，化简得()22222148440kxktxkt−+−−=，则()()()222224140844kktkt=+−+，且2140k−，由韦达定理得21228041ktxx

k+=−，2212244041kxxkt+=−，则直线BA的方程为：()211121yyyyxxxx++=−−，令0y=，则()()()()()()121122112121212121121212222yxx

kxtxkxtxkxxktxxyxxyxyyyyykxxtkxxt−−+−−++=+===+++−+−323222222288828441414128824141ktkkkkkktkktktttkkk++−−−−===−

+−−，故4|||||4OQOPtt==∣..【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，即设l的方程为()ykxt=−，再将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，22.（1）不等式ln1xmx−≤对任意的0x恒成立，求m的取值范围；（2）当()0,1a，求证：21

eln3xxaxx−+−.（参考数据：2e7.4，3e20.1）【答案】（1）m1；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过分离常量得到ln1xmx+，通过构造函数ln1()xfxx+=，转化成求函数最大值，再利用导数求出()fx的单调区间即可求解；的（2）先利用()

0,1a和（1）中结果，将问题转化成证明24e103xxx−−+，构造函数24()=e13xgxxx−−+，再利用导数与函数单调性间的关系，求出函数()gx的最小值即可证明结果.【详解】（1）因为不等式ln

1xmx−≤对任意的0x恒成立，故ln1xmx+对任意的0x恒成立，令ln1()xfxx+=，则221(ln1)ln()xxfxxx−+==−，所以，当(0,1)x时，()0fx，即()fx在区间(0,1)上单调递增，

当(1,)x+时，()0fx，即()fx在区间(1,)+上单调递减，则max()(1)1fxf==，故m1.（2）因为()0,1a，故2211ee33xxxaxxx−+−−−，故只需要证明21eln

3xxxx−−，又由（1）知1lnxx−，故只需要证明21e13xxxx−−−，即证：24e103xxx−−+，令24()=e13xgxxx−−+，则4()=e23xgxx−−，令4()=e23xhxx−−，则()=e2xhx−，

所以，当(0,ln2)x时，()0hx，当(ln2,)x+时，()0hx，而()ln242ln2=e2ln22ln2033h−−=−+，又41(0)1033h=−=−，4(1)e203h=−−，33223413()e3e233

h=−−=−，又因为2313()20e3，所以3()02h，故存在03(1,)2x，00()gx=，即004e203xx−−=，当0(0,)xx时，00()gx，当0(,)xx+时，0()0gx，则02220000000044427(

)()e12133333xgxgxxxxxxxx=−−+=+−−+=−++，又因为03(1,)2x，所以2200273757()10332343xx−++−++=−+，故0()0gx，所以24()=e103xgxxx−−+，故21eln3xxa

xx−+−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com