【文档说明】河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二下学期3月联考试题 数学 含解析.docx，共(19)页，912.184 KB，由管理员店铺上传

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洛阳强基联盟高二3月联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数yx=在区间1,4上的平均变化率为（）A.13B.35C.53D.32.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V（单位：)3cm

与半径R（单位：cm）的关系为34π3VR=，则7cmR=时体积V关于半径R的瞬时变化率为（）A.21372πcm3B.2196πcmC.298πcmD.216πcm3.函数()lnfxxx=的单调递减区间为

（）A.()e,+B.()0,eC.1,e+D.10,e4.已知函数()()()20232024fxxx=−−，则()fx的图象在2024x=处的切线方程为（）A.240480xy+−=B.20240xy+−=C240480xy−−=D.20240xy−−=5.曲率是

刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记()fx是()fx的导函数，()fx是.()fx的导函数，那么曲线()yfx=在点()()00,xfx处的曲率()()032201fxKfx=

+，则曲线()sincosfxxx=+在点π,24处的曲率为（）A.0B.69C.22D.26当1x=时，函数()()e0xabfxxx+=取得最小值2e，则ba−=（）A.2B.1C.1−D.2−7.若函数()28lnfxxxmx=

+−在()1,3上有且仅有一个极值点，则实数m的最小值是（）A.8B.263C.283D.108.设()ln1.2ea=，0.2eb=，1.2c=，则a、b、c大小关系为（）A.acbB.cbaC.cabD.abc二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共

18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A.211xx=B.2112xxx+=+C.()()

e1exxxx=+D.2ln1lnxxxx+=10.已知定义域为3,5−的函数()fx的导函数为()fx，且()fx的图象如图所示，则（）A.()fx在()2,2−上单调递减B.()fx有极小值()2fC.()fx有3个极值点D.()

fx在3x=−处取得最大值11.已知函数()fx的定义域为R，其导函数为()fx，且对任意的xR，都有()()0fxfx+，则下列.的说法正确的是（）A.e(1)(0)ffB.e(1)(0)ffC2(ln2)e(1)ffD.2(

ln2)e(1)ff三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()232fxfxx=−，则()2f−=__________.13.函数()exxfx=的最大值为________．14.已知

函数()()212exfxx+=−，过点()0,Am且与曲线()yfx=相切的直线只有1条，则实数m的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2lnfxxaxx=++（aR），且()14f=．（1

）求()fx的解析式；（2）求函数()fx的图象在点()()22f,处的切线方程．16已知函数()323fxaxxxb=−−+，且当3x=时，()fx有极值5−．（1）求a，b的值；（2）求()fx在4,4−上的最大值和最小值．17.已知函数()ecosxfxx=−，()()()gxxfxfx

=−．（1）证明：()gx在()0,+上单调递增；（2）判断133f与144f的大小关系，并加以证明．18.已知函数()()lnRmfxxmx=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1m=时，证明：当1x时，()ee0xxfxx−−+.19.定义：若函

数()yfx=和()ygx=的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数()yfx=和()ygx=具有C关系．（1）判断函数()e2xfx=−和()gxx=是否具有C关系；..（2）若函数()exfxx=和()singxkx=−（0k）在区间()0,π上具有C关系，求实数k的取值范围．洛阳

强基联盟高二3月联考数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答

案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章．一、选择

题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数yx=在区间1,4上的平均变化率为（）A.13B.35C.53D.3【答案】A【解析】【分析】直接利用平均变化率的定义求解.【详解】设()fxx=，则函数yx=

在区间1,4上的平均变化率为()()4141211414133ff−−−===−−．故选：A.2.节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积V（单位：)3cm与半径R（单位：cm）的关系为34π3VR=，则7cmR=时体积V关于半径R的瞬时变化率为（）A.213

72πcm3B.2196πcmC.298πcmD.216πcm【答案】B【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可.【详解】由34π3VR=，求导得24πVR=，所以7R=时体积V关于半径R的瞬时变化率为24π719

6πV==.故选：B.3.函数()lnfxxx=的单调递减区间为（）A.()e,+B.()0,eC.1,e+D.10,e【答案】D【解析】【分析】直接求导并解不等式()0fx，即可得到()fx的单调递减区

间.【详解】函数()fx的定义域为()0,+，()1lnln1fxxxxx=+=+，解不等式()0fx，得ln1x−，即1ex，即()fx的单调递减区间为10,e．故选：D.4.已知函数()()

()20232024fxxx=−−，则()fx的图象在2024x=处的切线方程为（）A.240480xy+−=B.20240xy+−=C.240480xy−−=D.20240xy−−=【答案】D【解析】【分析】求出()2024f、()2024

f的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.【详解】由题意知()2024202324047fxxxx=−+−=−，所以()20241f=，又()20240f=，所以()fx的图象在2024x=处的切线方程为20

24yx=−，即20240xy−−=．故选：D．5.曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记()fx是()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，那么曲线()yfx=在点()()00,xfx处的曲率()()032201fxKfx=+

，则曲线()sincosfxxx=+在点π,24处的曲率为（）A.0B.69C.22D.2【答案】D【解析】【分析】根据曲线的曲率定义，对函数()sincosfxxx=+求导得出()fx，再对()fx求导得出()fx，将0π4x=代入()()032201fx

Kfx=+求解即可.【详解】对函数()sincosfxxx=+求导，得()cossinfxxx=−，对()fx求导，得()sincosfxxx=−−，所以ππππππcossin0,sincos2444444ff=−==−−=−

，所以曲线()sincosfxxx=+在点π,24处的曲率()()()0332222022101fxKfx−===++.故选：D.6.当1x=时，函数()()e0xabfxxx+=取得最小值2e，则ba−=（）A.2B.1C.1−D.2−【答案

】D【解析】【分析】由条件可知()12ef=，()10f=，可解出2a=，0b=，然后验证2a=，0b=满足条件即可.【详解】由于()()2e1xaxbfxx=−−，函数()()e0xabfxxx+=在1x=处取得最小

值2e，故()12ef=，()10f=，从而e2eab+=，0b−=，解得2a=，0b=.若2a=，0b=，则()()2e0xfxxx=，()()22e1xxfxx=−，当()0,1x时，()0fx，()fx

单调递减；当()1,x+时，()0fx，()fx单调递增．所以()fx在1x=处取到极小值，也是最小值.而()12e12e1f==，所以函数()fx在1x=处取得最小值2e，故2a=，0b=满足要求，所以2a=，0b=，故2ba−=−．故选：D.7.若函数()28lnfxxxmx=+−

在()1,3上有且仅有一个极值点，则实数m的最小值是（）A.8B.263C.283D.10【答案】B【解析】【分析】求导，分离参数，并构造新函数确定零点个数得m的范围即可.【详解】()82fxxmx+=−，令()0fx=，得82xmx+=，由题意知82xmx+=在区

间()1,3上只有一个变号的根，令()82gxxx=+，则()()2224xgxx−=，令()0gx=，得2x=，当()1,2x时，()0gx，()gx单调递减；当()2,3x时，()0gx，()gx

单调递增．又()110g=，()28g=，()2633g=，所以当26,103m时，82xmx+=在区间()1,3上只有一个变号的根，即函数()fx在()1,3上有且仅有一个极值点时，26,103m，即m的最小

值为263．故选:B．8.设()ln1.2ea=，0.2eb=，1.2c=，则a、b、c的大小关系为（）A.acbB.cbaC.cabD.abc【答案】A【解析】【分析】利用函数()ln1fxxx=−−在()1,+上的单调性可得出a、c的大小关系，利用函数()1exg

xx−=−在()1,+上的单调性可得出b、c的大小关系，由此可得出a、b、c的大小关系.【详解】令()ln1fxxx=−−，则()111xfxxx−=−=，当1x时，()0fx¢>，则()fx单调递增，所以()()1.21.2ln1.2110ff=−−=，即(

)1.2ln1.21ln1.2e+=，则ac；令()1exgxx−=−，则()1e1xgx−=−，当1x时，()0gx，()gx单调递增，所以()()0.21.2e1.210gg=−=，即0.2e1.2，即cb．综上所述，acb．故选：A．【点睛

】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）ln1−xx；（2）e1xx+.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导正确的是（）A.2

11xx=B.2112xxx+=+C.()()e1exxxx=+D.2ln1lnxxxx+=【答案】BC【解析】【分析】由导数的除法公式可得出A错误，D错误；由导数的加法公式可得出B正确；由导数的乘法公式可得出C正确/【详解】

由导数的除法公式可得2210111xxxx−==−，由导数的加法公式可得2112xxx+=+，由导数的乘法公式可得()()eee1exxxxxxx=+=+，由导数的除法公式可

得2211lnln1lnxxxxxxxx−−==，所以A，D错误；B，C正确.故选：BC．10.已知定义域为3,5−的函数()fx的导函数为()fx，且()fx的图象如图所示，则（）A.()fx在()2,2−上单调递减B.()fx有极小值

()2fC.()fx有3个极值点D.()fx在3x=−处取得最大值【答案】ABC【解析】【分析】首先分析给定图像，由()fx的图象可知()2,2x−时，()0fx，则()fx单调递减，进一步分析其他选项，由()fx的图象可知当2,2,4x=−时，()fx有极值，所以()fx有3个极值点，

再找出最大值和极小值即可.【详解】由()fx的图象可知()2,2x−时，()0fx，则()fx单调递减，故A正确；又()2,4x时，()0fx，则()fx单调递增，所以当2x=时，()fx有极

小值()2f，故B正确；由()fx的图象可知2,2,4x=−时，()fx有极值，所以()fx有3个极值点，故C正确；当()3,2x−−时，()0fx，则()fx单调递增，所以()()32ff−−，则()fx在3x=−处不能取得最大值，故D错误．故选：ABC．11.已知函数()

fx的定义域为R，其导函数为()fx，且对任意的xR，都有()()0fxfx+，则下列说法正确的是（）A.e(1)(0)ffB.e(1)(0)ffC.2(ln2)e(1)ffD.2(ln2)e(1)ff【答案】BC【解析】【分析

】令()()xgxefx=，可得()gx在(,)−+上单调递增，取自变量的值可得结果.【详解】令()()xgxefx=，所以()e()e()e()()0xxxgxfxfxfxfx++==，所以()gx在(,)−+

上单调递增，所以(0)(1)gg，即(0)e(1)ff，故A错误，B正确；又(ln2)(1)gg，所以ln2e(ln2)e(1)ff，即2(ln2)e(1)ff，故C正确，D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作

差或变形．(2)构造新的函数()hx．(3)利用导数研究()hx的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()232fxfxx=−，则()2f−=__________.【答案】24【解析】

【分析】求导后代入即可得()234fxxx=−，代入求解即可.【详解】()()2223fxxfx=−，故()()24212ff=−，解得()24f=，故()234fxxx=−，所以()2324(2)(2)24f−=−−−=.故答案为：2413.函数(

)exxfx=的最大值为________．【答案】1e【解析】【分析】利用导数求得()fx的最大值.【详解】()'1exxfx−=，所以()fx在()()()',1,0,fxfx−递增，在()()()'1,,0,fxfx+递减，所以当1x=时，()fx取得最大值为1e.故答案

为：1e14.已知函数()()212exfxx+=−，过点()0,Am且与曲线()yfx=相切的直线只有1条，则实数m的取值范围是______．【答案】2emm−或0m=【解析】【分析】设切点为()()21,2e

aaa+−，根据导数的几何意义求出切线方程，再将点()0,Am代入可得()221242eamaa+=−+−，构造函数()()221242exgxxx+=−+−，则()ygx=的图像与直线ym=只有1个交点，利用导数求出函数()gx的单调区

间和极值，作出图象，结合图象即可得解.【详解】设切点为()()21,2eaaa+−，由()()212exfxx+=−，得()()()212121e22e23exxxfxxx+++=+−=−，所以切线的斜率为()()2123eakfaa+=−=

，切线方程为()()()21212e23eaayaaxa++−−=−−，因为点()0,Am在切线上，所以()()()21212e23e0aamaaa++−−=−−，即()221242eamaa+=−+−，令()()221242exgxxx+=−+

−，则()()22144exgxxx+=−+，令()0gx=，得0x=或1x=，当0x或1x时，()0gx，当01x时，()0gx，所以()gx在(),0−和()1,+上单调递减，在()0,1上单调递

增，所以()gx的极小值为()02eg=−，极大值为()10g=，当x→−时，()0gx→，当x→+时，()gx→−，所以()gx的图象如图所示，因为过点()0,Am且与曲线()yfx=相切的直线只有1条，所以()ygx=的图像与直线ym

=只有1个交点，由图象可得2em−或0m=，即实数m的取值范围是2emm−或0m=．故答案为：2emm−或0m=．【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出

函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f

x=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15已知函数()2lnfxxaxx=++（aR），且()1

4f=．（1）求()fx的解析式；（2）求函数()fx的图象在点()()22f,处的切线方程．【答案】（1）()2lnxfxxx=++；（2）1122ln2100xy−+−=．【解析】.【分析】（1）将()14f=代入()fx的表达式即可解出

a，从而得到()fx的解析式；（2）由导数的定义可知所求直线为经过点()()2,2f且斜率为()2f的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.【小问1详解】由()2lnfxxaxx=++，得()121fxaxx=++

，又()14f=，所以1214a++=，解得1a=，即()2lnfxxxx=++．【小问2详解】由（1），得()2lnfxxxx=++，()121fxxx+=+，所以()2ln26f=+，即切点为()2,ln26+，又切线的斜率为

()11124122kf==++=，所以函数()fx图象在点()()2,2f处的切线方程为()()11ln2622yx−+=−，即1122ln2100xy−+−=．16.已知函数()323fxaxxxb=−−+，且当3x=时，()fx有极

值5−．（1）求a，b的值；（2）求()fx在4,4−上的最大值和最小值．【答案】（1）13a=，4b=；（2）最大值为173，最小值为643−．【解析】【分析】（1）由极值的必要条件(3)0f=以及(3)5f=−可列方程求

解参数；（2）求导得出()fx在4,4−的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.【小问1详解】由()323fxaxxxb=−−+，得()2323fxaxx−=−，又当3x=时，()fx有极值5−，的所以()()32790327185fa

fab=−==−+=−，解得1,34,ab==所以()()()22313fxxxxx=−−=+−，当()1,3x−时，()0fx，()fx单调递减；当()3,x+时，()0f

x，()fx单调递增．所以当3x=时，()fx有极小值5−．所以13a=，4b=满足题意．【小问2详解】由（1）知()321343fxxxx=−−+，()()()13fxxx=+−．令()0fx=，得11x=

−，23x=，()fx，()fx的值随x的变化情况如下表：x4−()4,1−−1−()1,3−3()3,44()fx＋0－0＋()fx643−单调递增极大值173单调递减极小值5−单调递增83−由表可知()fx

在4,4−上的最大值为()1713f−=，最小值为()6443f−=−．17.已知函数()ecosxfxx=−，()()()gxxfxfx=−．（1）证明：()gx在()0,+上单调递增；（2）判断133f与144f的大小关系，并加以证明

．【答案】（1）证明见解析；（2）113434ff，证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，确定()0gx即可证明；（2）构造函数()()fxhxx=，求导确定单调性即可证明.小问1详解】证明：()esinxfxx=+，所以()()()()esinecos1

esincosxxxgxxxxxxxx=+−−=−++，所以()()ecosxgxxx=+．当0x时，因为0ecosecos1cos0xxxx++=+≥，所以()0gx．所以()gx在()0,+上单调递增．【小问2详解】113434ff．证明如下：设()(

)fxhxx=，()0,x+，则()()()()22xfxfxgxhxxx−==．由（1）知()gx在()0,+上单调递增，所以()()00gxg=，所以()0hx，即()hx()0,+上单调递增．所以1134hh，即113434ff

．18.已知函数()()lnRmfxxmx=+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当1m=时，证明：当1x时，()ee0xxfxx−−+.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【

解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()eexgxxfxx=−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0gx，从而得证.【小问1详解】因为()lnmfxxx=+的定义域为()0,+，所以()221mxmfxxxx−=−=，

【在当0m时，()0fx¢>恒成立，所以()fx在()0,+上单调递增；当0m时，令()0fx=，得xm=，当()0,xm时，()()0,fxfx单调递减，当(),xm+时，()()0,fxfx单调递增，综上，当0

m时，()fx在()0,+上单调递增；当0m时，()fx在()0,m上单调递减，在(),m+上单调递增.【小问2详解】当1m=时，()1lnfxxx=+，令()()eelnee1xxgxxfxxxxx=−−+=

−−++，则()lnexgxx=−，令()()lnexhxgxx==−，则()1exhxx=−，因为1x，所以11,ee1xx，所以当1x时，()hx1e0xx=−恒成立，所以()

hx在)1,+上单调递减，即()lnexgxx=−)1,+上单调递减，所以()()1e0gxg−=，所以()gx在)1,+上单调递减，所以()()10gxg=，即()ee0xxfxx−−+.【点睛】结论点睛：恒成立

问题：（1）()0fx恒成立()min0fx；()0fx恒成立()max0fx．（2）()fxa恒成立()minfxa；()fxa恒成立()maxfxa．（3）()()fxgx恒成立()()min0fxgx−；()

()fxgx恒成立()()max0fxgx−；（4）1xM，2xN，()()()()1212minmaxfxgxfxgx．19.定义：若函数()yfx=和()ygx=的图象上分别存在

点M和N关于x轴对称，则称函数()yfx=和()ygx=具有C关系．（1）判断函数()e2xfx=−和()gxx=是否具有C关系；在（2）若函数()exfxx=和()singxkx=−（0k）在区间()0,π上具有C关系，求实数k的取值范围．

【答案】（1）()fx与()gx具有C关系；（2）()1,+．【解析】【分析】（1）依据给定的新定义结合导数判断即可.（2）令()()()hxfxgx=+，得出所以()hx在()0,π上存在零点且．()hx在()0,π上单调递增，推

出()0hx，后结合给定定义求解参数范围即可.【小问1详解】()fx与()gx具有C关系．理由如下：根据定义，若在()fx与()gx的定义域的交集上存在x，使得()()0fxgx+=，则()fx与()gx具有C

关系．令()()()e2xmxfxgxx=+=+−，xR，则()e10xmx=+，所以()mx单调递增，又()0121m=−=−，()1e12e10m=+−=−，所以()00,1x，使得()00mx=，即()()000fxgx+=，即()fx与()g

x具有C关系．【小问2详解】令()()()hxfxgx=+，则()esinxhxxkx=−，因为()fx与()gx在()0,π上具有C关系，所以()hx在()0,π上存在零点．()()1ecosxhxxkx=+−，若01k，当()0,πx时，因为(

)1e1xx+，cos1kxk−−，所以()0hx，即()hx在()0,π上单调递增，则()()00hxh=，此时()hx在()0,π上不存在零点，不满足题意．若1k，当π,π2x时，cos0x，()

0hx，当π0,2x时，设()()()1ecosxxhxxkx=+−=，则()()2esin0xxxkx=++，所以()()xhx=在π0,2上单调递增，又(

)010hk=−，π2ππ1e022h=+，故()hx在π0,2上存在唯一零点，设零点为，则()0h=，所以当()0,x时，()0hx；当π,2x时，()0hx；当π,π2x

时，()0hx．所以()hx在()0,上单调递减，在(),π上单调递增，()hx在()0,π上存在唯一极小值，因为()00h=，所以()0h，又()πππe0h=，所以()hx在()0,π上存在唯一零点，所以函数()fx与

()gx在()0,π上具有C关系．综上所述，1k，即实数k的取值范围是()1,+．【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题关键是得出所以()hx在()0,π上存在零点且．()hx在()0,π上单调递增，推出()0hx

，然后利用给定定义得到所要求的参数范围即可．