【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.13 空间直线、平面的垂直（二）（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(16)页，1.251 MB，由小赞的店铺上传

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专题8.13空间直线、平面的垂直（二）（重难点题型精讲）1．二面角(1)二面角的定义①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫

做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.(2)二面角的表示①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角-l-，如图(1).②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面

角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).(3)二面角的平面角①自然语言在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，

则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②图形语言③符号语言∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.(4)二面角大小的度量①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.②当二面角的两

个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.2．面面垂直的定义及判定定理(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就

说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作⊥.(2)两个平面互相垂直的画法如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.(3)平面与平面垂直的判定定理①自然语言如果一个平面过另一个平面的垂线

，那么这两个平面垂直.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.3．平面与平面垂直的性质定理(1)平面与平面垂直的性质定理①自然语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的

交线，那么这条直线与另一个平面垂直.②图形语言③符号语言.(2)性质定理的作用①证明线面垂直、线线垂直；②构造面的垂线.4．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化(1)判定直线与直线垂直的方法①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.②利用直线

与平面垂直的性质来判定.③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.(2)判定直线与平面垂直的方法①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.②利用直线与平面垂直的判定定理

来判定.③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥.⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥a⊥.(3)平面与平面垂直的其他性质与结论①如果两个平面互相垂直，那么经

过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.④如果两个相交平面都垂直于第三个平

面，那么它们的交线垂直于第三个平面.⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.(4)线、面垂直位置关系的相互转化(5)平行关系与垂直关系的相互转化【题型1求二面角】【方法点拨】求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过

二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.【例1】（2022秋·贵州遵义·高二期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，点H为线段PB上一点（不含端点），平面AHC⊥平面

PAB．(1)证明：𝑃𝐵⊥𝐴𝐶；(2)若𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，四棱椎P－ABCD的体积为13，求二面角P－BC－A的余弦值．【变式1-1】（2023·高一课时练习）已知𝑃𝐴⊥平面ABCD，A

BCD是正方形，异面直线PB与CD所成的角为45∘．(1)二面角𝐵−𝑃𝐶−𝐷的大小；(2)直线𝑃𝐵与平面𝑃𝐶𝐷所成的角的大小．【变式1-2】（2023春·江苏常州·高三开学考试）如图，在边长为4的等边三角形𝐴𝐵𝐶中，平行于𝐵𝐶的直线分别交线段𝐴𝐵,𝐴𝐶于点�

�,𝑁.将△𝐴𝑀𝑁沿着𝑀𝑁折起至△𝐴1𝑀𝑁，使得二面角𝐴1−𝑀𝑁−𝐵是直二面角.(1)若平面𝐴1𝑀𝑁∩平面𝐴1𝐵𝐶=𝑙，求证：𝑙//𝐵𝐶；(2)若三棱锥𝐴1−𝐴𝑀𝑁的体积为1，求二面角𝑁−𝐴1𝑀−𝐵的正弦值.

【变式1-3】（2022秋·湖南郴州·高二阶段练习）已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的底面𝐴𝐵𝐶是边长为2的等边三角形，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶，∠𝑃𝐶𝐴=45°，点𝑀为线段𝑃𝐶上一动点.(1)当点𝑀为𝑃𝐶中点时，证明：𝐵𝑀⊥�

�𝐶；(2)当平面𝐴𝐵𝐶与平面𝐴𝐵𝑀所成二面角为60°时，试确定点𝑀的位置.【题型2面面垂直判定定理的应用】【方法点拨】利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线

不存在，则需通过作辅助线来证明.【例2】（2023·河南郑州·统考一模）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵∥𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐴𝑃=2，𝐴𝐵=1，点E为棱PC的中点．(1)证明：平面𝑃𝐵𝐶⊥平面PCD

；(2)求四棱锥𝐸−𝐴𝐵𝐶𝐷的体积；【变式2-1】如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐵=90°，𝑃𝐴=𝐴𝐷，𝐷𝐶=2𝐴𝐵，E为PC中点．(1

)求证：直线𝐵𝐸//平面PAD；(2)平面𝑃𝐵𝐶⊥平面PDC．【变式2-2】（2023春·河南·高三开学考试）如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=5，𝐵𝐵1=𝐵�

�=6，D，E分别是𝐴𝐴1和𝐵1𝐶的中点.(1)求证：平面𝐵𝐸𝐷⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1；(2)求三棱锥𝐸−𝐵𝐶𝐷的体积.【变式2-3】（2023·贵州毕节·统考一模）如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面是矩形，𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀，𝑁分别为𝐶𝐷，

𝑃𝐷的中点，𝐴𝐶与𝐵𝑀交于点𝐸，𝐴𝐵=6√2，𝐴𝐷=6，𝐾为𝑃𝐴上一点，𝑃𝐾=13𝑃𝐴．(1)证明：𝐾，𝐸，𝑀，𝑁四点共面；(2)求证：平面𝑃𝐴𝐶⊥平面𝐵𝑀𝑁𝐾．【题型3面面垂直性质定理的应用】【方法点拨】在运用

面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.【例3】（2022春·云南文山·高一期末）如图，在四棱锥𝑃−𝐴�

�𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，𝐴𝐷∥𝐵𝐶,∠𝐴𝐷𝐶=90∘，平面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑄,𝑀分别为𝐴𝐷,𝑃𝐶的中点.𝑃𝐴=𝑃𝐷=√2,𝐵𝐶=12𝐴𝐷=1,𝐶𝐷=√3.(1)求证：直线

𝐵𝐶⊥平面𝑃𝑄𝐵；(2)求三棱锥𝐴−𝐵𝑀𝑄的体积.【变式3-1】（2023春·青海西宁·高三开学考试）如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，△𝐴𝐵𝐶为边长为2的正三角形，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐴1=2，且∠𝐶1𝐶𝐵=60∘，平面𝐵𝐵1�

�1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶.(1)证明：𝐶1𝐷⊥𝐴𝐵；(2)求三棱锥𝐵1−𝐴𝐴1𝐶1的体积.【变式3-2】（2023·四川南充·四川模拟预测）如图，在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝑁，𝐸，𝐹分别是𝐴𝐴1

，𝐴𝐵，𝐶1𝐷1的中点，侧面𝐷𝐶𝐶1𝐷1⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝐵1=60∘，𝐴𝐷=4，𝐴𝐵=𝐷𝐷1=8，∠𝐷𝐴𝐵=120∘．(1)求证：𝑁𝐹//平面𝐶1𝐶𝐸;(2)试求三棱

锥𝑁−𝐶1𝐸𝐶体积．【变式3-3】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1⊥平面ABC，四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1是边长为2的菱形，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，∠𝐴1𝐴

𝐵=60°，E为BC的中点，D为𝐶𝐶1的中点，P为线段AC上的动点．(1)若𝐴𝐵1//平面𝑃𝐷𝐸，请确定点𝑃在线段𝐴𝐶上的位置；(2)若点𝑃为𝐴𝐶的中点，求三棱锥𝐶−𝑃𝐷𝐸的体积．【题型4垂直关系的相互转化】【方法点拨】在有关垂直问题的证明过程中要注意

线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.【例4】（2023秋·四川内江·高二期末）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和直角梯形𝐴𝐶𝐸𝐹所在的平面互相垂直，𝐹𝐴⊥𝐴𝐶，𝐴𝐵=√2，𝐸𝐹=𝐹𝐴=1．(1)求证

：𝐵𝐸⊥平面𝐷𝐸𝐹；(2)求直线𝐵𝐷与平面𝐵𝐸𝐹所成角的大小．【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，𝐴𝐵为圆𝑂的直径，𝐸是圆𝑂上不同于𝐴、𝐵的动点，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面

𝐴𝐵𝐸，𝐹是𝐷𝐸的中点．(1)求证：𝑂𝐹//平面𝐵𝐶𝐸；(2)求证：平面𝐴𝐷𝐸⊥平面𝐵𝐶𝐸．【变式4-2】（2022秋·河南·高三阶段练习）如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝑀中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，∠𝐵𝐴𝐶=90∘．以�

�𝐶为折痕将△𝐴𝐶𝑀折起，使点𝑀到达点𝐷的位置，𝐸,𝐹分别为𝐴𝐷,𝐵𝐶的中点．(1)证明：𝐴𝐶⊥𝐸𝐹；(2)设𝐸𝐹=√3，求𝐵𝐷．【变式4-3】（2022秋·江苏

南通·高二期中）在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知𝐴𝐵=1，𝐴1𝐴=2，E为棱𝐶𝐶1的中点．(1)求证：𝐴1𝐸⊥𝐵𝐷；(2)求𝐴1𝐸与平面𝐴1𝐵𝐷所成角的余弦值．【题型5点、线、面的距离问题】【方法点拨】结合具

体条件，根据点到平面的距离、线面距、面面距的定义，进行转化求解即可.【例5】（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐴1，𝐷为𝐶𝐶1上的中点.(1)证明：平面𝐴1𝐵𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1;(2

)若∠𝐴𝐶𝐵=90∘,𝐴𝐵=2，求点𝐵1到平面𝐴1𝐵𝐷的距离.【变式5-1】（2023秋·重庆巫山·高二期末）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∠𝐴𝐵𝐶=60∘，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑃�

�⊥𝐴𝐷，𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，PD的中点为F.(1)求证：𝑃𝐵//平面𝐴𝐶𝐹；(2)求直线𝑃𝐵到面𝐴𝐶𝐹的距离.【变式5-2】（2023·河南·高三阶段练习）如图，在四棱锥P—ABCD中，𝑃𝐶⊥𝐵𝐶，𝑃𝐴=𝑃𝐵，∠𝐴𝑃𝐶=∠𝐵𝑃𝐶．

(1)证明：𝑃𝐶⊥𝐴𝐷；(2)若𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝑃𝐷⊥𝐴𝐷，𝑃𝐶=√3，且点𝐶到平面𝑃𝐴𝐵的距离为√62，求𝐴𝐷的长．【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）如图多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，四边形

𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∠𝐴𝐵𝐶=60°，𝐸𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸𝐴//𝐵𝐹，𝐴𝐵=𝐴𝐸=2𝐵𝐹=2.(1)证明：平面𝐸𝐴𝐶⊥平面𝐸𝐹𝐶；(2)求点𝐵到平面𝐶𝐸𝐹的距离.【题型6平行关系与垂直

关系的综合应用】【方法点拨】根据线、面平行的判定和性质、线、面垂直的判定和性质等知识，结合具体问题，进行求解即可.【例6】（2023·河北·高三学业考试）如图，已知𝑃𝐴⊥矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的

中点.(1)求证：𝑀𝑂//平面PAD；(2)若∠𝑃𝐷𝐴=45°，求证：𝑀𝑁⊥平面PCD.【变式6-1】（2023秋·四川遂宁·高二期末）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑃𝐷=𝐷𝐶=2，

𝐸,𝐹,𝐺分别是𝐴𝐵,⬚𝑃𝐵,⬚𝐶𝐷的中点．(1)求证：𝐸𝐹⊥𝐷𝐶；(2)求证：平面𝐸𝐹𝐺//平面𝑃𝐴𝐷.【变式6-2】（2022·上海·模拟预测）如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝑃点在平面𝐴𝐵𝐶𝐷内

的射影为A，且𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，𝐸为𝑃𝐷中点.(1)证明：𝑃𝐵//平面𝐴𝐸𝐶(2)证明：平面𝑃𝐶𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐷.【变式6-3】（2023秋·广东汕尾·高二期末）如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶

1𝐷1中，𝐸,𝐹分别是𝐴1𝐵,𝐵1𝐷1的中点.(1)求证：𝐸𝐹//平面𝐴𝐶𝐷1；(2)求证：平面𝐴𝐶𝐷1⊥平面𝐷1𝐵1𝐵𝐷.