【文档说明】山西省朔州市怀仁市怀仁一中、大地学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题+含解析.docx，共(13)页，935.133 KB，由小赞的店铺上传

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怀仁一中高二年级2023~2024学年上学期第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5．本卷主要考查内容：必修第二册。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分

．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．51i2i+=+（）A．24i55−−B．24i55−C．24i55−+D．24i55+2．在ABC△中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若1a=，

2b=，1sin6A=，则sinB=（）A．23B．13C．56D．123．在连续六次数学考试中，甲、乙两名同学的考试成绩情况如图，则（）A．甲同学最高分与最低分的差距低于30分B．乙同学的成绩一直在上升C．乙同学六次考试成绩的平均分高于

120分D．甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学4．已知向量(1,1)a=，(2,1)b=−，则向量a与b夹角的余弦值为（）A．1010B．1010−C．31010D．31010−5．盲盒，是指消费者不能提前得知

具体产品款式的玩具盒子．已知某盲盒产品共有2种玩偶．假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（）A．34B．14C．13D．126．在ABC△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知22a=，4b=，6

A=，则此三角形（）A．无解B．有一解C．有两解D．解的个数不确定7．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱11DC的靠近1D上的三等分点．设AE与平面11BBDD的交点为O，则（）A．三点1D，O，B共线，

且12OBOD=B．三点1D，O，B共线，且13OBOD=C．三点1D，O，B不共线，且12OBOD=D．三点1D，O，B不共线，且13OBOD=8．已知a，b是不共线的两个向量，||2a=，43ab

=，若tR，||2bta−，则||b的最小值为（）A．2B．4C．23D．43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．一组数据3，6，8，a，5，9的平均数为

6，则对此组数据下列说法正确的是（）A．极差为6B．中位数为5C．众数为5D．方差为410．已知，是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）A．如果mn⊥，m⊥，n∥，那么⊥B

．如果m⊥，n∥，那么mn⊥C．如果∥，m，那么m∥D．如果mn∥，∥，那么m与所成的角和n与所成的角相等11．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事

件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张蓝色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色12．已知圆锥SO的母线长为25，AB为底面圆O的一条直径，4AB=．用一平行于底面的平面截圆锥SO，得到截

面圆的圆心为1O．设圆1O的半径为r，点P为圆1O上的一个动点，则（）A．圆锥SO的体积为163B．PO的最小值为455C．若1r=，则圆锥1SO与圆台1OO的体积之比为1:8D．若O为圆台1OO的外接球球心，则圆1O的面积为3625三、填空题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两组共200人，现采取分层随机抽样的方法抽取40人的样本进行问卷调查，若样本中有16人来自甲组，则乙组的人数为________．14．在ABC△中，3AB=

，3BC=，90ABC=，将ABC△绕直线BC旋转一周，所形成的几何体的表面积为________．15．如图，在正三棱柱111ABCABC−中，122AA=，2AB=，则直线1AB与直线1BC所成角的正切值为________．16．

如图，在RtAOC△中，3AOCO==，圆O为单位圆．（1）若点P在圆O上，60AOP=，则AP=________；（2分）（2）若点P在AOC△与圆O的公共部分的14圆弧上运动，则PAPC的取值范围为________．（3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知i为虚数单位，复数112iz=−，2i(,)zabab=+R对应的复平面上的点分别为M，N，若M，N关于实轴对称．（1）求a，b的值；（2）若角的终边经过点N，求sin23

−的值．18．（本小题满分12分）已知ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2aBcb=+．（1）求A；（2）若D在BC上，AD是BAC的角平分线，且1AD=，求

ABC△的面积的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD中，60BAD=，12BEBC=，2CFFD=．（1）若EFxAByAD=+，求32xy+的值；（2）若||6AB=，18ACEF=−，求边AD的长．20．（本小题满分12分

）某政府部门为促进党风建设，拟对政府部门的服务质量进行量化考核，每个群众办完业务后可以对服务质量进行打分，最高分为100分．上个月该部门对100名群众进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，

第五组[80,100]，得到频率分布直方图如图所示．（1）估计所打分数的众数和平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）（2）该部门在第一、二组群众中按比例分配的分层抽样的方法抽取6名群众进行深人调查，之后从这6人中随机抽取2人聘为监督员，求监督员来自不同组的概率．21．（本

小题满分12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，中，1AA⊥平面ABC，ABC△是等边三角形，D，E，F分别是棱11BC，AC，BC的中点．（1）证明：AD∥平面1CEF；（2）若1233AAAB==，求三棱锥1ACDE−的体积．2

2．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，4PAAD==，2AB=．M是棱PD上一点，且23CM=，AM⊥平面PCD．（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角

的正弦值．怀仁一中高二年级2023~2024学年上学期第一次月考·数学参考答案、提示及评分细则1．D5112i2i24iiiii2i2i(2i)(2i)555−−+=+=+=+=++++−．2．B由正弦定理有12sin16sin13bABa===．3．C由图可知，C正确，B

错误，且由于甲同学成绩波动较大，则甲同学六次成绩方差大，所以D错误．4．B||2a=，||5b=，1ab=−．∴110cos,1025ab−==−．5．A假设二种玩偶分别为A，B，则买3个盲盒，出现的玩偶为AAA，BBB，AA

B，ABA，BAA，BBA，BAB，ABB，共八种，∴集齐2种的概率为6384=．故选A．6．C由正弦定理sinsinabAB=，得2241sin2B=，解得2sin2B=．因为ab，所以AB．又因为(0,)B，所以4B=

或34B=，故此三角形有两解．故选C．7．B连接1BD．∵O直线AE，AE平面11ABCD，∴O平面11ABCD．又∵O平面11BBDD，平面11ABCD平面111BBDDBD=，∴O直线1BD，∴三点1D，O

，B共线．∵1ABOEDO∽△△，∴11::3:1OBODABED==，∴13OBOD=．8．B依题意可设a，b的夹角为，则由题意可得02，由||2bta−得||sin2b，所以4||||sinab，又因为||||cos43abab=

=，所以4cos||||cos43sinab=，所以3tan3，所以3cos2，所以23||4cosb=，故选B．9．ACD3685966a+++++=，得5a=，∴极差936=−

=，故A正确；中位数565.52+==，故B错误；众数为5，故C正确；()2222213211346s=++++=，故D正确．10．BCD对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设AA为直线m，CD为直线n，四边形

ABCD所在的平面为，四边形ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但⊥不成立；B正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面相交于直线l，则ln∥，由m⊥知ml⊥，从而mn⊥；由平面与平面平行的

定义知，如果∥，m，那么m∥，C正确；由平行的传递性及线面角的定义知，如果mn∥，∥，那么m与所成的角和n与所成的角相等，D正确．故选BCD．11．ABD6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”、“2

张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是“2张都不是红色”，“2张恰有一张蓝色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”

，二者并非互斥．故选ABD．12．ABD由圆锥SO的母线长为25，底面圆的半径为2，可得圆锥的高4SO=．考察A选项：21162433SOV==，A选项正确；考察B选项：已知1POr=，设点P在底面的投影为1P，则142PPr=−，所以2222221181616(42)5555PO

PPPOrrr=+=−+=−+，B选项正确；考察C选项：当1r=时，12SO=，所以12121233SOV==，又21162433SOV==，所以11111:7SOSOOOSOSOVVVVV==−，C选项错误；考察D选项：若点O是圆台1OO的外接球球心，

则由2222(42)4POrrOA=−+==，解得65r=，所以23625Sr==，D选项正确．故选ABD．13．120人401620012040−=（人）．14．(332)+该几何体的底面半径为3，高为3的圆锥，236(3)(323)S=+=+．15．3连接1BC交1BC

于O点，作F点为11AC的中点，连接OF，则1AB与1BC所成的角等于OF与1BC所成的角，在1OBF△中，13BF=，13OB=，3OF=．所以13BOF=，1tan3BOF=．16．（1）7（2）[132,2]−−（1）在A

OP△中，3AO=，1OP=，60AOP=，则222cos7APAOOPAOOPAOP=+−=；（2）2()()()PAPCPOOAPOOCPOPOOAOCOAOC=++=+++1()1||||cos,POOAOCPOOA

OCPOOAOC=++=+++132cos,POOAOC=++，因为3,,4POOAOC+−−，所以2cos,1,2POOAOC+−−，故PAPC的取值范围为[132,2]−−．法二：以O为原点，OA所在直线为y轴，OC所

在直线为x轴建立坐标系，则(cos,sin)P，(0,3)A，(3,0)C，所以(cos,3sin)PA=−−，(3cos,sin)PC=−−，则cos(cos3)sin(sin3)PAPC=−+−22cossin3cos3sin13

(cossin)132sin4=+−−=−+=−+，∵0,2，则3,444+，∴2sin,142+，132sin[132,

2]4−+−−．即[132,2]PAPC−−．17．解：（1）由已知，有(1,2)M−，(,)Nab，又M，N关于实轴对称，所以1a=，2b=；（2）因为点N的坐标为(1,2)，所以25sin5=，5cos5=，从而4sin25=，3cos25

=−，所以13433sin2sin2cos232210+−=−=．18．解：（1）因为2cos2aBcb=+，由正弦定理可得2sincos2sinsinABCB=+，即2sincos2sin()sin2sincos2cossinsinABAB

BABABB=++=++，所以1cossinsin2ABB=−，而(0,)B，∴sin0B，故1cos2A=−，因为(0,)A，所以23A=；（2）由题意可知，ABCABDACDSSS=+△△△，由角平分线性质和三角

形面积公式得1211sin1sin1sin232323bcbc=+，化简得bcbc=+，又2bcbcbc=+，从而4bc，当且仅当2bc==时，等号成立，故12sin323ABCSbc=△，因

此ABCS△的最小值为3．19．解：（1）因为在平行四边形ABCD中，12BEBC=，2CFFD=，所以11213232EFAFAEADABABADABAD=−=+−+=−+，又EFxAByAD=+，∴23x=−，12y=，∴321xy+=−；（2）设AD的长为x，∵2

221211()32326ACEFABADABADABADABAD=+−+=−+−22211||||||||cos326ABADABADBAD=−+−211241822xx=−−=−，∴2120xx−−=，解得4x=或3−（舍去），即4AD=．

20．解：（1）由众数概念可知，人数出现最多的为[60,80)之间，所以众数为70，平均值(100.0025300.005500.01700.0175900.015)20x=++++200.0025(10130270

7906504)0.002513002065=++++==；（2）由直方图知，第一二组的频率分别为0.05和0.1，则第一、二组人数分别为5和10，所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第一组和第二组的人数之比为1:2，则

第一组有2人，记为A，B；第二组有4人，记为a，b，c，d．从中随机抽取2人的所有情况如下：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，其中，两人来自不同组的情况有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，

Bd，共8种，故两人来自不同组的概率为815，答：监督员来自不同组的概率为815．21．解：（1）证明：连接BD，∵E，F分别是棱AC，BC的中点，∴EFAB∥，∵EF平面1CEF，AB平面1CEF，∴AB∥平面1CEF，∵D，F分别是棱11BC，BC的中

点，∴1BFCD∥，1BFCD=，∴四边形1BDCF是平行四边形，则1BDCF∥，∵1CF平面1CEF，BD平面1CEF，∴BD∥平面1CEF，∵AB，BD平面ABD，且ABBDB=，∴平面ABD∥平面1CEF，∵AD平面ABD，∴AD∥平面1CEF；（2）

连接CD，∵E为AC中点，∴111ACDECCDEECCDVVV−−−==三棱锥三棱锥三棱锥，由题意，1233AAAB==，∴1111328CCDSCCCD==△，作EGBC⊥于G，则EG⊥面11BBCC，且34EG=，即三棱锥1ECCD−的高为34，∴1133338432ACDEV−=

=三棱锥．22．（1）证明：在矩形ABCD中，所以224225AC=+=，∵AM⊥平面PCD，CM平面PCD，PD平面PCD，∴AMCM⊥，AMPD⊥，∴22(25)(23)22AM=−=，在PAD△中，∵4PAAD==，AMPD⊥，∴M为PD中点，22224(

22)42PDMD==−=，∴222PAADPD+=，即PAAD⊥，又ABAD⊥，ABAPA=，BA平面PAB，PA平面PAB，∴AD⊥平面PAB，又AD平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知，1

262ACMSAMMC==△，∵AM⊥平面PCD，CD平面PCD，∴AMCD⊥，又CDAD⊥，ADAMA=，AD，AM平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又CDAB∥，∴AB⊥平面PAD，又PA平面PAD，∴ABPA⊥，∵PAAB⊥，平面PAB平面

ABCDAB=，PA平面PAB，∴PA⊥平面ABCD，由（1）知M为PD中点，所以M到平面ABCD距离为122AP=，设D到平面ACM的距离为h，由DACMMACDVV−−=，即11126422332h=，解得263h=，

设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3hCD==．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com