【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 5．1 任意角和弧度制 Word版含解析.docx，共(20)页，1.168 MB，由小赞的店铺上传

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第五章三角函数5.1任意角和弧度制例1在0°~360°范围内，找出与95012−角终边相同的角，并判定它是第几象限角.解：95012129483360−=−，所以在0°~360°范围内，与95012−角终边相同的角是

12948，它是第二象限角.例2写出终边在y轴上角的集合.解：在0°~360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合1|90360,Skk==+Z，而所有与270°角终边相同的角构成集合2|270360

,Skk==+Z，于是，终边在y轴上的角的集合12SSS=|902180,|901802180,kkkk==+=++ZZ|902180,|90(21)180,kkkk==+=++ZZ

|90180,nn==+Z.例3写出终边在直线yx=上角的集合S.S中满足不等式360720−的元素有哪些？解：如图，在直角坐标系中画出直线yx=，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°~360°范围内，终边在直线yx=

上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线yx=上的角的集合的的45360,2253|,|60Skkkk==+=+ZZ4518,|0nn==+Z.S

中适合不等式360720−的元素有452180315−=−，451180135−=−，45018045+=，451180225+=，452180405+=，453180585+=.例4按照下列要求，把6730化成弧度：（1）精确值；

（2）精确到0.001的近似值.解：（1）因为13567302=，所以135π36730radπrad21808==.（2）利用计算器有因此，67301.178rad.例5将3.14rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.解：利用计算器

有因此，3.14rad179.909.例6利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）lR=；（2）212SR=；（3）12SlR=.其中R是圆的半径，（02π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积.证明：由公式||lr=可得lR=.下面

证明（2）（3）.半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是π180nRl=，2π360nRS=，将n°转换为弧度，得π180n=，于是，212SR=.将lR=代入上式，即得12SlR=.5.1.1任

意角练习1.锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.【答案】锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的

角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角.【解析】【分析】锐角是第一象角，第一象限角可以是锐角加360的整数倍，所以不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如180；钝角为第二象角，但第二象角不

一定为钝角.【详解】锐角090，是第一象限角，460503是第一象限角不是锐角；直角的终边在坐标轴上（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如180；钝角90180是第二象限角，450540是第二象限角，但

不是钝角，所以锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角.【点睛】此题考查象限角轴线角与锐角钝角和直

角之间的关系，关键在于掌握终边相同的角的表示方式的辨析.2.今天是星期三，那么7()kkZ天后的那一天是星期几?7()kkZ天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?【答案】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则7

()kkZ天后的那一天是星期三；7()kkZ天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五.【解析】【分析】根据每周的周期性变化关系即可求解.【详解】每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则7()kkZ天后的那一天是星

期三；7()kkZ天前的那一天仍然是星期三；1007142=+，所以100天后的那一天是星期五.【点睛】此题考查周期性的实际应用，利用周期关系解决实际应用问题，关键在于准确建立模型将实际问题转化为数学问题.3.已知角的顶点与直角坐

标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：（1）420；（2）75−；（3）855；（4）510−.【答案】（1）第一象限角，作图见解析；（2）第四象限角，作图见解析；（3）第

二象限角，作图见解析；（4）第三象限角，作图见解析.【解析】【分析】（1）60360420=+，与60终边相同；（2）75−按照负角作图；（3）855720135=+与135终边相同；（4）510150360−=−−与150−终边

相同【详解】（1）如图①，是第一象限角；（2）如图②，是第四象限角；（3）如圈③，是第二象限角；（4）如图④，是第三象限角.①②③④【点睛】此题考查任意角的概念的辨析，作出角的终边位置判断其所在象限，关键在于对基本概念

的熟练掌握.4.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：（1）5418−；（2）3958；（3）119030−.【答案】（1）30542，第四象限角（2）358，第一象限角（3）24930，第三象限角【解析】

【分析】（1）根据题意，通过对已知角加上或减去360的整数倍后得到的角在0360范围内，即可求解；（2）根据题意，通过对已知角加上或减去360的整数倍后得到的角在0360范围内，即可求解；（3）根据题意，通过对已知角加上或减去360的整数倍后得到的角在0360范围

内，即可求解；【小问1详解】因为541836030542−+=，所以在0360范围内，与角5418−终边相同的角为30542，是第四象限角.【小问2详解】因为3958360358−=，所以在0360范围内，与角3958终边相同的角为358

，是第一象限角.【小问3详解】因为119030436024930−=−+，所以在0360范围内，与角119030−终边相同的角为24930，是第三象限角.5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式720360−的元素：（1）130318

；（2）225−.【答案】（1）49642=−，13642−，22318；（2）585,225,135=−−【解析】【分析】（1）终边相同的角的集合|130318360,kkZ=+，分别令5,4,3k=−−−，即可得解；（2）终边相同的角的集合|

225360,kkZ=−+，分别令1,0,1k=−，即可得解.【详解】（1）|130318360,kkZ=+，分别令5,4,3k=−−−，得49642=−，13642−

，22318；（2）|225360,kkZ=−+，分别令1,0,1k=−，得585,225,135=−−.【点睛】此题考查终边相同的角的表示方法，以及找出在指定范围内的元素，关

键在于准确表示，正确求解不等式.5.1.2弧度制练习6.把下列角度化成弧度：（1）2230；（2）210−；（3）1200.【答案】（1）8（2）76−（3）203【解析】【分析】（1）根据题意，结合弧度=角度180，即可求解；（2）根据题意，结合弧度=角

度180，即可求解；（3）根据题意，结合弧度=角度180，即可求解.【小问1详解】由题意得，223022.51808==.【小问2详解】由题意得，()72102101806−=−=−.【小问3详解】由题

意得，20120012001803==.7.把下列弧度化成角度：（1）12；（2）43−；（3）310.【答案】1）15；（2）240；（3）54o.【解析】【分析】(1)利用01rad18=转化即可(2

)利用01rad18=转化即可(3)利用01rad18=转化即可【详解】(1)180151212==.(2)4180424033−=−=−.(3)31803541010=

=.【点睛】本题考查的是角度制和弧度制的相互转化，较简单.8.用弧度表示：（1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合.【答案】（1）{|,}nn=Z；（2）|,2nn=+Z.【解析】【分析】(1)将终边在x轴正半轴上的角的集

合与终边在x轴负半轴上的角的集合取并集即可(2)将终边在y轴正半轴上的角的集合与终边在y轴负半轴上的角的集合取并集即可【详解】(1){|2,}{|2,}{|,}kkkknn==+==ZZZ；(2)3|2,|2,|,222

kkkknn=+=+==+ZZZ.【点睛】本题考查的是终边在坐标轴上的角的表示方法，较简单.9.利用计算工具比较下列各对值的大小：（1）cos0.7

5和cos0.75；（2）tan1.2和tan1.2.【答案】（1）cos0.75cos0.75；（2）tan1.2tan1.2.【解析】【分析】(1)利用计算器求出cos0.75和cos

0.75的值即可(2)利用计算器求出tan1.2和tan1.2的值即可【详解】(1)由计算器可算出cos0.751.000，cos0.750.712所以cos0.75cos0.75(2)由计算器可算出tan1.20.021，tan1

.22.572所以tan1.2tan1.2【点睛】本题是一道比较三角函数值的题目，解答本题的关键是熟练掌握利用计算器求三角函数值的方法.10.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.【答案】()3m【解析】【

分析】利用公式180nrl=和lr=分别计算即可【详解】角度制下：1rm=，60n=，弧长()6011801803nrlm===.弧度制下：1rm=，3=，弧长()3lrm==.【

点睛】本题考查的是角度制和弧度制下弧长公式的应用，较简单.11.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数.【答案】1.2【解析】【分析】利用公式lR=计算即可【详解】1441.2120lR===，即该弧所对的圆心角的张度数为1.

2.【点睛】本题考查的是扇形有关公式的直接应用，较简单.习题5.1复习巩固12.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）265−；（2）1000−；（3）84310−；（4）3900.【答案】

（1）95o，第二象限角（2）80，第一象限角（3）23650，第三象限角（4）300o，第四象限角【解析】【分析】（1）根据题意，结合与角终边相同的角为360,kkZ+，即可求解；（2）根据题意，结合与角终边相同的角为360,kkZ+，即可求解

；（3）根据题意，结合与角终边相同的角为360,kkZ+，即可求解；（4）根据题意，结合与角终边相同的角为360,kkZ+，即可求解.【小问1详解】因为265136095−=−+，所以在0360范围内，与265−终边相

同的角为95o，为第二象限角.【小问2详解】因为1000336080−=−+，所以在0360范围内，与1000−终边相同的角为80，为第一象限角.【小问3详解】因为84310336023650−=−

+，所以在0360范围内，与84310−终边相同的角为23650，为第三象限角.【小问4详解】因为390010360300=+，所以在0360范围内，与3900终边相同的角为300o，为第四象限角.13.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式360360

−的元素：（1）60；（2）75−；（3）82430−；（4）475；（5）90；（6）270；（7）180；（8）0.【答案】（1）|60360,SkkZ==+；300,60−.（2）|75360,SkkZ==−+；75,2

85−.（3）82430|360,SkkZ−=+=；0,210543035−.（4）5|360,47SkkZ==+；245,115−.（5）0|360,9SkkZ==+；270,90−.（6

）|270360,SkkZ==+；90,270−.（7）0|360,18SkkZ==+；180,180−.（8）|0360,SkkZ==+；0,360.【解析】【分析】根据终边相同的角的概念直接表示，并求出集

合中适合不等式360360−的元素.【小问1详解】|60360,SkkZ==+,其中适合不等式360360−的元素有：300,60−.【小问2详解】|75360,Skk

Z==−+,其中适合不等式360360−的元素有：75,285−.【小问3详解】82430|360,SkkZ−=+=,其中适合不等式360360−的元素有：0,210543035−.【小问4详解】5|360,47SkkZ

==+,其中适合不等式360360−的元素有：245,115−.【小问5详解】0|360,9SkkZ==+,其中适合不等式360360−的元素有：270,90−.【小问6详解】|270360,SkkZ==+,其中适合不等式360

360−的元素有：90,270−.【小问7详解】0|360,18SkkZ==+,其中适合不等式360360−的元素有：180,180−.【小问8详解】|0360,SkkZ==+,其中适

合不等式360360−的元素有：0,360.14.分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.【答案】第一象限角：|36036090,kkk+Z，|22,2kkk+Z；第

二象限角：|36090360180,kkk++Z，|22,2kkk++Z；第三象限角：|360180360270,kkk++Z，3|22,2kkk++Z；第四象

限角：|36090360,kkk−Z，|22,2kkk−Z.【解析】【分析】先用角度制写出四个象限角的集合，再用弧度制写出这四个象限角的集合即可．【

详解】解：用角度制写出象限角的集合是：第一象限角：|36036090,kkk+Z；第二象限角：|36090360180,kkk++Z；第三象限角：|360180360270,kkk

++Z；第四象限角：|36090360,kkk−Z.用弧度制写出象限角的集合是：第一象限角：|22,2kkk+Z；第二象限角：|22,2kkk

++Z；第三象限角：3|22,2kkk++Z；第四象限角：|22,2kkk−Z.【点睛】本题考查了象限角的角度制与弧度制的表示方法问题，解题时应熟练地写出来，是基础题

．15.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？【答案】不等于，原因见解析【解析】【分析】直接利用弧度数定义判断即可．【详解】解：不等于1弧度，这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所

对的弧比半径长.【点睛】本题考查弧度制的应用，属于基础题．16.把下列角度化成弧度：（1）36；（2）150−；（3）1095；（4）1440.【答案】（1）5（2）56−（3）7312（4）8【解析】【分析】利用角度制与弧度制的转化公式直接计算即

可.【小问1详解】解：36361805==；【小问2详解】解：51501501806=−=−−；【小问3详解】解：731095109518012==；【小问4详解】解：1440144081

80==.17.把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到0.01）：（1）76−（2）103−（3）1.4；（4）23.【答案】（1）210−（2）600−o（3）80.25（4）38.22【解析】【分析

】（1）根据题意，结合180=，即可求解；（2）根据题意，结合180=，即可求解；（3）根据题意，结合180=，即可求解；（4）根据题意，结合180=，即可求解.【小问1详解】由题意得，7718021066−=−=−.【小问2详解】由题意得，101018060033−

=−=−.【小问3详解】由题意得，1801.41.480.25=.【小问4详解】由题意得，2218038.2233=.综合运用18.已知是锐角，那么2是（）．A.第一象限角B.第二象限角C.小于180

°的正角D.第一或第二象限角【答案】C【解析】【分析】由题知0,2，故()20,，进而得答案.【详解】因为是锐角,所以0,2,所以()20,,满足小于180°的正角.其中D选项不包括90，故错误.故选：C19.若为第一象限角，则2是（）A.第一

象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】写出第一象限角，得到2的范围，再讨论k的取值即可.【详解】因为为第一象限角，所以22,2kkkZ+，所以,24kkkZ+，当0k=时，024，属于第一

象限角，排除B；当1k=时，524<<，属于第三象限角,排除AC；所以2是第一或第三象限角故选：D20.要在半径100OAcm=的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112cm，那么圆心角AOB是多少度（可用计

算工具，精确到1°）？【答案】64【解析】【分析】由弧长公式变形可得112100AOB=，化简即可．【详解】解：设AOB=.方法1：由lR=，得112100=，解得1121.12()64100rad==，方法2：由180Rl=，得1001

12180=，解得64.【点睛】本题考查弧长公式，属于基础题．21.已知弧长50cm的弧所对圆心角为200，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1cm）.【答案】14cm【解析】【分析】利用弧长公式即可得出；【详解】解

：方法一：102002001809==,由laR=得10509R=,14Rcm.方法二：由180nRl=得20050180R=，解得14Rcm.【点睛】本题考查了弧长公式，属于基础题．

拓广探索22.每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积1S.（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为2S，求1S与2S的比值；（

2）要使1S与2S的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到1）？【答案】（1）12SS=；（2）138【解析】【分析】（1）设1S的圆心角为，2S的圆心角为，从而由扇形的面积公式可计算12S

S的值．（2）由（1）可得0.6182=−，从而可求得0.764138=．【详解】解：（1）设半径为12,,RSS所对圆心角分别为,，且2211222122,,12RSSSRSR+=+===.（2）设扇子的圆心角为.由212212

0.6181(2)2RSSR==−，得0.618(2)=−,则2.40138rad.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题．23.（1）时间经过4h（时），时针、分针各转了多少度？各

等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次。你认为这种说法是否正确？请说明理由.（提示：从午夜零时算起，假设分针走了tmin会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间）【答案

】（1）时针：120−，23rad−；分针：1440−，8rad−.（2）不正确，理由见解析【解析】【分析】（1）算出时针每小时转过的度数乘以4便是经过4小时时针转过的度数；分钟每分钟转过的度数乘

以460便是经过4小时分针转过的度数，然后将度数转换成弧度即可；（2）可假设经过tmin后，时针和分针第n次重合，则有222601260ttn−=，可以求出n，并且最后一次相遇经过的时间为1440min，

这样即可求出一天内时针和分针重合的次数，从而判断出这种说法的正误．【详解】解：（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角，经过4小时，时针转了304120−=−，分针转了()43601440−=−，分别等于23−弧度和8

−弧度；（2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了tmin会和时针重合，并且是第n此重合，则：222601260ttn−=；11720nt=，*nN；最后一次相遇经过了24601440min=；此

时22n=，即时针和分针相遇22次；重合24次的说法不正确．【点睛】考查对时针和分针运动情况的掌握，度数和弧度数的关系及转换，弄清楚分针和时针相遇时转过圈数的关系．24.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.（1）当大轮转动一周时，求小轮

转动的角度；（2）如果大轮的转速为180/minr（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？【答案】（1）245；（2）151.2()cm.【解析】【分析】（1）相互啮

合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度；（2）再通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得.【详解】解：（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，大轮转

动了48个齿，小轮转动4812205=周，即123608645=．1224255=．（2）当大轮的转速为180/rmin时，12180432/5rmin=．小轮转速为432/rmin

，小轮周上一点每1s转过的弧度数为：724322605=．小轮的半径为10.5cm，小轮周上一点每1s转过的弧长为：7221151.252cm=．